考点34 直线、平面垂直的判定及其性质.docx

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1、 考点34 直线、平面垂直的判定及其性质1.(2022全国甲卷文科)(同2022全国甲卷理科T7)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,已知B1D与平面ABCD和平面AA1B1B所成的角均为30,则()A.AB=2ADB.AB与平面AB1C1D所成的角为30C.AC=CB1D.B1D与平面BB1C1C所成的角为45【命题意图】本题考查了直线与平面所成角.【解析】选D.如图所示:不妨设AB=a,AD=b,AA1=c,依题以及长方体的结构特征可知,B1D与平面ABCD所成角为B1DB,B1D与平面AA1B1B所成角为DB1A,所以sin 30=cB1D=bB1D,即b=c,B1D=2c=a2+b2

2、+c2,解得a=2c.对于A,AB=a,AD=b,AB=2AD,A错误;对于B,过点B作BEAB1于点E,易知BE平面AB1C1D,所以AB与平面AB1C1D所成角为BAE,因为tanBAE=ca=22,所以BAE30,B错误;对于C,AC=a2+b2=3c,CB1=b2+c2=2c,ACCB1,C错误;对于D,B1D与平面BB1C1C所成角为DB1C,sinDB1C=CDB1D=a2c=22,而0DB1C90,所以DB1C=45,D正确.2.(2022浙江高考数学科T8)(4分)如图,已知正三棱柱ABC-A1B1C1,AC=AA1,E,F分别是棱BC,A1C1上的点.记EF与AA1所成的角为

3、,EF与平面ABC所成的角为,二面角F-BC-A的平面角为,则()A.B.C.D.【命题意图】本题主要考查异面直线所成角、直线与平面所成角及二面角的求法,考查学生的直观想象能力.【解析】选A.过点F作FMAC于点M,则FM平面ABC,连接ME,则MFE=,MEF=,tan =MEFM,tan =FMME,因为三棱柱ABC-A1B1C1为正三棱柱,且AC=AA1,所以FM=AA1=ACME,所以tan 1,tan 1,所以.过点M作MNBC于点N,连接FN,则MNF=,又tan =MFMN,又MNME,所以tan tan ,所以,所以.3.(2022新高考卷T9)已知正方体ABCD-A1B1C1

4、D1,则()A.直线BC1与DA1所成的角为90B.直线BC1与CA1所成的角为90C.直线BC1与平面BB1D1D所成的角为45D.直线BC1与平面ABCD所成的角为45【命题意图】本题考查空间中异面直线所成角与线面角的求法,考查空间想象能力与思维能力,考查运算求解能力.【解析】选ABD.如图,连接B1C,BC1,因为DA1B1C,所以直线BC1与B1C所成的角即为直线BC1与DA1所成的角,因为四边形BB1C1C为正方形,则B1CBC1,故直线BC1与DA1所成的角为90,A正确;连接A1C,因为A1B1平面BB1C1C,BC1平面BB1C1C,则A1B1BC1,因为B1CBC1,A1B1

5、B1C=B1,所以BC1平面A1B1C,又A1C平面A1B1C,所以BC1CA1,故B正确;连接A1C1,设A1C1B1D1=O,连接BO,因为BB1平面A1B1C1D1,C1O平面A1B1C1D1,则C1OB1B,因为C1OB1D1,B1D1B1B=B1,所以C1O平面BB1D1D,所以C1BO为直线BC1与平面BB1D1D所成的角,设正方体棱长为1,则C1O=22,BC1=2,sinC1BO=C1OBC1=12,所以直线BC1与平面BB1D1D所成的角为30,故C错误;因为C1C平面ABCD,所以C1BC为直线BC1与平面ABCD所成的角,易得C1BC=45,故D正确.4.(2022全国甲

6、卷文科)小明同学参加综合实践活动,设计了一个封闭的包装盒,包装盒如图所示:底面ABCD是边长为8(单位:cm)的正方形,EAB,FBC,GCD,HDA均为正三角形,且它们所在的平面都与平面ABCD垂直.(1)证明:EF平面ABCD;(2)求该包装盒的容积(不计包装盒材料的厚度).【命题意图】本题主要考查线面平行的判定,空间几何体体积的计算等知识【解析】(1)如图所示:分别取AB,BC的中点M,N,连接MN,EM,FN,因为EAB,FBC为全等的正三角形,所以EMAB,FNBC,EM=FN,又平面EAB平面ABCD,平面EAB平面ABCD=AB,EM平面EAB,所以EM平面ABCD,同理可得FN

7、平面ABCD,根据线面垂直的性质定理可知EMFN,而EM=FN,所以四边形EMNF为平行四边形,所以EFMN,又EF平面ABCD,MN平面ABCD,所以EF平面ABCD;(2)如图所示:分别取AD,DC中点K,L,由(1)知,EFMN且EF=MN,同理有,HEKM,HE=KM,HGKL,HG=KL,GFLN,GF=LN,由平面知识可知,BDMN,MNMK,KM=MN=NL=LK,所以该几何体的体积等于长方体MNLK-EFGH的体积加上四棱锥B-MNFE体积的4倍.因为MN=NL=LK=KM=42 cm,EM=8sin 60=43 cm,点B到平面MNFE的距离即为点B到直线MN的距离d,d=2

8、2 cm,所以该几何体的体积V=42243+413424322=1283+25633=64033(cm3).5.(2022全国乙卷文科T18)如图,四面体ABCD中,ADCD,AD=CD,ADB=BDC,E为AC的中点.(1)证明:平面BED平面ACD;(2)设AB=BD=2,ACB=60,点F在BD上,当AFC的面积最小时,求三棱锥F-ABC的体积.【命题意图】考查全等三角形的判断、等腰三角形的性质、面面垂直的判断、勾股定理、三棱锥的体积以及空间想象能力. 【解析】(1)由于AD=CD,E是AC的中点,所以ACDE.由于AD=CDBD=BDADB=CDB,所以ADBCDB,所以AB=CB,故

9、ACBE,由于DEBE=E,DE,BE平面BED,所以AC平面BED,由于AC平面ACD,所以平面BED平面ACD;(2)依题意AB=BD=BC=2,ACB=60,ABC是等边三角形,所以AC=2,AE=CE=1,BE=3,由于AD=CD,ADCD,所以ACD是等腰直角三角形,所以DE=1.DE2+BE2=BD2,所以DEBE,由于ACBE=E,AC,BE平面ABC,所以DE平面ABC.由于ADBCDB,所以FBA=FBC,由于BF=BFFBA=FBCAB=CB,所以FBAFBC,所以AF=CF,所以EFAC,由于SAFC=12ACEF,所以当EF最短时,AFC的面积最小.过点E作EFBD,垂足为F,在RtBED中,12BEDE=12BDEF,解得EF=32,所以DF=12-322=12,BF=2-DF=32,所以BFBD=34.过点F作FHBE,垂足为H,则FHDE,所以FH平面ABC,且FHDE=BFBD=34,所以FH=34,所以VF-ABC=13SABCFH=13122334=34.