第四章 §4.8　解三角形及其应用举例.docx

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1、 4.8解三角形及其应用举例考试要求1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.2.能利用正弦定理、余弦定理解决三角形中的最值和范围问题知识梳理测量中的几个有关术语术语名称术语意义图形表示仰角与俯角在目标视线与水平视线(两者在同一铅垂平面内)所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角方位角从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角方位角的范围是0360方向角正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)例：(1)北偏东：(2)南偏西：坡角与坡比坡面与水平面所成的锐二面角叫坡角(

2、为坡角)；坡面的垂直高度与水平长度之比叫坡比(坡度)，即itan 思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)东南方向与南偏东45方向相同()(2)若ABC为锐角三角形且A，则角B的取值范围是.()(3)从A处望B处的仰角为，从B处望A处的俯角为，则，的关系为180.()(4)俯角是铅垂线与目标视线所成的角，其范围为.()教材改编题1为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩A，B(如图)，要测量A，B两点的距离，测量人员在岸边定出基线BC，测得BC50 m，ABC105，BCA45.就可以计算出A，B两点的距离为()A20 m B30 mC40 m D50 m答案D

3、解析由三角形内角和定理，可知BAC180ACBABC30，由正弦定理得AB50.2为测某塔AB的高度，在一幢与塔AB相距30 m的楼的楼顶C处测得塔顶A的仰角为30，测得塔基B的俯角为45，则塔AB的高度为_ m.答案3010解析如图所示，依题意ACE30，ECB45，DB30，所以CE30，BE30，由，得AE10，所以AB(3010) m.3在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知a2，A60，则ABC的面积最大值为_答案解析由余弦定理得a2b2c22bccos A，4b2c2bc，bc4b2c22bc，即bc4(当且仅当bc时取“”)，SABCbcsin Abc，ABC的

4、面积最大值为.题型一解三角形的应用举例命题点1距离问题例1(1)(2022天津模拟)如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75，30，此时气球的高度是60 m，则河流的宽度BC等于()A240(1) m B180(1) mC120(1) m D30(1) m答案C解析从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75，30，气球的高度是60 m，所以ABC105，ACB30，CAB45，所以AB，由正弦定理可得，所以BC120(1)(2)(2022宁德质检)海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被誉为“地球给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上已知最深的海洋蓝洞，若要

5、测量如图所示的海洋蓝洞的口径(即A，B两点间的距离)，现取两点C，D，测得CD80，ADB135，BDCDCA15，ACB120，则图中海洋蓝洞的口径为_答案80解析由已知得，在ADC中，ACD15，ADC150，所以DAC15，由正弦定理得AC40()在BCD中，BDC15，BCD135，所以DBC30，由正弦定理，得BC160sin 1540()在ABC中，由余弦定理得AB21 600(84)1 600(84)21 600()()1 600161 60041 6002032 000，解得AB80，故图中海洋蓝洞的口径为80.命题点2高度问题例2(1)(2022重庆沙坪坝质检)在东京奥运会乒

6、乓球男单颁奖礼上，五星红旗冉冉升起，在坡度15的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60和30，第一排和最后一排的距离为9米(如图所示)，则旗杆的高度为()A9米 B27米C9米 D9米答案B解析依题意可知AEC45，CAE1806015105，ACE1804510530，由正弦定理可知，ACsinAEC18(米)，在RtABC中，BCACsinCAB1827(米)(2)(2022河南豫南九校联盟联考)如图所示，为测量某不可到达的竖直建筑物AB的高度，在此建筑物的同一侧且与此建筑物底部在同一水平面上选择相距10米的C，D两个观测点，并在C，D两点处测得建筑物顶部的仰角分别

7、为45和60，且BDC60，则此建筑物的高度为()A10米 B5米C10米 D5米答案B解析设ABx，则BCx，BDx，在BCD中，由余弦定理可得BC2BD2DC22BDDCcosBDC，即x2x21002x10，整理得x25x1500，解得x5或x10(舍)命题点3角度问题例3(1)(2022合肥检测)两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站北偏东40，灯塔B在观察站南偏东60，则灯塔A在灯塔B的()A北偏东10 B北偏西10C南偏东10 D南偏西10答案B解析由题可知ABC50，A，B，C位置如图，B正确(2)如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山

8、坡的斜度为15，向山顶前进100 m到达B处，又测得C对于山坡的斜度为45，若CD50 m，山坡对于地平面的坡角为，则cos 等于()A. B.2C.1 D.1答案C解析由题知，CAD15，CBD45，所以ACB30，ABC135.在ABC中，由正弦定理得，又AB100 m，所以AC100 m.在ADC中，ADC90，CD50 m，由正弦定理得，所以cos sin(90)1.教师备选1(2022长沙模拟)一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65，那么B，

9、C两点间的距离是()A10海里 B10海里C20海里 D20海里答案A解析如图所示，在ABC中，AB20，CAB30，ACB45，根据正弦定理得，解得BC10(海里)2圣索菲亚教堂(英语：SAINT SOPHIA CATHEDRAL)坐落于中国黑龙江省，是一座始建于1907年拜占庭风格的东正教教堂，距今已有114年的历史，为哈尔滨的标志性建筑.1996年经国务院批准，被列为第四批全国重点文物保护单位，是每一位到哈尔滨旅游的游客拍照打卡的必到景点，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美，可以让游客从任何角度都能领略它的美小明同学为了估算索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座

10、建筑物AB，高为(1515)m，在它们之间的地面上的点M(B，M，D三点共线)处测得楼顶A，教堂顶C的仰角分别是15和60，在楼顶A处测得教堂顶C的仰角为30，则小明估算索菲亚教堂的高度为()A20 m B30 mC20 m D30 m答案D解析由题意知CAM45，AMC105，所以ACM30，在RtABM中，AM，在ACM中，由正弦定理得，所以CM，在RtDCM中，CDCMsin 6030(m)思维升华解三角形的应用问题的要点(1)从实际问题抽象出已知的角度、距离、高度等条件，作为某个三角形的元素；(2)利用正弦、余弦定理解三角形，得实际问题的解跟踪训练1(1)如图所示，为了测量A，B两岛屿

11、的距离，小明在D处观测到A，B分别在D处的北偏西15、北偏东45方向，再往正东方向行驶10海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西60方向，则A，B两岛屿的距离为_海里答案5解析由题意知ADB60，ACB60，ADC105，ACD30，CD10，在ACD中，由正弦定理得，所以AD5，在RtBCD中，BDC45，所以BCD为等腰直角三角形，则BDCD10，在ABD中，由余弦定理可得AB5(海里)(2)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD_ m

12、.答案100解析由题意，在ABC中，BAC30，ABC18075105，故ACB45.又AB600 m，故由正弦定理得，解得BC300 m.在RtBCD中，CDBCtan 30300100(m)题型二解三角形中的最值和范围问题例4(2022辽宁实验中学模拟)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知bsin Cccos Ba.(1)若a2，b，求ABC的面积；(2)若c2，求ABC周长的取值范围解(1)bsin Cccos Ba，sin Bsin Csin Ccos Bsin A，sin Bsin Csin Ccos Bsin(BC)，sin Bsin Csin Ccos Bsin

13、 Bcos Ccos Bsin C，sin Bsin Csin Bcos C，sin B0，sin Ccos C，又易知cos C0，tan C，0C，C.a2，b，C，SABCabsin C2sin 2.(2)在ABC中，c2，C，由余弦定理得4a2b2ab，(ab)243ab32，即(ab)24(ab)2，即(ab)216，0c2，2ab4，4abc6，故ABC周长的取值范围是(4,6延伸探究把本例(2)改为ABC为锐角三角形，若c2，求ABC周长的取值范围解(1)同例题(2)，asin A，bsin B，abcsin Asin B2sin Asin224sin2，ABC为锐角三角形，解得

14、A，A，sin1，220，又因为sin2Bcos2B1，解得cos B.(2)由ac2，可得c2a，由余弦定理，得b2a2c22accos Ba2c2aca2(2a)2a(2a)(a1)2，因为0a2，所以b24，所以b2，所以b的取值范围为.思维升华解三角形中最值(范围)问题的解题策略利用正弦、余弦定理以及面积公式化简整理，构造关于某一个角或某一边的函数或不等式，利用函数的单调性或基本不等式等求最值(范围)跟踪训练2(2022大连模拟)在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b2c2a2bc.(1)求角A的大小；(2)若a，求BC边上的中线AM的最大值解(1)b2c2a2bc，c

15、os A，又A(0，)，A.(2)在ABC中，由余弦定理得a2b2c22bccos Ab2c2bc3，b2c2bc32bc(当且仅当bc时取等号)，bc3.又cos B，在ABC中，()，2(222)(b2c2bc)(2bc3)(233)，AM，即中线AM的最大值为.课时精练1(2022济南模拟)如图，一架飞机从A地飞往B地，两地相距500 km.飞行员为了避开某一区域的雷雨云层，从A点起飞以后，就沿与原来的飞行方向AB成12角的方向飞行，飞行到中途C点，再沿与原来的飞行方向AB成18角的方向继续飞行到终点B点这样飞机的飞行路程比原来的路程500 km大约多飞了(sin 120.21，sin

16、180.31)()A10 km B20 kmC30 km D40 km答案B解析在ABC中，由A12，B18，得C150，由正弦定理得，所以，所以AC310 km，BC210 km，所以ACBCAB20 km.2岳阳楼与湖北武汉黄鹤楼，江西南昌滕王阁并称为“江南三大名楼”，是“中国十大历史文化名楼”之一，世称“天下第一楼”其地处岳阳古城西门城墙之上，紧靠洞庭湖畔，下瞰洞庭，前望君山始建于东汉建安二十年(215年)，历代屡加重修，现存建筑沿袭清光绪六年(1880年)重建时的形制与格局因北宋滕宗谅重修岳阳楼，邀好友范仲淹作岳阳楼记使得岳阳楼著称于世自古有“洞庭天下水，岳阳天下楼”之美誉小李为测量岳

17、阳楼的高度选取了与底部水平的直线AC，如图，测得DAC30，DBC45，AB14米，则岳阳楼的高度CD约为(1.414，1.732)()A18米 B19米C20米 D21米答案B解析在RtADC中，DAC30，则ACCD，在RtBDC中，DBC45，则BCCD，由ACBCAB得CDCD14CD7(1)19.124，CD约为19米3.第6号台风“烟花”于2021年7月25日12时30分前后登陆舟山普陀区如图，A点，正北方向的C市受到台风侵袭，一艘船从A点出发前去实施救援，以24 n mile/h的速度向正北航行，在A处看到S岛在船的北偏东15方向，船航行 h后到达B处，在B处看到S岛在船的北偏东

18、45方向此船从A点到C市航行过程中距离S岛的最近距离为()A9 n mile B9(1)n mileC9(1)n mile D9()n mile答案C解析如图，SEAB，在ASB中，ABS135，AB2418，BAS15，ASB180ABSSAB30，由正弦定理得，所以AS18(n mile)，所以船与S岛的最近距离SESAsinSAB18sin 15189(1)(n mile)4ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2，B2A，则b的取值范围为()A(0,4) B(2,2)C(2,4) D(2，4)答案C解析因为a2，B2A，所以由正弦定理得，得b4cos A，由解得0A，所以

19、cos A1，所以24cos A4，所以2b0，0，c0，0，c，c，边长c可能的取值是2，.7九章算术“勾股”章有一题：“今有二人同立甲行率七，乙行率三，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何？”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为7步/秒，乙的速度为3步/秒，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东某方向走了一段后与乙相遇，则甲、乙共走了_步答案35解析由题意，得到示意图如图所示，甲、乙从A点出发，甲走到B处后，又斜向北偏东某方向走了一段后与乙相遇，即在C点相遇，假设甲、乙相遇时经过时间为t秒，每步走a米，则AC3ta，AB10a，BC(7t10)a，在R

20、tABC中，AC2AB2BC2，即(3ta)2(10a)2(7t10)a2，解得t，故甲走了7t24.5步，乙走了3t10.5步故共走了24.510.535步8ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若sin Asin Bcos C2sin2C，则_，sin C的最大值为_答案5解析sin Asin Bcos C2sin2C，利用正弦定理可得abcos C2c2，又cos C，2c2 ，整理可得5.cos C，当且仅当ab时等号成立，sin C的最大值为，当且仅当ab时等号成立9已知函数f(x)2sin xcos x2cos2xm，且函数f(x)的最大值为3.(1)求m的值；(2)已知A

21、BC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若f(B)0，b2，求ABC面积的最大值解(1)因为f(x)2sin xcos x2cos2xmsin 2x2msin 2xcos 2xm12sinm1，所以f(x)maxm13，解得m2.(2)因为f(B)2sin10，可得sin，因为0B，则2B，所以2B，可得B，由余弦定理可得4b2a2c22accos Ba2c2ac2acac3ac，即ac，当且仅当ac时，等号成立，因此SABCacsin Bac，即ABC面积的最大值为.10(2022江苏前黄高级中学质检)记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.请在下列三个条件中任选一个作为已知条件

22、，解答问题(ac)sin Acsin(AB)bsin B；2S(其中S为ABC的面积)；acsin Bbcos C.(1)若b4，ac3，求ac的值；(2)若ABC为锐角三角形，且c2，求a的取值范围解选择(ac)sin Acsin(AB)bsin B，由正弦定理得(ac)ac2b2，所以cos B，B(0，)，则B；选择2S，则acsin Bcacos B，所以tan B，又B(0，)，则B；选择acsin Bbcos C，由正弦定理得sin Asin Csin Bsin Bcos C，又因为sin Asin(BC)sin Bcos Ccos Bsin C，所以cos Bsin Csin C

23、sin B0，则tan B，又B(0，)，则B，故选择均得到B.(1)若b4，ac3，由余弦定理得b2a2c22accos B，即16a2c22accos (ac)23ac，所以ac5.(2)由ABC为锐角三角形及B，得AC且C，所以C，由正弦定理得，所以a1.因为C，所以tan C，所以(0，)，所以1(1,4)，即所求a的取值范围是(1,4)11.(2022大庆模拟)小李在某大学测绘专业学习，节日回家，来到村头的一个池塘(如图阴影部分)，为了测量该池塘两侧C，D两点间的距离，除了观测点C，D外，他又选了两个观测点P1，P2，且P1P2a，已经测得两个角P1P2D，P2P1D，由于条件不足，

24、需要再观测新的角，则利用已知观测数据和下面三组新观测的角的其中一组，就可以求出C，D间距离的是()DP1C和DCP1；P1P2C和P1CP2；P1DC和DCP1.A和 B和C和 D和和答案D解析根据题意，P1P2D的三个角和三个边，由正弦定理均可以求出，中，故CD，故可以求出CD；与条件等价中，在P1P2C中，故P1C，在P1CD中，利用余弦定理求解CD即可12要测量电视塔AB的高度，在C点测得塔顶的仰角是45，在D点测得塔顶的仰角是30，并测得水平面上的BCD120，CD40 m，则电视塔的高度是()A30 m B40 mC40 m D40 m答案D解析由题意，设ABx，由于AB平面BCD，

25、BC，BD平面BCD，ABBC，ABBD，由题意可得ACB45，ADB30，在RtABC中，tan ACB，BCx，同理可得BDx，在BCD中，BCD120，CD40，根据余弦定理得BD2BC2CD22BCCDcosDCB，即(x)2402x2240xcos 120，整理得x220x8000，解得x40 或x20 (舍)，即所求电视塔的高度为40 m.13(2022长春模拟)在气象台正西方向300 km处有一台风中心，它正向东北方向移动，移动速度的大小为40 km/h，距台风中心250 km以内的地区都将受到影响，若台风中心的这种移动趋势不变，大约_小时后气象台所在地开始受到影响(参考数据：1

26、.4，2.6)答案2解析设气象台所在地为O，台风中心为A，约t小时后气象台所在地将受到影响，t小时后台风中心移动至B处，BAO45，在OAB中，AB40t，OA300，OB250，由余弦定理得2502(40t)23002230040t，整理得16t2120t2750，解得t1，t2，依题意保留t12，故约2小时后影响气象台所在地14.如图，ABC为等腰直角三角形，A，点D是ABC外一点，且DB2，DC1，则四边形ABDC的面积的最大值为_答案解析设BDC，则(0，)，SBDCDBDCsin sin ，在BDC中，由余弦定理得BC2DB2DC22DBDCcos 54cos ，又SABCBCBCB

27、C2cos ，S四边形ABDCcos sin sin，(0，)，当，即时，S四边形ABDC的最大值为.15在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若ccos Aacos C2，AC边上的高为，则ABC的最大值为()A. B. C. D.答案B解析ccos Aacos C2，由余弦定理可得ca2，整理可得b2，又AC边上的高为，2acsin B，即ac，cos B1，当且仅当ac时取等号，cos B1sin B，即sin B3cos B3，即sin，B(0，)，B，则B，B，故ABC的最大值为.16.如图所示，经过村庄A有两条夹角为60的公路AB，AC，根据规划拟在两条公路之间的区域建

28、一工厂P，分别在两条公路边上建两个仓库M，N(异于村庄A)，要求PMPNMN2(单位：千米)如何设计，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远)?解设AMN，在AMN中，.因为MN2，所以AMsin(120)在APM中，cosAMPcos(60)AP2AM2MP22AMMPcosAMPsin2(120)422sin(120)cos(60)sin2(60)sin(60)cos(60)41cos(2120)sin(2120)4sin(2120)cos(2120)sin(2150)，0120.当且仅当2150270，即60时，AP2取得最大值12，即AP取得最大值2.所以设计AMN60时，工厂产生的噪声对居民的影响最小