二次函数求最值方法总结6资料文档.docx

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1、二次函数求最值方法总结从近几年的各地中考试卷来看，求面积的最值问题在压轴题中比较常见，而且通常与二次函数相结合。在这里以一道中考题为例，介绍几种不同的解题方法，供同学们参考，都掌握了之后一定会在压轴题上有一个大的提升。ps.因格式问题，部分上标未能正常显示，望知悉。1题目如图1，抛物线yx2bxc与x轴交于A(1，0)，B(3，0)两点。(1)求该抛物线的解析式；(2)设(1)中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由；(3)如图2，在(1)中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使PBC的面积最大？若存在，求出

2、点P的坐标及PBC的面积最大值；若没有，请说明理由。解答：(1)抛物线解析式为yx22x3；(2)Q(1，2)；下面着重探讨求第(3)小题中面积最大值的几种方法解法1补形、割形法几何图形中常见的处理方式有分割、补形等，此类方法的要点在于把所求图形的面积进行适当的补或割，变成有利于表示面积的图形。方法一如图3，设P点（x，x22x3）(3x0)方法二 如图4，设P点(x，x22x3)(3x0)（下略）解法2“铅垂高，水平宽”面积法如图5，过ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫ABC的“水平宽”(a)，中间的这条直线在ABC内部线段的长度叫ABC的“铅垂高(h)

3、”，我们可得出一种计算三角形面积的另一种方法：SABC1/2ah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半。根据上述方法，本题解答如下：解 如图6，作PEx轴于点E，交BC于点F设P点（x，x22x3）（3x0）点P坐标为（3/2，15/4）解法3切线法若要使PBC的面积最大，只需使BC上的高最大过点P作BC的平行线l，当直线l与抛物线有唯一交点(即点P)时，BC上的高最大，此时PBC的面积最大，于是，得到下面的切线法。解 如图7，直线BC的解析式是yx3，过点P作BC的平行线l，从而可设直线l的解析式为：yxb =27/8解法4三角函数法本题也可直接利用三角函数法求得解 如图8，作PEx轴交

4、于点E，交BC于点F，作PMBC于点M设P点（x，x22x3）（3x0，当时，最小由于抛物线开口向上，此时无最大值（2）若a0，当时，最小（2）若a0，当时，最大【注】两种方法同等重要，第一种方法过程较简单，结合了抛物线的顶点坐标，是几何法，体现了数形结合的思想；第二种方法是代数法，虽然步骤较麻烦，但却是处理最值问题的一种常见方法，以后用途非常之广。【例1】对于二次函数y=-2x-4x+1，求其最值【解析】由于a=-2-3时，y随x的增大而增大所以，当m=1时，最小【注】这里极易得到错误答案-12，这是因为这里自变量m的取值范围是隐藏的，是“隐性”的。这就需要我们警惕，在解决函数最值问题时，自

5、变量的取值范围是要优先考虑的，只有确定了自变量的取值范围，其最值才能确定，这一点极其重要！【例4】（浙江嘉兴）当-2x1时，二次函数y=-(x-m)+m+1有最大值4，则实数m的值为（ ） 或 或 或或【解析】这里给出了顶点式，可得顶点坐标为(m,m+1)，但是最大值一定在顶点处吗？由于对称轴x=m位置不定，所以要分类讨论：若-2m1，当x=m时，最大解得：或(与-2m1矛盾，故舍去)若m-2，当-2x1时，y随x的增大而减小当x=-2时，y取得最大值最大解得：(与m-2矛盾，故舍去)当m1时，当-2x1时，y随x的增大而增大当x=1时，y取得最大值最大解得：综上所述，或，故选C【注】与【例2】【例3】不同，这里对称轴的位置是不确定的，所以需要进行分类讨论三、练习题1、已知二次函数y=3x+6x-3（1）求其最值（2）当-2x1时，求其最值（3）当0x3时，求其最值2、(四川乐山)已知二次函数y=x-2mx(m为常数)，当-1x2时，函数值y的最小值为-2，则m的值是（ ） 或 或【参考答案】1、（1）最小值-6，无最大值；（2）最大值6，最小值-6；（3）最大值42，最小值-32、D