华科附中2024届高三(上)数学周测训练（5）含答案.pdf

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1、 华科附中 2024 届高三（上）数学周测训练（5）一一、单项选择题：本题共、单项选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1若集合2|2Mxx=，若对任意的()1,x+，不等式2ln2e0mxxm恒成立，则实数 m 的最小值为（）A12 B12e C1 D1e 8已知O为坐标原点，双曲线C：()2222100 xyabab=，的右焦点为F，过点F且与x轴垂直的直线与双曲线C的一条渐近线交于点A（点A在第一象限），点B在双曲线C的渐近线上，且BFOA，若0A

2、B OB=，则双曲线C的离心率为（）A2 33 B2 C3 D2 二二、选择题：本题共、选择题：本题共 4小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0分分 9下列选项中，不正确的是（）A对于任何两个集合，()()ABAB恒成立；B“对于2x，2320 xx+”的否定是“2x，2320 xx+的部分图象如图所示，有以下变换：向左平移2个单位长度；向左平移56个单位长度；各点的横坐标变为原来的12倍；各点的横坐

3、标变为原来的35倍，则使函数2sinyx=的图象变为函数 f(x)的图象的变换次序可以是（）A B C D 11曲率半经是用来描述曲线上某点处曲线弯曲变化程度的量，已知对于曲线()2222100 xyabab+=，上点()00P xy，处的曲率半径公式为3222220044xyRa bab=+，则下列说法正确的是（）A对于半径为R的圆，其圆上任一点的曲率半径均为R B椭圆()2222100 xyabab+=，上一点处的曲率半径的最大值为a C椭圆()2222100 xyabab+=，上一点处的曲率半径的最小值为2ba D对于椭圆()22211xyaa+=上一点012y，处的曲率半径随着a的增大

4、而减小 12已知函数()()()220,e(0)xf xxxg xaa=+=，点,P Q分別在函数()yf x=的()yg x=的图像上，O为坐标原点，则下列命题正确的是（）A若关于x的方程()()0f xg x=在0,1上无解，则3ea；B存在,P Q关于直线yx=对称；C若存在,P Q关于y轴对称，则02a；D若存在,P Q满足90POQ=，则102 2ea名热心参与问卷的顾客,此平台决定在直播中专门为他们设置两次抽奖活迹次抽奖都是由系统独立、随机地从这N名顾客中抽取 20 名顾客,抽中顾客会有礼品赠送,若直拱时这N名顾客都在线,记两次抽中的顾客总人数为X(不重复计数).（1）若甲是这N名

5、顾客中的一人,且甲被抽中的概率为925,求N;（2）求使(30)P X=取得最大值时的整数N.21已知()2,0A，()0,1B是椭圆()2222:10 xyEabab+=的两个顶点（1）求椭圆E的标准方程；（2）过点()2,1P的直线l与椭圆E交于C，D两点，与直线AB交于点M，求PMPMPCPD+的值 22.已知函数()=21 2(+12)（1）若 a0，证明：()22 3；（2）设 g（x）xf（x）+2，若x1，(1)(1)恒成立，求实数 a 的取值范围 华科附中 2024 届高三（上）数学周测训练（5）一一、单项选择题：本题共、单项选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分

6、，共分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1若集合2|2Mxx=，2|230Nt tt=，则MN=（）A(1,2 B1,2 C)1,2 D C 【详解】因为集合2|2|22Mxxxx=0，且max=，则当=2时，截面的最大值为272.故选：C.7设实数0m，若对任意的()1,x+，不等式2ln2e0mxxm恒成立，则实数 m 的最小值为（）A12 B12e C1 D1e B 【详解】因为0m，不等式2ln2e0mxxm成立，即22 elnmxmx，进而转化为2ln2elnelnmxxmxxxx=恒成立，构造函

7、数()exg xx=，可得()()ee1 exxxgxxx=+=+，当0 x，()0gx，()g x单调递增，则不等式2ln2eelnmxxmxx恒成立等价于()()2lngmxgx恒成立，即2lnmxx恒成立，即ln2xmx恒成立，设()ln xh xx=，可得()21 ln xh xx=，当0ex，()h x单调递增；当ex 时，()0h x，2320 xx+”的否定是“2x，2320 xx+，2320 xx+”的否定是“2x，2320 xx+的部分图象如图所示，有以下变换：向左平移2个单位长度；向左平移56个单位长度；各点的横坐标变为原来的12倍；各点的横坐标变为原来的35倍，则使函数2

8、sinyx=的图象变为函数 f(x)的图象的变换次序可以是（）A B C D BD 【详解】由图象可得()02sin1f=，故1sin2=，又()0,2，故6=或56，又因为0，结合图象可得2，上点()00P xy，处的曲率半径公式为3222220044xyRa bab=+，则下列说法正确的是（）A对于半径为R的圆，其圆上任一点的曲率半径均为R B椭圆()2222100 xyabab+=，上一点处的曲率半径的最大值为a C椭圆()2222100 xyabab+=，上一点处的曲率半径的最小值为2ba D对于椭圆()22211xyaa+=上一点012y，处的曲率半径随着a的增大而减小 AC 【详解

9、】分析：曲线与方程、椭圆的性质及几何意义、利用导数研究函数的单调性 解析：对于A、圆的位置不影响曲率半径，设半径为r的圆222xyr+=，则3322222440044xyRrRRRRR+=，故 A 正确；对于B、32322222222000442222111xyyRa ba bababba=+=+，22110ba，R随着20y增大而增大，220maxyb=，此时200 x=，322222max4baRa bbb=，故 B错误；对于C、20min0y=，此时322222220min4abxaRa baa=，故 C正确；对于D、2222xy aa+=，1b=，3333422222223044242

10、111111144444Rayaaaaaaa=+=+=+33484222333342111114444aaaaaa=+=+，令()8423331144f aaaa=+，1a，()()11151142333324118403366faaaaaaa=+=，当1a 时，R随着a的增大而增大，故 D 错误故选 AC 12已知函数()()()220,e(0)xf xxxg xaa=+=，点,P Q分別在函数()yf x=的()yg x=的图像上，O为坐标原点，则下列命题正确的是（）A若关于x的方程()()0f xg x=在0,1上无解，则3ea；B存在,P Q关于直线yx=对称；C若存在,P Q关于y轴

11、对称，则02a；D若存在,P Q满足90POQ=，则102 2ea，对于 A，方程()()20(2e)0 xf xg xhxax=+在0,1上有解，显然函数()h x在0,1上单调递增，则有1(0)20(1)3e0haha=，解得23ea，因此关于x的方程()()0f xg x=在0,1上无解，则02a，A 错误；对于 B，设点(,e)tQ t a，依题意，点 Q 关于直线yx=对称点(e,)tat在函数()22f xx=+的图象上，即关于 t的方程222etta=+有解，即222(e)tat=有解，此时2t，令函数222()(e),tttt=，23()(2e)0ttt=，即函数()t在(2,

12、)+上单调递增，()(2)0t=，而函数2,e2ttyy=在(2,)+上都单调递增，它们的取值集合分别为4(0,),(e,)+，因此函数()t的值域为(0,)+，又20a，于是222(e)tat=在(2,)+有解，所以存在,P Q关于直线yx=对称，B 正确；对于 C，设点2(,2),0P u uu+，则点 P 关于 y轴对称点2(,2)u u+在函数()e(0)xg xaa=的图象上，即222ee2uuauua+=+=，令2e2(),0uuF uu+=，2222(1)1()e0euuuuuF u+=，因此02a，1()exxG x=，当01x，函数()G x单调递增，当1x 时，()0G x

13、，函数()G x单调递减，因此max1()(1)eG xG=，即有10()eG x，2210eexx，而1122111022 22 2xxxx=+，当且仅当22x=时取等号，所以21221e0122 2exxxx+，即102 2ea，sin3sin02CC=，2sincos3sin0222CCC=，又sin02C，3cos22C=，26C=，3C=；（2）设AB边上的高为h，则1322ABCSc hh=且13sin24ABCSabCab=，3324hab=，12hab=由正弦定理得2sinaA=，2sinbB=，又23ABC+=1122sin2sin2sinsin2sinsin223habAB

14、ABAA=231 cos213sincossinsin2sin 22262AAAAAA=+=+=+，为锐角三角形，022032AA ，解得：62A，52666A，312h名热心参与问卷的顾客,此平台决定在直播中专门为他们设置两次抽奖活 迹次抽奖都是由系统独立、随机地从这N名顾客中抽取 20 名顾客,抽中顾客会有礼品赠送,若直拱时这N名顾客都在线,记两次抽中的顾客总人数为X(不重复计数).（1）若甲是这N名顾客中的一人,且甲被抽中的概率为925,求N;（2）求使(30)P X=取得最大值时的整数N.【详解】（1）记A=“甲被抽中”,iA=“第i次被抽中”(1,2)i=,则()2020111220

15、20202016(),25NNNNCCNNP AP A ACCNN=解得：100N=（2）由于201010101020202020202020(30)NNNNNNC CCCCP XC CC=，记102020()NNCf NC=,即求()f N在何时取到最大值，下面讨论()f N的单调性：1020192010120(19)!(1)(19)(19)10!(29)!20!(20)!1(1)!()(1)(29)20!(19)!10!(30)!NNNNNNCCf NNNNNNf NCCNNNN+=+解得39N，所以，当39N=或 40 时,(30)P X=取到最大值.21已知()2,0A，()0,1B是

16、椭圆()2222:10 xyEabab+=的两个顶点（1）求椭圆E的标准方程；（2）过点()2,1P的直线l与椭圆E交于C，D两点，与直线AB交于点M，求PMPMPCPD+的值【详解】（1）由()2,0A，()0,1B是椭圆()2222:10 xyEabab+=的两个顶点，得2a=，1b=，即22:14xEy+=；（2）当直线l的斜率不存在时，直线l与椭圆有且只有一个公共点，不成立，所以设()11,C x y，()22,D xy，()33,M x y，直线l的斜率为k，则()2211121PxxkPkCx=+=+，同理()2221xkPD=+，()2321xkPM=+，则33122222xxx

17、xPMPMPCPD=+设l：()12yk x=，而AB：12xy+=，联立解得3421kxk=+，所以342222121kxkk=+联立直线l与椭圆E方程，消去y得：()()2224182116160kxkkxkk+=，(7 分)()()()222=8214 41 16160kkkkk +解得0k 所以()12282141kkxxk+=+，2122161641kkx xk=+，所以()()()1212121212124411222224xxxxxxxxx xxx+=+()()2222821441218211616244141kkkkkkkkkk+=+，所以()33122222122221xxk

18、xxk+=+=+，即2PMPMPCPD+=22.已知函数()=21 2(+12)（1）若 a0，证明：()22 3；（2）设 g（x）xf（x）+2，若x1，(1)(1)恒成立，求实数 a 的取值范围【解答】解：（1）证明：已知 f（x）ae2x1x2（lnx+），函数定义域为（0，+），当 a0 时，f（x）x2（lnx+），要证 f（x）x3，即证 lnxx1，不妨设 h（x）lnxx+1，函数定义域为（0，+），可得 h（x）1，当 0 x1 时，h（x）0，h（x）单调递增；当 x1 时，h（x）0，h（x）单调递减，所以 h（x）h（1）0，此时 lnxx1，故 f（x）x3；（2）不妨令，此时，整理得，即，又 x1，不妨设 x2x10，若x1，xg（）g（）恒成立，即g（x1）g（x2），此时，即 f（x1）+f（x2）+，又，所以x0，使得 f（x1）f（x2）恒成立，又 x2x10，所以函数 f（x）在（0，+）上单调递增，此时 f（x）0 在（0，+）上恒成立，因为 f（x）2ae2x12x（lnx+）x2（ae2x1xlnxx），所以 a恒成立，由（1）知 lnx+1x，所以 exex，此时，当且仅当 x1 时，等号成立，所以 a，则实数 a 的取值范围为，+）