高三数学第二轮专题讲座复习关于求圆锥曲线方程的方法.doc

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1、综合复习材料高中资料高三数学第二轮专题讲座复习：关于求圆锥曲线方程的方法高考要求 求指定的圆锥曲线的方程是高考命题的重点，主要考查学生识图、画图、数形结合、等价转化、分类讨论、逻辑推理、合理运算及创新思维能力，解决好这类问题，除要求同学们熟练掌握好圆锥曲线的定义、性质外，命题人还常常将它与对称问题、弦长问题、最值问题等综合在一起命制难度较大的题，解决这类问题常用定义法和待定系数法 重难点归纳 一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤 定形指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置 定式根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时

2、，可设方程为mx2+ny2=1(m0,n0) 定量由题设中的条件找到“式”中特定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小 典型题例示范讲解 例1某电厂冷却塔的外形是如图所示的双曲线的一部分，绕其中轴(即双曲线的虚轴)旋转所成的曲面，其中A、A是双曲线的顶点，C、C是冷却塔上口直径的两个端点，B、B是下底直径的两个端点，已知AA=14 m，CC=18 m,BB=22 m,塔高20 m 建立坐标系并写出该双曲线方程 命题意图 本题考查选择适当的坐标系建立曲线方程和解方程组的基础知识，考查应用所学积分知识、思想和方法解决实际问题的能力 知识依托 待定系数法求曲线方程；点在曲线上，点的坐标适合方程；积分

3、法求体积 错解分析 建立恰当的坐标系是解决本题的关键 技巧与方法 本题是待定系数法求曲线方程 解 如图，建立直角坐标系xOy,使AA在x轴上，AA的中点为坐标原点O，CC与BB平行于x轴 设双曲线方程为=1(a0,b0),则a=AA=7又设B(11,y1),C(9,x2)因为点B、C在双曲线上，所以有由题意，知y2y1=20,由以上三式得 y1=12,y2=8,b=7故双曲线方程为=1 例2过点(1，0)的直线l与中心在原点，焦点在x轴上且离心率为的椭圆C相交于A、B两点，直线y=x过线段AB的中点，同时椭圆C上存在一点与右焦点关于直线l对称，试求直线l与椭圆C的方程 命题意图 本题利用对称问

4、题来考查用待定系数法求曲线方程的方法，设计新颖，基础性强 知识依托 待定系数法求曲线方程，如何处理直线与圆锥曲线问题，对称问题 错解分析 不能恰当地利用离心率设出方程是学生容易犯的错误 恰当地利用好对称问题是解决好本题的关键 技巧与方法 本题是典型的求圆锥曲线方程的问题，解法一，将A、B两点坐标代入圆锥曲线方程，两式相减得关于直线AB斜率的等式 解法二，用韦达定理 解法一 由e=,得,从而a2=2b2,c=b设椭圆方程为x2+2y2=2b2,A(x1,y1),B(x2,y2)在椭圆上则x12+2y12=2b2,x22+2y22=2b2,两式相减得，(x12x22)+2(y12y22)=0,设A

5、B中点为(x0,y0),则kAB=,又(x0,y0)在直线y=x上，y0=x0,于是=1,kAB=1,设l的方程为y=x+1右焦点(b,0)关于l的对称点设为(x,y),由点(1,1b)在椭圆上，得1+2(1b)2=2b2,b2= 所求椭圆C的方程为 =1,l的方程为y=x+1 解法二 由e=,从而a2=2b2,c=b 设椭圆C的方程为x2+2y2=2b2,l的方程为y=k(x1),将l的方程代入C的方程，得(1+2k2)x24k2x+2k22b2=0,则x1+x2=,y1+y2=k(x11)+k(x21)=k(x1+x2)2k= 直线l y=x过AB的中点(),则,解得k=0，或k=1 若k

6、=0,则l的方程为y=0,焦点F(c,0)关于直线l的对称点就是F点本身，不能在椭圆C上，所以k=0舍去，从而k=1，直线l的方程为y=(x1),即y=x+1,以下同解法一 例3如图，已知P1OP2的面积为，P为线段P1P2的一个三等分点，求以直线OP1、OP2为渐近线且过点P的离心率为的双曲线方程 错解分析 利用离心率恰当地找出双曲线的渐近线方程是本题的关键，正确地表示出P1OP2的面积是学生感到困难的 技巧与方法 利用点P在曲线上和P1OP2的面积建立关于参数a、b的两个方程，从而求出a、b的值 解 以O为原点，P1OP2的角平分线为x轴建立如图的直角坐标系 设双曲线方程为=1(a0,b0

7、)由e2=，得 两渐近线OP1、OP2方程分别为y=x和y=x设点P1(x1, x1),P2(x2,x2)(x10,x20),则由点P分所成的比=2,得P点坐标为(),又点P在双曲线=1上，所以=1,即(x1+2x2)2(x12x2)2=9a2,整理得8x1x2=9a2 即x1x2= 由、得a2=4,b2=9故双曲线方程为=1 例4 双曲线=1(bN)的两个焦点F1、F2，P为双曲线上一点，|OP|5,|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等比数列，则b2=_ 解析 设F1(c,0）、F2(c,0)、P(x,y),则|PF1|2+|PF2|2=2(|PO|2+|F1O|2)2(52+c2),即

8、|PF1|2+|PF2|250+2c2,又|PF1|2+|PF2|2=(|PF1|PF2|)2+2|PF1|PF2|,依双曲线定义，有|PF1|PF2|=4,依已知条件有|PF1|PF2|=|F1F2|2=4c216+8c250+2c2,c2,又c2=4+b2,b2,b2=1 答案 1学生巩固练习 1 已知直线x+2y3=0与圆x2+y2+x6y+m=0相交于P、Q两点，O为坐标原点，若OPOQ，则m等于( )A 3B 3C 1D 12 中心在原点，焦点在坐标为(0，5)的椭圆被直线3xy2=0截得的弦的中点的横坐标为，则椭圆方程为( )3 直线l的方程为y=x+3,在l上任取一点P，若过点P

9、且以双曲线12x24y2=3的焦点作椭圆的焦点，那么具有最短长轴的椭圆方程为_ 4 已知圆过点P(4，2)、Q(1，3)两点，且在y轴上截得的线段长为4，则该圆的方程为_ 5 已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，它的一个焦点为F，M是椭圆上的任意点，|MF|的最大值和最小值的几何平均数为2，椭圆上存在着以y=x为轴的对称点M1和M2，且|M1M2|=，试求椭圆的方程 参考答案:1 解析 将直线方程变为x=32y,代入圆的方程x2+y2+x6y+m=0,得(32y)2+y2+(32y)+m=0 整理得5y220y+12+m=0,设P(x1,y1)、Q(x2,y2)则y1y2=,y1+y2=4

10、 又P、Q在直线x=32y上，x1x2=(32y1)(32y2)=4y1y26(y1+y2)+9故y1y2+x1x2=5y1y26(y1+y2)+9=m3=0，故m=3 A2 解析 由题意，可设椭圆方程为 =1,且a2=50+b2,即方程为=1 将直线3xy2=0代入，整理成关于x的二次方程 由x1+x2=1可求得b2=25,a2=75 答案C3 解析 所求椭圆的焦点为F1(1,0),F2(1,0),2a=|PF1|+|PF2| 欲使2a最小，只需在直线l上找一点P 使|PF1|+|PF2|最小，利用对称性可解 答案 =14 解析 设所求圆的方程为(xa)2+(yb)2=r2则有 由此可写所求圆的方程 答案 x2+y22x12=0或x2+y210x8y+4=05 解 |MF|max=a+c,|MF|min=ac,则(a+c)(ac)=a2c2=b2,b2=4,设椭圆方程为设过M1和M2的直线方程为y=x+m将代入得 (4+a2)x22a2mx+a2m24a2=0设M1(x1,y1)、M2(x2,y2),M1M2的中点为(x0,y0),则x0= (x1+x2)=,y0=x0+m= 代入y=x,得,由于a24,m=0,由知x1+x2=0,x1x2=,又|M1M2|=,代入x1+x2,x1x2可解a2=5,故所求椭圆方程为 =1 6