三招破解三角形解的个数问题资料文档.docx

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1、三招破解三角形解的个数问题下面是关于解三角形解的个数的探究在任意三角形中，A，B，C三个角，a，b，c三条边，这六个变量中，如果已知其中的任意三个，在很多情况下，可以将三角形唯一确定。然而，有没有例外呢？这取决于这三个已知条件之间的关系。1、已知三角形的三个角A，B，C：几何证明：根据相似三角形的知识，已知三角形的三个角，则三角形的形状唯一确定，但不能确定三边的长度。三角形有无数解。代数证明：三角形的外接圆直径取任意正实数时，都成立。对于每一个2R，都有对应的a，b，c的值。因此，三角形有无数解。2、已知三角形的两角A，B，及其夹边c：几何证明：根据ASA定理，三角形有唯一解。代数证明：根据A

2、+B+C=，可唯一确定C。已知C，c，A，B，根据正弦定理，可唯一确定a，b。即，三角形有唯一解。3、已知三角形的两角A，B，及其中一角的对边a：几何证明：根据ASA定理，三角形有唯一解。代数证明：根据A+B+C=，可唯一确定C。已知A，a，B，C，根据正弦定理，可唯一确定b，c。即，三角形有唯一解。4、已知4、已知三角形的两边a，b，及其夹角C：几何证明：根据SAS定理，三角形有唯一解。代数证明：根据余弦定理，c2=a2+b2-2abcosC，可确定c2。又由于c0，可唯一确定c。已知C，c，a，b，根据正弦定理，可唯一确定sinA，sinB。再根据内角和、大边对大角，可唯一确定A，B。即，

3、三角形有唯一解。5、已知三角形的两边a，b，及其中一边的对角A：（1）若已知角为锐角：如下图，已知A，a，b。以C为圆心、a为半径作圆，与c所在射线的交点即点B位置。随着a的取值范围的不同，圆与射线的交点的个数也不相同：即，当A为锐角时：当absinA时，无交点，三角形无解；当a=bsinA时，有一个交点，三角形有唯一解；当bsinAab时，有一个交点，三角形也有唯一解。（2）当A为直角时：根据勾股定理，当ab时，三角形有唯一解。（3）当A为钝角时：像（1）中那样作图。发现：若ab，则三角形有唯一解；否则，三角形无解。代数证明：a2=b2+c2-2bccosA（余弦定理）c2+(-2bcosA

4、)c+(b2-a2)=0=(-2bcosA)2-4(b2-a2)=4b2cos2A-4b2+4a2=4a2-b2(1-cos2A)=4(a2-b2sin2A)分类讨论：0：4(a2-b2sin2A)0a2-b2sin2A0a20，b0，sinA0absinA此时，方程无实数根，c不存在。即，当a0，b0，sinA0a=bsinA此时，方程有两个相同的实数根。分类讨论：（1）-(-2bcosA)/10：2bcosA0又b0cosA0A为锐角此时，两根之和为正又两根相等两根都为正c为正，且唯一确定。已知A，a，b，c，根据正弦定理，可唯一确定B，C。即，当A为锐角，且a=bsinA时，三角形唯一确

5、定。（2）-(-2bcosA)/10：2bcosA0cosA0：4(a2-b2sin2A)0a2-b2sin2A0a2b2sin2A又a0，b0，sinA0absinA此时，方程有两个不相等的实数根。分类讨论：（1）(b2-a2)/10：b2-a2b2又a0，b0absinA=1bsinAb时，a必定大于bsinA，方程一定有解。此时，两根乘积为负，即两根一正一负，只有一个c满足条件。因此，c唯一确定。已知A，a，b，c，根据正弦定理，可唯一确定B，C。即，当ab时，三角形唯一确定。（2）(b2-a2)/1=0：b2-a2=0a2=b2又a0，b0a=b此时，两根乘积=0其中一根=0。分类讨论

6、：（i）-(-2bcosA)/10：2bcosA0又b0cosA0A是锐角此时，两根之和0又一根为零另一根为正c唯一确定已知A，a，b，c，根据正弦定理，可唯一确定B，C。即，当A为锐角，且a=b时，三角形唯一确定。（ii）-(-2bcosA)/1=0：2bcosA=0又b0cosA=0A是直角此时，两根之和=0又其中一根=0另一根=0没有使c成立的根三角形无解即，当A为直角，且a=b时，三角形无解。（iii）-(-2bcosA)/10：2bcosA0cosA0：b2-a20，a20，b0a0两根同号分类讨论：（i）-(-2bcosA)/10：2bcosA0又b0cosA0A是锐角此时两根之和

7、0又两根同号两根都0即，c有两个值。对于每一个c值，已知A，a，b，c，根据正弦定理，都可唯一确定B，C。即，当A为锐角，且a=b时，三角形有两解。2）-(-2bcosA)/1=0：此时两根之和为零又两根同号不成立。3）-(-2bcosA)/10：2bcosA0cosA0A为钝角此时两根之和0又两根同号两根都0没有使c成立的根三角形无解即，当A为直钝角，且a=b时，三角形无解。综上所述：若A为锐角：（1）当ab时，有一解；（3）当bsinAab时，有两解。若A为直角或钝角：（1）当ab时，有一解。6、已知三角形的三边a，b，c：几何证明：根据SSS定理，三角形有唯一解。代数证明：根据余弦定理，

8、a2=b2+c2-2bccosA，可唯一确定A。同理，可分别唯一确定B，C。即，三角形有唯一解。可见，几何方法、代数方法得出的结果是相同的。初中时解三角形，大体上依赖于几何直观。然而，运用几何直观时，比较容易忽略一些特殊情况。相比而言，代数运算更加严谨、可靠，并且更加容易应对复杂的情况。因此，我们要在高中阶段学习并且应用正弦定理、余弦定理等代数工具。数学，是个神奇的东西。三角形解的个数问题正余弦定理篇三角形解的个数问题 学习了正弦定理、余弦定理之后,学生经常对如何判断三角形解的个数而烦扰。结合初中全等三角形的判定定理,若已知三角形的三边(且符合任意两边之和大于第三边)、两边一夹角、两角一边,则该三角形有唯一解。但是如果已知三角形的两边及其中一边的对角时,解的情况又如何呢?这个方法和学校老师教的画圆法有区别吗？有区别吗？有区别吗？本质上没有区别哦！该方法只是强调具体操作过程：第一步：定角度第二步：定哪条边的问题第三步：分析动点位置变化造成的距离变化通过对以上方法的探究，你掌握了三角形解的个数问题了吗？ 在学习数学的路上，如果你有任何疑问，欢迎向老周提问。亦或好的方法和建议，也欢迎同老周交流。甚而，任何好题、难题的分享，都会拉近我和你、我们和数学的距离。确定三角形解个数的三种策略