第二章 §2.2　函数的单调性与最值.docx

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1、 2.2函数的单调性与最值考试要求1.借助函数图象，会用数学符号语言表达函数的单调性、最值，理解实际意义.2.掌握函数单调性的简单应用知识梳理1函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间DI，如果x1，x2D当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增当x1f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数yf(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数yf(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做yf(x)的单调区间2函数的

2、最值前提设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)xI，都有f(x)M；(2)x0I，使得f(x0)M(1)xI，都有f(x)M；(2)x0I，使得f(x0)M结论M为最大值M为最小值常用结论1x1，x2D且x1x2，有0(0(0或f(x)0)在公共定义域内与yf(x)，y的单调性相反4复合函数的单调性：函数yf(u)，u(x)在函数yf(x)的定义域上，如果yf(u)与u(x)的单调性相同，那么yf(x)单调递增；如果yf(u)与u(x)的单调性相反，那么yf(x)单调递减思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)若f(x)的定义域为R，且f(3)f(2)，

3、则f(x)为R上的增函数()(2)函数f(x)在(2,3)上单调递增，则函数的单调递增区间为(2,3)()(3)因为yx与yex都是增函数，所以yxex在定义域内为增函数()(4)函数y的单调递减区间是(，0)(0，)()教材改编题1下列函数中，在区间(0,1)上单调递增的是()Ay|x1| By2xCy Dyx2x1答案A2函数y在区间2,3上的最大值是_答案2解析函数y1在2,3上单调递减，当x2时，y取得最大值2.3函数y在(，1)上为增函数，则实数a的取值范围是_答案(，0)题型一确定函数的单调性命题点1求具体函数的单调区间例1(多选)下列函数在(0，)上单调递增的是()Ayexex

4、By|x22x|Cyxcos x Dy答案AC解析yex与yex为R上的增函数，yexex为R上的增函数，故A正确；由y|x22x|的图象知，故B不正确；对于选项C，y1sin x0，yxcos x在R上为增函数，故C正确；y的定义域为(，21，)，故D不正确命题点2判断或证明函数的单调性例2试讨论函数f(x)(a0)在(1,1)上的单调性解方法一设1x1x21，f(x)aa，f(x1)f(x2)aa，由于1x1x20，x110，x210时，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，函数f(x)在(1,1)上单调递减；当a0时，f(x1)f(x2)0，即f(x1)0时，f(x)0，函数f

5、(x)在(1,1)上单调递减；当a0，函数f(x)在(1,1)上单调递增教师备选1设函数f(x)g(x)x2f(x1)，则函数g(x)的单调递减区间是_答案0,1)解析由题意知g(x)该函数的图象如图所示，其单调递减区间是0,1)2已知a0，函数f(x)x(x0)，证明：函数f(x)在(0，上单调递减，在，)上单调递增证明方法一(定义法)设x1x20，f(x1)f(x2)x1x2(x1x2)，x1x20，x1x20，x1x20，当x1，x2(0，时，0x1x2a，x1x2a0，f(x1)f(x2)0，f(x1)a，x1x2a0，f(x1)f(x2)0，f(x1)f(x2)，f(x)在，)上单调

6、递增方法二(导数法)f(x)1(x0)，令f(x)0x2a0x，令f(x)0x2a00x，f(x)在(0，上单调递减，在，)上单调递增思维升华确定函数单调性的四种方法(1)定义法；(2)导数法；(3)图象法；(4)性质法跟踪训练1(1)函数f(x)ln(43xx2)的单调递减区间是()A. B.C. D.答案D解析f(x)ln(43xx2)的定义域为(1,4)令t43xx2，对称轴为x，故单调递增区间为，单调递减区间为，因为yln t为增函数，所以f(x)ln(43xx2)的单调递减区间为.(2)函数f(x)|x2|x的单调递减区间是_答案1,2解析f(x)画出f(x)的大致图象(如图所示)，

7、由图知f(x)的单调递减区间是1,2题型二函数单调性的应用命题点1比较函数值的大小例3(2022成都模拟)已知函数f(x)为R上的偶函数，对任意x1，x2(，0)，均有(x1x2)f(x1)f(x2)0成立，若af(ln)，bf()，cf()，则a，b，c的大小关系是()Acba BacbCabc Dcab答案B解析对任意x1，x2(，0)，均有(x1x2)f(x1)f(x2)0成立，此时函数在区间(，0)上单调递减，f(x)是偶函数，当x(0，)时，f(x)单调递增，又f(x)在x(0，)上单调递增，1，又0ln1，lnf(ln)，即ac3，则a的取值范围是_答案(0,1)解析由f(x)xl

8、og2(x2)知，f(x)在定义域(2，)上是减函数，且f(1)3，由f(a2)3，得f(a2)f(1)，解得0a0成立，则实数a的取值范围是()A4,8) B(4,8)C(1,8 D(1,8)答案A解析函数f(x)满足对任意的实数x1x2都有0，所以函数f(x)是R上的增函数，则由指数函数与一次函数的单调性可知应满足解得4a8，所以实数a的取值范围为4,8)教师备选1(2022嘉峪关模拟)函数f(x)ln(x2ax3)在(1，)上单调递增，则a的取值范围是()A(，2 B(，2)C(，2 D(，2)答案A解析函数f(x)ln(x2ax3)为复合函数，令u(x)x2ax3，yln u为增函数，

9、故只要u(x)x2ax3在(1，)上单调递增即可，只要解得a2.2对于任意实数a，b，定义mina，b设函数f(x)x3，g(x)log2x，则函数h(x)minf(x)，g(x)的最大值是_答案1解析方法一在同一坐标系中，作函数f(x)，g(x)的图象，依题意，h(x)的图象为如图所示的实线部分易知点A(2,1)为图象的最高点，因此h(x)的最大值为h(2)1.方法二依题意，h(x)当02时，h(x)3x单调递减，因此h(x)在x2时取得最大值h(2)1.思维升华(1)比较函数值的大小时，转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决(2)求解函数不等式，由条件脱去“f”，转化为自变量间的

10、大小关系，应注意函数的定义域(3)利用单调性求参数的取值(范围)根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组)或先得到其图象的升降，再结合图象求解对于分段函数，要注意衔接点的取值跟踪训练2(1)(2022天津静海区模拟)已知函数f(x)e|x|，记af(log23)，bf，cf(2.11.2)，则a，b，c的大小关系为()Aabc BcbaCbac Dbc0时，f(x)ex，即函数f(x)在(0，)上单调递增，2log24log23log221，0log322.112.12，2.11.2log23log320，f(2.11.2)f(log23)f(log32)，即f(2.11.2)f(

11、log23)f，则baf(x1)的解集为_答案(0,2)解析依题意f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间0，)上单调递减，所以f(2x1)f(x1)(2x1)2(x1)2，即4x24x1x22x1，即x22xx(x2)0x(0,2)课时精练1下列函数中，在区间(0，)内单调递减的是()Ayx Byx2xCyln xx Dyex答案A解析当x(0，)时，y与yx单调递减，yx在(0，)上单调递减2若函数f(x)，则f(x)的值域为()A(，3 B(2,3)C(2,3 D3，)答案C解析f(x)2，x20，x211，0f(b)f(c)Bf(b)f(a)f(c)Cf(a)f(c)f(b)Df(c)f

12、(a)f(b)答案A解析yex是增函数，yex是减函数，因此在(0，)上yexex单调递增，且此时f(x)0.f(x)x2在x0时单调递增，所以f(x)在R上单调递增clog20.90，blog32，所以0b1，即abc，所以f(a)f(b)f(c)5(多选)已知函数f(x)x(a0)，下列说法正确的是()A当a0时，f(x)在定义域上单调递增B当a4时，f(x)的单调递增区间为(，2)，(2，)C当a4时，f(x)的值域为(，44，)D当a0时，f(x)的值域为R答案BCD解析当a0时，f(x)x，定义域为(，0)(0，)f(x)在(，0)，(0，)上单调递增，故A错误；又x时，f(x)，x

13、0时，f(x)，f(x)的值域为R，故D正确；当a4时，f(x)x，由其图象(图略)可知，B，C正确6(多选)已知函数f(x)则下列结论正确的是()Af(x)在R上为增函数Bf(e)f(2)C若f(x)在(a，a1)上单调递增，则a1或a0D当x1,1时，f(x)的值域为1,2答案BC解析易知f(x)在(，0，(0，)上单调递增，A错误，B正确；若f(x)在(a，a1)上单调递增，则a0或a10，即a1或a0，故C正确；当x1,0时，f(x)1,2，当x(0,1时，f(x)(，2，故x1,1时，f(x)(，2，故D不正确7函数yx22|x|1的单调递增区间为_，单调递减区间为_答案(，1和0,

14、1(1,0)和(1，)解析由于y即y画出函数的图象如图所示，单调递增区间为(，1和0,1，单调递减区间为(1,0)和(1，)8(2022山东师大附中质检)已知函数f(x)e|xa|(a为常数)，若f(x)在区间1，)上单调递增，则实数a的取值范围是_答案(，1解析f(x)当xa时，f(x)单调递增，当x0)，且f(x)在(0,1上的最大值为g(a)，求g(a)的最小值解f(x)ax(a0)，f(x)在(0,1上单调递增，f(x)maxf(1)a，g(a)a2，当且仅当a即a1时取等号，g(a)的最小值为2.10已知函数f(x)a.(1)求f(0)；(2)探究f(x)的单调性，并证明你的结论；(

15、3)若f(x)为奇函数，求满足f(ax)f(2)的x的取值范围解(1)f(0)aa1.(2)f(x)在R上单调递增证明如下：f(x)的定义域为R，任取x1，x2R且x1x2，则f(x1)f(x2)aa，y2x在R上单调递增且x1x2，0，0,10.f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)f(x)在R上单调递增(3)f(x)是奇函数，f(x)f(x)，即aa，解得a1.f(ax)f(2)即为f(x)f(2)，又f(x)在R上单调递增，x2.x的取值范围是(，2)11定义maxa，b，c为a，b，c中的最大值，设Mmax2x,2x3,6x，则M的最小值是()A2 B3 C4 D6答案C解析画

16、出函数Mmax2x,2x3,6x的图象(如图)，由图可知，函数M在A(2,4)处取得最小值22624，故M的最小值为4.12如果几个函数的定义域相同、值域也相同，但解析式不同，称这几个函数为“同域函数”. 函数y的值域为_，则与y是“同域函数”的一个解析式为_答案1,1y2x3，x1,2 或ysin(2x)，x1,2或y3x12，x1,2(答案不唯一)解析因为y，所以x1且x2，所以函数的定义域为1,2显然，函数yf(x)在1,2上单调递增，所以f(x)1,1，所以函数的值域为1,1只要满足定义域为1,2，且值域为1,1的函数均符合题意，例如ysin(2x)，x1,2或y2x3，x1,2或y3

17、x12，x1,213设函数f(x)在区间(2，)上单调递增，那么a的取值范围是_答案1，)解析f(x)a，定义域为x|x2a，所以所以所以a1.14(2022沧州模拟)设函数f(x)x3sin xx，则满足f(x)f(12x)0的x的取值范围是_答案(1，)解析f(x)x3sin xx，f(x)(x)3sin(x)(x)(x3sin xx)f(x)，f(x)为奇函数，又f(x)3x2cos x10，f(x)为R上的增函数，f(x)f(12x)0可化为f(x)f(12x)f(2x1)，x1，满足f(x)f(12x)0)，f(x)x22x，对x11,2，x01,2，使g(x1)f(x0)成立，则a

18、的取值范围是()A. B1,2)C. D.答案C解析若对x11,2，x01,2，使g(x1)f(x0)成立，只需函数yg(x)的值域为函数yf(x)的值域的子集即可函数f(x)x22x(x1)21，x1,2的值域为1,3当a0时，g(x)ax2单调递增，可得其值域为2a,22a，要使2a,22a1,3，需解得00时，f(x)1.(1)求f(0)的值，并证明f(x)在R上是增函数；(2)若f(1)1，解关于x的不等式f(x22x)f(1x)4.解(1)令xy0，得f(0)1.在R上任取x1x2，则x1x20，所以f(x1x2)1.又f(x1)f(x1x2)x2f(x1x2)f(x2)1f(x2)，所以函数f(x)在R上是增函数(2)由f(1)1，得f(2)3，f(3)5.由f(x22x)f(1x)4得f(x2x1)f(3)，因为函数f(x)在R上是增函数，所以x2x13，解得x1，故原不等式的解集为x|x1