第六章 §6.2　等差数列.docx

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1、 6.2等差数列考试要求1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函数、二次函数的关系知识梳理1等差数列的有关概念(1)等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示，定义表达式为anan1d(常数)(n2，nN*)(2)等差中项若三个数a，A，b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且有A.2等差数列的有关公式(1)通项公式：ana1(n1)d.(2)前n项和公式

2、：Snna1d或Sn.3等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：anam(nm)d(n，mN*)(2)若an为等差数列，且klmn(k，l，m，nN*)，则akalaman.(3)若an是等差数列，公差为d，则ak，akm，ak2m，(k，mN*)是公差为md的等差数列(4)数列Sm，S2mSm，S3mS2m，也是等差数列(5)S2n1(2n1)an.(6)等差数列an的前n项和为Sn，为等差数列常用结论1已知数列an的通项公式是anpnq(其中p，q为常数)，则数列an一定是等差数列，且公差为p.2在等差数列an中，a10，d0，则Sn存在最大值；若a10，d0，则Sn存在最小值3等差数列a

3、n的单调性：当d0时，an是递增数列；当d0时，an是递减数列；当d0时，an是常数列4数列an是等差数列SnAn2Bn(A，B为常数)这里公差d2A.思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)等差数列an的单调性是由公差d决定的()(2)若一个数列每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列()(3)数列an为等差数列的充要条件是对任意nN*，都有2an1anan2.()(4)已知数列an的通项公式是anpnq(其中p，q为常数)，则数列an一定是等差数列()教材改编题1已知等差数列an中，a23，前5项和S510，则数列an的公差为()A1 BC2 D4答案A解析

4、设等差数列an的公差为d，S55a310，a3a2d2，又a23，d1.2在等差数列an中，若a3a4a5a6a7450，则a5_.答案903已知an是等差数列，其前n项和为Sn，若a32，且S630，则S9_.答案126解析由已知可得解得S99a1d90366126.题型一等差数列基本量的运算例1(1)(多选)记Sn为等差数列an的前n项和已知S40，a55，则下列选项正确的是()Aa2a30 Ban2n5CSnn(n4) Dd2答案ABC解析S40，a1a4a2a30，A正确；a5a14d5，a1a4a1a13d0，联立得an3(n1)22n5，B正确，D错误；Sn3n2n24n，C正确(

5、2)(2022内蒙古模拟)已知等差数列an中，Sn为其前n项和，S424，S999，则a7等于()A13 B14 C15 D16答案C解析解得则a7a16d15.教师备选1已知等差数列an的前n项和为Sn，若a35，S424，则a9等于()A5 B7C9 D11答案B解析a35，S424，a12d5,4a16d24，解得a19，d2，an112n，a911297.2已知an是公差不为零的等差数列，且a1a10a9，则_.答案解析a1a10a9，a1a19da18d，即a1d，a1a2a9S99a1d27d，a10a19d8d，.思维升华(1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，n

6、，d，an，Sn，知道其中三个就能求出另外两个(简称“知三求二”)(2)确定等差数列的关键是求出两个最基本的量，即首项a1和公差d.跟踪训练1(1)(多选)记Sn为等差数列an的前n项和若a3a624，S648，则下列正确的是()Aa12 Ba12Cd4 Dd4答案AC解析因为所以(2)(2020全国)记Sn为等差数列an的前n项和若a12，a2a62，则S10_.答案25解析设等差数列an的公差为d，则a2a62a16d2.因为a12，所以d1.所以S1010(2)125.题型二等差数列的判定与证明例2(2021全国甲卷)已知数列an的各项均为正数，记Sn为an的前n项和，从下面中选取两个作

7、为条件，证明另外一个成立数列an是等差数列；数列是等差数列；a23a1.注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分解.已知an是等差数列，a23a1.设数列an的公差为d，则a23a1a1d，得d2a1，所以Snna1dn2a1.因为数列an的各项均为正数，所以n，所以(n1)n(常数)，所以数列是等差数列.已知an是等差数列，是等差数列设数列an的公差为d，则Snna1dn2dn.因为数列是等差数列，所以数列的通项公式是关于n的一次函数，则a10，即d2a1，所以a2a1d3a1.已知数列是等差数列，a23a1，所以S1a1，S2a1a24a1.设数列的公差为d，d0，则d，得a1d2

8、，所以(n1)dnd，所以Snn2d2，所以anSnSn1n2d2(n1)2d22d2nd2(n2)，是关于n的一次函数，且a1d2满足上式，所以数列an是等差数列教师备选(2022烟台模拟)已知在数列an中，a11，an2an11(n2，nN*)，记bnlog2(an1)(1)判断bn是否为等差数列，并说明理由；(2)求数列an的通项公式解(1)bn是等差数列，理由如下：b1log2(a11)log221，当n2时，bnbn1log2(an1)log2(an11)log2log21，bn是以1为首项，1为公差的等差数列(2)由(1)知，bn1(n1)1n，an12n，an2n1.思维升华判断

9、数列an是等差数列的常用方法(1)定义法：对任意nN*，an1an是同一常数(2)等差中项法：对任意n2，nN*，满足2anan1an1.(3)通项公式法：对任意nN*，都满足anpnq(p，q为常数)(4)前n项和公式法：对任意nN*，都满足SnAn2Bn(A，B为常数)跟踪训练2已知数列an满足a11，且nan1(n1)an2n22n.(1)求a2，a3；(2)证明数列是等差数列，并求an的通项公式解(1)由题意可得a22a14，则a22a14，又a11，所以a26.由2a33a212，得2a3123a2，所以a315.(2)由已知得2，即2，所以数列是首项为1，公差为d2的等差数列，则1

10、2(n1)2n1，所以an2n2n.题型三等差数列的性质命题点1等差数列项的性质例3(1)已知数列an满足2anan1an1(n2)，a2a4a612，a1a3a59，则a3a4等于()A6 B7C8 D9答案B解析因为2anan1an1，所以an是等差数列，由等差数列性质可得a2a4a63a412，a1a3a53a39，所以a3a4347.(2)(2022宁波模拟)已知等差数列an的前n项和为Sn，且a3a4a5a6a7150，则S9等于()A225 B250C270 D300答案C解析等差数列an的前n项和为Sn，且a3a4a5a6a7150，a3a4a5a6a75a5150，解得a530

11、，S9(a1a9)9a5270.命题点2等差数列前n项和的性质例4(1)已知等差数列an的前n项和为Sn，若S1010，S2060，则S40等于()A110 B150C210 D280答案D解析因为等差数列an的前n项和为Sn，所以S10，S20S10，S30S20，S40S30也成等差数列故(S30S20)S102(S20S10)，所以S30150.又因为(S20S10)(S40S30)2(S30S20)，所以S40280.(2)等差数列an，bn的前n项和分别为Sn，Tn，若对任意正整数n都有，则的值为_答案解析，.教师备选1若等差数列an的前15项和S1530，则2a5a6a10a14等

12、于()A2 B3C4 D5答案A解析S1530，(a1a15)30，a1a154，2a84，a82.2a5a6a10a14a4a6a6a10a14a4a10a14a10a8a10a82.2已知Sn是等差数列an的前n项和，若a12 020，6，则S2 023等于()A2 023 B2 023C4 046 D4 046答案C解析为等差数列，设公差为d，则6d6，d1，首项为2 020，2 020(2 0231)12，S2 0232 02324 046.思维升华(1)项的性质：在等差数列an中，若mnpq(m，n，p，qN*)，则amanapaq.(2)和的性质：在等差数列an中，Sn为其前n项和

13、，则S2nn(a1a2n)n(anan1)S2n1(2n1)an.依次k项和成等差数列，即Sk，S2kSk，S3kS2k，成等差数列跟踪训练3(1)(2021北京)an和bn是两个等差数列，其中(1k5)为常值，若a1288，a596，b1192，则b3等于()A64 B128 C256 D512答案B解析由已知条件可得，则b564，因此，b3128.(2)(2022郴州模拟)已知Sn为等差数列an的前n项和，满足a33a1，a23a11，则数列的前10项和为()A. B55 C. D65答案C解析设等差数列an的公差为d，则所以a11，d1，所以Snn，所以，所以，所以是以1为首项，为公差的

14、等差数列，数列的前10项和T1010.课时精练1(2022芜湖模拟)在等差数列an中，若a3a930，a411，则an的公差为()A2 B2 C3 D3答案B解析设公差为d，因为a3a92a630，所以a615，从而d2.2(2022莆田模拟)已知等差数列an满足a3a6a8a1112，则2a9a11的值为()A3 B3 C12 D12答案B解析由等差中项的性质可得，a3a6a8a114a712，解得a73，a7a112a9，2a9a11a73.3(2022铁岭模拟)中国古代数学名著张邱建算经中有如下问题：今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之(等差数列)，上三人先入，得金四斤，持出；下四人

15、后入，得金三斤，持出；中间三人未到者，亦依等次更给则第一等人(得金最多者)得金斤数是()A. B.C. D.答案A解析由题设知在等差数列an中，a1a2a34，a7a8a9a103.所以3a13d4,4a130d3，解得a1.4(2022山东省实验中学模拟)已知等差数列an的项数为奇数，其中所有奇数项之和为319，所有偶数项之和为290，则该数列的中间项为()A28 B29C30 D31答案B解析设等差数列an共有2n1项，则S奇a1a3a5a2n1，S偶a2a4a6a2n，该数列的中间项为an1，又S奇S偶a1(a3a2)(a5a4)(a2n1a2n)a1ddda1ndan1，所以an1S奇

16、S偶31929029.5(多选)等差数列an的公差为d，前n项和为Sn，当首项a1和d变化时，a3a8a13是一个定值，则下列各数也为定值的有()Aa7 Ba8 CS15 DS16答案BC解析由等差中项的性质可得a3a8a133a8为定值，则a8为定值，S1515a8为定值，但S168不是定值6(多选)已知Sn是等差数列an(nN*)的前n项和，且S8S9S7，则下列结论正确的是()A公差da9D满足Sn0的n的个数为15答案ABC解析S8S9，且S9S8a9，S8S8a9，即a9S7，S8S7a8，S7a8S7，即a80，da9a8S7，S9S7a8a9，S7a8a9S7，即a8a90，又a

17、1a16a8a9，S168(a8a9)0，又a1a152a8，S1515a80，又a1a172a9，且a90，S1717a95时，an0，S150，d0CS6与S7均为Sn的最大值Da80，S150，即a7a80，因为S1515a80，所以a80，所以等差数列an的前7项为正数，从第8项开始为负数，则a10，d0，S7为Sn的最大值13(2020新高考全国)将数列2n1与3n2的公共项从小到大排列得到数列an，则an的前n项和为_答案3n22n解析方法一(观察归纳法)数列2n1的各项为1,3,5,7,9,11,13，；数列3n2的各项为1,4,7,10,13，.观察归纳可知，两个数列的公共项为

18、1,7,13，是首项为1，公差为6的等差数列，则an16(n1)6n5.故前n项和为Sn3n22n.方法二(引入参变量法)令bn2n1，cm3m2，bncm，则2n13m2，即3m2n1，m必为奇数令m2t1，则n3t2(t1,2,3，)atb3t2c2t16t5，即an6n5.以下同方法一14(2022东莞模拟)已知等差数列an的首项a11，公差为d，前n项和为Sn.若SnS8恒成立，则公差d的取值范围是_答案解析根据等差数列an的前n项和Sn满足SnS8恒成立，可知a80且a90，所以17d0且18d0，解得d.15定义向量列a1，a2，a3，an从第二项开始，每一项与它的前一项的差都等于

19、同一个常向量(即坐标都是常数的向量)，即anan1d(n2，且nN*)，其中d为常向量，则称这个向量列an为等差向量列这个常向量叫做等差向量列的公差向量，且向量列an的前n项和Sna1a2an.已知等差向量列an满足a1(1,1)，a2a4(6,10)，则向量列an的前n项和Sn_.答案解析因为向量线性运算的坐标运算，是向量的横坐标、纵坐标分别进行对应的线性运算，则等差数列的性质在等差向量列里面也适用，由等差数列的等差中项的性质知2a3a2a4(6,10)，解得a3(3,5)，则等差向量列an的公差向量为d(1,2)，由等差数列的通项公式可得等差向量列an的通项公式为ana1(n1)d(1,1

20、)(n1)(1,2)(1,1)(n1,2n2)(1n1,12n2)(n，2n1)，由等差数列的前n项和公式，可得等差向量列an的前n项和Sn.16在等差数列an中，a3a44，a5a76.(1)求an的通项公式；(2)设bnan，求数列bn的前10项和，其中x表示不超过x的最大整数，如0.90，2.62.解(1)设数列an的公差为d，由题意得2a15d4，a15d3，解得a11，d，所以an的通项公式为an.(2)由(1)知，bn，当n1,2,3时，12，bn1；当n4,5时，23，bn2；当n6,7,8时，34，bn3；当n9,10时，45，bn4.所以数列bn的前10项和为1322334224.