福建省厦门第一中学海沧校区2024届高三上学期9月月考数学试题含答案.pdf

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1、第 1 页/共 4 页学科网（北京）股份有限公司厦门一中海沧校区厦门一中海沧校区 2024 届高三年数学届高三年数学 9 月月考卷月月考卷2023.9.1一一选择题：本题共选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.1.已知集合220Mx xx，21Nx yxx，则MN（）A.2 2,B.1,1C.2,1D.1,22.已知复数 z 满足1 i1 iz，则z（）A.iB.iC.1 iD.1 i3.从长度为2,4,6,8,10的 5 条线段中任取 3 条，则这 3 条线段能构成一个三角形的概率是（）A.310B.35C.38D.134.已知关于x不等式210axbx

2、 的解集为1(,),mm，其中0m，则2bab的最小值为（）A.2B.2C.2 2D.35.已知把物体放在空气中冷却时，若物体原来的温度是1，空气的温度是0，则mint后物体的温度满足公式010()ekt（其中 k 是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数）.某天小明同学将温度是80的牛奶放在20空气中，冷却2min后牛奶的温度是50，则下列说法正确的是（）A.ln2k B.2ln2k C.牛奶的温度降至35还需4minD.牛奶的温度降至35还需2min6.已知函数322()f xxaxbxa，则“7ab”是“函数 f x在=1x处有极值10”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充

3、要条件D.既不充分又不必要条件7.已知1F，2F分别是椭圆2222:1xyCab（0ab）的左，右焦点，M，N 是椭圆 C 上两点，且112MFF N ，20MFMN ，则椭圆C的离心率为（）的第 2 页/共 4 页学科网（北京）股份有限公司A.34B.23C.53D.748.记20232022a，20232023b，20242023c，则 a，b，c 的大小关系是（）A.abcB.acbC.bcaD.bac二二多选题：本题共多选题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得

4、全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分.9.已知一组样本数据1x、2x、L、4nxn 均为正数，且12nxxx，若由211,2,kkyxkn生成一组新的数据1y、2y、L、ny，则这组新数据与原数据的（）可能相等A.极差B.平均数C.中位数D.标准差10.将函数 2cos 24f xx的图象向右平移8个单位长度得到 yg x的图象，则（）A.yf x在,4 2上是减函数B.44fxfxC.yg x奇函数D.1yg x在,上有 4 个零点11.已知函数 yf xxR的图象是连续不间断的，函数1yf x的图象关于点1,1对称，在区间1,上单调

5、递增.若cos4cos24cos22f mf对任意,4 2恒成立，则下列选项中m的可能取值有（）A.2 24B.22 2C.22D.2412.已知正四面体PABC的棱长为 2，下列说法正确的是（）A.正四面体PABC的外接球表面积为6B.正四面体PABC内任意一点到四个面距离之和为定值C.正四面体PABC的相邻两个面所成二面角的正弦值为13D.正四面体QMNG在正四面体PABC的内部，且可以任意转动，则正四面体QMNG的体积最大值为2 281是的第 3 页/共 4 页学科网（北京）股份有限公司三三填空题：本题共填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.13.5

6、(2)xy的展开式中23x y的系数为_14.已知函数()lg(1)22xxf xx，则使不等式(1)(2)f xfx成立的x的取值范围是_.15.若定义域为R的奇函数()f x满足()(1)(1)f xf xf x，且(1)2f，则(2024)f_16.已知221:21Oxye，222:369Oxye，过 x 轴上一点 P 分别作两圆的切线，切点分别是 M，N，当PMPN取到最小值时，点 P 坐标为_.四四解答题：本题共解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明解答应写出文字说明证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤.17.西梅以“梅”为名，实际上不是梅子，而是李子，

7、中文正规名叫“欧洲李”，素有“奇迹水果”的美誉.因此，每批西梅进入市场之前，会对其进行检测，现随机抽取了 10 箱西梅，其中有 4 箱测定为一等品.（1）现从这 10 箱中任取 3 箱，求恰好有 1 箱是一等品的概率；（2）以这 10 箱的检测结果来估计这一批西梅的情况，若从这一批西梅中随机抽取 3 箱，记表示抽到一等品的箱数，求的分布列和期望.18.在ABC中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且cos2cos0aBbcA.（1）求 A；（2）若点 D 在边 BC 上，2BDDC，2AD，2cb，求ABC的面积.19.在平行四边形 ABCD 中，3 2AB，2 2BC，23ABC，过

8、 D 点作DEAB于 E，以 DE为轴，将ADEV向上翻折使平面ADE 平面 BCDE，连接 CE，F 点为线段 CE 的中点，Q 为线段 AC 上一点 （1）证明：BFAC；（2）若二面角ADQE的余弦值为3 337，求CQCA的值第 4 页/共 4 页学科网（北京）股份有限公司20.已知数列 na满足10a，212log,21,N2,2,Nnnnaa nkkank k.（1）判断数列21na否是等比数列？若是，给出证明；否则，请说明理由；（2）若数列 na的前 10 项和为 361，记221221lognnnbaa，数列 nb的前n项和为nT，求证：12nT.21.已知函数22113()l

9、n222f xxaxxxax.（1）讨论函数()f x的极值点；（2）若()f x极大值大于 1，求a取值范围.22.已知双曲线22149xy与直线3:()2l ykxm k 有唯一的公共点 M.（1）若点2,9N在直线 l 上，求直线 l 的方程；（2）过点 M 且与直线 l 垂直的直线分别交 x 轴于1(,0)A x，y 轴于1(0,)By两点.是否存在定点 G，H，使得 M 在双曲线上运动时，动点11(,)P x y使得PGPH为定值.是的第 1 页/共 22 页学科网（北京）股份有限公司厦门一中海沧校区厦门一中海沧校区 2024 届高三年数学届高三年数学 9 月月考卷月月考卷2023.

10、9.1一一选择题：本题共选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.1.已知集合220Mx xx，21Nx yxx，则MN（）A.2 2,B.1,1C.2,1D.1,2【答案】A【解析】【分析】求出集合M、N，利用并集的定义可求得集合MN.【详解】由2201,2Mx xx，20212,110 xNx yxxxx，故2,2MN.故选：A.2.已知复数 z 满足1 i1 iz，则z（）A.iB.iC.1 iD.1 i【答案】B【解析】【分析】利用复数的除法化简计算即可.【详解】由1 i1 iz，则221 i(1 i)12i+ii1 i22z.故选：B.3.从长度为2

11、,4,6,8,10的 5 条线段中任取 3 条，则这 3 条线段能构成一个三角形的概率是（）A.310B.35C.38D.13【答案】A【解析】【分析】利用列举法，列出 5 条线段中任取 3 条线段的所有情况，然后找出能构成三角形的情况，再利用古典概型的概率公式求解即可.第 2 页/共 22 页学科网（北京）股份有限公司【详解】从 5 条线段中任取 3 条，可能的情况有：2,4,6，2,4,8，2,4,10，2,6,8，2,6,10，2,8,10，4,6,8，4,6,10，4,8,10，6,8,10共有 10 种可能，其中，能构成三角形的只有4,6,8，4,8,10，6,8,10共 3 种可能

12、，所以能构成三角形的概率为310.故选：A.4.已知关于x的不等式210axbx 的解集为1(,),mm，其中0m，则2bab的最小值为（）A.2B.2C.2 2D.3【答案】D【解析】【分析】由题意，得0a，且m，1m是方程210axbx 的两根，由韦达定理11mma，解得=1a；+=1=bmbma，由基本不等式得=+21bmm，从而可得=2+2+bbabb，利用对勾函数性质可求解.【详解】因为240axbx的解集为1(,),mm，所以0a，且m，1m是方程210axbx 的两根，11=mma，得=1a；1+=bmbma，即1=+bmm，当0m 时，111=+=+2=2bmmmmmm，当且仅

13、当1mm，即=1m时取等号，令 22+2bf bbbabb，由对勾函数的性质可知函数()f b在2,上单调递增，所以 22 13f bf，2bab的最小值为 3.第 3 页/共 22 页学科网（北京）股份有限公司故选：D5.已知把物体放在空气中冷却时，若物体原来的温度是1，空气的温度是0，则mint后物体的温度满足公式010()ekt（其中 k 是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数）.某天小明同学将温度是80的牛奶放在20空气中，冷却2min后牛奶的温度是50，则下列说法正确的是（）A.ln2k B.2ln2k C.牛奶的温度降至35还需4minD.牛奶的温度降至35还需2min【答案】

14、D【解析】【分析】运用代入法，结合对数的运算逐一判断即可.【详解】由010()ekt，得250208020 et，故1ln22k，AB 错误；又由3520(8020)ekt，1ln22k，得4t，故牛奶的温度从80降至35需4min，从50降至35还需422min.故选：D6.已知函数322()f xxaxbxa，则“7ab”是“函数 f x在=1x处有极值10”的（）A 充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【答案】B【解析】【分析】求出函数的导函数，依题意可得 1=01=10ff，即可得到方程组，解得a、b再检验，最后根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【详

15、解】解：因为322()f xxaxbxa，所以2()32fxxaxb，.第 4 页/共 22 页学科网（北京）股份有限公司所以 21=32=01=1+=10fabfab a，解得=3=3ab或=4=11ab；当=3=3ab时32()339f xxxx，22()363310fxxxx，即函数在定义域上单调递增，无极值点，故舍去；当=4=11ab时32()41116f xxxx，2()31131118fxxxxx，当1x 或113x 时()0fx，当1113x时()0fx，满足函数在=1x处取得极值，所以7ab，所以由7ab推不出函数 f x在=1x处有极值10，即充分性不成立；由函数 f x在=

16、1x处有极值10推得出7ab，即必要性成立；故“7ab”是“函数 f x在=1x处有极值10”的必要不充分条件；故选：B7.已知1F，2F分别是椭圆2222:1xyCab（0ab）的左，右焦点，M，N 是椭圆 C 上两点，且112MFF N ，20MFMN ，则椭圆C的离心率为（）A.34B.23C.53D.74【答案】C【解析】【分析】设1NFn，结合椭圆的定义，在2RtMNF中利用勾股定理求得3an，12RtMFF中利用勾股定理求得223620ca，可求椭圆 C 的离心率.【详解】连接2NF，设1NFn，则12MFn，222MFan，22NFan，第 5 页/共 22 页学科网（北京）股份

17、有限公司在2RtMNF中22222NMMFNF，即2223222nanan，22222948444naannaann，2124nan，3an，123aMF，243aMF，在12RtMFF中，2221212MFMFFF，即222416499aac，223620ca，2205369e，又0,1e，53e.故选：C.8.记20232022a，20232023b，20242023c，则 a，b，c 的大小关系是（）A.abcB.acbC.bcaD.bac【答案】D【解析】【分析】由函数12023()f xx在 R 上单调递增，可判断ab，再对ac、两边取对数，由函数ln1xgxx在2e,单调递减，可得

18、ca，从而得解.【详解】设12023()f xx，则 f x在 R 上单调递增，故(2022)2023ff，即ab；由于11lnln2022,lnln202320232024ac=，设ln1xgxx，2ex，则22211lnln1g()0(1)(1)12lnxxxxxxxxxx，2ex，则 g x在2e,单调递减，故020232 22gg，即lnlnca，则ca；综上得，bac，D 正确.故选：D二二多选题：本题共多选题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得全部选对的得

19、 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分.第 6 页/共 22 页学科网（北京）股份有限公司9.已知一组样本数据1x、2x、L、4nxn 均为正数，且12nxxx，若由211,2,kkyxkn生成一组新数据1y、2y、L、ny，则这组新数据与原数据的（）可能相等A.极差B.平均数C.中位数D.标准差【答案】BC【解析】【分析】利用极差的定义可判断 A 选项；利用平均数公式可判断 B 选项；利用中位数的定义可判断 C 选项；利用方差公式可判断 D 选项.【详解】对于 A 选项，样本数据1x、2x、L、4nxn 的极差为1nxx，样本数据1y、2y、L、n

20、y的极差为 11121212nnnyyxxxx，因为10nxx，则1112nnnyyxxxx，故 A 错误；对于 B 选项，设样本数据1x、2x、L、4nxn 的平均数为x，即12nxxxxn，所以，样本数据1y、2y、L、ny的平均数为12nyyyyn 12122121212121nnxxxxxxxnn，由21yxx 可知，当1x 时，两组样本数据平均数相等，故 B 正确；当21nmmN时，样本数据1x、2x、L、4nxn 的中位数为mx，样本数据1y、2y、L、ny的中位数为21mmyx，同理可知当1mx 时，中位数相等，当2nm mN时，样本数据1x、2x、L、4nxn 的中位数为12m

21、mxx，样本数据1y、2y、L、ny的中位数为 111212121222mmmmmmxxyyxx同理可知当112mmxx时，两组数据的中位数相等，故 C 正确；对于 D 选项，设样本数据1x、2x、L、4nxn 的标准差为xs，样本数据1y、2y、L、ny的标准差为ys，的的第 7 页/共 22 页学科网（北京）股份有限公司则222122nxxxxxxxsn，222122nyyyyyyysn22212212121212121nxxxxxxn22212244nxxxxxxxsn，因为12nxxx，则222120nxxxxxxxsn，故2yxxsss，故两组样本数据的标准差不可能相等，故 D 错误

22、.故选：BC.10.将函数 2cos 24f xx的图象向右平移8个单位长度得到 yg x的图象，则（）A.yf x在,4 2上是减函数B.44fxfxC.yg x是奇函数D.1yg x在,上有 4 个零点【答案】ACD【解析】【分析】A 选项，代入检验，得到 yf x在,4 2上单调递减，A 正确；B 选项，计算出2cos244fxx，2cos244fxx，两者不一定相等，C 选项，根据函数平移变换求出()2sin2g xx=，故 C 正确；D 选项，令 12sin210yg xx ，得到1sin22x，求出,上，12x 或512或712或1112，共 4 个零点，D 正确.【详解】,4 2

23、x时，324,44x，由于2cosyz在 3,44z上单调递减，故 yf x第 8 页/共 22 页学科网（北京）股份有限公司在,4 2上单调递减，A 正确；2cos 22cos24444fxxx，2cos 22cos24444fxxx，因为2cos22cos 22sin 2444xxx，由于2sin 24x与2cos24x不一定相等，故4fx与4fx不一定相等，B 错误；2cos 22 n248sig xxx，故 yg x奇函数，C 正确；令 12sin210yg xx ，解得：1sin22x，,x，则22,2x，则26x 或56或76或116，解得：12x 或512或712或1112，共

24、4 个零点，D 正确.故选：ACD11.已知函数 yf xxR的图象是连续不间断的，函数1yf x的图象关于点1,1对称，在区间1,上单调递增.若cos4cos24cos22f mf对任意,4 2恒成立，则下列选项中m的可能取值有（）A.2 24B.22 2C.22D.24【答案】BC【解析】【分 析】根 据 函 数 的 对 称 性 和 单 调 性 得 到 函 数()f x为R上 单 调 递 增，进 而 得 到cos4cos24cos2m，利用参变分离和的取值范围求出m的取值范围，进而求解.【详解】由函数1yf x的图象关于点1,1对称且在区间1,上单调递增可得，函数是第 9 页/共 22 页

25、学科网（北京）股份有限公司 yf xxR的图象关于(0,1)对称，函数()f x为R上单调递增，由cos4cos24cos22f mf可得，cos4cos24cos2(4cos2)(4cos2)f mfff，也即cos4cos2(4cos2)f mf，则有cos4cos24cos2m恒成立，即cos4cos24cos2m因为,4 2，所以2cos0,2，当cos0时，得到02 恒成立；当cos0时，则有24cos224cos8cos4cos228cos4coscoscosm，令2cos(0,2t，则284ytt，因为函数284ytt在(0,)上单调递增，且2(0,2t，所以max2 24y，则

26、2 24m，所以 BC 适合题意，AD 不合题意.故选：BC.12.已知正四面体PABC的棱长为 2，下列说法正确的是（）A.正四面体PABC的外接球表面积为6B.正四面体PABC内任意一点到四个面的距离之和为定值C.正四面体PABC的相邻两个面所成二面角的正弦值为13D.正四面体QMNG在正四面体PABC的内部，且可以任意转动，则正四面体QMNG的体积最大值为2 281【答案】ABD【解析】【分析】根据正四面体的外接球、内切球、体积以及二面角等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A.棱长为 2 的正四面体PABC的外接球与棱长为2的正方体的外接球半径相同，设为 R，则：26R，所以

27、246SR，所以 A 对.第 10 页/共 22 页学科网（北京）股份有限公司 B.设正四面体PABC内任意一点到四个面的距离分别为1d，2d，3d，4d，设正四面体PABC的高为 d，由等体积法可得：123411()33S ddddSd，所以1234ddddd为定值，所以 B 对.C.设BC中点为 D，连接PD，AD，则,ADBC PDBC，则PDA为所求二面角的平面角，2,3APPDAD，所以3341cos63PDA，所以正弦值为212 21=33，所以 C 错.D.要使正四面体QMNG在四面体PABC的内部，且可以任意转动，则正四面体QMNG的外接球在四面体PABC内切球内部，当正四面体

28、QMNG的外接球恰好为四面体PABC内切球时，正四面体QMNG的体积最大值，由于正四面体的外接球与内切球半径之比为13，所以正四面体QMNG的外接球半径为616=236，设正四面体QMNG的边长为 a，则263226a，所以23a，第 11 页/共 22 页学科网（北京）股份有限公司故体积322 21281Va，所以 D 对故选：ABD三三填空题：本题共填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.13.5(2)xy的展开式中23x y的系数为_【答案】80【解析】【分析】根据二项式展开式的通项公式，直接计算即可得到结果.【详解】展开式的通项公式为55155C(2

29、)C(2)rrrrrrrrTxyxy，令52r-=，则3r，所以23x y的系数为335C(2)80 故答案为:8014.已知函数()lg(1)22xxf xx，则使不等式(1)(2)f xfx成立的x的取值范围是_.【答案】1(,)(1,)3【解析】【分析】分析给定函数()f x的性质，利用函数的奇偶性、单调性解不等式得出结果.【详解】函数()lg(|1)22xxf xx定义域为 R，显然有()lg(|1)22()xxfxxf x，即函数()f x是偶函数，当0 x 时，()lg(1)22xxf xx，令()22(0)xxg xx，12,0,x x，12xx，11221212121()()2

30、222(22)(1)22xxxxxxxxg xg x，因120 xx，则12122xx，即12220 xx，1211022xx，有12()()g xg x，()g x在0,上单调递增，又lg(1)yx在0,上单调递增，因此，()f x在0,上单调递增，于是得(1)(2)(|1|)(|2|)|1|2|f xfxfxfxxx，解得13x 或1x，.第 12 页/共 22 页学科网（北京）股份有限公司所以不等式(1)(2)f xfx成立的 x 的取值范围是1(,)(1,)3.故答案为：1(,)(1,)3.15.若定义域为R的奇函数()f x满足()(1)(1)f xf xf x，且(1)2f，则(2

31、024)f_【答案】2【解析】【分析】利用赋值法及奇函数的定义，结合函数的周期性即可求解.【详解】由()(1)(1)f xf xf x，得(1)(2)()f xf xf x，所以()(1)(2)()f xf xf xf x，即(1)(2)f xf x，于是有()(3)f xf x，所以(3)(6)f xf x，即(6)f xf x.所以函数()f x的周期为6.因为()f x是定义域为R的奇函数，所以(0)(0)ff，即(0)0f.令1x，则(1)(2)(0)fff，解得(2)(1)(0)2fff，所以(2024)(337 62)(2)2fff.故答案为：2.16.已知221:21Oxye，2

32、22:369Oxye，过 x 轴上一点 P 分别作两圆的切线，切点分别是 M，N，当PMPN取到最小值时，点 P 坐标为_.【答案】3,04【解析】【分析】,0P t，则2222223(3)27(0)0(3)(3)(03 3)PMPNtttt，可看成点P到两定点3(0,)A，(3,3 3)B的距离和，而,A B两点在x轴的两侧，所以,A B连线与x轴的交点就是所求点P.【详解】221:21Oxye的圆心为1(0,2)O，半径11r，第 13 页/共 22 页学科网（北京）股份有限公司222:369Oxye的圆心为2(3,6)O，半径23r，设,0P t，则22214311PMPOtt，2222

33、223(3)69(3)27PNPOtt所以2222223(3)27(0)0(3)(3)(03 3)PMPNtttt，取3(0,)A，(3,3 3)B则2234 357PMPNPAPBAB，当,P A B三点共线时取等号，此时AB直线：4 33(0)3yx令0y，则34x，3,04P，故答案为：3,04 【点睛】关键点点睛：此题考查直线与圆的位置关系，考查距离公式的应用，解题的关键是将问题转化为点P到两定点3(0,)A，(3,3 3)B的距离和的最小值，结合图形求解，考查数形结合的思想，属于较难题.四四解答题：本题共解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明解答应写出文

34、字说明证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤.17.西梅以“梅”为名，实际上不是梅子，而是李子，中文正规名叫“欧洲李”，素有“奇迹水果”的美誉.因此，每批西梅进入市场之前，会对其进行检测，现随机抽取了 10 箱西梅，其中有 4 箱测定为一等品.（1）现从这 10 箱中任取 3 箱，求恰好有 1 箱是一等品的概率；（2）以这 10 箱的检测结果来估计这一批西梅的情况，若从这一批西梅中随机抽取 3 箱，记表示抽到一第 14 页/共 22 页学科网（北京）股份有限公司等品的箱数，求的分布列和期望.【答案】（1）12 （2）分布列见解析，6()5E【解析】【分析】（1）根据古典概型概率计算公式以及组合数

35、的计算求得所求概率.（2）利用二项分布的知识求得分布列并求得数学期望.【小问 1 详解】设抽取的 3 箱西梅恰有 1 箱是一等品为事件1A，则12161310C C1()C2P A；因此，从这 10 箱中任取 3 箱，恰好有 1 箱是一等品的概率为12.【小问 2 详解】由题意可知，从这 10 箱中随机抽取 1 箱恰好是一等品的概率42105，由题可知的所有可能取值为 0，1，2，3，则23,5B03032327(0)C55125P ，12132354(1)C55125P ，21232336(2)C55125P ，3033238(3)C55125P ，所以的分布列为0123P271255412

36、536125812526()355E.18.在ABC中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且cos2cos0aBbcA.（1）求 A；（2）若点 D 在边 BC 上，2BDDC，2AD，2cb，求ABC的面积.第 15 页/共 22 页学科网（北京）股份有限公司【答案】（1）23 （2）9 32【解析】【分析】（1）由正弦定理边化角可得，sincossin2sincos0ABBCA，然后化简即可得出1cos2A .根据A 的范围即可得出答案；（2）设CDx，则2BDx，然后在ADB和ADC中，根据余弦定理推得222bx.在ABC中，由余弦定理可得2297xb.联立可解得3b，26cb，

37、然后根据面积公式即可得出答案.【小问 1 详解】由正弦定理边化角可得，sincossin2sincos0ABBCA，整理可得，sin2sincos0ABCA.因为sinsin sinABCC，sin0C，所以有2cos10A，所以1cos2A .因为0A，所以23A.【小问 2 详解】设CDx，则2BDx，在ADB中，有2222244cos28ADBDABxcADBADBDx.在ADC中，有222224cos24ADCDACxbADCAD CDx.又ADBADC，所以coscosADBADC，所以有2226212cxb.第 16 页/共 22 页学科网（北京）股份有限公司又2cb，所以222b

38、x.在ABC中，由余弦定理可得2222cosabcbcA.又3ax，2cb，23A，所以有22222194472xbbbb.联立2222297bxxb，解得73xb，所以26cb，所以，1139 3sin3 62222ABCSbcA .19.在平行四边形 ABCD 中，3 2AB，2 2BC，23ABC，过 D 点作DEAB于 E，以 DE为轴，将ADEV向上翻折使平面ADE 平面 BCDE，连接 CE，F 点为线段 CE 的中点，Q 为线段 AC 上一点 （1）证明：BFAC；（2）若二面角ADQE的余弦值为3 337，求CQCA的值【答案】（1）证明见解析 （2）13CQCA【解析】【分析

39、】（1）由平面与平面垂直的性质以及直线与平面垂直的判定定理即可得证；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法即可求出答案.【小问 1 详解】证明：面ADE 面 BCDE，面ADE 面BCDEDE，且AEDE，AE面 BCDE，又BF面 BCDE，AEBF，又在RtAED中，11222AEADBC，第 17 页/共 22 页学科网（北京）股份有限公司则22BEBC，又 F 为 CE 中点，故BFEC，且,AEECE AE EC面 AEC，则BF 面 AEC，又AC面 AEC，所以BFAC【小问 2 详解】由（1）知，ED，EB，EA 互相垂直，分别以 ED，EB，EA 为 x，y，z 轴非负半轴

40、建立如图所示的空间直角坐标系，其中(0,0,0)E，(0,0,2)A，(6,0,0)D，(6,3 2,0)C，则(6,0,0)ED，(0,3 2,0)DC，(6,0,2)DA ，不妨设,10CQCA ，则(1)(6,3 2(1),2)DQDCDA ，再设111(,)mx y z，222(,)nxyz分别是面 ADQ、面 EDQ 的法向量，则分别满足0,0m DAm DC 与0,0,n EDn DQ 令11x，2y，得到(1,0,3)m，(0,3(1)n 由题意知，223 3(1)3 3cos,3729(1)m nm nm n ，解得13，即13CQCA20.已知数列 na满足10a，212lo

41、g,21,N2,2,Nnnnaa nkkank k.（1）判断数列21na是否是等比数列？若是，给出证明；否则，请说明理由；（2）若数列 na的前 10 项和为 361，记221221lognnnbaa，数列 nb的前n项和为nT，求证：12nT.【答案】（1）数列21na成等比数列，证明见解析 第 18 页/共 22 页学科网（北京）股份有限公司（2）证明见解析【解析】【分析】（1）推导出22212log22121224nnaannaa，得到结论；（2）先得到12114nnaa，2212(1)lognana，从而得到101213415log20Saa，令2()3415log20f xxx，得

42、到函数单调递增，且由特殊点函数值得到11a，214nbn，求出11744T，当2n 时，利用裂项相消法求和，得到12nT.【小问 1 详解】数列21na成等比数列，证明如下：根据212log,21,N2,2,Nnnnaa nkkank k得，22212log222121212224nnaannnaaa；10a，210na，21214nnaa，即数列21na成等比数列.【小问 2 详解】由（1）得，12114nnaa，222121log2(1)lognnaana，故0123410121444445log2(0 1234)Saa 1213415log20aa，由10361S，得1213415log

43、20361aa.令2()3415log20f xxx，当0 x 时，2()3415log20f xxx单调递增，且1(1)361ff a，故11a，22142nnna，2221log22naann，22212211log4nnnbaan，111142Tb，当2n 时，2111114(1)414nbnnnnn第 19 页/共 22 页学科网（北京）股份有限公司121111111142231nnTbbbnn111122442n，综上，知12nT 21.已知函数22113()ln222f xxaxxxax.（1）讨论函数()f x的极值点；（2）若()f x极大值大于 1，求a的取值范围.【答案】（

44、1）答案不唯一，具体见解析（2）(1,)(,)eae【解析】【分析】（1）求出导函数1()()ln2fxxax，分类讨论明确函数的单调性，从而得到函数()f x的极值点；（2）由（1），0a 和ae时，无极大值，不成立；当ae时，当0ae时分别利用()f x极大值大于 1，建立不等关系即可.【详解】131()()ln()ln222fxxaxxaxaxax（1）0a 时，()f x在(0,)e单减，(,)e 单增，极小值点为xe；0ae时，()f x在(0,)a单增，(,)ae单减，(,)e 单增，极小值点为xe，极大值点为xa；ae时，()f x在(0,)单增，无极值点；ae时，()f x在(

45、0,)e单增，(,)e a单减，(,)a 单增，极小值点为xa，极大值点为xe.（2）由（1），0a 和ae时，无极大值，不成立当ae时，极大值()14eeefa，解得14aee，由于1131310444eeeeeee，所以ae.第 20 页/共 22 页学科网（北京）股份有限公司当0ae时，极大值21()(2ln)12f aaa，得222lnaa，令2ta，则12()2ln2g ttt22124()22tg tttt，()g t在4t 取得极大值(4)0g，且(1)0g.而ae，te,而()g t在(1,)e单增，所以()0g t 解为(1,)e，则(1,)ae.综上(1,)(,)eae.【

46、点睛】本小题主要考查函数的求导法则、函数的极值点与极值的概念等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力与创新意识，考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想、分类与整合思想，考查数学抽象、直观想象、数学运算、逻辑推理等核心素养，体现综合性、应用性与创新性22.已知双曲线22149xy与直线3:()2l ykxm k 有唯一的公共点 M.（1）若点2,9N在直线 l 上，求直线 l 的方程；（2）过点 M 且与直线 l 垂直的直线分别交 x 轴于1(,0)A x，y 轴于1(0,)By两点.是否存在定点 G，H，使得 M 在双曲线上运动时，动点11(,)P x y使得PGPH为定值.【答案

47、】（1）542yx （2）存在定点13 13,06G，13 13,06H，使得当点 M 运动时，PGPH为定值 13【解析】【分析】（1）双曲线与直线联立方程组，由判别式为 0 和点2,9N在直线 l 上，解得,k m，可求直线 l的方程；（2）双曲线与直线联立方程组，求出点 M 坐标，表示出过点 M 且与直线 l 垂直的直线，解得1(,0)A x，1(0,)By两点，求动点11(,)P x y的轨迹方程，由方程确定满足条件的定点 G，H.【小问 1 详解】点2,9N在直线:l ykxm上，则有92km，第 21 页/共 22 页学科网（北京）股份有限公司 联立22149xyykxm，则222

48、9484360kxkmxm，由2940k，则2222644 94436)0(k mkm，可得2249mk，所以：229249kk，解得52k，当52k 时，4m；所以直线 l 的方程：542yx【小问 2 详解】联立22149xyykxm，则2229484360kxkmxm，因为32k ，M 是双曲线与直线的唯一公共点，所以2222644 944360k mkm，化简得2249mk，解得点 M 的坐标为2249,9494kmmkk，即为49,kmm，于是，过点 M 且与 l 垂直的直线为914kyxmkm，第 22 页/共 22 页学科网（北京）股份有限公司可得13,0kAm，130,Bm，1313,kPmm，即113kxm，113ym，于是222211222211691699169916991699114444413kmxymmmy，即 P 的轨迹方程为：221(0)16916949xyy，由双曲线的定义可知，存在定点13 13,06G，13 13,06H，使得当点 M 运动时，PGPH为定值 13.【点睛】方法点睛：解答直线与双曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去 x(或 y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系要强化有关直线与双曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题