第2节 单调性与最大（小）值.doc

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1、 第2节单调性与最大(小)值考试要求1.借助函数图象，会用数学符号语言表达函数的单调性、最值，理解其实际意义. 2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质.知识诊断基础夯实【知识梳理】1.函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间DI，如果x1，x2D当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数图象描述自

2、左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数yf(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数yf(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做yf(x)的单调区间.2.函数的最值前提设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)xI，都有f(x)M；(2)x0I，使得f(x0)M(1)xI，都有f(x)M；(2)x0I，使得f(x0)M结论M为最大值M为最小值常用结论1.有关单调性的常用结论在公共定义域内，增函数增函数增函数；减函数减函数减函数；增函数减函数增函数；减函数增函数减函数.2.函数yf(x)(f(x)0)在公共定义域内与yf(x)，y的单

3、调性相反.【诊断自测】1.思考辨析(在括号内打“”或“”)(1)对于函数yf(x)，若f(1)f(3)，则f(x)为增函数.()(2)函数yf(x)在1，)上是增函数，则函数的单调递增区间是1，).()(3)函数y的单调递减区间是(，0)(0，).()(4)对于函数f(x)，xD，若对任意x1，x2D，且x1x2有(x1x2)f(x1)f(x2)0，则函数f(x)在区间D上是增函数.()答案(1)(2)(3)(4)解析(1)错误，应对任意的x1x2，都有f(x1)f(x2)成立才可以.(2)错误，反例：f(x)x在1，)上为增函数，但f(x)x的单调递增区间是(，).(3)错误，此单调区间不能

4、用“”连接，故单调递减区间为(，0)和(0，).2.(必修一P86T7改编)函数f(x)的单调递增区间是_.答案2，)解析由题意可知x22x0，解得x0或x2，所以函数f(x)的定义域为(，02，)，设y，ux22x，二次函数ux22x的单调递增区间是(1，)，单调递减区间是(，1)，所以f(x)的单调递增区间是2，).3.(必修一P81例5改编)函数f(x)(x2，6)，则f(x)的最小值为_，最大值为_.答案2解析由于f(x)在2，6上单调递减，故f(x)的最大值为f(2)2，最小值为f(6).4.函数yf(x)是定义在2，2上的减函数，且f(a1)f(2a)，则实数a的取值范围是_.答案

5、1，1)解析由条件知解得1a1.考点突破题型剖析考点一函数的单调性(区间)例1 (1)设函数f(x)g(x)x2f(x1)，则函数g(x)的递减区间是_.答案0，1)解析由题意知g(x)该函数图象如图所示，其单调递减区间是0，1).(2)试讨论函数f(x)(a0)在(1，1)上的单调性.解法一设1x1x21，f(x)aa，则f(x1)f(x2)aa，由于1x1x21，所以x2x10，x110，x210，故当a0时，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，函数f(x)在(1，1)上单调递减；当a0时，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，函数f(x)在(1，1)上单调递增.法二

6、f(x).当a0时，f(x)0，函数f(x)在(1，1)上单调递减；当a0时，f(x)0，函数f(x)在(1，1)上单调递增.感悟提升1.求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间.2.(1)函数单调性的判断方法：定义法；图象法；利用已知函数的单调性；导数法.(2)函数yf(g(x)的单调性应根据外层函数yf(t)和内层函数tg(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则.易错警示函数在两个不同的区间上单调性相同，一般要分开写，用“，”或“和”连接，不要用“”.训练1 (1)函数y的单调递减区间是_.答案(，6解析由题意，要使函数y有意义，需满足x22x240，解得x6或x4，又由tx

7、22x24在(，6上单调递减，在4，)上单调递增，结合复合函数的单调性的判定方法，可得函数y的单调递减区间是(，6.(2)已知函数f(x).判断f(x)在0，)上单调递增还是单调递减，并证明你的判断.解f(x)在0，)上单调递增，证明如下：设任意的0x1x2，则f(x1)f(x2)，因为0x1x2，故x1x20，(x11)(x21)0，故f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，故f(x)在0，)上单调递增.考点二求函数的最值例2 (1)函数f(x)log2(x4)在区间2，2上的最大值为_.答案8解析因为函数y，ylog2(x4)在区间2，2上都单调递减，所以函数f(x)log2(x4

8、)在区间2，2上单调递减，所以函数f(x)的最大值为f(2)log2(24)918.(2)对于任意实数a，b，定义mina，b设函数f(x)x3，g(x)log2x，则函数h(x)minf(x)，g(x)的最大值是_.答案1解析法一在同一坐标系中，作函数f(x)，g(x)的图象，依题意，h(x)的图象为如图所示的实线部分.易知点A(2，1)为图象的最高点，因此h(x)的最大值为h(2)1.法二依题意，h(x)当02时，h(x)3x是减函数，因此h(x)在x2时取得最大值h(2)1.感悟提升1.求函数最值的三种基本方法：(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.(2)图象法：先作出函

9、数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值.(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.2.对于较复杂函数，可运用导数，求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值.训练2 (1)设函数f(x)在区间3，4上的最大值和最小值分别为M，m，则_.答案解析f(x)2在3，4上单调递减，f(x)minf(4)4，f(x)maxf(3)6，M6，m4，.(2)(2023宁波调研)设f(x)则f(f(1)_，f(x)的最小值是_.答案023解析f(1)2，f(f(1)f(2)230，当x1时，f(x)x3在1，上单调递减，在，)上单调递增，所以f(x)

10、在x时取得最小值，即f(x)min23；当x1时，f(x)x21在(，0)上单调递减，在(0，1)上单调递增，所以f(x)在x0时取得最小值，即f(x)min1，综上，f(x)的最小值为23.考点三函数单调性的应用角度1比较函数值的大小例3 已知f(x)2x，af()，bf()，cf()，则()A.abc B.ac bC.cab D.cba答案D解析易知f(x)2x在(1，)上单调递增，又，故f()f()f()，即cba.角度2解函数不等式例4 已知函数f(x)ln x2x，若f(x24)2，则实数x的取值范围是_.答案(，2)(2，)解析因为函数f(x)ln x2x在定义域(0，)上单调递增

11、，且f(1)ln 122，所以由f(x24)2，得f(x24)f(1)，所以0x241，解得x2或2x.角度3求参数的取值范围例5 (2023湖北鄂西北四校联考)已知f(x)满足对于任意实数x1x2，都有0成立，则实数a的取值范围是_.答案解析因为对于任意实数x1x2，都有0成立，所以函数f(x)在R上单调递减，所以解得a，所以实数a的取值范围是.感悟提升1.比较函数值的大小时，转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决.2.求解函数不等式时，由条件脱去“f”，转化为自变量间的大小关系，应注意函数的定义域.3.利用单调性求参数的取值(范围).根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等

12、式(组)或先得到其图象的升降，再结合图象求解.对于分段函数，要注意衔接点的取值.训练3 (1)(2022昆明诊断)已知函数f(x)lg x，f(m)1，且0pmn，则()A.f(n)1且f(p)1B.f(n)1且f(p)1C.f(n)1且f(p)1D.f(n)1且f(p)1答案C解析f(x)ln ln 2，当x0时，f(x)0，函数f(x)单调递增，0pmn，且f(m)1，f(p)f(m)1f(n).(2)设函数f(x)若函数yf(x)在区间(a，a1)上单调递增，则实数a的取值范围是_.答案(，14，)解析画出函数f(x)的图象，如图，由图可知函数f(x)的增区间为(，2)，(4，)，函数f

13、(x)在(a，a1)上单调递增，a12或a4，即a1或a4.(3)已知函数f(x)log2(x2)，若f(a2)3，则a的取值范围是_.答案(0，1)解析由f(x)log2(x2)知，f(x)在定义域(2，)上是减函数，且f(1)3，由f(a2)3，得f(a2)f(1)，解得0a1.分层精练巩固提升【A级基础巩固】1.函数f(x)x在上的最大值是()A. B. C.2 D.2答案A解析易知f(x)x在上单调递减，故其最大值为f(2).2.已知定义域为R的函数f(x)，x1，x2R，x1x2，都有0，则()A.f(3)f()f(2) B.f()f(3)f(2)C.f(2)f()f(3) D.f(

14、)f(2)f(3)答案B解析易知f(x)是R上的减函数，又32，故f()f(3)f(2).3.(多选)下列函数在(0，)上单调递增的是()A.y3x3x B.y|x22x|C.yxcos x D.y答案AC解析y3x与y3x均为R上的增函数，y3x3x为R上的增函数，故A正确；由y|x22x|的图象(图略)知，故B不正确；对于选项C，y1sin x0，yxcos x在R上为增函数，故C正确；y的定义域为(，21，)，故D不正确.4.已知函数f(x)loga(x22x3)(a0且a1)，若f(0)0，则此函数的单调递增区间是()A.(，1 B.1，)C.1，1) D.(3，1答案C解析令g(x)

15、x22x3，由题意知g(x)0，可得3x1，故函数的定义域为x|3x1.根据f(0)loga30，可得0a1.又g(x)在定义域(3，1)内的单调递减区间是1，1)，所以f(x)的单调递增区间为1，1).5.(多选)已知函数f(x)loga|x1|在区间(，1)上单调递增，则()A.0a1B.a1C.f(a2 022)f(2 023)D.f(a2 022)f(2 023)答案AC解析f(x)loga|x1|的定义域为(，1)(1，).设z|x1|，可得函数z在(，1)上单调递减；在(1，)上单调递增，由题意可得0a1，故A正确，B错误；由于0a1，可得2 022a2 0222 023.又f(x

16、)在(1，)上单调递减，则f(a2 022)f(2 023)，故C正确，D错误.6.(2023南通模拟)已知函数f(x)若a50.01，blog32，clog20.9，则有()A.f(a)f(b)f(c) B.f(b)f(a)f(c)C.f(a)f(c)f(b) D.f(c)f(a)f(b)答案A解析yex是增函数，yex是增函数，因此在(0，)上yexex单调递增，且此时f(x)0；又f(x)x2在(，0上单调递增，所以f(x)在R上单调递增.clog20.90，0blog321，a50.011，即abc，所以f(a)f(b)f(c).7.如果函数f(x)满足对任意x1x2，都有0成立，那么

17、实数a的取值范围是()A.(0，2) B.(1，2)C.(1，) D.答案D解析因为对任意x1x2，都有0，所以yf(x)在R上是增函数，所以解得a2.故实数a的取值范围是.8.函数f(x)|x2|x的单调递减区间是_.答案1，2解析f(x)画出f(x)的大致图象(如图所示)，由图知f(x)的单调递减区间是1，2.9.设f(x)是定义在R上的增函数，且f(xy)f(x)f(y)，f(3)1，则不等式f(x)f(2)1的解集为_.答案解析由已知条件可得f(x)f(2)f(2x)，又f(3)1.不等式f(x)f(2)1可化为f(2x)f(3).f(x)是定义在R上的增函数，2x3，解得x.不等式的

18、解集为.10.(2023山东师大附中质检)已知函数f(x)e|xa|(a为常数)，若f(x)在区间1，)上单调递增，则实数a的取值范围是_.答案(，1解析f(x)当xa时，f(x)单调递增，当xa时，f(x)单调递减，由复合函数的单调性知，必有t|xa|在区间1，)上是增函数，又t|xa|在区间a，)上是增函数，所以1，)a，)，所以a1.11.已知函数f(x)ax(a0)，且f(x)在(0，1上的最大值为g(a)，求g(a)的最小值.解f(x)ax(a0)，f(x)在(0，1上单调递增，f(x)maxf(1)a，g(a)a2，当且仅当a，即a1时取等号，g(a)的最小值为2.12.已知函数f

19、(x).(1)写出函数f(x)的定义域和值域；(2)证明：函数f(x)在(0，)上为减函数，并求f(x)在x2，8上的最大值和最小值.(1)解函数f(x)的定义域为x|x0.又f(x)1，所以值域为y|y1.(2)证明由题意可设0x1x2，则f(x1)f(x2).又0x1x2，所以x1x20，x2x10，所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，所以函数f(x)在(0，)上为减函数.当x2，8时，f(x)的最大值为f(2)2，最小值为f(8).【B级能力提升】13.定义maxa，b，c为a，b，c中的最大值，设Mmax2x，2x3，6x，则M的最小值是()A.2 B.3 C.4 D.

20、6答案C解析画出函数Mmax2x，2x3，6x的图象如图中的实线部分，由图可知，函数M在A处取得最小值22624，故M的最小值为4.14.设函数f(x)在区间(2，)上单调递增，那么a的取值范围是_.答案1，)解析f(x)a，定义域为x|x2a，所以所以所以a1.15.如果几个函数的定义域相同、值域也相同，但解析式不同，称这几个函数为“同域函数”.函数y的值域为_，则与y是“同域函数”的一个解析式为_.答案1，1y2x3，x1，2或ysin(2x)，x1，2或y3x12，x1，2(答案不唯一)解析因为y，所以x1且x2，所以函数的定义域为1，2.显然，yf(x)在1，2上单调递增，所以f(x)

21、1，1，所以函数的值域为1，1.只要满足定义域为1，2，且值域为1，1的函数均符合题意，例如ysin(2x)，x1，2或y2x3，x1，2或y3x12，x1，2.16.定义在(0，)上的函数f(x)对于任意的x，y(0，)，总有f(x)f(y)f(xy)，当x1时，f(x)0且f(e)1.(1)求f(1)的值；(2)判断函数在(0，)上的单调性，并证明；(3)求函数f(x)在上的最大值与最小值.解(1)令xy1，得f(1)f(1)f(1)f(1)0.(2)f(x)在(0，)上单调递减，证明如下：设x1x20，令xyx1，xx2，则y，所以y1，f(y)0，由已知得f(x2)ff(x1)f(x1)f(x2)f0f(x1)f(x2)，所以f(x)在(0，)上单调递减.(3)因为f(e)1，令xye，得f(e2)f(e)f(e)2，令xe，y，得f(1)f(e)f0，f1.由(2)知函数f(x)在上单调递减，所以f(x)maxf1，f(x)minf(e2)2.