湖南省永州市2024届高三上学期第一次模拟考试数学试卷含答案.pdf

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1、永州市 2024 年高考第一次模拟考试数学 第 1 页（共 5 页）永州市 2024 年高考第一次模拟考试数 学注意事项：1全卷满分 150 分，时量 120 分钟2全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效3考试结束后，只交答题卡一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知集合24AxNyx，集合20Bx xx，则BAA12xxB01xxC0,1,2D1,22复数z满足51izi，则z在复平面内对应的点位于A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3已知向量)2,1(a，)1,3(b，)1,(xc，且cba)2(，则x

2、A2B1C0D-14“函数()af xx在0,上单调递减”是“函数4()(1)g xxax是偶函数”的A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件5在平面直角坐标系中，过直线230 xy上一点 P 作圆 O：2221xxy的两条切线，切点分别为 A、B，则sinAPB的最大值为A2 65B2 55C65D556已知椭圆 C:22221(0)xyabab的左、右焦点分别是1F，2F，点 P 是椭圆 C 上位于第一象限的一点，且2PF与y轴平行，直线1PF与 C 的另一个交点为 Q，若QFPF1152，则 C 的离心率为A217B3311C77D21117若数列 na的前 n

3、项和为nS，221(,0)nnnnS aanNa，则下列结论正确的是A202220231aaB20232023aC20232022SD191111100321SSSS永州市 2024 年高考第一次模拟考试数学 第 2 页（共 5 页）8已知函数()3cos()f xx(0)，若()34f，0)2(f，在区间(,)36上没有零点，则的取值共有A4 个B5 个C6 个D7 个二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2 分.9下列关于概率统计说法中正确的是A两个变量x，y的相关系

4、数为r，则r越小，x与之间的相关性越弱B设随机变量(2,1)N:，若(3)pp，则1(12)2ppC在回归分析中，2R为0.89的模型比2R为0.98的模型拟合得更好D某人解答 10 个问题，答对题数为X，(10,0.8)XB，则()8E X 10对数的发明是数学史上的重大事件我们知道，任何一个正实数 N 可以表示成10nNa(110,)anZ的形式，两边取常用对数，则有lglgNna，现给出部分常用对数值（如下表），下列结论正确的是真数 x2345678910lg x（近似值）0.3010.4770.6020.6990.7780.8450.9030.9541.000真数 x111213141

5、516171819lg x（近似值）1.0411.0791.1141.1461.1761.2041.2301.2551.279A105在区间内B是 15 位数C若，则 m=-43 D若30()mmN是一个 35 位正整数，则11菱形ABCD的边长为a，且60BAD，将ABD沿BD向上翻折得到PBD，使二面角PBDC的余弦值为13，连接PC，球 O 与三棱锥PBCD的 6 条棱都相切，下列结论正确的是A平面BCD B球 O 的表面积为22 aC球 O 被三棱锥PBCD表面截得的截面周长为4 33aD过点 O 与直线PB，CD所成角均为4的直线可作 4 条12已知函数()f x与()g x的定义域

6、均为 R，1(2)3f xg x，(1)()1f xgx，且(1)2g，(1)g x 为偶函数，下列结论正确的是A4 为()f x的一个周期 B(3)1g C20231()4045kf kD20231()2023kg ky67(10,10)50350710ma14mPO 永州市 2024 年高考第一次模拟考试数学 第 3 页（共 5 页）三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13为全面推进乡村振兴，永州市举办了“村晚兴乡村”活动，晚会有走，去永州 扬鞭催马运粮忙数幸福乡村振兴唱起来四个节目，若要对这四个节目进行排序，要求数幸福与乡村振兴唱起来相邻，则不同的排列种数为（用数

7、字作答）14在平行六面体1111ABCDABC D中，aDA，bDC，cDD 1，P 为1DD的中点，过PB的平面分别与棱1AA，1CC交于点 E，F，且，则 EFBP（用a，b，c表示）15若函数，当0,x时，()0f x，则实数t的取值范围16已知点)32,(aN）（0a在抛物线2:202C ypxpa上，F 为抛物线 C 的焦点，圆 N 与直线2px 相交于 A、B 两点，与线段 NF 相交于点 R，且2 5ABRF若 R是线段 NF 上靠近 F 的四等分点，则抛物线 C 的方程为四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17 已知数列 na是公

8、比1q 的等比数列，前三项和为 39，且1a，26a，3a成等差数列.(1)求数列 na的通项公式；(2)设3213211loglognnnbaa()nN，求 nb的前n项和nT18在ABC中，设 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且满足coscoscAaCab(1)求角 C；(2)若5c，ABC的内切圆半径，求ABC的面积19如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，侧面PAD为正三角形，且24ADAB，、分别为PD、BC的中点，在线段PC上，且(1)求证：MN/平面PAB；(2)当AMPC时，求平面AMN与平面HMN的夹角的余弦值AECF2()ln2txetxf xxx34

9、r MNH3PCPH永州市 2024 年高考第一次模拟考试数学 第 4 页（共 5 页）20某企业为提高竞争力，成功研发了三种新品 A、B、C，其中 A、B、C 能通过行业标准检测的概率分别为45，67，910，且 A、B、C 是否通过行业标准检测相互独立(1)设新品 A、B、C 通过行业标准检测的品种数为 X，求 X 的分布列；(2)已知新品 A 中的一件产品经检测认定为优质产品的概率为0.025，现从足量的新品A 中任意抽取一件进行检测，若取到的不是优质产品，则继续抽取下一件，直至取到优质产品为止，但抽取的总次数不超过n 如果抽取次数的期望值不超过 5，求n的最大值参考数据：，60.975

10、0.859，70.9750.838，80.9750.81721已知点为圆 C：222 1060 xyx上任意一点，点B的坐标为，线段AB的垂直平分线与直线AC交于点D(1)求点D的轨迹E的方程；(2)设轨迹c与 x 轴分别交于1A、2A两点（在的左侧），过的直线l与轨迹 E 交于M、N两点，直线1AM与直线2A N的交于 P，证明：P 在定直线上22已知函数()ln(1)f xx，()2ln3ln23xg xaxea(1)当(1,0)(0,)x U时，求证：()112f xxx；(2)若时，()()g xf x，求实数 a 的取值范围40.9750.90450.9750.881A(10,0)1

11、A2A(3,0)R(1,)x 永州市 2024 年高考第一次模拟考试 数学参考答案及评分标准 第 1 页（共 10 页）永州市 2024 年高考第一次模拟考试 数学参考答案及评分标准一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D D C B A B D B 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2 分 题号 9 10 11 12 答案 BD ACD AC ACD

12、三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.1312 14122ac151(,)e 1624yx部分小题提示解析：7 先求出nSn，则1nann，可以判断出A、B、C均错 对D：当2n 时，11222(1)21nnnSnnnn 所以1210011112(21)2(32)2(10099)=19SSS 8 由()34f是()f x的最大值()f x在()f x区间(,)36上没有零点 设()f x的周期为T 则()()4364124T 化简得3T，即23 所以6当1()()244kT，即3()41TkNk永州市 2024 年高考第一次模拟考试

13、 数学参考答案及评分标准 第 2 页（共 10 页）则2341k，即823k 所以8263k，则0,1,2k 当3()()244kT，即3()43TkNk 则2343k，即863k 所以8663k，则0,1k 综上，的取值共有5种 11先根据已知条件求出三棱锥PBCD是棱长为a的正四面体，然后将此正四面体放置于棱长为22a的正方体中，则正四面体的棱即为正方体的面对角线，那么直线PO为体对角线所在的直线，易证PO 平面BCD，故 A 正确 由上易知球 O 的半径为24a,所以球 O 的表面积为212a，故 B 错 球 O 被平面BCD截得的截面圆即为正三角形BCD的内切圆，其半径为36a，所以一

14、个截面圆的周长为33a，则球 O 被三棱锥PBCD表面截得的截面周长为4 33a，故 C 正确 因为PB与CD垂直，所以过点O与直线PB，CD所成角均为4的直线可作2 条，故D 错 12由(1)g x 为偶函数，则(1)(1)gxg x，即()(2)gxg x由1(2)3(1)()1f xg xf xgx，可得1()3(1)()1f xgxf xgx两式相加得：(1)(1)4f xf x，则(2)()4(4)(2)4f xf xf xf x两式相减得：(4)()f xf x，故()f x的周期为4，故A正确 同理可得，()g x的周期为4 所以(3)(1)2gg，故B错误 由上式可知(1)(2

15、)(3)(4)8ffff 又(2)(1)3fg，则(2)1f 所以20231()505 8(1)(2)(3)4045kf kfff，故C正确(1)(2)(3)(4)(1)(2)(3)(4)44ggggffff 所以20231()5054(1)(2)(3)kg kggg2022(2)2023g，故D正确 永州市 2024 年高考第一次模拟考试 数学参考答案及评分标准 第 3 页（共 10 页）15由(2)()ln02txetxf xxxxxneetxtxln)2(l)2(令xxxhln)2()(，即)()(xhehtx 可证xxxhln)2()(在），（0单调递增，从而只需txex，即得lnxt

16、x故只需maxln1()xtxe16取 AB 的中点 G，连接 NG，因为02pa则2pNGa，因为 R 是线段 NF 上靠近 F 的四分点，所以4NFRF，且2pNFa，所以3()42pNANRa，又2 5ABRF，所以555()442pGARFNFa在 RtAGN中，222NAGNGA故222)2(169)2()2(165papapa，解得32ap又点)32,(aN）（0a在抛物线2:202C ypxpa上 从而6pa 可求得2p，故抛物线 C 的方程24yx 四、解答题：本大题共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17解析：（1）由题意可得：13226aaa则123222

17、639aaaaa .1分 解得29a .2分 可得2121319130aa qaaaq.3 分 永州市 2024 年高考第一次模拟考试 数学参考答案及评分标准 第 4 页（共 10 页）解得133aq或12713aq（舍去）.4 分 故13 33nnna.5 分（2）由第（1）问，3nna 213213loglog 321nnan.6 分 213213loglog 321nnan.7 分 2313211loglognnnbaa1(21)(21)1112 2121nnnn.8 分 11111111111+33552321212271nTnnnn .9 分 111=22121nnn.10 分 18

18、解析：（1）由已知coscoscAaCab 根据正弦定理可得，sincossincossinsinCAACAB.1 分 又()BAC 则sincossincossinsin()CAACAAC.2分 sincossincossinsincoscossinCAACAACAC.3 分 2sincossinACA.4 分 1cos2C .5 分 故23C.6 分（2）由余弦定理得：2225abab，.7 分 由三角形面积公式，11sin22abcrabC，.8 分 即25abab，.9 分 则222242025abababab，所以225242025abababab，.10 分 永州市 2024 年高

19、考第一次模拟考试 数学参考答案及评分标准 第 5 页（共 10 页）解得214ab，.11分 所以211321 324216ABCS.12 分 19解析：（1）取AP中点为E，连接EMEB，,在PAD中，M为PD的中点，E为AP中点.1 分 1/,2EMAD EMAD .2 分 在矩形ABCD中，N为BC的中点 1/,2BNAD BNAD .3 分/,BNME BNME四边形BNME为平行四边形 .4 分/MNBE 又MN 平面PAB，BE 平面PAB/MN平面PAB.5 分（2）在正三角形PAD中，M为PD的中点 AMPD 当AMPC时,PCPDP PC平面PDC，PD 平面PDCAM平面P

20、DC.6 分 又CD平面 PCD AMDC 在正方形 ABCD 中，ADDC 又,AMADA AM平面PAD，AD 平面PADDC平面 PAD.7 分 平面 ABCD平面PAD取AD的中点 O,连接 PO,PAPDPOADPO平面 ABCD 建立如图所示空间直角坐标系 则0,2,0A，0,1,3M，2,0,0N，2 2 4 3,3 33H.8 分 永州市 2024 年高考第一次模拟考试 数学参考答案及评分标准 第 6 页（共 10 页）=0,3,3AM，=2,1,3MN，424 3,333HN.9 分 设平面AMN的法向量为111,nx y z由 11133020n AMyzn MNxy，令1

21、1y ，则1,1,3n.10 分 设平面HMN的法向量为222,mxy z由222222424 3033320m HNxyzm MNxy，令21x，则1,2,0m.11 分 11cos555m nm nm n平面AMN与平面HMN夹角的余弦值是15.12 分 20解析：（1）由已知 X 的取值可为 0,1,2,3.1 分 4691(0)(1)(1)(1)5710350P X.2 分46946946919(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)571057105710350P X.3 分 46946946957(2)(1)(1)(1)571057105710175P X.4 分 469108(

22、3)5710175P X .5 分 所以 X 得分布列为 .6 分（2）已知任意抽取一件新品 A 为优质产品的概率0.025p，设抽取次数为，则的分布列如下：X 0 1 2 3 P 13501935057175108175永州市 2024 年高考第一次模拟考试 数学参考答案及评分标准 第 7 页（共 10 页）1 2 3 1nn P p 1p p21pp21npp11np.7 分 故221()+(1)2(1)3+(1)(1)+(1)nnEpp pppppnpn，.8 分 又21(1)()(1)(1)2(1)(1)(1)nnpEp pppppnpn，两式相减得：221()(1)(1)(1)(1)

23、nnpEpp ppppppp，.9 分 221()1(1)(1)(1)(1)nnEpppp 1(1)1(1)1(1)nnpppp 1 0.9750.025n.10 分 而1 0.975()0.025nE在*nN时递增，结合50.9750.881，60.9750.859，70.9750.838，80.9750.817，可知：当4n时，()3.85E，当5n 时，()4.76E；当6n时，()5.64E；当7n时，()6.48E；.11 分 如果抽取次数的期望值不超过 5，所以 n的最大值为 5.12 分 21解析：（1）由圆 C：222 1060 xyx，得221016xy（）.1 分 所以圆

24、C 的圆心是)0,10(C半径为 4.2 分 因为线段AB的垂直平分线l与直线AC交于点D所以DADB.3 分 又CDDAAC4,42 10DCDBBC故点 D 的轨迹E是以 B、C 两点为焦点，长轴为 4 的双曲线 .4 分 从而6,10,4222bca故轨迹 E 的方程为：22146xy.5 分（2）证明：若直线l与x轴重合 则直线l与双曲线E的交点为双曲线E的两个顶点，不合题意.6 分 故可设直线l的方程为3xty，设点11,M x y、22,N xy永州市 2024 年高考第一次模拟考试 数学参考答案及评分标准 第 8 页（共 10 页）联立223146xtyxy，可得22321815

25、0tyty.7 分 由题意有：22 2223201860 321441200tttt由韦达定理可得1221832tyyt，1221532y yt.8 分 又由题意可知12,0A、22,0A，从而1111125A Myykxty，所以直线1AM的方程为11(2)5yyxty .9 分 同理，直线2A N的方程为2221yyxty联立直线1AM、2A N的方程并消去y可得12122251yyxxtyty.10 分 所以122122121121518552323215232ttyty yyxtttxty yyyt12127553251532tyttyt.11 分 即252xx，解得43x 故直线1A

26、E与直线2A F的交点P在定直线43x 上，从而命题得证 .12 分 22解析：（1）当(0,)x时，原不等式可化为：2ln(1)2xxx.1 分 令2()ln(1)2xg xxx，则21()1011xg xxxx.2 分 所以)(xg在),0(上单调递增，从而有0)0()(gxg，故原不等式成立.3 分 当(1,0)x 时，原不等式等价于()0g x，又2()01xg xx所以()g x在(1,0)上单调递增，从而有()(0)0g xg，永州市 2024 年高考第一次模拟考试 数学参考答案及评分标准 第 9 页（共 10 页）故原不等式成立.综上所述：当1,0(0,)x（），恒有ln(1)1

27、2xxx .4 分（2）由()g x表达式可知0a，()()g xf x对(1,)x 恒成立等价于 ln(1)2ln3ln23xaxexa对(1,)x 恒成立 .5 分 令()ln(1)xh xaxex，从而1()1xxh xa xeex（令()()xh x，因为21()(2)0(1)xxa xex故()h x在(1,)x 时，单调递增.6 分 又1x 时，()h x，又x 时，()h x 从而存在唯一0(1,)x ，使得0()0h x，即00001)01xxa x eex（，可得00001)1xax exx（），00ln2ln(1)axx .7 分 当0(1,)xx 时，()0h x，()h

28、 x在0(1,)xx 单调递减，当0()xx，时，()0h x，()h x在0()xx，单调递增，故0000()()ln(1)xh xh xax ex故原不等式恒成立只需 00000020ln(1)2 2ln(1)3ln231xxxexxxxe（）.8 分 即000203ln(1)23ln2301xxxx（）构造函数2()3ln(1)23ln231xF xxxx（）.9 分 从而23313354()22111xxxF xxxx（）（）1x （）当1x时，令453)(2xxxu，因为2548230 从而可得()0F x在),1(x时恒成立 .10 分 又1()02F，故0)(xF的解集为1,)2又因为00ln2ln(1)axx，令()2ln(1)m xxx，因为)(xm在定义域内单调递增.11 分 永州市 2024 年高考第一次模拟考试 数学参考答案及评分标准 第 10 页（共 10 页）所以111ln2ln(1)ln4222a ，所以1ln424aee，故a的取值范围(0,4e.12 分