阶段综合练(3.3).docx

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1、阶段综合练(3.3)1.已知抛物线的焦点为F(a,0)(a0),则抛物线的标准方程是()A.y2=2axB.y2=4axC.y2=-2axD.y2=-4ax【解析】选B.因为抛物线的焦点为F(a,0)(a0)上,过点B(0,-1)的直线交C于P,Q两点,则()A.C的准线为y=-1B.直线AB与C相切C.|OP|OQ|OA|2D.|BP|BQ|BA|2【解析】选BCD.将点A代入抛物线方程得1=2p,所以抛物线方程为x2=y,故准线方程为y=-14,A错误;kAB=1-(-1)1-0=2,所以直线AB的方程为y=2x-1,联立y=2x-1x2=y,可得x2-2x+1=0,解得x=1,故B正确;

2、设过点B的直线为l,若直线l与y轴重合,则直线l与抛物线C只有一个交点,所以,直线l的斜率存在,设其方程为y=kx-1,P(x1,y1),Q(x2,y2),联立y=kx-1x2=y,得x2-kx+1=0,所以=k2-40x1+x2=kx1x2=1,所以k2或k2=|OA|2,故C正确;因为|BP|=1+k2|x1|,|BQ|=1+k2|x2|,所以|BP|BQ|=(1+k2)|x1x2|=1+k25,而|BA|2=5,故D正确.6.(多选题)已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,其准线与x轴相交于点M,经过M点且斜率为k的直线l与抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则下列结论中正

3、确的是()A.k的取值范围是(-1,1)B.y1y2=8x1x2C.存在k,使得以AB为直径的圆经过点FD.若三角形ABF的面积为162,则直线AB的倾斜角为6或56【解析】选CD.依题意得,F(2,0),M(-2,0),直线l的方程为y=k(x+2),联立得y2=8xy=k(x+2),消去y得k2x2+(4k2-8)x+4k2=0,因为直线l与抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,所以k20,(4k2-8)2-16k40,解得-1k0)的焦点为F,直线l与抛物线C交于不同的两点A,B,线段AB中点M的横坐标为2,且|AF|+|BF|=6.(1)求抛物线C的标准方程;(2)若直线

4、l(斜率存在)经过焦点F,求直线l的方程.【解析】(1)设点A(x1,y1),B(x2,y2),则线段AB中点M的横坐标为x1+x22=2,所以x1+x2=4,又|AF|+|BF|=x1+x2+p=4+p=6,解得p=2.因此,抛物线C的标准方程为y2=4x;(2)由(1)知,抛物线C的焦点为F(1,0),故可设直线的方程为y=k(x-1),k0,联立方程组y=k(x-1)y2=4x,消去y,得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,所以x1+x2=2k2+4k2=4,解得k=2,因此,直线l的方程为y=2(x-1).10.已知抛物线C:y2=2px的准线经过点P(-1,0).(1)求抛物线C的

5、方程;(2)设O是原点,直线l恒过定点(1,0),且与抛物线C交于A,B两点,直线x=1与直线OA,OB分别交于点M,N.请问:是否存在以MN为直径的圆经过x轴上的两个定点?若存在,求出两个定点的坐标;若不存在,请说明理由.【解析】(1)由x=-p2=-1知p=2,故抛物线C:y2=4x;(2)设直线AB:x=ty+1,A(y124,y1),B(y224,y2),联立x=ty+1y2=4x,知y2-4ty-4=0,由根与系数的关系知y1+y2=4t,y1y2=-4,由于直线OA:y=4y1x,故点M(1,4y1).直线OB:y=4y2x,故点N(1,4y2),故以MN为直径的圆的方程为(x-1

6、)2+(y-4y1)(y-4y2)=0,令y=0知(x-1)2+16y1y2=0,将代入知(x-1)2-4=0,解得x1=-1,x2=3.故以MN为直径的圆经过x轴上的两个定点分别为(-1,0)和(3,0).11.如图所示,A地在B地北偏东45方向,相距22 km处,B地与东西走向的高铁线(近似看成直线)l相距4 km.已知曲线形公路PQ上任意一点到B地的距离都等于到高铁线l的距离,现要在公路旁建造一个变电房M(变电房与公路之间的距离忽略不计),分别向A地、B地送电.(1)试建立适当的平面直角坐标系,求曲线形公路PQ所在曲线的方程;(2)问变电房M应建在相对A地的什么位置(方位和距离),才能使

7、架设电路所用电线长度最短,并求出最短长度.【解析】(1)如图所示,以过点B且垂直于l(垂足为K)的直线为y轴,线段BK的中点O为原点,建立平面直角坐标系Oxy,则B(0,2),A(2,4).因为曲线形公路PQ上任意一点到B地的距离都等于到高铁线l的距离,所以PQ所在的曲线是以B(0,2)为焦点,l为准线的抛物线.设抛物线方程为x2=2py(p0),则p=4,故曲线形公路PQ所在曲线的方程为x2=8y.(2)要使架设电路所用电线长度最短,即|MA|+|MB|的值最小.如图所示,过M作MHl,垂足为H,依题意得|MB|=|MH|,所以|MA|+|MB|=|MA|+|MH|,故当A,M,H三点共线时,|MA|+|MH|取得最小值,即|MA|+|MB|取得最小值,此时M(2,12).故变电房M建在A地正南方向且与A地相距72 km处时,所用电线长度最短,最短长度为6 km.- 7 -