2024届高一必修一难点微专题12讲5.指数型与对数型函数综合问题含答案.pdf

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1、1微专题微专题5 5：指数型与对数型函数综合问题：指数型与对数型函数综合问题1.1.常见的几类指数型函数模型：常见的几类指数型函数模型：假设假设a0且且a1.(1).f(x)=pa2x+qax+r,p0(2).f(x)=ax+ax(3).f(x)=axax(4).f(x)=11+ax12(5).f(x)=1ax1+12(6).f(x)=ax+1ax12.2.常见的几类对数型函数模型：假设常见的几类对数型函数模型：假设a0且且a1.(1)f(x)=plog2ax+qlogax+r,p0(2)f(x)=loga1x1+x,g(x)=loga1+x1x,(a0,a1)都是奇函数.(3)f(x)=lo

2、ga(bx+1+b2x2),(a0,a1)是奇函数.(4)f(x)=loga(abx+1)b2x(a0且a1)是偶函数.二典型例题分析二典型例题分析1 1已知奇函数 f x=2x+a2x，x(-1,1).(1)求实数a的值；(2)判断 f x在(-1,1)上的单调性并进行证明；(3)若函数 f x满足 f(1-m)+f(1-2m)0，求实数m的取值范围.2 2已知定义域为R的函数 f x=-2x+b2x+1+a是奇函数.(1)求实数a,b的取值范围；(2)若对任意t 1,3，不等式 f t2-2kt+f 2t2-10恒成立，求实数k的取值范围.3 3设aR，函数 f(x)=2x+a2x-a(1

3、)已知a=1，求证：函数 f(x)为定义域上的奇函数；(2)已知a0(i)判断并证明函数 f(x)的单调性；(ii)函数 f(x)在区间m,n(m0且且a1.(1).f(x)=pa2x+qax+r,p0(2).f(x)=ax+ax(3).f(x)=axax(4).f(x)=11+ax12(5).f(x)=1ax1+12(6).f(x)=ax+1ax12.2.常见的几类对数型函数模型：假设常见的几类对数型函数模型：假设a0且且a1.(1)f(x)=plog2ax+qlogax+r,p0(2)f(x)=loga1x1+x,g(x)=loga1+x1x,(a0,a1)都是奇函数.(3)f(x)=lo

4、ga(bx+1+b2x2),(a0,a1)是奇函数.(4)f(x)=loga(abx+1)b2x(a0且a1)是偶函数.二典型例题分析二典型例题分析1 1已知奇函数 f x=2x+a2x，x(-1,1).(1)求实数a的值；(2)判断 f x在(-1,1)上的单调性并进行证明；(3)若函数 f x满足 f(1-m)+f(1-2m)0，求实数m的取值范围.解析：(1)函数 f x是定义在(-1,1)上的奇函数，f(0)=0，即1+a=0，可得a=-1.f(x)=2x-12x，则 f(-x)=2-x-12-x=-2x-12x=-f(x)，符合题设.a=-1.(2)证明：由(1)可知，f(x)=2x

5、-12x.任取-1x1x21，则 f(x1)-f(x2)=2x1-12x1-2x2-12x2=(2x1-2x2)-12x1-12x2=(2x1-2x2)+2x1-2x22x1+x2=(2x1-2x2)1+12x1+x2，2x1-2x20，f(x1)-f(x2)0，即 f(x1)f(x2)f(x)在(-1,1)上单调递增.(3)f(x)为奇函数，f(-x)=-f(x)，又 f(x)在(-1,1)上是奇函数，f(1-m)+f(1-2m)0可化为 f(1-m)-f(1-2m)=f(2m-1)，又由(2)知 f(x)在(-1,1)上单调递增，-11-m2m-11，解得23m1.2 2已知定义域为R的函

6、数 f x=-2x+b2x+1+a是奇函数.(1)求实数a,b的取值范围；(2)若对任意t 1,3，不等式 f t2-2kt+f 2t2-10恒成立，求实数k的取值范围.分析：首先确定函数 f x的单调性，然后结合奇函数的性质把不等式 f t2-2kt+f 2t2-10，然后参变量分离为：即k3t2-12t=123t-1t在t 1,3恒成2立，设g t=123t-1t，t 1,3，最后求g t的最小值即可求出k的取值范围.解：(1)因为函数 f x是奇函数，所以有 f 0=0，即-1+b2+a=0，解得b=1，从而有 f x=-2x+12x+1+a.又由 f 1=-f-1知-2+14+a=-1

7、2+11+a，得a=2.当a=2，b=1，则 f x=-2x+12x+1+2，则 f-x+f x=-2-x+12-x+1+2+-2x+12x+1+2=2x-12x+1+2+-2x+12x+1+2=0，所以 f-x+f x=0，即 f-x=-f x，所以 f x为奇函数.所以a=2，b=1.(2)由 f x=-2x+12x+1+2=-12+12x+1，由上式易知，函数 f x在R是单调递减函数，又函数 f x是奇函数，从而不等式 f t2-2kt+f 2t2-10等价于 f t2-2kt1-2t2，即对一切t 1,3，不等式3t2-2kt-10总成立，即k3t2-12t=123t-1t在t 1,

8、3恒成立.考察函数g t=123t-1t，t 1,3是增函数，所以kg tmin=g 1=1，所以满足题意的实数k的取值范围是k1.3 3设aR，函数 f(x)=2x+a2x-a(1)已知a=1，求证：函数 f(x)为定义域上的奇函数；(2)已知a0(i)判断并证明函数 f(x)的单调性；(ii)函数 f(x)在区间m,n(mn)上的值域是k2m,k2n(kR)，求ka的取值范围分析与解：(1)证明见解析；(2)(i)函数 f(x)为(-,+)上的单调增函数，证明见解析；(ii)0ka3-2 2.分析：先由a0，求得函数 f(x)的定义域为R(i)再利用函数单调性的定义证明；(ii)根据(i)

9、知，函数f(x)为(-,+)上的单调增函数，结合函数 f(x)在区间m,n(mn)上的值域是k2m,k2n，得到f(m)=k2mf(n)=k2n，进而转化为关于x的方程2x+a2x-a=k2x有两个互异实根求解解：(1)证明：因为a=1，所以 f(x)=2x+12x-1，由2x-10得函数y=f(x)的定义域为(-,0)(0,+)，又 f(-x)=2-x+12-x-1=2x+11-2x=-f(x)所以函数 f(x)为定义域上的奇函数(2)当a0，所以2x-a0，所以函数 f(x)的定义域为R(i)结论：函数 f(x)为(-,+)上的单调增函数证明：设对任意的x1，x2R，且x1x2，f x1-

10、f x2=2x1+a2x1-a-2x2+a2x2-a=2a 2x2-2x12x1-a2x2-a因为x1x2，所以2x10因为2x-a0，所以2x1-a0，2x2-a0，又a0，所以 f x1-f x20，即 f x1 f x2，所以函数 f(x)为(-,+)上的单调增函数3(ii)因为mn，所以2m12n又由k2m,k2n知，k2mk2n，所以k0，因为a0，由(i)知，函数 f(x)为(-,+)上的单调增函数因为函数 f(x)在区间m,n(m0，所以方程t2+(a-k)t+ak=0有两个互异正根所以k-a0(a-k)2-4ak0ak0，解得0ka3-2 2.4 4已知函数 f x=log4x

11、2-alog4x+3，其中a为常数.(1)当a=2时，求函数 f x的值域；(2)若对x 414,44，1 f x27恒成立，求实数a的取值范围.分析：(1)令t=log4x，易知tR，于是等价转化为求函数y=t2-2t+3在R上的值域，再根据二次函数的性质计算可得；(2)设u=log4x，故等价于u14,4，1g u=u2-au+327恒成立，即等价于u-24uau+2u对u14,4恒成立，令F u=u-24u，G u=u+2u，u14,4，利用函数的性质及基本不等式求出F umax、G umin，即可得解.解.(1)当a=2时，f x=log4x2-2log4x+3令t=log4x，易知t

12、R，于是等价转化为求函数y=t2-2t+3在R上的值域.因为y=t2-2t+3=t-12+2，所以 f x的值域为 2,+.(2)对x 414,44，1 f x27恒成立，即x 414,44，1 f x=log4x2-alog4x+327恒成立，设u=log4x，因为x 414,44，所以u=log4x14,4.故等价于u14,4，1g u=u2-au+327恒成立，即等价于u-24uau+2u对u14,4恒成立，令F u=u-24u，u14,4，易知F u=u-24u在14,4上单调递增，所以F umax=F 4=4-244=-2.令G u=u+2u，u14,4，由基本不等式可知G u=u+

13、2u2u2u=2 2，当且仅当u=2 时取等号，所以G umin=G2=2 2.所以-2a2 2，即实数a的取值范围是-2,2 2.本题考查不等式的恒成立问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数y=f x,x a,b，y=g x,x c,d(1)若x1 a,b，x2 c,d，总有 f x1g x2成立，故 f xmaxg x2min；(2)若x1 a,b，x2 c,d，有 f x1g x2成立，故 f xmaxg x2max；(3)若x1 a,b，x2 c,d，有 f x1g x2成立，故 f xmin1，g x=log91+19x0b的取值范围是 0,+。(3)由(1)知，f x=log99

14、x+1-12x=log99x+1-log93x=log93x+13x由题意知3x+13x=a3x-43a有且只有一个实数根。令t=3xt0，则关于t的方程 a-1t2-43at-1=0 有且只有一个正根。若a=1，则t=-34，不合题意，舍去；若a1，则方程 的两根异号或方程有两相等正根。方程 有两相等正根等价于=0-43a2 a-10，解得a=-3。方程 的两根异号等价于0-1a-11。综上所述，实数a的取值范围是-3 1,+。1微专题微专题6 6：函数零点的综合应用：函数零点的综合应用一、一、设计思路若对零点及其应用设计大单元的微专题设计，就必须深入思考零点及其应用的教学意义和价值，它究竟

15、在高中函数板块的学习中起着什么样的作用？我认为其价值有：1.1.凸显了函数的应用价值，即方程求根实际上并不是普遍的方法，随着方程形式越发复杂，求精确根已经是次要的了，重要的是探讨根的存在性，只要存在，总可以设计算法求出近似解，这已经是现代计算数学的基本特点了.而存在性的分析就需要借助整体的性态.若零点存在是一个局部现象的话，我们对局部问题的分析从整体角度入手，这是数学发展中最重要的思想.2.2.既然零点的分析凸显函数的价值，那么零点问题实际就是一个分析函数整体形态的问题，这也就是为何零点是必考内容的原因了.考察零点，就是考察学生分析函数的能力.3.3.着重提高直观想象能力，分析零点离不开函数图

16、象，而作图能力又进一步会提升分析函数形态的逻辑推理能力.基于上述三点分析，可以肯定的是：零点是函数应用中最重要的载体，零点的微专题拔高设计就应该突出对作图能力的提升，以及对函数性质的分析.在上述目标之下，再引入一些常见的零点问题的处理手法，分离参数，多变量零点的处理等常见题型，为后续学完导数后再次应用零点奠定坚实的基础.于是，我将在导数之前常见的零点问题做了如下归类，即图象分析类的选填部分与函数性态分析综合解答题部分两块，然后再梳理一些常见题型.二、二、图象分析的零点题型1 1.已知函数已知函数 f(x)，讨论一元二次型方程，讨论一元二次型方程 f2(x)+bf(x)+c=0根的个数根的个数.

17、解法剖析：换元，一元二次方程根的分布解法剖析：换元，一元二次方程根的分布.1 1已知函数 f x=2x+1+1,x0log2x,x0 若关于x的方程 f x2-2af x+2=0有六个不相等的实数根，则实数a的取值范围是()A.0,116B.1,116C.2,32D.2,322 2已知 f x为偶函数，g x为奇函数，且满足 f x-g x=21-x.(1)求 f x、g x；(2)若h x=12f x+g x-1，且方程 h x2-2k+12h x+k=0有三个解，求实数k的取值范围.2 2.f(f(x)=k型方程型方程求解复合函数y=gf(x)零点问题的技巧:(1)此类问题与函数图象结合较

18、为紧密，在处理问题的开始要作出 f(x),g(x)的图像(2)若已知零点个数求参数的范围,则先估计关于 f(x)的方程gf(x)=0中 f(x)解的个数，再根据个数与 f(x)的图像特点,分配每个函数值 fi(x)被几个x所对应,从而确定 fi(x)的取值范围,进而决定参数的范围.3.3.分段函数的零点分段函数的零点23 3已知函数 f x=lnx,x0ex,x0，g x=f x+x-b.若g x存在2 2个零点，则b的取值范围是()A.-1,0B.-,1C.1,+D.0,14 4已知函数 f(x)=1+loga|x-2|,x1(x-1)2+5a,x1(a0，且a1)在区间(-,+)上为单调函

19、数，若函数 y=|f(x)|-x-2有两个不同的零点，则实数a的取值范围是()A.15,35B.15,25C.15,351320 D.15,251320 5 5已知函数 f(x)=x2+(4a-3)x+3a,x0且a1)在R上单调递减，且关于x的方程|f(x)|=2-x3恰有两个不相等的实数解，则a的取值范围是()A.0,23B.23,34C.13,23D.13,234.4.整点问题整点问题6 6设函数 f(x)=x2ex-e2-ax.若只存在唯一非负整数x0，使得 f x00，则实数a a取值范围为A.e-e2,0B.-e2,1C.-,0D.e-e2,e5.5.多变量零点问题多变量零点问题7

20、 7已知函数 f(x)=log2(-x),x0,x-2,x0,若函数 g x=a-f(x)有四个零点x1,x2,x3,x4，且x1x2x3x4，则ax1x2+x3+x4a的取值范围是()A.(1,+)B.4,+)C.1,4D.1,28 8已知 f(x)=lnx,0e，若 a,b,c 互不相等，且 f(a)=f(b)=f(c)，则 a+b+e2c的范围是()A.e,e2B.3,2e+1eC.2 2,2e+1eD.2 2,+)6.6.零点综合问题零点综合问题9 9已知函数 f x=log24x+1+kx是偶函数.(1 1)求实数k的值；(2 2)设g x=log2a2x+43aaR，若函数y=f

21、x-g x有唯一的零点，求实数a的取值范围.1010已知函数 f x=ax2-4ax+b在区间 0,1上的最大值为1 1，最小值为-2.(1 1)求a a，b b的值；(2 2)若函数 f x在区间 0,1上为单调递减函数令函数g x=f xx，若方程g 4x-m 2x-2-x-1=0在0,log23上有两个不同实数根，求实数mm的取值范围.1微专题微专题6 6：函数零点的综合应用：函数零点的综合应用一、一、设计思路若对零点及其应用设计大单元的微专题设计，就必须深入思考零点及其应用的教学意义和价值，它究竟在高中函数板块的学习中起着什么样的作用？我认为其价值有：1.1.凸显了函数的应用价值，即方

22、程求根实际上并不是普遍的方法，随着方程形式越发复杂，求精确根已经是次要的了，重要的是探讨根的存在性，只要存在，总可以设计算法求出近似解，这已经是现代计算数学的基本特点了.而存在性的分析就需要借助整体的性态.若零点存在是一个局部现象的话，我们对局部问题的分析从整体角度入手，这是数学发展中最重要的思想.2.2.既然零点的分析凸显函数的价值，那么零点问题实际就是一个分析函数整体形态的问题，这也就是为何零点是必考内容的原因了.考察零点，就是考察学生分析函数的能力.3.3.着重提高直观想象能力，分析零点离不开函数图象，而作图能力又进一步会提升分析函数形态的逻辑推理能力.基于上述三点分析，可以肯定的是：零

23、点是函数应用中最重要的载体，零点的微专题拔高设计就应该突出对作图能力的提升，以及对函数性质的分析.在上述目标之下，再引入一些常见的零点问题的处理手法，分离参数，多变量零点的处理等常见题型，为后续学完导数后再次应用零点奠定坚实的基础.于是，我将在导数之前常见的零点问题做了如下归类，即图象分析类的选填部分与函数性态分析综合解答题部分两块，然后再梳理一些常见题型.二、二、图象分析的零点题型1 1.已知函数已知函数 f(x)，讨论一元二次型方程，讨论一元二次型方程 f2(x)+bf(x)+c=0根的个数根的个数.解法剖析：换元，一元二次方程根的分布解法剖析：换元，一元二次方程根的分布.1 1已知函数

24、f x=2x+1+1,x0log2x,x0 若关于x的方程 f x2-2af x+2=0有六个不相等的实数根，则实数a的取值范围是()A.0,116B.1,116C.2,32D.2,32解析；令 f x=t，则g t=t2-2at+2，作 f x的图象如图所示，设g t=t2-2at+2的零点为t1、t2，由图可知，要满足题意，则需 g t=t2-2at+2在 1,3上有两不等的2零点，则1a0g 3=11-6t0=4a2-80，解得2 a0，作出函数h x的图象如下图所示：由 h x2-2k+12h x+k=0可得 h x-12 h x-2k=0，由图可知，方程h x=12有两个不等的实根，

25、由题意可知，方程h x=2k有且只有一个根，故2k=0或2k1，解得k=0或k12.因此，实数k的取值范围是 012,+.2 2.f(f(x)=k型方程型方程求解复合函数y=gf(x)零点问题的技巧:(1)此类问题与函数图象结合较为紧密，在处理问题的开始要作出 f(x),g(x)的图像(2)若已知零点个数求参数的范围,则先估计关于 f(x)的方程gf(x)=0中 f(x)解的个数，再根据个数3与 f(x)的图像特点,分配每个函数值 fi(x)被几个x所对应,从而确定 fi(x)的取值范围,进而决定参数的范围.3.3.分段函数的零点分段函数的零点3 3已知函数 f x=lnx,x0ex,x0，g

26、 x=f x+x-b.若g x存在2 2个零点，则b的取值范围是()A.-1,0B.-,1C.1,+D.0,1解析：由g(x)=0得 f(x)=-x+b，作出函数 f(x)和y=-x+b的图象如图：当直线y=-x+b的截距b1，两个函数的图象都有2个交点，即函数g(x)存在2个零点，故实数a的取值范围是(-，1，故选：B4 4已知函数 f(x)=1+loga|x-2|,x1(x-1)2+5a,x1(a0，且a1)在区间(-,+)上为单调函数，若函数 y=|f(x)|-x-2有两个不同的零点，则实数a的取值范围是()A.15,35B.15,25C.15,351320 D.15,251320 解析

27、：因为函数 f(x)在区间(-,+)上为单调函数，且 f(x)在(1,+)上为单调递增函数，所以 f(x)在(-,1上也为单调递增函数，因为y=|x-2|在(-,1上为单调递减函数，所以0a1，且1+loga|1-2|(1-1)2+5a，即a15，所以15a1，若函数y=|f(x)|-x-2有两个不同的零点，则函数y=|f(x)|的图像与直线y=x+2有两个不同的交点，作出函数y=|f(x)|的图像与直线y=x+2，如图：由图可知，当1+25a，即15a35时，符合题意；当1+235时，直线y=x+2与抛物线4y=(x-1)2+5a相切也满足，联立直线y=x+2与抛物线y=(x-1)2+5a，

28、消去y得x2-3x+5a-1=0，所以=9-4(5a-1)=0，解得a=1320，符合.综上所述：实数a的取值范围是15,351320 .故选：C5 5已知函数 f(x)=x2+(4a-3)x+3a,x0且a1)在R上单调递减，且关于x的方程|f(x)|=2-x3恰有两个不相等的实数解，则a的取值范围是()A.0,23B.23,34C.13,23D.13,23【答案】D4.4.整点问题整点问题6 6设函数 f(x)=x2ex-e2-ax.若只存在唯一非负整数x0，使得 f x02时，有g(x)00 x2时，有g(x)0 x0，时有g(x)0不成立，当a0时，x0=1，所以 f(1)e-e2所x

29、 e-e2,0.故选：A5.5.多变量零点问题多变量零点问题7 7已知函数 f(x)=log2(-x),x0,x-2,x0,若函数 g x=a-f(x)有四个零点x1,x2,x3,x4，且x1x2x3x4，则ax1x2+x3+x4a的取值范围是()A.(1,+)B.4,+)C.1,4D.1,2解析：函数g x=a-f(x)有四个零点x1,x2,x3,x4，即方程 f(x)=a有四个根x1,x2,x3,x4.作出函数y=f(x)的图像如图.根据函数图像，方程 f(x)=a有四个根，则0a25log2-x1=log2-x2，则x1x2=1 x3-2=x4-2，则x3+x4=4所以ax1x2+x3+

30、x4a=a+4a，由对勾函数y=x+4x在 0,2上单调递减，所以a+4a4，当a=2时等号成立则ax1x2+x3+x4a的取值范围是 4，+故选：B8 8已知 f(x)=lnx,0e，若 a,b,c 互不相等，且 f(a)=f(b)=f(c)，则 a+b+e2c的范围是()A.e,e2B.3,2e+1eC.2 2,2e+1eD.2 2,+)解析：画出 f(x)=lnx,0e 的图像，如图所示，设abc，则|lna|=|lnb|，有lna+lnb=0，ab=1，且1ea1,1be时，y=2-lnx单调递减，可得其与x轴交于(e2,0)点，可得ece2，故可得：1ea1bece2，由lnb=2-

31、lnc，可得bc=e2，故可得a+b+e2c=a+b+bcc=a+2b=1b+2b，由对勾函数性质及1be，可得31b+2b0，令t=2x，则此问题等价于方程(a-1)t2+43at-1=0只有一个正实根，且a0.当a-1=0，即a=1时，则t=34成立；当a-10，即a1时，若=169a2+4(a-1)=0，即a=34或a=-3，当a=34时，代入方程t=2得成立；当a=-3时，得t=-12，不符合题意；若方程有一个正根和一个负根，即-1a-11，符合题意.综上所述，实数a的取值范围是34 1,+).1010已知函数 f x=ax2-4ax+b在区间 0,1上的最大值为1 1，最小值为-2.(1 1)求a a，b b的值；(2 2)若函数 f x在区间 0,1上为单调递减函数令函数g x=f xx，若方程g 4x-m 2x-2-x-1=0在0,log23上有两个不同实数根，求实数mm的取值范围.解析：(1)可知a0，当a0时，f x在 0,1上是单调递减，所以 f 0=b=1，f 1=a-4a+b=-2，解得a=1，b=1.当a0,0m20,832-83m+m-20,解得2m4615.