第一章1.4.1第1课时　空间中点、直线和平面的向量表示.docx

《第一章1.4.1第1课时　空间中点、直线和平面的向量表示.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第一章1.4.1第1课时　空间中点、直线和平面的向量表示.docx（9页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、 第一章1.4空间向量的应用1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系第1课时空间中点、直线和平面的向量表示【素养导引】1.了解空间中点、直线和平面的向量表示.(数学抽象)2.掌握直线的方向向量,平面的法向量的概念.(数学抽象)3.会求直线的方向向量与平面的法向量.(数学运算)一、点P的位置向量在空间中,取一定点O作为基点,那么空间中任意一点P可以用向量表示,向量称为点P的位置向量.二、空间直线的向量表示1.确定直线l的条件:直线上一点A与直线的方向向量a.2.空间直线的向量表示式:取定空间中任意一点O,则点P在直线l上的充要条件是存在实数t,使=+ta.若在直线l上取=a,则=+t.诊断辨

2、析记忆(对的打“”,错的打“”).(1)直线l的方向向量a是唯一的.()(2)直线l的方向向量a一定是单位向量.()(3)空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定.()提示:(1). 直线的方向向量有无数个,它们分别是共线向量.(2). 直线的方向向量是指和这条直线平行或共线的非零向量,不一定是单位向量.(3).三、用向量表示平面1.由平面上一定点及两个不共线向量确定空间平面ABC的向量表示式:取定空间中任意一点O,则空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x,y,使=+x+y.2.由平面上一定点及其法向量确定平面:若直线l,取直线l的方向向量a,则向量a叫做平面的法向量.给定一

3、个点A和一个向量a,那么过点A,且以向量a为法向量的平面完全确定,可表示为集合P|a=0.【批注】1.平面的两种向量表示方法(1)用平面内一个定点A和这个平面内的两条相交直线的方向向量a和b表示,这时,对于平面内任意一点P,存在唯一的有序实数对(x,y),使得=xa+yb.(2)用平面内一个定点A和平面的一个法向量a来表示,这时平面可以用集合P|a=0来刻画.2.对平面的法向量的理解所谓平面的法向量,就是指与平面垂直的直线的方向向量,显然一个平面的法向量有无数个,它们是共线向量.在实际应用中,根据题意可以选取单位向量或各坐标为整数的向量作为法向量.在空间中,给定一个点A和一个向量a,那么以向量

4、a为法向量且经过点A的平面是唯一确定的.诊断(教材改编题)如图空间直角坐标系中,ABCD-A1B1C1D1为棱长为1的正方体,则平面CB1D1的法向量为_.【解析】由题意知,B1(1,0,1),D1(0,1,1),C(1,1,0),设平面CB1D1的法向量为n=(x,y,z),则=(-1,1,0),=(1,0,-1).因为n,n,所以,令x=1,得y=z=1,所以平面CB1D1的一个法向量为n=(1,1,1).答案:(1,1,1)学习任务一直线的方向向量(数学运算)1.(多选题)若点A(0,1,2),B(2,5,8)在直线l上,则直线l的一个方向向量为()A.(-3,-2,-1)B.(-1,-

5、2,-3)C.(2,1,3)D.(1,2,3)【解析】选BD.因为 A(0,1,2),B(2,5,8)在直线l上,所以直线l的一个方向向量为=(2,4,6),又因为(1,2,3)=12(2,4,6),(-1,-2,-3)=-12(2,4,6),所以(1,2,3)是直线l的一个方向向量,(-1,-2,-3)也是直线l的一个方向向量.2.已知点M(3,1,2),N(1,-5,-4),A(4,1,3),C为线段AB 上一点,且ACMN=13, 是直线AB 的方向向量,则点C 的坐标为()A.72,-12,52B.(38,-3,2)C.103,-1,1D.52,-72,32【解析】选C.因为C 在线段

6、AB 上,所以,又 是直线AB 的方向向量,所以,所以 .设C(x,y,z),因为=(-2,-6,-6),=(x-4,y-1,z-3),且ACMN=13,所以(x-4,y-1,z-3)=13(-2,-6,-6),即3(x4)=2,3(y1)=6,3(z3)=6, 解得x=103,y=-1,z=1,所以点C 的坐标是103,-1,1 .直线的方向向量的关注点(1)实质:求直线的方向向量就是求与该直线共线的向量;(2)注意:直线的方向向量有无数个.学习任务二平面的法向量(数学运算)角度1求平面的法向量【典例1】如图,四棱锥P-ABCD中底面ABCD为矩形,PA平面ABCD,E为PD的中点,AB=A

7、P=1,AD=3,试建立恰当的空间直角坐标系,求平面ACE的一个法向量.【解析】因为PA平面ABCD,底面ABCD为矩形,所以AB,AD,AP两两垂直.如图,以A为坐标原点,的方向为x轴的正方向,建立空间直角坐标系,则E0,32,12,C(1,3,0),于是=0,32,12,=(1,3,0).设n=(x,y,z)为平面ACE的一个法向量,则即x+3y=0,32y+12z=0,所以x=3y,z=3y,令y=-1,则x=z=3.所以平面ACE的一个法向量为n=(3,-1,3).本例条件不变,试求直线PC的一个方向向量和平面PCD的一个法向量.【解析】以A为坐标原点,分别以,的方向为x轴、y轴、z轴

8、的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,则P(0,0,1),C(1,3,0),所以=(1,3,-1),即为直线PC的一个方向向量.设平面PCD的法向量为n=(x,y,z).因为D(0,3,0),所以=(0,3,-1).由即x+3yz=0,3yz=0,所以x=0,z=3y,令y=1,则z=3.所以平面PCD的一个法向量为(0,1,3).角度2法向量的应用【典例2】 在直三棱柱ABC-A1B1C1 中,CA=CB=1,ACB=90,平面A1B1C 的一个法向量为n=(-2,-2,1),则棱AA1 的长为_.【解析】以C 为原点,CA,CB,CC1 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐

9、标系,设AA1=h,由题意可知C(0,0,0),A1(1,0,h),所以=(1,0,h),因为n=(-2,-2,1),根据法向量的定义可得,n=(-2,-2,1)(1,0,h)=-2+h=0,解得h=2,所以AA1=2 .答案:21.求平面法向量n的三个注意点(1)选向量:在选取平面内的向量时,要选取不共线的两个向量.(2)取特殊值:在求n的坐标时,可令x,y,z中的任一个为特殊值,得另外两个值,从而得到平面的一个法向量.(3)注意0:假设法向量n=(x,y,z)的某个坐标为某特殊值时,一定要注意这个坐标不为0.2.涉及平面法向量的问题,合理建立空间直角坐标系和利用垂直关系联立方程是解题的关键

10、.1.已知平面内有两点A(1,1,-2),B(2,y,1),它的一个法向量为n=(1,-2,1),则y=_.【解析】=(1,y-1,3),因为n=(1,-2,1)是平面的一个法向量,所以n=1-2(y-1)+3=0,所以y=3.答案:32.在正方体ABCD-A1B1C1D1 中,E,F 分别为棱A1D1,A1B1 的中点,在如图所示的空间直角坐标系中,求:(1)平面BDD1B1 的一个法向量;(2)平面BDEF 的一个法向量.【解析】(1)设正方体ABCD-A1B1C1D1 的棱长为2,则D(0,0,0),B(2,2,0),A(2,0,0),C(0,2,0),E(1,0,2) .连接AC (图

11、略),易知AC 平面BDD1B1,所以=(-2,2,0) 为平面BDD1B1 的一个法向量;(2)易知=(2,2,0),=(1,0,2) .设平面BDEF 的法向量为n=(x,y,z),所以所以2x+2y=0,x+2z=0,令x=2,得y=-2,z=-1,即n=(2,-2,-1) 为平面BDEF 的一个法向量.【补偿训练】(2022南京高二检测)如图,在棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M在棱C1C上,且CM=2MC1.以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.(1)求平面ABB1A1的一个法向量;(2)求平面MD1B的一个法向量.【解析】(1)根据题意AD平面ABB1A1,所以=(3,0,0)为平面ABB1A1的一个法向量;(2)根据题意得B(3,3,0),D1(0,0,3),M(0,3,2),则=(-3,0,2),=(0,-3,1),设平面MD1B的法向量为n=(x,y,z).则,令x=2,则z=3,y=1,所以平面MD1B的一个法向量为n=(2,1,3). - 9 -