十年（2014-2023）高考数学真题分项汇编（全国通用）专题23立体几何解答题（理科）含答案.docx

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1、十年（20142023）年高考真题分项汇编立体几何解答题目录题型一：证明平行问题1题型二：证明垂直问题2题型三：求线线角5题型四：求线面角7题型五：求二面角16题型六：求几何题的表面积和体积18题型七：求距离的问题30题型八：根据条件确定点的位置31题型九：立体几何中求最值问题36题型十：立体几何的综合应用37题型一：证明平行问题1(2019江苏第16题)如图，在直三棱柱中，分别为，的中点，求证：(1)平面；(2)2(2022高考北京卷第17题)如图，在三棱柱中，侧面为正方形，平面平面，M，N分别为，AC的中点(1)求证：平面；(2)再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB与平面

2、BMN所成角的正弦值条件：；条件：注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分3(2016高考数学山东理科第17题)(本小题满分12分)在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O的直径，FB是圆台的一条母线(I)已知分别为，的中点，求证：GH平面ABC；(II)已知，求二面角的余弦值题型二：证明垂直问题1(2020江苏高考第15题)在三棱柱中，平面，分别是的中点(1)求证：平面；(2)求证：平面平面2(2018年高考数学江苏卷第15题)(本小题满分14分)在平行六面体中，求证：(1)；(2)3(本小题满分12分)如图，在五面体中，点是矩形的对角线的交点，面是等边三角形，棱

3、()证明平面；()设，证明平面4(2014高考数学江苏第16题)如图，在三棱锥中，E，F分别为棱的中点 已知，(1)求证：直线平面；(2)求证：平面平面5(2015高考数学江苏文理第16题)如图，在直三棱柱中，已知，设的中点为， 求证：(1)； (2)ABCDEA1B1C16(2017年高考数学江苏文理科第15题)如图,在三棱锥中, , 平面平面, 点(与不重合)分别在棱,上,且求证:(1)平面;(2)(第15题)ADBCEF7(2016高考数学江苏文理科第16题)如图，在直三棱柱中，分别为的中点，点在侧棱上，且，求证：(1)直线平面； (2)平面平面8(2023年全国乙卷理科第19题)如图，

4、在三棱锥中，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，点F在AC上，(1)证明：平面；(2)证明：平面平面BEF；(3)求二面角正弦值题型三：求线线角1(2018年高考数学上海第17题)(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)已知圆锥的顶点为，底面圆心为，半径为2，(1)设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积；(2)设，是底面半径，且，为线段的中点，如图，求异面直线与 所成的角的大小2(2015高考数学新课标1理科第18题)如图，四边形为菱形，是平面同一侧的两点，平面，平面，(1)证明：平面平面;(2)求直线与直线所成角的余弦值3(2016高考数学上海理科第19题)(本题满分12分)本题

5、共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分将边长为1的正方形(及其内部)绕的旋转一周形成圆柱，如图，长为，长为，其中与在平面的同侧(1)求三棱锥的体积；(2)求异面直线与所成的角的大小 4(2015高考数学广东理科第18题)(本小题满分14分) 如图2，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD=PC=4，AB=6，BC=3点E是CD边的中点，点F，G分别在线段AB，BC上，且AF=2FB，CG=2GB(1)证明：PEFG；(2)求二面角PADC的正切值；(3)求直线PA与直线FG所成角的余弦值题型四：求线面角1(2021年高考浙江卷第19题)如图，在四棱锥中，底面是平行

6、四边形，M，N分别为的中点，(1)证明：；(2)求直线与平面所成角的正弦值2(2020年高考课标卷理科第20题)如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形，M，N分别为BC，B1C1的中点，P为AM上一点，过B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F(1)证明：AA1MN，且平面A1AMNEB1C1F；(2)设O为A1B1C1的中心，若AO平面EB1C1F，且AO=AB，求直线B1E与平面A1AMN所成角的正弦值3(2020北京高考第16题)如图，在正方体中，为的中点()求证：平面；()求直线与平面所成角的正弦值4(2019浙江第19题)如图，已知三棱柱，平面平

7、面，分别是，的中点()证明：；()求直线与平面所成角的余弦值5(2019天津理第17题)如图，平面，()求证：平面；()求直线与平面所成角的正弦值；()若二面角的余弦值为，求线段的长6(2023年全国甲卷理科第18题)如图，在三棱柱中，底面ABC，到平面的距离为1 (1)证明：；(2)已知与的距离为2，求与平面所成角的正弦值7(2020年新高考全国卷数学(海南)第20题)如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD底面ABCD设平面PAD与平面PBC的交线为(1)证明：平面PDC；(2)已知PD=AD=1，Q为上的点，QB=，求PB与平面QCD所成角的正弦值8(2020年浙江省高考数学试卷第1

8、9题)如图，三棱台DEFABC中，面ADFC面ABC，ACB=ACD=45，DC =2BC(I)证明：EFDB；(II)求DF与面DBC所成角的正弦值9(2022年高考全国甲卷数学(理)第18题)在四棱锥中，底面(1)证明：；(2)求PD与平面所成的角的正弦值10(2022年浙江省高考数学试题第19题)如图，已知和都是直角梯形，二面角的平面角为设M，N分别为的中点(1)证明：；(2)求直线与平面所成角的正弦值11(2022年高考全国乙卷数学(理)第18题)如图，四面体中，E为的中点(1)证明：平面平面；(2)设，点F在上，当的面积最小时，求与平面所成的角的正弦值12(2018年高考数学江苏卷第

9、25题)(本小题满分10分)如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=2，点P，Q分别为A1B1，BC的中点(1)求异面直线BP与AC1所成角的余弦值；(2)求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值13(2018年高考数学浙江卷第19题)(本题满分15分)如图，已知多面体，均垂直于平面， ，(1)证明：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值 14(2018年高考数学课标卷(理)第18题)(12分)如图，四边形为正方形，分别为的中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且(1)证明:平面平面；(2)求与平面所成角的正弦值15(2014高考数学陕西理科第19题)四面体及其三视图如图所示，

10、过被的中点作平行于，的平面分别交四面体的棱于点证明：四边形是矩形；求直线与平面夹角的正弦值122主视图左视图俯视图ABCDEFGH16(2014高考数学福建理科第17题)(本小题满分12分)在平行四边形中， 将沿折起，使得平面平面，如图：(1)求证：；(2)若为中点，求直线与平面所成角的正弦值 17(2014高考数学北京理科第17题)如图, 正方形AMDE的边长为2, B, C分别为AM、MD的中点, 在五棱锥PABCDE中, F为棱PE的中点, 平面ABF与棱PD, PC分别交于点G、H (1)求证：AB / FG ；(2)若PA平面ABCDE, 且PA=AE, 求直线BC与平面ABF所成角

11、的大小, 并求线段PH的长 18(2015高考数学新课标2理科第19题)(本题满分12分)如图，长方体中,，点，分别在，上，过点，的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形DD1C1A1EFABCB1()在图中画出这个正方形(不必说出画法和理由)；()求直线与平面所成角的正弦值19(2015高考数学上海理科第19题)(本题满分12分)如图，在长方体中，、分别是棱、的中点，证明、四点共面，并求直线与平面所成角的大小20(2017年高考数学浙江文理科第19题)如图,已知四棱锥,是以为斜边的等腰直角三角形,为的中点()证明:平面;()求直线与平面所成角的正弦值(第19题图)21(2016高考数学课

12、标卷理科第19题)如图,四棱锥中,地面,ADBC,为线段上一点,为的中点.()证明平面;()求直线与平面所成角的正弦值.PNMABCD22(2016高考数学天津理科第17题)如图，正方形的中心为，四边形为矩形，平面平面，点为的中点，()求证：平面；()求二面角的正弦值；()设为线段上的点，且，求直线和平面所成角的正弦值 23(2016高考数学四川理科第18题)如图，在四棱锥中，为棱的中点，异面直线与所成的角为 (1)在平面内找一点，使得直线平面，并说明理由；(2)若二面角的大小为 ，求直线与 所成的角正弦值24(2017年高考数学北京理科第16题)如图,在四棱锥中,底面为正方形,平面平面,点在

13、线段上,平面,()求证:为的中点;()求二面角的大小;()求直线与平面所成角的正弦值题型五：求二面角1(2020天津高考第17题)如图，在三棱柱中，平面，点分别在棱和棱上，且为棱的中点()求证：；()求二面角的正弦值；()求直线与平面所成角的正弦值2(2020江苏高考第24题)在三棱锥中，已知,，为的中点，平面，为的中点(1)求直线与所成角的余弦值；(2)若点在上，满足，设二面角的大小为，求的值3(2021年新高考全国卷第19题)在四棱锥中，底面是正方形，若(1)证明：平面平面；(2)求二面角平面角的余弦值4(2021年高考全国乙卷理科第18题)如图，四棱锥的底面是矩形，底面，为的中点，且(1

14、)求；(2)求二面角的正弦值5(2020年高考课标卷理科第18题)如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，是底面的内接正三角形，为上一点，(1)证明：平面；(2)求二面角的余弦值6(2020年高考课标卷理科第19题)如图，在长方体中，点分别在棱上，且，(1)证明：点平面内；(2)若，求二面角的正弦值7(2019全国理第19题)图1是由矩形ADEB，RtABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB=1，BE=BF=2，FBC=60，将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连结DG，如图2(1)证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC平面BCGE；(2)求图2中的二面角BC

15、GA的大小8(2019全国理第17题)如图，长方体的底面是正方形，点在棱上，证明：平面；若，求二面角的正弦值9(2019全国理第18题)如图，直四棱柱的底面是菱形，分别是，的中点(1)证明：平面；(2)求二面角的正弦值10(2023年北京卷第16题)如图，在三棱锥中，平面， (1)求证：平面PAB；(2)求二面角的大小11(2023年新课标全国卷第20题)如图，三棱锥中，E为BC的中点 (1)证明：；(2)点F满足，求二面角的正弦值12(2022新高考全国II卷第20题)如图，是三棱锥的高，E是的中点(1)证明：平面；(2)若，求二面角正弦值13(2022新高考全国I卷第19题)如图，直三棱柱

16、的体积为4，的面积为(1)求A到平面的距离；(2)设D为的中点，平面平面，求二面角的正弦值14(2018年高考数学课标卷(理)第20题)(12分)如图，在三棱锥中，为的中点(1)证明：平面；(2)若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值PABMCO15(2014高考数学重庆理科第19题)如图(19)，四棱锥，底面是以为中心的菱形，底面， ， 为上一点，且，(1)求的长；(2)求二面角的正弦值。16(2014高考数学浙江理科第20题)如图，在四棱锥中，平面平面(1)证明：平面;(2)求二面角的大小17(2014高考数学四川理科第18题)三棱锥及其侧视图、俯视图如图所示设分别为线段的中点，为

17、线段上的点，且()证明：是线段的中点；()求二面角的余弦值18(2014高考数学山东理科第17题)如图，在四棱柱中，底面是等腰梯形，是线段的中点()求证：平面；()若垂直于平面且，求平面和平面所成的角(锐角)的余弦值19(2014高考数学辽宁理科第19题)(本小题满分12分)如图，和所在平面互相垂直，且，E、F分别为AC、DC的中点(1)求证：；(2)求二面角的正弦值20(2014高考数学课标1理科第19题)如图三棱柱中,侧面为菱形,(1)证明:;(2)若, 求二面角的余弦值21(2014高考数学湖南理科第19题)如图,四棱柱的所有棱长都相等,四边形和四边形均为矩形()证明:底面;()若,求二

18、面角的余弦值22(2014高考数学广东理科第18题)如图4，四边形为正方形，平面，于点，交于点(1)证明：；(2)求二面角的余弦值23(2014高考数学大纲理科第19题)如图，三棱柱中，点在平面内的射影在上，(1)证明：；(2)设直线与平面的距离为，求二面角的大小24(2015高考数学重庆理科第19题)(本小题满分13分，(1)小问4要，(2)小问9分)如图，三棱锥中，平面分别为线段上的点，且(1)证明：平面;(2)求二面角的余弦值25(2015高考数学浙江理科第17题)(本题满分15分)如图，在三棱柱-中，在底面的射影为的中点，为的中点(1)证明：平面；(2)求二面角的平面角的余弦值26(2

19、015高考数学四川理科第18题)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示，在正方体中，设的中点为，的中点为(1)请将字母标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)(2)证明：直线平面(3)求二面角的余弦值27(2015高考数学陕西理科第18题)(本小题满分12分)如图，在直角梯形中，是的中点，是与的交点将沿折起到的位置，如图 ()证明：平面；()若平面平面，求平面与平面夹角的余弦值28(2015高考数学山东理科第17题)如图，在三棱台中，分别为的中点()求证：平面；()若平面， ， ,求平面与平面 所成的角(锐角)的大小29(2015高考数学福建理科第17题)如图，在几何体ABC

20、DE中，四边形ABCD是矩形，AB平面BEC，BEEC，AB=BE=EC=2，G，F分别是线段BE，DC的中点()求证：平面 ； ()求平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值30(2015高考数学北京理科第17题)(本小题14分)如图，在四棱锥中，为等边三角形，平面平面，为的中点()求证：；()求二面角的余弦值；()若平面，求的值31(2015高考数学安徽理科第19题)(本小题满分13分)如图所示，在多面体，四边形，均为正方形，为的中点，过的平面交于F()证明：；()求二面角的余弦值32(2017年高考数学新课标卷理科第18题)如图,在四棱锥中,且(1)证明:平面平面;(2)若,求二面角的

21、余弦值33(2017年高考数学山东理科第17题)如图,几何体是圆柱的一部分,它是由矩形(及其内部)以边所在直线为旋转轴旋转得到的,是的中点()设是上的一点,且,求的大小;()当,求二面角的大小34(2017年高考数学江苏文理科第25题)如图, 在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AA1平面ABCD,且AB=AD=2,AA1=,(1)求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值;(2)求二面角B-A1D-A的正弦值(第22题)35(2016高考数学浙江理科第17题)(本题满分15分)如图，在三棱台中，平面平面， ()求证：；()求二面角的平面角的余弦值35(2016高考数学课标卷理科第19题)(

22、本小题满分)如图，菱形的对角线与交于点，点分别在上，交于点将沿折到的位置，(I)证明：平面；(II)求二面角的正弦值37(2016高考数学课标卷理科第18题)(本题满分为12分)如图，在以为顶点的五面体中，面为正方形，且二面角与二面角都是(I)证明平面；(II)求二面角的余弦值题型六：求几何题的表面积和体积1(2016高考数学江苏文理科第17题)现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥，下部分的形状是正四棱柱(如图所示)，并要求正四棱柱的高是正四棱锥的高的倍(1)若，则仓库的容积是多少；(2)若正四棱锥的侧棱长为，当为多少时，仓库的容积最大？2(2014高考数学上海理科第

23、19题)底面边长为2的正三棱锥，其表面展开图是三角形，如图求的各边长及此三棱锥的体积3(2014高考数学课标2理科第18题)(本小题满分12分)如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA平面ABCD，E为PD的中点()证明：PB平面AEC；()设二面角D-AE-C为60，AP=1，AD=，求三棱锥E-ACD的体积PEDCBA4(2014高考数学安徽理科第20题)如图，四棱柱中，底面四边形为梯形，且过三点的平面记为，与的交点为()证明：为的中点； ()求此四棱柱被平面所分成上下两部分的体积之比；()若，梯形的面积为，求平面与底面所成二面角的大小5(2015高考数学湖南理科第21题)如图

24、，已知四棱台上、下底面分别是边长为3和6的正方形，且底面，点，分别在棱，BC上(1)若是的中点，证明：；(2)若平面，二面角的余弦值为，求四面体的体积题型七：求距离的问题1(2019上海第17题)如图，在长方体中，为上一点，已知，.(1)求直线与平面的夹角；(2)求点到平面的距离.2(2023年天津卷第17题)三棱台中，若面，分别是中点 (1)求证：/平面；(2)求平面与平面所成夹角的余弦值；(3)求点到平面的距离题型八：根据条件确定点的位置1(2021高考北京第17题)如图：在正方体中，为中点，与平面交于点(1)求证：为的中点；(2)点是棱上一点，且二面角的余弦值为，求的值2(2014高考数

25、学湖北理科第19题) 如图，在棱长为2的正方体中，、分别是棱、的中点，点、分别在棱、上移动，且 ()当时，证明：直线平面；()是否存在，使平面与面所成的二面角为直二面角？若存在，求出的值；若不存在，说明理由3(2021年高考全国甲卷理科第19题)已知直三棱柱中，侧面为正方形，E，F分别为和中点，D为棱上的点 (1)证明：；(2)当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小?4(2021年新高考卷第20题)如图，在三棱锥中，平面平面，为的中点(1)证明：；(2)若是边长为1等边三角形，点在棱上，且二面角的大小为，求三棱锥的体积5(2016高考数学北京理科第17题)(本小题14分)如图，在四棱锥中，

26、平面平面，,，(I)求证：平面; (II)求直线与平面所成角的正弦值；()在棱上是否存在点，使得平面?若存在，求的值；若不存在，说明理由6(2023年新课标全国卷第18题)如图，在正四棱柱中，点分别在棱,上， (1)证明：；(2)点在棱上，当二面角为时，求7(2018年高考数学天津(理)第17题)(本小题满分13分)如图，且，且，且，平面，(1)若为的中点，为的中点，求证：平面；(2)求二面角的正弦值； (3)若点在线段上，且直线与平面所成的角为，求线段的长8(2014高考数学天津理科第17题)如图,在四棱锥中,底面,点为棱的中点 ()证明:;()求直线与平面所成角的正弦值;()若为棱上一点,

27、满足,求二面角的余弦值9(2015高考数学湖北理科第19题)(本小题满分12分)九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑如图，在阳马中，侧棱底面，且，过棱的中点，作交于点，连接 ()证明：试判断四面体是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角(只需写出结论)；若不是，说明理由；()若面与面所成二面角的大小为，求的值10(2017年高考数学天津理科第17题)如图,在三棱锥中,底面,点,分别为棱,的中点,是线段的中点,(1)求证:平面;(2)求二面角的正弦值;(3)已知点在棱上,且直线与直线所成角的余弦值为,求线段的长 11(2017年

28、高考数学课标卷理科第19题)如图，四面体中，是正三角形，是直角三角形，(1)证明：平面平面；(2)过的平面交于点，若平面把四面体分成体积相等的两部分，求二面角的余弦值12(2017年高考数学课标卷理科第19题)如图，四棱锥 中，侧面 为等比三角形且垂直于底面 ， 是 的中点(1)证明：直线 平面 ；(2)点 在棱 上，且直线 与底面 所成锐角为 ，求二面角 的余弦值 题型九：立体几何中求最值问题1(2020年新高考全国卷(山东)第20题)如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD底面ABCD设平面PAD与平面PBC的交线为l(1)证明：l平面PDC；(2)已知PD=AD=1，Q为l上的点，求

29、PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值2(2018年高考数学课标卷(理)第19题)(12分)如图，边长为的正方形所在平面与半圆弧所在的平面垂直，是弧上异于的点(1)证明：平面平面；(2)当三棱锥体积最大时，求面与面所成二面角的正弦值3(2014高考数学江西理科第20题)如图,四棱锥中,为矩形,平面平面求证:ABCDP若问为何值时,四棱锥的体积最大?并求此时平面与平面夹角的余弦值4(2015高考数学江苏文理第25题)如图，在四棱锥中，已知平面，且四边形为直角梯形，, (1)求平面与平面所成二面角的余弦值； (2)点是线段上的动点，当直线与所成角最小时，求线段的长PABCDQ题型十：立体几何的综合

30、应用1(2019北京理第16题)如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，ADCD，ADBC，PA=AD=CD=2，BC=3E为PD的中点，点F在PC上，且()求证：CD平面PAD；()求二面角FAEP的余弦值；()设点G在PB上，且判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由2(2017年高考数学江苏文理科第18题)如图,水平放置的正四棱柱形玻璃容器和正四棱台形玻璃容器的高均为32cm,容器的底面对角线AC的长为10cm,容器的两底面对角线,的长分别为14cm和62cm 分别在容器和容器中注入水,水深均为12cm 现有一根玻璃棒l,其长度为40cm(容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计)(1)将放

31、在容器中,的一端置于点A处,另一端置于侧棱上,求没入水中部分的长度;(2)将放在容器中,的一端置于点E处,另一端置于侧棱上,求没入水中部分的长度(第18题)十年（20142023）年高考真题分项汇编立体几何解答题目录题型一：证明平行问题1题型二：证明垂直问题6题型三：求线线角15题型四：求线面角20题型五：求二面角60题型六：求几何题的表面积和体积69题型七：求距离的问题129题型八：根据条件确定点的位置132题型九：立体几何中求最值问题155题型十：立体几何的综合应用161题型一：证明平行问题1(2019江苏第16题)如图，在直三棱柱中，分别为，的中点，求证：(1)平面；(2)【答案】见解析

32、【解析】证明：(1)因为分别为，的中点，所以在直三棱柱中，所以又因为平面，平面所以平面(2)因为，分别为的中点，所以因为三棱柱是直三棱柱，所以平面又因为平面，所以.因为平面，平面，所以平面因为平面，所以2(2022高考北京卷第17题)如图，在三棱柱中，侧面为正方形，平面平面，M，N分别为，AC的中点(1)求证：平面；(2)再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB与平面BMN所成角的正弦值条件：；条件：注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分【答案】解析:(1)取的中点为，连接，由三棱柱可得四边形为平行四边形，而，则，而平面，平面，故平面，而，则，同理可得平面，而平面，故平

33、面平面，而平面，故平面，(2)因为侧面为正方形，故，而平面，平面平面，平面平面，故平面，因为，故平面，因为平面，故，若选，则，而，故平面，而平面，故，所以，而，故平面，故可建立如所示的空间直角坐标系，则，故，设平面的法向量为，则，从而，取，则，设直线与平面所成的角为，则若选，因为，故平面，而平面，故，而，故，而，故，所以，故，而，故平面，故可建立如所示的空间直角坐标系，则，故，设平面的法向量为，则，从而，取，则，设直线与平面所成的角为，则3(2016高考数学山东理科第17题)(本小题满分12分)在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O的直径，FB是圆台的一条母线(I)已知分

34、别为，的中点，求证：GH平面ABC；(II)已知，求二面角的余弦值【答案】()见解析；()【解析】(I)证明：设的中点为,连接,在,因为是的中点，所以又所以在中，因为是的中点，所以，又,所以平面平面，因为平面，所以平面(II)解法一：连接,则平面，又且是圆的直径，所以以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，由题意得，过点作于点，所以可得故设是平面的一个法向量 由可得可得平面的一个法向量因为平面的一个法向量,所以所以二面角的余弦值为解法二：连接，过点作于点，则有,又平面，所以FM平面ABC,可得过点作于点，连接，可得,从而为二面角的平面角又因为是圆的直径，所以从而,可得所以二面角的余弦值为题

35、型二：证明垂直问题1(2020江苏高考第15题)在三棱柱中，平面，分别是的中点(1)求证：平面；(2)求证：平面平面【答案】(1)证明详见解析；(2)证明详见解析【解析】(1)由于分别是的中点，所以由于平面,平面，所以平面(2)由于平面，平面，所以由于，所以平面,由于平面，所以平面平面2(2018年高考数学江苏卷第15题)(本小题满分14分)在平行六面体中，求证：(1)；(2)【答案】证明：(1)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，ABA1B1因为AB平面A1B1C，A1B1平面A1B1C， 所以AB平面A1B1C(2)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，四边形ABB1A1为平行四

36、边形又因为AA1=AB，所以四边形ABB1A1为菱形，因此AB1A1B又因为AB1B1C1，BCB1C1， 所以AB1BC又因为A1BBC=B，A1B平面A1BC，BC平面A1BC，所以AB1平面A1BC因为AB1平面ABB1A1，所以平面ABB1A1平面A1BC3(本小题满分12分)如图，在五面体中，点是矩形的对角线的交点，面是等边三角形，棱()证明平面；()设，证明平面【答案】分析：本小题考查直线与平面平行、直线与平面垂直等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力。(I)证明：取CD中点M，连结OM在矩形ABCD中，又则连结EM，于是四边形EFOM为平行四边形。又平面CDE，且平面CDE，

37、平面CDE。(II)证明：连结FM。由(I)和已知条件，在等边中，且因此平行四边形EFOM为菱形，从而。平面EOM，从而而所以平面4(2014高考数学江苏第16题)如图，在三棱锥中，E，F分别为棱的中点 已知，(1)求证：直线平面；(2)求证：平面平面【答案】解析：(1)因为D，E分别为棱PC，AC的中点，所以DEPA 又因为PA 平面DEF，DE 平面DEF，所以直线PA平面DEF (2)因为D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，PA6，BC8，所以DEPA，DEPA3，EFBC4 又因为DF5，故DF2DE2EF2，所以DEF90，即DE丄EF 又PAAC，DEPA，所以DEAC 因为

38、ACEFE，AC 平面ABC，EF 平面ABC，所以DE平面ABC 又DE 平面BDE，所以平面BDE平面ABC 5(2015高考数学江苏文理第16题)如图，在直三棱柱中，已知，设的中点为， 求证：(1)； (2)ABCDEA1B1C1【答案】(1)详见解析(2)详见解析分析(1)由三棱锥性质知侧面为平行四边形,因此点为的中点，从而由三角形中位线性质得，再由线面平行判定定理得(2)因为直三棱柱中，所以侧面为正方形，因此，又，(可由直三棱柱推导)，因此由线面垂直判定定理得,从而，再由线面垂直判定定理得,进而可得解析：(1)由题意知，为的中点，又为的中点，因此又因为平面，平面，所以平面(2)因为棱

39、柱是直三棱柱，所以平面因为平面，所以又因为，平面，平面，所以平面又因为平面，所以因为，所以矩形是正方形，因此因为，平面，所以平面又因为平面，所以6(2017年高考数学江苏文理科第15题)如图,在三棱锥中, , 平面平面, 点(与不重合)分别在棱,上,且求证:(1)平面;(2)(第15题)ADBCEF【答案】(1)见解析(2)见解析 解析:证明:(1)在平面内,因为,所以 又因为平面, 平面,所以平面; (2)又因为平面平面,平面平面平面=,平面, ,所以平面 因为平面,所以 又因为, ,平面,平面,所以平面, 又因为平面,所以 7(2016高考数学江苏文理科第16题)如图，在直三棱柱中，分别为

40、的中点，点在侧棱上，且，求证：(1)直线平面； (2)平面平面【答案】见解析；【官方解答】(1)在直三棱柱中，在中，因为分别为的中点，所以，于是；又因为平面，且，所以直线平面(2)在直三棱柱中，平面因为平面，所以又因为，平面，所以平面因为平面，所以又因为，平面，平面，,所以平面因为直线平面，所以平面民间解答：(1)为中点，为的中位线，又为棱柱，又平面，且平面；(2)为直棱柱，平面，又且，平面平面，又，平面又平面，又，且平面平面，又平面平面8(2023年全国乙卷理科第19题)如图，在三棱锥中，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，点F在AC上，(1)证明：平面；(2)证明：平面平面BEF；(3)求二面角正弦值【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)解析(1)连接，设，则，则，解得，则为的中点，由分别为的中点，于是，即，则四边形为平行四边形，又平面平面，所以平面 (2)由(1)可知，则，得，因此，则，有，又，平面，则有平面，又平面，所以平面平面(3)过点作交于点，设，由，得，且，又由(2)知，则为二面角的平面角，因为分别为的中点，因此为的重心，即有，又，即有，解得，同理得，于是，即有，则，从而，在中，于是，所以二面角的正弦值为 题型三：求线线角1(2018年高考数学上海第17题)(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)已知圆