第三章3.3.2第2课时　抛物线方程及性质的应用.docx

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1、 3.3抛物线3.3.2抛物线的简单几何性质第2课时抛物线方程及性质的应用【素养导引】1.了解抛物线的简单应用.(数学运算)2.能利用抛物线的方程和性质解决直线与抛物线关系的相关的问题.(数学运算、逻辑推理)学习任务一直线与抛物线的位置关系(逻辑推理)1.过点(0,1)与抛物线y2=2px(p0)只有一个公共点的直线的条数是()A.0B.1C.2D.3【解析】选D.已知点(0,1)在抛物线y2=2px(p0)外,过(0,1)可作抛物线的两条切线,过(0,1)与对称轴(x轴)平行的直线与抛物线也只有一个公共点.共有3条.2.设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q,若过点Q的直线l与抛物线有公共点

2、,则直线l的斜率的取值范围是()A.-12,12B.-2,2C.-1,1D.-4,4【解析】选C.因为y2=8x,所以Q(-2,0)(Q为准线与x轴的交点),设过Q点的直线l方程为y=k(x+2).因为l与抛物线有公共点,所以方程组y2=8xy=k(x+2)有解,即k2x2+(4k2-8)x+4k2=0有解.由0得-1k1.3.已知抛物线的方程为y2=4x,直线l过定点P(-2,1),斜率为k,k为何值时,直线l与抛物线y2=4x只有一个公共点;有两个公共点;没有公共点?【解析】由题意,直线l的方程为y-1=k(x+2),由方程组y-1=k(x+2),y2=4x(*)可得ky2-4y+4(2k

3、+1)=0.:当k=0时,由方程得y=1,把y=1代入y2=4x,得x=14,这时,直线l与抛物线只有一个公共点14,1.:当k0时,方程的判别式为=-16(2k2+k-1).a.由=0,即2k2+k-1=0,解得k=-1或k=12,所以方程只有一个解,从而方程组(*)只有一个解,这时直线l与抛物线只有一个公共点.b.由0,即2k2+k-10,解得-1k12,于是,当-1k12,且k0时,方程有两个解,从而方程组(*)有两个解,这时直线l与抛物线有两个公共点.c.由0,解得k12.于是k12时,方程没有实数解,从而方程组(*)没有解,直线l与抛物线无公共点.综上,当k=0或k=-1或k=12时

4、,直线l与抛物线只有一个公共点.当-1k12,且k0时,直线l与抛物线有两个公共点.当k12时,直线l与抛物线无公共点.直线与抛物线位置关系的判断方法设直线l:y=kx+b,抛物线:y2=2px(p0),将直线方程与抛物线方程联立消元得k2x2+(2kb-2p)x+b2=0.(1)若k2=0,此时直线与抛物线有一个交点,该直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合.(2)若k20,当0时,直线与抛物线相交,有两个交点;当=0时,直线与抛物线相切,有一个交点;当0)的焦点,M是抛物线的准线与x轴的交点,且|MF|=2.(1)求抛物线的方程;(2)设过点F的直线交抛物线于A,B两点,若斜率为2的直线l

5、与直线MA,MB,AB,x轴依次交于点P,Q,R,N,且满足|RN|2=|PN|QN|,求直线l在x轴上截距的取值范围.【思路探求】(1)由|MF|=p=2或得抛物线方程;(2)设直线AB的方程并与抛物线方程联立,结合l与MA,MB,AB,x轴交于P,Q,R,N且|RN|2=|PN|QN|化简直线在x轴上的截距.【解析】(1)由于|MF|=p=2,则抛物线方程是y2=4x;(2)设AB:x=my+1,与抛物线方程联立可得y2=4x=4my+4y2-4my-4=0.故yA+yB=4m,yAyB=-4,设A(s2,2s),B(t2,2t),故st=-1,m=s+t2.于是AM:x=s2+12sy-

6、1=s-t2y-1,AN:x=t2+12ty-1=-s-t2y-1,令s-t=2w,于是m2-w2=-1,此时AM:x=wy-1,AN:x=-wy-1,设PQ:x=12y+c,b=-2c(c1),联立得到yP=2(c+1)2w-1,yQ=-2(c+1)2w+1,myR+1=12yR+cyR=2(c-1)2m-1.于是|NR|2=|NP|NQ|yR2=-yPyQ,故yR2+yPyQ=4(c-1)2(2m-1)2-4(c+1)24w2-1=4(c-1)2(2m-1)2-4(c+1)24m2+3=0,(c+1)2(c-1)2=4m2+3(2m-1)2=n2+n+1n2=1+1n+1n2=34+1n+

7、12234n=m-12,于是c2+14c+10c(-,-7-43)-7+43,1)(1,+).应用抛物线性质解题的常用技巧(1)抛物线的中点弦问题用点差法较简便.(2)轴对称问题,一是抓住对称两点的中点在对称轴上,二是抓住两点连线的斜率与对称轴所在直线斜率的关系.(3)在直线和抛物线的综合题中,经常遇到求定值、过定点问题.解决这类问题的方法很多,如斜率法、方程法、向量法、参数法等.解决这些问题的关键是代换和转化.(4)圆锥曲线中的定点、定值问题,常选择一参数来表示要研究问题中的几何量,通过运算找到定点、定值,说明与参数无关,也常用特值探路法找定点、定值.在平面直角坐标系xOy中,设点F(1,0

8、),直线l:x=-1,点P在直线l上移动,R是线段PF与y轴的交点,RQFP,PQl.(1)求动点Q的轨迹方程;(2)记Q的轨迹为曲线E,过点F作两条互相垂直的直线交曲线E的弦为AB,CD,设AB,CD的中点分别为点M,N,求证:直线MN过定点(3,0).【解析】(1)因为点F(1,0),直线l:x=-1,所以点R是线段FP的中点,由此及RQFP知,RQ是线段FP的垂直平分线.因为|PQ|是点Q到直线l的距离,而|PQ|=|QF|,所以动点Q的轨迹是以F为焦点,l为准线的抛物线,其方程为y2=4x(x0);(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),M(xM,yM),直线AB:x=my+1(m

9、0),则x=my+1,y2=4x,消去x得y2-4my-4=0.于是,有yM=y1+y22=2m,xM=myM+1=2m2+1,即M(2m2+1,2m).同理,N2m2+1,-2m.因此,直线MN的斜率kMN=2m+2m(2m2+1)-2m2+1=mm2-1,直线MN的方程为y-2m=mm2-1(x-2m2-1),即mx+(1-m2)y-3m=0.显然,不论m为何值,(3,0)均满足方程,所以直线MN过定点(3,0).抛物线中的特殊直角三角形过焦点F的直线l与抛物线y2=2px(p0)交于A,B两点,(1)过A,B分别向准线作垂线,垂足分别是A1,B1,则A1FB1=90;(2)过A,B分别向准线作垂线,垂足分别是A1,B1,取A1B1的中点K,则AKB=90.(3)过准线上任意一点E作抛物线的两条切线,切点分别是C,D,则CED=90,且直线CD过焦点F.【典例】过焦点的直线l与抛物线y2=2px(p0)交于A,B两点,以AB为直径的圆与抛物线准线的位置关系是_.【解析】过A,B分别向准线作垂线,垂足分别是A1,B1,取A1B1的中点K,则AKB=90.所以以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.答案:相切 - 9 -