第2章-随机过程的基本概念.ppt

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1、2 随机过程的基本概念随机过程的基本概念2.1 引言与基本概念引言与基本概念2.1.1 引言引言数学模型数学模型确定性的函数确定性的函数无穷多个无穷多个(一族一族)相相关的随机变量关的随机变量(随机随机过程过程)随机变量随机变量(随机向量随机向量)概率论概率论随机随机过程过程随随机机性性方方法法确定性方法确定性方法2 随机过程的基本概念随机过程的基本概念概率空间随机变量随机向量随机过程样本空间概率空间和随机对象2 随机过程的基本概念随机过程的基本概念随机变量、随机向量是状态观察的结果随机过程是过程观察的结果对随机过程采样得到随机变量和随机向量随机对象所描述的客观对象的差别2 随机过程的基本概念

2、随机过程的基本概念2.1.2 基本概念基本概念定义定义1 设设(,F F,P)是概率空间，对每一个参数是概率空间，对每一个参数 t T，X(t,)是一是一个随机变量，称随机变量族个随机变量，称随机变量族XT=X(t,),t T 为该概率空间上的一个为该概率空间上的一个随机随机过程过程(stochastic process)，或称为随机函或称为随机函数。随机数。随机过程过程 X(t,)也记作也记作X T()、X(t)、X t。用映射可以表示为用映射可以表示为X T X(t,)：T R R即即X(,)是定义在是定义在T 上的二元函数上的二元函数.2 随机过程的基本概念随机过程的基本概念说明说明:随

3、机随机过程过程 X(t,)是定义在是定义在T 上的二元函数：上的二元函数：固定固定t T，则则 X(t,)表示系统表示系统t时刻所处的状态，是定义在样本空时刻所处的状态，是定义在样本空间间 上的函数上的函数随机变量随机变量。固定固定 ，则则X(,)(t 在在T 中顺序变化中顺序变化)是参数是参数t T 的一般函数的一般函数,称之为称之为样本函数样本函数(sample function)（路径路径(path)、现实现实(realization)、轨道轨道(trajectory)）.样本函数全体称为样本函数全体称为样本函数空样本函数空间间。随机随机过程过程 X(t,)是可能取值的全体所构成的集合称

4、为是可能取值的全体所构成的集合称为状态空间状态空间(state space)或或相空间相空间(phase space)，记作记作 S S随机过程的两种观点随机过程的两种观点观点一：随机过程是样本空间为函数的概率空间缺点：概率特性描述上不方便。概率集函数描述了样本函数组成的事件的概率，不直观观点二：随机过程是随时间参变量变化的一族随机变量直观，便于用概率函数描述2 随机过程的基本概念随机过程的基本概念例题：例题：38-40例例1:电话交换站收到的呼叫次数电话交换站收到的呼叫次数例例2:电子元件或器件的热噪声电压电子元件或器件的热噪声电压例例32.2 随机过程的分类随机过程的分类随机过程随机过程Z

5、(t,)的分类的分类(一一)根据参数根据参数T的性质和状态空间的性质和状态空间S S取值取值(状态状态)的特征随机的特征随机过程通常分为四类过程通常分为四类离散参数离散型随机过程离散参数离散型随机过程 T 可列可列 S S可列可列连续参数离散型随机过程连续参数离散型随机过程 T 不不可列可列 S S可列可列离散参数连续型随机过程离散参数连续型随机过程 T 可列可列 S S不不可列可列连续参数连续型随机过程连续参数连续型随机过程 T不不可列可列不不S S可列可列2.2 随机过程的分类随机过程的分类特别特别 T 可列时可列时,称称X(t,)为为离散参数随机离散参数随机过程过程(stochastic

6、 process with discrete parameter),或或随机序列随机序列(random sequence)或或时间序列时间序列(time series)T 连续连续(T=R R1 or T=a,b R R1)时时,称称X(t,)为为连续参数连续参数(continuous parameter)过程过程,或或可列可列(有限有限)过程过程(denumerable(finite)process),或或离散状态离散状态过程过程(discrete state process)S S连续时连续时,称称X(t,)为为连续状态连续状态过程过程(continuous state process).

7、2.2 随机过程的分类随机过程的分类随机过程随机过程X(t,)的分类的分类(二二)根据随机过程根据随机过程X(t,)的概率分布特性主要分为：的概率分布特性主要分为：正态随机正态随机过程过程 Gauss随机过程随机过程Poissin随机过程随机过程X(t,)的概率密度函数族的概率密度函数族是正态分布函数族是正态分布函数族X(t,)的概率密度函数族的概率密度函数族是是Gauss分布函数族分布函数族X(t,)的概率密度函数族的概率密度函数族是是Poissin分布函数族分布函数族2.2 随机过程的分类随机过程的分类随机过程随机过程X(t,)的分类的分类(三三)根据随机过程根据随机过程X(t,)的记忆特

8、性主要分为：的记忆特性主要分为：纯粹独立随机纯粹独立随机过程过程;独立增量独立增量过程过程;Markov随机随机过程过程;记忆性：记忆性：随机随机过程过程 t:X(t,);t+:X(t+,).Xt与与X t+的值是否具有的值是否具有相关性？相关性？2.2 随机过程的分类随机过程的分类随机过程随机过程X(t,)的分类的分类(四四)根据随机过程根据随机过程X(t,)的性质的性质(Xt 间的概率关系间的概率关系)主要分主要分为：为：二阶矩二阶矩过程过程马尔科夫马尔科夫过程过程独立增量独立增量过程过程鞅鞅(5)更新更新过程过程2.2 随机过程的分类随机过程的分类亦可以根据随机过程亦可以根据随机过程X(

9、t,)的遍历性、功率普密的遍历性、功率普密度等进行分类。度等进行分类。这些分类这些分类标准标准都是人们都是人们观察观察随机过程的随机过程的角度角度，当观察的角度变化时，标准也随之变化。当观察的角度变化时，标准也随之变化。2.3 随机过程的有限维分布函数族随机过程的有限维分布函数族定义定义1：设设X(t,)为一随机为一随机过程过程，t=constT，X(t,)为为一随机变量，其分布函数一随机变量，其分布函数 称为随机过程称为随机过程X(t,)的的一维分布函数一维分布函数。2.3 随机过程的有限维分布函数族随机过程的有限维分布函数族定义定义2：设设X(t,)为一随机为一随机过程过程，一般地，一般地

10、，t1=const1,t2=const2,tn=constn T，随机变量随机变量X(t1,),X(t2,),X(tn,)的的n维联合分布函维联合分布函数数 称为随机过程称为随机过程X(t)=X(t,),t T 的的n维分布函数维分布函数。2.3 随机过程的有限维分布函数族随机过程的有限维分布函数族定义定义3：设设X(t)=X(t,)=X(t,),t T 为为一随机一随机过程过程，其有限维分布函数的全体其有限维分布函数的全体 称为随机称为随机过程过程 X(t,),t T 的的有限维分布函数有限维分布函数族族。2.3 随机过程的有限维分布函数族随机过程的有限维分布函数族随机过程随机过程X(t)有

11、限维分布函数族的性质有限维分布函数族的性质对称性对称性 对对(1,2,n)的任一排列的任一排列(j1,j2,jn)有有相容性相容性 对对 mn2.3 随机过程的有限维分布函数族随机过程的有限维分布函数族随机过程概率特征的分析研究方法随机过程概率特征的分析研究方法(1)理论理论:(2)实际问题中实际问题中:随机试验随机试验的结果的结果随机随机过程过程的的数学模型数学模型有限维有限维分布函数族分布函数族F(ti;xi)X(t,),t T 概率规律性概率规律性F(ti;xi),i=1,2,n概率概率规律性规律性近似近似建立建立一一 一一 对应对应的关系的关系？2.3 随机过程的有限维分布函数族随机过

12、程的有限维分布函数族定义：设定义：设X(t)=X(t,)=X(t,),t T 为一随机为一随机过程过程，其有限维分布函数为其有限维分布函数为则其对应的特征函数为则其对应的特征函数为2.3 随机过程的有限维分布函数族随机过程的有限维分布函数族例题：例题：43-44例例1，例，例2，2.4 随机过程的数字特征随机过程的数字特征X(t)的的有限维特征函数族为有限维特征函数族为一般一般随机随机过程过程分布函数分布函数特征函数特征函数2.4 随机过程的数字特征随机过程的数字特征1、均值函数均值函数定义定义：设：设X(t)=X(t,),tT 为一个随机为一个随机过程过程，若若 t T,EX(t)存在，则称

13、存在，则称mX(t)=EX(t)为随机过程为随机过程X(t)的的均值函数均值函数(mean function)X X(t,)X X(t,2 2)X X(t,i i)X X(t)tmX X(t)=EX X(t)X X(t,k k)t1mX X(t1)随机过程随机过程X(t)在各个时刻在各个时刻的摆动中心的摆动中心2.4 随机过程的数字特征随机过程的数字特征2、方差函数、方差函数定义定义：设：设X(t)=X(t,),t T 为一个随机为一个随机过程过程，若若 t T,EX(t)存在，则称存在，则称 DX(t)=E(X(t)-mX(t)2为随机过程为随机过程X(t)的的方差函数方差函数(varian

14、ce function).随随机机过过程程X(t)的的方方差差函函数数DX(t)亦亦记记为为 ，其其平平方方根根称称为为随随机机过过程程X(t)的的均均方方根根差差(mean aquare root variance)或或标标准差准差(standard deviation)，记作记作他他表表示示随随机机过过程程X(t)在在时时刻刻t T 相相对对于于均均值值mX(t)的的偏偏离离程程度。度。2.4 随机过程的数字特征随机过程的数字特征设设X(t)=X(t,),t T，和和 Y(t)=Y(t,),t T 为两个随机为两个随机过程过程，若，若 tT：mX(t)=mY(t)，DX(t)=DY(t)(

15、a)j=const :X(t,j)X(t1,j)与与X(t2,j)线性联系较弱；线性联系较弱；(b)i=const :Y(t,i)Y(t1,i)-mY(t1)Y(t2,i)-mY(t2)Y(t1,i)与与Y(t2,i)线性联系密切；线性联系密切；“协方差函数协方差函数”mY Y(t)mX X(t)ttY Y(t)X X(t)t1t1t2t2Y Y(t1,i i)-mY Y(t1)Y Y(t2,i i)-mY Y(t2)(a)(b)2.4 随机过程的数字特征随机过程的数字特征3、协方差函数协方差函数定义定义：设：设X(t)=X(t,),t T 为一个随机为一个随机过程过程，若若 t,s T,称称

16、 CX(s,t)=covX(s),X(t)=EX(s)-mX(s)X(t)-mX(t)为随机过程为随机过程X(t)的的(自自)协方差函数协方差函数(covariance function).自自协协方方差差函函数数是是s,t(T)的的函函数数，他他描描绘绘了了两两个个不不同同参参数数s,t 时时刻随机过程刻随机过程X(t)状态之间的联系；状态之间的联系；特别特别 s=t 时，即时，即 CX(t,t)=DX(t)2.4 随机过程的数字特征随机过程的数字特征4、相关函数相关函数定义定义：设：设X(t)=X(t,),t T 为一个随机为一个随机过程过程，若若 t,s T，称称 RX(s,t)=E X

17、(s)X(t)为随机过程为随机过程X(t)的的(自自)相关函数相关函数(auto-correlation function).自自相相关关函函数数是是s,t(T)的的函函数数，他他描描绘绘了了两两个个不不同同参参数数s,t 时时刻刻随机过程随机过程X(t)状态之间的联系；状态之间的联系；特别特别 s=t:DX(t)=CX(t,t)=RX(t,t)-mX(t)2 mX(t)=EX(t)0:CX(s,t)=RX(s,t)5、均方值函数均方值函数定义定义：设：设X(t)=X(t,),t T 为一个随机为一个随机过程过程，若若 s T，X(t)是一随机是一随机过程过程，称，称 X(t)=EX(t)2为

18、为均方值函数均方值函数。2.4随机过程的数字特征随机过程的数字特征2.4 随机过程的数字特征随机过程的数字特征6、相关系数相关系数定义定义：设：设X(t)=X(t,),t T 为一个随机为一个随机过程过程，若若 t,s T，称称 为随机过程为随机过程X(t)的的(自自)相关相关系数系数.他他描描绘绘了了随随机机变变量量X(s),X(t)(t,s=const T)之之间间线线性性联联系系的密切程度。的密切程度。2.4 随机过程的数字特征随机过程的数字特征7、连续分布随机过程的数字特征连续分布随机过程的数字特征设设X(t)=X(t,),t T为一个随机为一个随机过程过程，若，若 t1=const T,X(t1)为一随机变量，其分布函数为一随机变量，其分布函数 ,概率密度概率密度则则 均值函数：均值函数：方差函数：方差函数：随机变量随机变量X(t1)的二阶中心矩的二阶中心矩2.4 随机过程的数字特征随机过程的数字特征相关函数相关函数随机变量随机变量X(t1),X(t2)的二阶混合原点矩的二阶混合原点矩2.4 随机过程的数字特征随机过程的数字特征协方差函数协方差函数随机变量随机变量X(t1),X(t2)的二阶混合中心矩的二阶混合中心矩2.4 随机过程的数字特征随机过程的数字特征例题：例题：47-48例例1，例，例2，例，例3作业：作业：62-631、3、7