十年（2014-2023）高考数学真题分项汇编（全国通用）专题22导数解答题（理科）含答案1.docx

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1、十年（20142023）年高考真题分项汇编导数解答题目录题型一：导数的概念及几何意义1题型二：导数与函数的单调性2题型三：导数与函数的极值、最值4题型四：导数与函数零点问题7题型五：导数与不等式的证明9题型六：导数与其他知识的交汇题型11题型七：利用导数研究恒成立、能成立问题12题型八：导数的综合应用14题型一：导数的概念及几何意义1(2020北京高考第19题) 已知函数()求曲线的斜率等于的切线方程；()设曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为，求的最小值2(2018年高考数学天津（理）第20题) (本小题满分14分)已知函数，其中(1)求函数的单调区间；(2)若曲线在点处的切线与曲线

2、在点处的切线平行，证明；(3)证明当时，存在直线，使是曲线的切线，也是曲线的切线3(2020年新高考全国卷（山东）第21题) 已知函数(1)当时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；(2)若f(x)1，求a取值范围4(2020年新高考全国卷数学（海南）第22题) 已知函数(1)当时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1)处切线与两坐标轴围成的三角形的面积；(2)若f(x)1，求a的取值范围5(2018年高考数学浙江卷第22题) (本题满分15分)已知函数(1)若在处导数相等，证明：；(2)若，证明：对于任意，直线与曲线有唯一公共点6(2014高考数学课标1理

3、科第21题) 设函数,曲线在点处的切线(1)求; (2)证明: 7(2019全国理第20题)已知函数(1)讨论的单调性；(2)是否存在，使得在区间最小值为且最大值为1？若存在，求出的所有值；若不存在，说明理由8(2019全国理第20题)已知函数讨论的单调性，并证明有且仅有两个零点；设是的一个零点，证明曲线在点处的切线也是曲线的切线题型二：导数与函数的单调性1(2022高考北京卷第20题) 已知函数(1)求曲线在点处的切线方程；(2)设，讨论函数在上的单调性；(3)证明：对任意，有2(本小题满分12分)已知函数，其中，为参数，且()当时，判断函数是否有极值；()要使函数的极小值大于零，求参数的取

4、值范围；()若对()中所求的取值范围内的任意参数，函数在区间内都是增函数，求实数的取值范围3(2014高考数学重庆理科第20题) 已知函数的导函数为偶函数，且曲线在点处的切线的斜率为（1） 确定的值；（2） 若，判断的单调性；(3)若有极值，求的取值范围4(2014高考数学天津理科第20题) 设已知函数有两个零点,且()求的取值范围;()证明随着的减小而增大;()证明 随着的减小而增大5(2014高考数学江西理科第19题) 已知函数(1)当时,求的极值;(2)若在区间上单调递增,求b的取值范围 6(2015高考数学重庆理科第20题) (本小题满分12分，(1)小问7分，(2)小问5分)设函数(

5、1)若在处取得极值，确定的值，并求此时曲线在点处的切线方程；(2)若在上为减函数，求的取值范围7(2016高考数学北京理科第18题)(本小题13分)设函数，曲线在点处的切线方程为(I)求的值； ()求的单调区间8(2021年高考全国甲卷理科第21题)已知且，函数(1)当时，求的单调区间；(2)若曲线与直线有且仅有两个交点，求a的取值范围9(2020年高考课标卷理科第21题)已知函数(1)当a=1时，讨论f(x)的单调性；(2)当x0时，f(x)x3+1，求a的取值范围题型三：导数与函数的极值、最值1(2023年北京卷第20题) 设函数，曲线在点处的切线方程为(1)求的值；(2)设函数，求的单调

6、区间；(3)求的极值点个数2(2023年新课标全国卷第22题) (1)证明：当时，；(2)已知函数，若是的极大值点，求a的取值范围 3(2021高考北京第19题) 已知函数(1)若，求曲线在点处的切线方程；(2)若在处取得极值，求的单调区间，以及其最大值与最小值4(2018年高考数学课标卷（理）第21题) 已知函数(1)若，证明：当时，当时，；(2)若是的极大值点，求5(2018年高考数学课标卷（理）第21题) (12分)已知函数(1)讨论的单调性；(2)若存在两个极值点，证明：6(2018年高考数学北京（理）第18题) (本小题13分)设函数()若曲线在点处的切线与轴平行，求；()若在处取得

7、极小值，求的取值范围 7(2014高考数学山东理科第20题) 设函数(为常数，是自然对数的底数)()当时，求函数的单调区间；()若函数在内存在两个极值点，求的取值范围8(2014高考数学湖南理科第22题) 已知常数函数()讨论在区间上的单调性；()若存在两个极值点，且求的取值范围9(2014高考数学安徽理科第18题) 设函数，其中()讨论在其定义域上的单调性；()当时，求取得最大值和最小值时的的值10(2015高考数学安徽理科第21题) (本小题满分13分)设函数()讨论函数在内的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值；()记，求函数在上的最大值D；()在()中，取，求满足时的最大值11(20

8、17年高考数学浙江文理科第20题) 已知函数()求的导函数;()求在区间上的取值范围12(2017年高考数学山东理科第20题)已知函数,其中是自然对数的底数()求曲线在点处的切线方程;()令,讨论的单调性并判断有无极值;有极值时,求出极值 13(2017年高考数学课标卷理科第21题)(12分)已知函数(1)若，求的值；(2)设为整数，且对于任意正整数，求的最小值 14(2017年高考数学江苏文理科第20题)已知函数有极值,且导函数的极值点是的零点(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值)(1)求关于 的函数关系式,并写出定义域;(2)证明:;(3)若,这两个函数的所有极值之和不小于,求的取值范

9、围 15(2017年高考数学北京理科第19题)已知函数()求曲线在点处的切线方程;()求函数在区间上的最大值和最小值 16(2017年高考数学课标卷理科第21题)(12分)已知函数且(1)求 ；(2)证明：存在唯一的极大值点，且17(2016高考数学天津理科第20题)设函数，其中()求的单调区间；()若存在极值点，且，其中，求证：；()设，函数，求证：在区间上的最大值不小于18(2023年全国乙卷理科第21题)已知函数(1)当时，求曲线在点处切线方程；(2)是否存在a，b，使得曲线关于直线对称，若存在，求a，b的值，若不存在，说明理由(3)若在存在极值，求a的取值范围19(2019北京理第19

10、题)已知函数()求曲线的斜率为1的切线方程；()当时，求证：；()设，记在区间上的最大值为，当最小时，求a的值题型四：导数与函数零点问题1(2022年高考全国甲卷数学（理）第21题) 已知函数(1)若，求a的取值范围；(2)证明：若有两个零点，则环2(2018年高考数学课标卷（理）第21题) (12分)已知函数(1)若，证明：当时，；(2)若在只有一个零点，求3(2014高考数学四川理科第21题) 已知函数其中为自然对数的底数 ()设是函数的导函数，求函数在区间 上的最小值； ()若，函数在区间内有零点，求的取值范围 4(2014高考数学辽宁理科第21题) (本小题满分12分)已知函数，证明：

11、(1)存在唯一，使；(2)存在唯一，使，且对(1)中的5(2015高考数学新课标1理科第21题) (本小题满分12分)已知函数 ()当为何值时，轴为曲线 的切线；()用 表示中的最小值，设函数 ，讨论零点的个数6(2015高考数学天津理科第20题) (本小题满分14分)已知函数，其中(I)讨论的单调性；(II)设曲线与轴正半轴的交点为，曲线在点处的切线方程为,求证：对于任意的正实数，都有；(III)若关于的方程为实数)有两个正实根，求证： 7(2015高考数学四川理科第21题) 已知函数，其中(1)设是的导函数，评论的单调性； (2)证明：存在，使得在区间内恒成立，且在内有唯一解8(2015高

12、考数学江苏文理第19题) 已知函数(1)试讨论的单调性；(2)若(实数是与无关的常数)，当函数有三个不同的零点时，的取值范围恰好是，求的值9(2017年高考数学新课标卷理科第21题)已知函数(1)讨论的单调性;(2)若有两个零点,求的取值范围 10(2016高考数学课标卷理科第21题)(本小题满分12分)已知函数有两个零点(I)求a的取值范围；(II)设是的两个零点，证明：11(2020年高考课标卷理科第21题)设函数，曲线在点(，f()处的切线与y轴垂直(1)求b(2)若有一个绝对值不大于1的零点，证明：所有零点的绝对值都不大于112(2022年高考全国乙卷数学(理)第21题)已知函数(1)

13、当时，求曲线在点处切线方程；(2)若在区间各恰有一个零点，求a的取值范围13(2019全国理第20题)已知函数，为的导数证明：(1)在区间存在唯一极大值点；(2)有且仅有2个零点14(2019江苏第19题)设函数、为的导函数(1)若，求的值；(2)若，且和的零点均在集合中，求的极小值；(3)若，且的极大值为，求证:题型五：导数与不等式的证明1(2022年浙江省高考数学试题第22题) 设函数(1)求的单调区间；(2)已知，曲线上不同的三点处的切线都经过点证明：()若，则；()若，则(注：是自然对数的底数)2(2014高考数学大纲理科第22题) 函数(1)讨论的单调性；(2)设，证明：3(2015

14、高考数学广东理科第19题) (本小题满分14分) 设，函数 (1) 求的单调区间 ； (2) 证明：在上仅有一个零点； (3) 若曲线在点P处的切线与轴平行，且在点处的切线与直线OP平行(O是坐标原点),证明：4(2017年高考数学天津理科第20题)设,已知定义在上的函数在区间内有一个零点,为的导函数(1)求的单调区间;(2)设,函数,求证:;(3)求证:存在大于的常数,使得对于任意的正整数,且满足 5(2021年高考浙江卷第22题)设a，b为实数，且，函数(1)求函数的单调区间；(2)若对任意，函数有两个不同的零点，求a的取值范围；(3)当时，证明：对任意，函数有两个不同的零点，满足(注：是

15、自然对数的底数)6(2021年新高考全国卷第22题)已知函数(1)讨论的单调性；(2)从下面两个条件中选一个，证明：有一个零点；7(2021年新高考卷第22题)已知函数(1)讨论的单调性；(2)设，为两个不相等的正数，且，证明：8(2022新高考全国II卷第22题)已知函数(1)当时，讨论的单调性；(2)当时，求a的取值范围；(3)设，证明：9(2021年高考全国乙卷理科第20题)设函数，已知是函数的极值点(1)求a；(2)设函数证明:题型六：导数与其他知识的交汇题型1(2022新高考全国I卷第22题) 已知函数和有相同的最小值(1)求a；(2)证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点

16、，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列2(2015高考数学湖南理科第23题) 已知，函数记为的从小到大的第个极值点证明：(1)数列是等比数列;(2)若，则对一切，恒成立3(2015高考数学湖北理科第22题) (本小题满分14分)已知数列的各项均为正数，为自然对数的底数()求函数的单调区间，并比较与的大小；()计算，由此推测计算的公式，并给出证明；()令，数列，的前项和分别记为, 证明：4(2015高考数学广东理科第21题) (本小题满分14分) 数列满足 , (1) 求的值； (2) 求数列前项和； (3) 令，证明：数列的前项和满足5(2023年天津卷第20题)已知函数(1)求曲线在处切

17、线的斜率；(2)当时，证明：；(3)证明：6(2023年新课标全国卷第19题)已知函数(1)讨论的单调性；(2)证明：当时，7(2018年高考数学江苏卷第19题)(本小题满分16分)记分别为函数的导函数若存在，满足且，则称为函数与的一个“S点”(1)证明：函数与不存在“S点”；(2)若函数与存在“S点”，求实数a的值；(3)已知函数，对任意，判断是否存在，使函数与在区间内存在“S点”，并说明理由题型七：利用导数研究恒成立、能成立问题1(2023年全国甲卷理科第21题)已知函数(1)当时，讨论单调性；(2)若恒成立，求a的取值范围2(2014高考数学浙江理科第22题) 已知函数(1)若在上的最大

18、值和最小值分别记为，求；(2)设若对恒成立，求的取值范围3(2014高考数学陕西理科第23题) 设函数，其中是的导函数，求的表达式；若恒成立，求实数的取值范围；设，比较与的大小，并加以证明4(2014高考数学福建理科第20题) (本小题满分14分)已知函数(为常数)的图像与轴交于点，曲线在点处的切线斜率为 (1)求的值及函数的极值；(2)证明：当时，；(3)证明：对任意给定的正数，总存在，使得当，恒有 5(2014高考数学北京理科第18题) 已知, (1)求证：(2)在上恒成立，求a的最大值与b的最小值6(2015高考数学新课标2理科第21题) (本题满分12分)设函数()证明：在单调递减，在

19、单调递增；()若对于任意，都有，求的取值范围7(2015高考数学山东理科第21题) 设函数，其中()讨论函数极值点的个数，并说明理由；()若成立，求的取值范围8(2015高考数学北京理科第18题) (本小题13分)已知函数()求曲线在点处的切线方程；()求证：当时，；()设实数使得对恒成立，求的最大值9(2016高考数学四川理科第21题)设函数，其中(1)讨论的单调性；(2)确定的所有可能取值，使得在区间内恒成立，(为自然对数的底数)10(2016高考数学山东理科第20题)(本小题满分13分)已知(I)讨论的单调性；(II)当时，证明对于任意的成立11(2015高考数学福建理科第20题)已知函

20、数，()证明：当；()证明：当时，存在,使得对()确定k的所以可能取值，使得存在，对任意的恒有题型八：导数的综合应用1(2014高考数学课标2理科第21题) (本小题满分12分)已知函数=()讨论的单调性；()设，当时，, 求的最大值；()已知，估计ln2的近似值(精确到0001)2(2014高考数学湖北理科第22题) 为圆周率，为自然对数的底数 ()求函数的单调区间； ()求，这6个数中的最大数与最小数；()将，这6个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论3(2014高考数学江苏第19题) 已知函数，其中e是自然对数的底数 (1)证明：是R上的偶函数；(2)若关于的不等式在上恒成立，求实数的

21、取值范围；(3)已知正数满足：存在，使得成立 试比较与的大小，并证明你的结论4(2015高考数学江苏文理第17题) 某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路记两条相互垂直的公路为，山区边界曲线为，计划修建的公路为如图所示，为的两个端点，测得点到的距离分别为5千米和40千米，点到的距离分别为20千米和25千米，以所在的直线分别为轴，建立平面直角坐标系假设曲线符合函数(其中为常数)模型 (1)求的值； (2)设公路与曲线相切于点,的横坐标为 请写出公路长度的函数解析式，并写出其定义域； 当为何值时，公路的长度最短？求出最短长度

22、OC5(2020年高考课标卷理科第21题)已知函数f(x)=sin2xsin2x(1)讨论f(x)在区间(0，)的单调性；(2)证明：；(3)设nN*，证明：sin2xsin22xsin24xsin22nx6(2020天津高考第20题)已知函数，为的导函数()当时，(i)求曲线在点处的切线方程；(ii)求函数的单调区间和极值；()当时，求证：对任意的，且，有7(2019浙江第22题)已知实数，设函数，()当时，求函数的单调区间；()对任意均有，求的取值范围注：为自然对数的底数8(2019天津理第20题)设函数为的导函数()求的单调区间；()当时，证明；()设为函数在区间内的零点，其中，证明十年

23、（20142023）年高考真题分项汇编导数解答题目录题型一：导数的概念及几何意义1题型二：导数与函数的单调性13题型三：导数与函数的极值、最值23题型四：导数与函数零点问题55题型五：导数与不等式的证明79题型六：导数与其他知识的交汇题型93题型七：利用导数研究恒成立、能成立问题105题型八：导数的综合应用121题型一：导数的概念及几何意义1(2020北京高考第19题) 已知函数()求曲线的斜率等于的切线方程；()设曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为，求的最小值【答案】()，()【解析】()因为，所以，设切点为，则，即，所以切点为，由点斜式可得切线方程：，即()显然，因为在点处的切线

24、方程为：，令，得，令，得，所以，不妨设时，结果一样，则，所以，由，得，由，得，所以在上递减，在上递增，所以时，取得极小值，也是最小值为2(2018年高考数学天津（理）第20题) (本小题满分14分)已知函数，其中(1)求函数的单调区间；(2)若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线平行，证明；(3)证明当时，存在直线，使是曲线的切线，也是曲线的切线【答案】(1)解：由已知，则令 ，解得由，可知当变化时，的变化情况如下表：极小值所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为(2)证明：由可得曲线在点处的切线斜率为，由可得曲线在点处的切线斜率为因为这两条切线平行，故有，即两边取以为底的对数，得，所以(3)证

25、明：曲线在点处的切线，曲线在点处的切线，要证明当时，存在直线，使是曲线的切线，也是曲线的切线只需证明当时，存在，使得与重合即只需证明当时，方程组 有解，由得，代入，得 因此只需证明当时，关于的方程存在实数解设函数，既要证明当时，函数存在零点，可知当时，；当时，单调递减，又，故存在唯一的，且，使得，即，由此可得在上单调递增，在上单调递减，在处取得极大值因为，故，所以下面证明存在实数，使得由(1)可得，当时，有 ，所以存在实数，使得因此，当时，存在，使得所以当时，存在直线，使是曲线的切线，也是曲线的切线3(2020年新高考全国卷（山东）第21题) 已知函数(1)当时，求曲线y=f(x)在点(1，f

26、(1)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；(2)若f(x)1，求a取值范围【答案】(1)(2)解析：(1)，切点坐标为(1,1+e),函数f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为,即,切线与坐标轴交点坐标分别为,所求三角形面积为;(2)解法一：,，且设,则g(x)在上单调递增，即在上单调递增，当时，,成立当时， ，,存在唯一，使得，且当时，当时，因此1,恒成立；当时， 不是恒成立综上所述，实数a的取值范围是1,+)解法二：等价于,令,上述不等式等价于,显然为单调增函数，又等价于，即，令,则在上h(x)0,h(x)单调递增；在(1,+)上h(x)1,恒成立；当时， 不是恒成立综上所述，实数a的

27、取值范围是1,+)解法二：等价于,令,上述不等式等价于,显然为单调增函数，又等价于，即，令,则在上h(x)0,h(x)单调递增；在(1,+)上h(x)0,h(x)单调递减，,，a的取值范围是1,+)5(2018年高考数学浙江卷第22题) (本题满分15分)已知函数(1)若在处导数相等，证明：；(2)若，证明：对于任意，直线与曲线有唯一公共点【答案】【解法1】(1)函数的导函数，由得因为,所以由基本不等式得因为,所以设则所以0+所以在上单调递增,故,即(2)令,则所以,存在使,所以,对任意的及,直线曲线有公共点由得设则其中由(I)可知,又,故所以,即函数在上单调递减,因此方程至多1个实根综上，当

28、时，对于任意，直线与曲线有唯一公共点【解法2】(1)，令，故在上单调递增， (2)直线与曲线有唯一公共点，则有唯一解，即与有且只有一个交点， 令， 当时，即，此时单调递减，又时，时，故单调且，即有唯一解，当时，又，即，此时，又，故，即6(2014高考数学课标1理科第21题) 设函数,曲线在点处的切线(1)求; (2)证明:【答案】解析:(1) 函数的定义域为, 由题意可得(),故 (2)由(1)知,从而等价于 设函数,则,所以当时,当时,故在单调递减,在上单调递增,从而在上的最小值为( 设函数,则,所以当时,当时,故在上单调递增,在单调递减,从而在的最小值为( 综上:当时,即 7(2019全国

29、理第20题)已知函数(1)讨论的单调性；(2)是否存在，使得在区间最小值为且最大值为1？若存在，求出的所有值；若不存在，说明理由【答案】(1)见详解；(2)或【官方解析】(1) 令，得或若，则当时，；当时，故在单调递增，在单调递减；若时，在单调递增；若，则当时，；当时，故在单调递增，在单调递减(2)满足题设条件的存在()当时，由(1)知，在单调递增，所以在区间的最小值为，最大值为此时满足题设条件当且仅当，即()当时，由(1)知，在单调递减，所以在区间的最大值为，最小值为此时满足题设条件当且仅当，即 ()当时，由(1)知，在的最小值为，最大值为或若，则，与矛盾若，则或或，与矛盾综上，当且仅当或，

30、在最小值为，最大值为1【点评】这是一道常规的函数导数不等式和综合题，题目难度比往年降低了不少考查的函数单调性，最大值最小值这种基本概念的计算思考量不大，计算量略大8(2019全国理第20题)已知函数讨论的单调性，并证明有且仅有两个零点；设是的一个零点，证明曲线在点处的切线也是曲线的切线【答案】函数在和上是单调增函数，证明见解析；证明见解析.【官方解析】的定义域为.因为，所以在和上是单调递增.因为，所以在有唯一零点，即又，故在有唯一零点综上，有且仅有两个零点因为，故点在曲线上由题设知，即，故直线的斜率曲线在点处切线的斜率是，曲线在点处切线的斜率也是，所以曲线在点处的切线也是曲线的切线【分析】对函

31、数求导，结合定义域，判断函数的单调性；先求出曲线在处的切线，然后求出当曲线切线的斜率与斜率相等时，证明曲线切线在纵轴上的截距与在纵轴的截距相等即可.【解析】函数的定义域为，因为函数的定义域为，所以，因此函数在和上是单调增函数；当，时，而，显然当，函数有零点，而函数在上单调递增，故当时，函数有唯一的零点；当时，因为，所以函数在必有一零点，而函数在上是单调递增，故当时，函数有唯一的零点综上所述，函数的定义域内有2个零点；因为是的一个零点，所以，所以曲线在处的切线的斜率，故曲线在处的切线的方程为：而，所以的方程为，它在纵轴的截距为.设曲线的切点为，过切点为切线，所以在处的切线的斜率为，因此切线的方程

32、为，当切线的斜率等于直线的斜率时，即，切线在纵轴的截距为，而，所以，直线的斜率相等，在纵轴上的截距也相等，因此直线重合，故曲线在处的切线也是曲线的切线.【点评】本题考查了利用导数求已知函数的单调性、考查了曲线的切线方程，考查了数学运算能力.题型二：导数与函数的单调性1(2022高考北京卷第20题) 已知函数(1)求曲线在点处的切线方程；(2)设，讨论函数在上的单调性；(3)证明：对任意，有【答案】解析:(1)因为，所以，即切点坐标为，又，切线斜率切线方程为：(2) 因为， 所以，令，则， 在上单调递增，在上恒成立，上单调递增(3) 原不等式等价于，令，即证，由(2)知在上单调递增，在上单调递增

33、，又因为，所以命题得证2(本小题满分12分)已知函数，其中，为参数，且()当时，判断函数是否有极值；()要使函数的极小值大于零，求参数的取值范围；()若对()中所求的取值范围内的任意参数，函数在区间内都是增函数，求实数的取值范围【答案】分析：考查运用导数研究函数的单调性及极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力。(I)当时则在内是增函数，故无极值。(II)令得由及(I)，只需考虑的情况。当变化时，的符号及的变化情况如下表：000极大值极小值因此，函数在处取得极小值且要使必有可得所以(III)由(II)知，函数在区间与内都是增函数。由题设，函数在内是增函数，则须满足不等式组或由(I

34、I)，参数时，要使不等式关于参数恒成立，必有综上，解得或所以的取值范围是3(2014高考数学重庆理科第20题) 已知函数的导函数为偶函数，且曲线在点处的切线的斜率为（3） 确定的值；（4） 若，判断的单调性；(3)若有极值，求的取值范围【答案】(1)；(2)在R上为增函数；(3)详见解析解析：(1)对求导，由为偶函数，知，即，因，所以。又，故。(2)当时，那么故在R上为增函数。(3)由(1)知，而当时等号成立。下面分三类情况进行讨论：当时，对任意，此时无极值；当时，对任意，此时无极值；当时，令，注意到方程有两根，即有两根当时，；又当时，从而在处取得极小值；综上，若有极值，则取值范围为。4(20

35、14高考数学天津理科第20题) 设已知函数有两个零点,且()求的取值范围;()证明随着的减小而增大;()证明 随着的减小而增大【答案】();()详见解析;()详见解析解析:()由,可得下面分两种情况讨论:当时,由在上恒成立,可得在上单调递增,不合题意当时,由,得当变化时,的变化情况如下表:+-这时,的单调递增区间是;单调递减区间是于是,“函数有两个零点”等价于如下条件同时成立:；存在,满足；存在,满足由,即,解得,而此时,取,满足,且;取,满足,且所以,的取值范围是()由,有设,由知:在上单调递增,在上单调递减并且当时,;当时,由已知,满足,由及的单调性,可得,对于任意的,设,其中;,其中因为

36、在上单调递增,故由,即,可得;类似可得又由,得所以,随着的减小而增大()由,可得,故设,则,且解得,所以,令,则令,得当时,因此,在上单调递增,故对于任意的,由此可得,故在上单调递增因此,由可得随着的增大而增大而由(),随着的减小而增大,所以随着的减小而增大5(2014高考数学江西理科第19题) 已知函数(1)当时,求的极值;(2)若在区间上单调递增,求b的取值范围【答案】(1)在取极小值,在取极大值4(2) 分析:(1)求函数极值,首先明确其定义域:,然后求导数:当时,再在定义域下求导函数的零点:或根据导数符号变化规律,确定极值:当时,单调递减,当时,单调递增,当时,单调递减,故在取极小值,

37、在取极大值4(2)已知函数单调性,求参数取值范围,一般转化为对应导数恒非负,再利用变量分离求最值 由题意得对恒成立,即对恒成立,即,即 解析:(1)当时,由得或 当时,单调递减,当时,单调递增,当时,单调递减,故在取极小值,在取极大值4 (2)因为当时, 依题意当时,有,从而 所以b的取值范围为 6(2015高考数学重庆理科第20题) (本小题满分12分，(1)小问7分，(2)小问5分)设函数(1)若在处取得极值，确定的值，并求此时曲线在点处的切线方程；(2)若在上为减函数，求的取值范围【答案】(1)，切线方程为；(2)解析：解析：本题考查求复合函数的导数，导数与函数的关系，由求导法则可得，由

38、已知得，可得，于是有，由点斜式可得切线方程；(2)由题意在上恒成立，即在上恒成立，利用二次函数的性质可很快得结论，由得解析：(1)对求导得因为在处取得极值，所以，即当时，,故,从而在点处的切线方程为,化简得(2)由(1)得，, 令由，解得当时，,故为减函数；当时，,故为增函数；当时，,故为减函数；由在上为减函数，知，解得故a的取值范围为7(2016高考数学北京理科第18题)(本小题13分)设函数，曲线在点处的切线方程为(I)求的值； ()求的单调区间【答案】(I)，;(2)在上单调递增，无减区间【官方解答】()因为，所以依题设，即解得()由()知由即知，与同号令，则所以，当时，在区间上单调递减

39、；当时，在区间上单调递增故是在区间上的最小值，从而综上可知，故的单调递增区间为在上单调递增，无减区间【民间解答】(I) 曲线在点处的切线方程为，即 由解得：，(II)由(I)可知：，令，极小值的最小值是的最小值为即对恒成立8(2021年高考全国甲卷理科第21题)已知且，函数(1)当时，求的单调区间；(2)若曲线与直线有且仅有两个交点，求a的取值范围【答案】(1)上单调递增；上单调递减；(2)解析：(1)当时，,令得,当时，,当时，,函数在上单调递增；上单调递减；(2),设函数,则,令，得,在内,单调递增；在上,单调递减；,又，当趋近于时，趋近于0，所以曲线与直线有且仅有两个交点，即曲线与直线有

40、两个交点的充分必要条件是,这即是,所以的取值范围是【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，根据曲线和直线的交点个数求参数的取值范围问题，属较难试题，关键是将问题进行等价转化，分离参数，构造函数，利用导数研究函数的单调性和最值，图象，利用数形结合思想求解9(2020年高考课标卷理科第21题)已知函数(1)当a=1时，讨论f(x)的单调性；(2)当x0时，f(x)x3+1，求a的取值范围【答案】(1)当时，单调递减，当时，单调递增(2)【解析】(1)当时，由于，故单调递增，注意到，故：当时，单调递减，当时，单调递增(2)由得，其中，当x=0时，不等式为：，显然成立，符合题意；当时，分离参数a得，记，令，则，故单调递增，故函数单调递增，由可得：恒成立，故当时，单调递增；当时，单调递减；因