湖北武汉外国语学校2023年高二上学期9月月考数学试含答案.pdf

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1、第1页/共6页 学科网（北京）股份有限公司武汉外国语学校武汉外国语学校 2023-2024 学年高二上学期数学学年高二上学期数学 9 月考试题（三）月考试题（三）一、单选题（每题一、单选题（每题 5 分，共分，共 40 分）分）1.已知复数()()1 i1 iz=+是纯虚数，则实数=（）A 2 B.1C.0D.12.有一个人在打靶中，连续射击 2次，事件“至少有 1 次中靶”的对立事件是（）.A.至多有 1次中靶B.2 次都中靶C 2 次都不中靶 D.只有 1 次中靶3.某中学举行了一次“网络信息安全”知识竞赛，将参赛的 100名学生成绩分为 6 组，绘制了如图所示的频率分布直方图，则成绩在区

2、间)75,80内的学生有（）A.15 名B.20 名C.25 名D.40 名4.若 m，n是互不相同的直线，,是不重合的平面，则下列说法不正确的是（）A.若,mmn=，则mnB.若,mn，则mnC 若,mnmnmnA=，则 D.若m，则m 5.已知样本数据1x，2x，2022x的平均数和方差分别为 3和 56，若()231,2,2022iiyxi=+=，则1y，2y，2022y的平均数和方差分别是（）A.12，115B.12，224C.9，115D.9，2246.如图，正方体1111ABCDABC D中，点E，F，分别是AB，BC的中点，过点1D，E，F的截面将正方体分割成两个部分，记这两个部

3、分的体积分别为()1212,V V VV，则12:V V=（）.第2页/共6页学科网（北京）股份有限公司A.13B.35C.2547D.797.已知正方体ABCDA B C D 的棱长为3E，为棱AB上的靠近点B的三等分点，点P在侧面CC D D 上运动，当平面B EP与平面ABCD和平面CC D D 所成的角相等时，则D P的最小值为（）A.3 105B.3 1010C.9 1010D.7 10108.如图所示，ABC是边长为 3正三角形，3ACAD=，S 是空间内一点，12,分别是SABC，SBCA的二面角，满足12tan2tan，点 D 到直线 SB的距离是 1，则coscosSBASB

4、C+=（）A.3 67B.9 67C.614D.9 614二、多选题（每题二、多选题（每题 5 分，共分，共 20 分）分）9.在ABC中，内角,A B C所对的边分别为,a b c，根据下列条件解三角形，其中有两解的是（）A.10,45,60bAC=B.15,4,60bcB=C.3,2,45abA=D.8,4,80abA=10.下列四个命题中，假命题有（）第3页/共6页 学科网（北京）股份有限公司 A.对立事件一定是互斥事件 B.若,A B为两个事件，则()()()P ABP AP B=+C.若事件,A B C彼此互斥，则()()()1P AP BP C+=D.若事件,A B满足()()1P

5、 AP B+=，则,A B是对立事件 11.如图，正方体1111ABCDABC D的棱长为1，E，F，G分别为BC，1CC，1BB的中点，则（）A.直线1D D与直线AF垂直 B.直线1AG与平面AEF平行 C.平面AEF截正方体所得的截面面积为98 D.点C与点 B 到平面AEF的距离相等 12.单位向量1e，2e，3e两两夹角为3，若实数x，y，z满足1231xeyeze+=，则下列结论中正确的是（）A.x的最大值是62 B.xy+的最大值是63 C.xyz+的最大值是62 D.xyz的最大值是66 三、填空题（每题三、填空题（每题 5 分，共分，共 20 分）分）13.2023 年是全面

6、贯彻党的二十大精神的开局之年，某中学为了解教师学习“党的二十大精神”的情况，采用比例分配分层随机抽样的方法从高一、高二、高三的教师中抽取一个容量为 30 的样本，已知高一年级有教师 80 人，高二年级有教师 72 人，高三年级有教师 88 人，则高一年级应抽取_人.14.在平行六面体1111ABCDABC D中，1111,60ABADAAA ABA ADBAD=，则1AC=_ 的 第4页/共6页 学科网（北京）股份有限公司 15.设ABC的内角,A B C所对的边分别为,a b c，已知120,2314 3BACcb=+=，点D在边BC上，2AD=，且32b BDc CD=，则ABC的面积为_

7、 16.如图，正四棱锥 P-ABCD 的底面边长和高均为 2，M是侧棱 PC的中点.若过 AM 作该正四棱锥的截面，分别交棱 PBPD于点 EF（可与端点重合），则四棱锥 P-AEMF 的体积的取值范围是_.四、解答题（共四、解答题（共 70 分）分）17.已知三条直线1:40laxby+=，()2:10laxyb+=，3:230lxy+=（1）若12ll，且1l过点()1,1，求a、b的值；（2）若123/lll，求a、b的值 18.（1）写出点()00,Pxy到直线0AxByC+=的距离公式并证明.（2）证明：点()2,2A 到直线()()()()212 230mxmymm+=R的距离d恒

8、小于4 2 19.某足球俱乐部举办新一届足球赛,按比赛规则,进入淘汰赛的两支球队如果在 120 分钟内未分出胜负,则需进行点球大战.点球大战规则如下:第一阶段,双方各派 5 名球员轮流罚球,双方各罚一球为一轮,球员每罚进一球则为本方获得 1 分,未罚进不得分,当分差拉大到即使落后一方剩下的球员全部罚进也不能追上的时候,比赛即宣告结束,剩下的球员无需出场罚球.若 5 名球员全部罚球后双方得分一样,则进入第二阶段,双方每轮各派一名球员罚球,直到出现某一轮一方罚进而另一方未罚进的局面,则罚进的一方获胜.设甲、乙两支球队进入点球大战,由甲队球员先罚球,甲队每位球员罚进点球的概率均为12,乙队每位球员罚

9、进点球的概率均为23.假设每轮罚球中,两队进球与否互不影响,各轮结果也互不影响.（1）求每一轮罚球中,甲、乙两队打成平局的概率;（2）若在点球大战的第一阶段,甲队前两名球员均得分而乙队前两名球员均未得分,甲队暂时以 2:0领先,求甲队第 5 个球员需出场罚球的概率.20.如图，四棱锥PABCD中，PD 平面ABCD，梯形ABCD满足ABCD，90BCD=，且 第5页/共6页 学科网（北京）股份有限公司 2PDADDC=，3AB=，E为PC中点，13PFPB=，2PGGA=.（1）求证：D，E，F，G四点共面；（2）求二面角FDEP的正弦值.21.如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD为正

10、方形，AF 平面ABCD，AFDE，22ABAFDE=，M是线段BF上的一动点，过点M和直线AD的平面与FC，EC分别交于P，Q两点.（1）若M为BF的中点，请在图中作出线段PQ，并说明P，Q的位置及作法理由；（2）线段BF上是否存在点M，使得直线AC与平面所成角的正弦值为1010？若存在，求出MB的长；若不存在，请说明理由.22.某校兴趣小组在如图所示的矩形区域ABCD内举行机器人拦截挑战赛，在E处按EP 方向释放机器人甲，同时在A处按AQ方向释放机器人乙，设机器人乙在M处成功拦截机器人甲，两机器人停止运动若点M在矩形区域ABCD内（包含边界），则挑战成功，否则挑战失败已知6AB=米，E为A

11、B中点，比赛中两机器人均匀速直线运动方式行进，记EP 与EB 的夹角为（0），AQ与AB 的夹角为（02）第6页/共6页 学科网（北京）股份有限公司 （1）若两机器人运动方向夹角为3，AD足够长，机器人乙挑战成功，求两机器人运动路程和的最大值；（2）已知机器人乙的速度是机器人甲的速度的2倍（i）若3=，AD足够长，机器人乙挑战成功，求sin（ii）如何设计矩形区域ABCD的宽AD的长度，才能确保无论的值为多少，总可以通过设置机器人乙的释放角度使机器人乙挑战成功？的 武汉外国语学校武汉外国语学校 2023-2024 学年高二上学期数学学年高二上学期数学 9 月考试题（三）月考试题（三）一、单选题

12、（每题一、单选题（每题 5 分，共分，共 40 分）分）1.已知复数()()1 i1 iz=+是纯虚数，则实数=（）A.2 B.1 C.0 D.1【答案】B【解析】【分析】由纯虚数的定义得出实数.【详解】()()i11z+=+，因为复数()()1 i1 iz=+是纯虚数，所以10+=，且10，解得1=.故选：B 2.有一个人在打靶中，连续射击 2次，事件“至少有 1 次中靶”的对立事件是（）.A.至多有 1次中靶 B.2 次都中靶 C.2 次都不中靶 D.只有 1 次中靶【答案】C【解析】【分析】根据对立事件的概念可得结果.【详解】根据对立事件的概念，连续射击 2次，事件“至少有 1次中靶”的

13、对立事件是“2 次都不中靶”.故选：C.3.某中学举行了一次“网络信息安全”知识竞赛，将参赛的 100名学生成绩分为 6 组，绘制了如图所示的频率分布直方图，则成绩在区间)75,80内的学生有（）A.15 名 B.20 名 C.25 名 D.40 名【答案】B【解析】【分析】先根据频率分布直方图的性质，求得a的值，再根据样本中成绩在区间)75,80内的频率参赛 的 100 名学生即可求解【详解】由频率分布直方图可知()0.050.060.030.01 0.0151a+=，得0.04a=，所以成绩在区间)75,80内的学生有100 0.04 520=名 故选：B 4.若 m，n是互不相同的直线，

14、,是不重合的平面，则下列说法不正确的是（）A.若,mmn=，则mn B.若,mn，则mn C.若,mnmnmnA=，则 D.若m，则m【答案】D【解析】【分析】由线面的位置关系以及面面平行的判定定理以及面面垂直的关系逐一判断选项即可.【详解】对于 A：由线面平行的性质可知mn，故 A 正确；对于 B：垂直于同一个平面的两条直线平行，故 B正确；对于 C：平面内两条相交直线分别和另一个平面平行，则两个平面平行，故 C正确；对于 D：m，则m或/m或m或m与相交，故 D 错误；故选：D 5.已知样本数据1x，2x，2022x的平均数和方差分别为 3和 56，若()231,2,2022iiyxi=+

15、=，则1y，2y，2022y的平均数和方差分别是（）A.12，115 B.12，224 C.9，115 D.9，224【答案】D【解析】【分析】根据平均数和方差的性质求解：若数据1x，2x，nx的平均数和方差分别为x和2s，则数据1axb+，2axb+，naxb+的平均数和方差分别为axb+和22a s.【详解】若数据1x，2x，nx的平均数和方差分别为x和2s，则数据1axb+，2axb+，naxb+的平均数和方差分别为axb+和22a s.题中，样本数据1x，2x，2022x的平均数和方差分别为 3和 56，()231,2,2022iiyxi=+=，则1y，2y，2022y的平均数为2 3

16、39+=，方差为2256224=.故选：D.6.如图，正方体1111ABCDABC D中，点E，F，分别是AB，BC的中点，过点1D，E，F的截面将正方体分割成两个部分，记这两个部分的体积分别为()1212,V V VV，则12:V V=（）A.13 B.35 C.2547 D.79【答案】C【解析】【分析】如图所示，过点1D，E，F的截面下方几何体转化为一个大的三棱锥，减去两个小的三棱锥，上方部分，用总的正方体的体积减去下方的部分体积即可.【详解】作直线EF，分别交,DA DC于,M N两点，连接11,D M D N分别交11,A A CC于,H G两点，如图所示，过点1D，E，F的截面即为

17、五边形1D HEFG，设正方体的棱长为2a，因为点E，F，分别是AB，BC的中点 所以1,1AEAMCNCFBEBFBEBF=，即AMCNa=，因为1111,33AMAHCNCGMDDDDNDD=，所以23aAHCG=则过点1D，E，F的截面下方体积为：311 11 122533223 23 239=aVaaaa aa，另一部分体积为33322547899=Vaaa，12:2547V V=.故选：C.7.已知正方体ABCDA B C D 的棱长为3E，为棱AB上的靠近点B的三等分点，点P在侧面CC D D 上运动，当平面B EP与平面ABCD和平面CC D D 所成的角相等时，则D P的最小值

18、为（）A.3 105 B.3 1010 C.9 1010 D.7 1010【答案】A【解析】【分析】以A为原点建立空间直角坐标系，设(),3,P xz，根据二面角的空间向量坐标公式表达平面B EP 与平面ABCD和平面CC D D 所成的角，再化简结合z的取值范围求解即可.【详解】如图，以A为原点建立空间直角坐标系，正方体棱长为 3，则()2,0,0E，()3,0,3B，()0,3,3D，设(),3,P xz，则()1,0,3EB=，()2,3,EPxz=，由正方体的性质可得平面ABCD的一个法向量为()10,0,1n=，平面CC D D 的一个法向量()20,1,0n=，设平面B EP的法向

19、量()3,na b c=，则3300EB nEP n=，即()30230acxabzc+=+=，取1c=，则3a=，23zbx=，故33,2,13znx=，又平面B EP与平面ABCD和平面CC D D 所成的角相等，故1323cos,cos,n nn n=，即13231323n nnnnnnn=，故123zx=，即213zx=，213zx=.当213zx=，即33zx=+时，因为0,3x，所以9,0z，又0,3z，则0z=，3x=，此时22333 2PD=+.当213zx=，即13zx=+时，因为0,3x，所以3,6z，又0,3z，故0,3z，此时()()22222101631310393z

20、PDxzzzz=+=+=+，故当161230,310529z=时210161093PDzz=+取最小值3 105.综上PD的最小值为3 105.故选：A 8.如图所示，ABC是边长为 3正三角形，3ACAD=，S 是空间内一点，12,分别是SABC，SBCA的二面角，满足12tan2tan，点 D 到直线 SB的距离是 1，则coscosSBASBC+=（）A.3 67 B.9 67 C.614 D.9 614【答案】D【解析】【分析】先求得BD，根据二面角以及解直角三角形等知识分别求得cosSBA和cosSBC，由此求得正确答案.【详解】由于3ACAD=，所以1AD=，由余弦定理得1 92

21、1 3 cos73BD=+=，则97 15cos2 372 7DBA+=，而DBA为锐角，所以253sin12 72 7DBA=，sin3tancos5DBADBADBA=，同理可求得3tan2DBC=.设O平面ABC，且SO 平面ABC，过O作OEAB，垂足为E，过O作OFBC，垂足为F，连接,SE SF，由于,AB BC 平面ABC，所以,SOAB SOBC，由于,OESOO OE SO=平面SOE，所以AB平面SOE，由于SE 平面SOE，所以ABSE，所以1SEO=，同理可证得2SFO=，依题意12tan2tan，即2,2SOSOOFOEOEOF=，设,OBFOBE=，则sin,sin

22、OFOEOBOB=，所以31sin2sin2sin2cossin322=，32sin3cos,tan2=，tantan33tantan351tantan3=+，所以,B O D三点共线，而BD平面ABC，所以SOBD，33tan,22OFOFBFBF=，33tan,55OEOEBEBE=，连接SD，过D作DGSB，垂足为G，则1DG=，所以()22716BG=，所以6cos7BGOBDBSBDSB=，由cosBESBASB=两边平方得22222222cosBEOBOEOBOESBASBSBSBSB=222223663635cos7257257BEBESBASBSB=，即2286cos257SB

23、A=，SBA为锐角，故解得5 6cos14SBA=.由cosBFSBCSB=两边平方得22222222cosBFOBOFOBOFSBCSBSBSBSB=222223663632cos74747BEBESBASBSB=，即276cos47SBC=，SBC为锐角，故解得2 64 6cos714SBC=，所以coscosSBASBC+=9 614.故选：D【点睛】求解二面角有关问题，关键是利用二面角的定义作出二面角的平面角.常用的方法有定义法和线面垂直法.定义法是：在交线上任取一点，过这点在两个面内分别引交线的垂线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角.线面垂直法是：自二面角的一个面上的一点向另一个

24、面引垂线，再由垂足向交线作垂线，连线后得到二面角的平面角.二、多选题（每题二、多选题（每题 5 分，共分，共 20 分）分）9.在ABC中，内角,A B C所对的边分别为,a b c，根据下列条件解三角形，其中有两解的是（）A.10,45,60bAC=B.15,4,60bcB=C.3,2,45abA=D.8,4,80abA=【答案】BC 【解析】【分析】对于 A，直接判断即可；对于 B，34sin22sin1155cBCb=，结合bc即可判断；对于 C，22sin22sin33bABa=，结合223223即可判断；对于 D，sin4 sin801sin82bABa=，结合ba即可判断.【详解】

25、对于 A，因为10,45,60bAC=，所以75B=，所以ABC只有一解；故 A错误；对于 B，因为15,4,60bcB=，所以由正弦定理得34sin22sin1155cBCb=，因为bc，即BC，所以ABC有两解（6090B，或90120B），故 B正确；对于 C，因为3,2,45abA=，所以由正弦定理得sinsinabAB=，即22sin22sin33bABa=，因为223223，所以ABC有两解（4560B，或，120135B），故 C 正确；对于 D，因为8,4,80abA=，所以由正弦定理得sin4 sin801sin82bABa=，由于ba，故80B，所以ABC只有一解，故 D错

26、误；故选：BC 10.下列四个命题中，假命题有（）A.对立事件一定是互斥事件 B.若,A B为两个事件，则()()()P ABP AP B=+C.若事件,A B C彼此互斥，则()()()1P AP BP C+=D.若事件,A B满足()()1P AP B+=，则,A B是对立事件 【答案】BCD【解析】【分析】根据对立事件和互斥事件的关系可判断 A；根据事件的和事件的概率可判断 B；举反例可判断 C，D,【详解】对于 A，因为对立事件一定是互斥事件，A正确；对 B，当且仅当 A 与 B互斥时才有()()()P ABP AP B=+，对于任意两个事件,A B，满足()()()()P ABP A

27、P BP AB=+-，B 不正确；对 C，若事件,A B C彼此互斥，不妨取,A B C分别表示掷骰子试验中的事件“掷出 1 点”，“掷出 2点”，“掷出 3 点”，则()12P ABC=，所以 C不正确；对于 D，例如，袋中有大小相同的红、黄、黑、蓝 4 个球，从袋中任摸一个球，设事件 A=摸到红球或黄球，事件 B=摸到黄球或黑球），满足()()()()11122P AP BP AP B=，+，但事件 A 与 B不互斥，也不对立，D错误，故选：BCD.11.如图，正方体1111ABCDABC D的棱长为1，E，F，G分别为BC，1CC，1BB的中点，则（）A.直线1D D与直线AF垂直 B.

28、直线1AG与平面AEF平行 C.平面AEF截正方体所得的截面面积为98 D.点C与点 B 到平面AEF的距离相等【答案】BCD 【解析】【分析】以点D为坐标原点，DA、DC、1DD所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可判断 ABD选项；作出截面，计算出截面面积，可判断 C选项.【详解】以点D为坐标原点，DA、DC、1DD所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则()1,0,0A、()1,1,0B、()0,1,0C、()0,0,0D、()11,0,1A、()11,1,1B、()10,1,1C、()10,0,1D、1,1,02E、10,1,2F、11,1,

29、2G，对于 A选项，()10,0,1DD=，11,1,2AF=，则1102DDAF=，所以直线1DD与直线AF不垂直，故 A 错误；对于 B选项，设平面AEF的法向量为(),mx y z=，1,1,02AE=，11,0,22EF=，则10211022m AExym EFxz=+=+=，取2x=，可得()2,1,2m=，110,1,2AG=，所以11 10AG m=，即1AGm，因为1AG 平面AEF，1/AG平面AEF，故 B 正确；对于 C选项，连接1AD、1D F、1BC，因为E、F分别为BC、1CC的中点，则1/EF BC，11/AB C D且11ABC D=，所以四边形11ABC D为

30、平行四边形，则11/ADBC，所以1/EF AD，所以E、F、A、1D四点共面，故平面AEF截正方体1111ABCDABC D所得截面为1AD FE，且2222EFCECF=+=，同理可得152AED F=，12ADEF=，所以四边形1AD FE为等腰梯形，分别过点E、F在平面1AD FE内作1EMAD，1FNAD，垂足分别为M、N，如下图所示：因为1AED F=，1EAMFD N=，190EMAFND=，所以1RtRtAEMD FN，故1AMD N=，EMFN=，因为/EF MN，EMMN，ENMN，则四边形EFNM为矩形，所以22MNEF=，11224ADEFAMD N=，故223 24E

31、MAEAM=，故梯形1AD FE的面积为()11928AD FEEFADEMS+=梯形，故 C 正确；对于 D选项，1,0,02CE=，则点C到平面AEF的距离为113CE mdm=，()0,1,0AB=，则点B到平面AEF的距离为213AB mdm=，所以点C与点B到平面AEF的距离相等，故 D正确.故选：BCD.12.单位向量1e，2e，3e的两两夹角为3，若实数x，y，z满足1231xeyeze+=，则下列结论中正确 的是（）A.x的最大值是62 B.xy+的最大值是63 C.xyz+的最大值是62 D.xyz的最大值是66【答案】AC【解析】【分析】利用特例可判断 BD 的正误，利用判

32、别式的非负可判断 A 的正误，利用基本不等式可判断 C 的正误.【详解】由题设有()111 11322ije eij=，故 B错误.因为222222,222xyxzyzxyxzyz+，故222xyyzxzxyz+，当且仅当xyz=时等号成立.所以()2222333222xyyzxzxyzxyyzxzxyz+=+，故()()222221222113xyzxyzxyyzxyxyyzzxxyz+=+=+，故()232xyz+，故62xyz+，当且仅当66xyz=时等号成立，故xyz+的最大值是62，故 C正确.对于 D，取41,5xy=，11710z+=，则22241182 17444 171171

33、2510055010 xyzxyxzyz+=+=，而此时()2 11725xyz+=，又()2 117612 12 1725 6256150+=，而()()2212 12 1725 6144 18288 17625 6+=+288 171158141004813409640=，故()2 1176256xyz+=，故 D 错误.故选：AC.【点睛】关键点点睛：本题中单位向量1e，2e，3e两两夹角为3，故它们可构成空间向量的一个基底，对于所得的多变量的恒等关系，可利用基本不等式转化，也可以将其中一个变量看成主变量，从而可判断方程有解的角度分析问题.三、填空题（每题三、填空题（每题 5 分，共分，

34、共 20 分）分）13.2023 年是全面贯彻党二十大精神的开局之年，某中学为了解教师学习“党的二十大精神”的情况，采用比例分配分层随机抽样的方法从高一、高二、高三的教师中抽取一个容量为 30 的样本，已知高一年级有教师 80 人，高二年级有教师 72 人，高三年级有教师 88 人，则高一年级应抽取_人.【答案】10【解析】【分析】根据高一年级教师所占比例抽取即可.的的的 【详解】高一年级教师所占的比例为：8018072883=+，则高一年级应抽取的教师人数为：130103=.故答案为：10.14.在平行六面体1111ABCDABC D中，1111,60ABADAAA ABA ADBAD=，则

35、1AC=_【答案】6【解析】【分析】利用空间向量基本定理，得到11ACABADAA=+，即可求出16AC=.【详解】在平行六面体1111ABCDABC D中，11ACABBCCC=+.因为11,ADBC AACC=，所以11ACABADAA=+.所以11ACABADAA=+()21ABADAA=+222111222ABADAAAB ADAB AAAD AA=+2221112 1 1 cos602 1 1 cos602 1 1 cos60=+6=.故答案为：6 15.设ABC的内角,A B C所对的边分别为,a b c，已知120,2314 3BACcb=+=，点D在边BC上，2AD=，且32b

36、 BDc CD=，则ABC的面积为_【答案】3 7【解析】【分析】一方面有1sin2213sin2ABDADCAD BDADBSBDcSDCbAD DCADC=，另一方面 ()()()1sin BADsin BADsin BAD21sin 120BADsin 120BADsin 120BAD2ABDADCAD ABSABcSACbAD AC=由此即可算出BAD的正弦值，结合2314 3cb+=以及三角形面积公式即可求解.【详解】如下图所示：一方面：由32b BDc CD=，得1sin222,133sin2ABDADCAD BDADBBDc SBDcCDb SDCbAD DCADC=另一方面：设

37、()0120BAD=，则120DAC=，由()()1sinsin21sin 120sin 1202ABDADCAD ABScSbAD AC=.结合以上两方面得()3sin2sin 120=，整理得3tan2=，则()213 21sin,sin 120714=，且注意到2314 3cb+=，即37 32bc+=，所以ABC的面积为 ()()1111sinsin 1202 sin2 sin 1202222ABCSAD ABAD ACcb=+=+213 212133 771472cbcb=+=+=故答案为：3 7.【点睛】关键点点睛:本题的关键在于发现1sin21sin2ABDADCAD BDADB

38、SBDSDCAD DCADC=以及()()1sin BADsin BAD21sin 120BADsin 120BAD2ABDADCAD ABScSbAD AC=，由此找到转换已知条件的桥梁，进而顺利求解.16.如图，正四棱锥 P-ABCD 的底面边长和高均为 2，M是侧棱 PC的中点.若过 AM 作该正四棱锥的截面，分别交棱 PBPD于点 EF（可与端点重合），则四棱锥 P-AEMF 的体积的取值范围是_.【答案】8,19【解析】【分析】首先证明一个结论：在三棱锥SABC中，棱SA，SB，SC上取点1A，1B，1C，则1 1 1111SA B CSABCVSA SB SCVSA SB SC=，

39、再设设PExPB=，PFyPD=，分析可得p AEFV，P MEFV，P AFMV，P AEMV与x，y间的关系，再由换元法结合对勾函数的单调性求得答案【详解】首先证明一个结论：在三棱锥SABC中，棱SA，SB，SC上取点1A，1B，1C，则1 1 1111SA B CSABCVSA SB SCVSA SB SC=，设SB与平面SAC所成角为，则1 1 111 11111111 1sinsin3 21 1sinsin3 2SA B CBSACSABCB SACSA SCSBASCVVSA SBSCVVSA SB SCSA SCSBASC=;再来解答本题：设PExPB=，PFyPD=，184 2

40、33P ABCDV=,则43P AEFP ABDVx y Vxy=，1223P MEFP BCDVx y Vxy=，223P AFMP ACDyVVy=，223P AEMP ABCxVVx=，22()3P AEMFP AEFP MEFP AFMP AEMVVVVVxyxy=+=+=+，则3xyxy+=，31yxy=，010131xyyxy=，则112y，22223()()33313 31P AEMFyyVxyyyy=+=+=，令31ty=，则22(1)11(2)3199yttytt+=+，12y，1，12t，2，当112t 时，函数1ytt=+单调递减，当12t 时，函数1ytt=+单调递增，

41、故1ytt=+最小值为 2，当1,22t=时，1ytt=+都取到最大值52，则22(1)114(2)31999yttytt+=+，12（当且仅当1t=时，取最小值），282319P AEMFyVy=，1，故答案为：89，1 四、解答题（共四、解答题（共 70 分）分）17.已知三条直线1:40laxby+=，()2:10laxyb+=，3:230lxy+=（1）若12ll，且1l过点()1,1，求a、b的值；（2）若123/lll，求a、b的值【答案】（1）22ab=或26ab=；（2）3,32ab=【解析】【分析】（1）由直线垂直的特征及直线过的点可得关于 a、b 的方程组，即可得解；（2）

42、由直线平行的特征求解 a，b，再代入验证即可.【小问 1 详解】因为1:40laxby+=，()2:10laxyb+=，且12ll，所以()10a ab+=，又直线1l过点()1,1，所以40ab+=，所以4ba=，所以()()140a aa+=，所以22ab=或26ab=；【小问 2 详解】若123/lll，则()2211aba=，解得332ba=，当332ba=时，13:3402lxy+=，也即1:3680lxy+=，21:302lxy+=，也即2:260lxy+=，满足 123/lll，所以若123/lll，3,32ab=.18.（1）写出点()00,Pxy到直线0AxByC+=的距离公

43、式并证明.（2）证明：点()2,2A 到直线()()()()212 230mxmymm+=R的距离d恒小于4 2【答案】（1）答案见解析，证明见解析【解析】【分析】（1）根据等面积法即可求解，（2）根据点到直线距离公式即可结合不等式求解.【详解】（1）设0A，0B，这时l与x轴、y轴都相交，过点P作x轴的平行线，交l于点10(),R x y；作y轴的平行线，交l于点0(S x,2)y，由1 100200AxByCAxByC+=+=得0012,ByCAxCxyAB=0001|AxByCPRxxA+=，0002|AxByCPSyyB+=，222200|ABRSPRPSAxByCAB+=+=+由三角

44、形面积公式可知：|dRSPRPS=0022|AxByCdAB+=+可证明，当0A=时，CyB=,点()00,Pxy到直线的距离为200|ByByCCB+=，同理0B=时也适用 的 证明：2m+与1m+不同时为 0，由点到直线的距离公式得()()()()()()()222223822212 238122212131224mmmmmdmmmmm+=+当302m+时，223384 2224 23132242mmdmm+=+，当m+=302时，04 2d=，综上，对任意的Rm，点()2,2A 到直线的距离d恒小于4 2 19.某足球俱乐部举办新一届足球赛,按比赛规则,进入淘汰赛的两支球队如果在 120

45、 分钟内未分出胜负,则需进行点球大战.点球大战规则如下:第一阶段,双方各派 5 名球员轮流罚球,双方各罚一球为一轮,球员每罚进一球则为本方获得 1 分,未罚进不得分,当分差拉大到即使落后一方剩下的球员全部罚进也不能追上的时候,比赛即宣告结束,剩下的球员无需出场罚球.若 5 名球员全部罚球后双方得分一样,则进入第二阶段,双方每轮各派一名球员罚球,直到出现某一轮一方罚进而另一方未罚进的局面,则罚进的一方获胜.设甲、乙两支球队进入点球大战,由甲队球员先罚球,甲队每位球员罚进点球的概率均为12,乙队每位球员罚进点球的概率均为23.假设每轮罚球中,两队进球与否互不影响,各轮结果也互不影响.（1）求每一轮

46、罚球中,甲、乙两队打成平局的概率;（2）若在点球大战的第一阶段,甲队前两名球员均得分而乙队前两名球员均未得分,甲队暂时以 2:0领先,求甲队第 5 个球员需出场罚球的概率.【答案】（1）12 （2）49 【解析】【分析】(1)每一轮罚球中两队打成平局的情况有两种:甲、乙均未罚进点球,或甲、乙均罚进点球.(2)甲队第 5 个球员需出场罚球,则前四轮罚球甲、乙两队分差不能超过 1 分,即四轮罚球结束时比分可能为2:1 或 2:2 或 3:2.【小问 1 详解】设每一轮罚球中,甲队球员罚进点球的事件为A,未罚进点球的事件为A;乙队球员罚进点球的事件为B,未罚进点球的事件为B.设每一轮罚球中,甲、乙两

47、队打成平局的事件为 C,由题意,得在每一轮罚球中两队打成平局的情况有两种:甲、乙均未罚进点球,或甲、乙均罚进点球,则()()()()()1212111112323632P CP AP BP AP B=+=+=+=,故每一轮罚球中,甲、乙两队打成平局的概率为12.【小问 2 详解】因为甲队第 5 个球员需出场罚球,则前四轮罚球甲、乙两队分差不能超过 1 分,即四轮罚球结束时比分可能为 2:1 或 2:2 或 3:2.比分为 2:1的概率为()()()()()()()()P AP BP AP BP AP BP AP B+121212121111111112323232318189 =+=+=.比分

48、为 2:2的概率为()()()()121211123239P AP BP AP B=.比分为 3:2的概率为()()()()()()()()P AP BP AP BP AP BP AP B+121221223239=.综上,甲队第 5 个球员需出场罚球的概率为11249999+=.20.如图，四棱锥PABCD中，PD 平面ABCD，梯形ABCD满足ABCD，90BCD=，且2PDADDC=，3AB=，E为PC中点，13PFPB=，2PGGA=.（1）求证：D，E，F，G四点共面；（2）求二面角FDEP的正弦值.【答案】（1）证明见解析 （2）155【解析】【分析】（1）如图建立空间直角坐标系，

49、求出点的坐标即可得到DE，DF，DG，令DFxDEyDG=+，依题意得到方程组，解得x、y，即可得证；（2）利用空间向量法求出二面角的余弦值，再根据同角三角函数的基本关系计算可得；【小问 1 详解】证明：以点C为坐标原点，向量CD CB DP 方向分别为xyz轴的正方向建立坐标系，则()2,0,0D，()2,0,2P，()0,0,0C，()0,3,0B，()3,3,0A，()1,0,1E，所以()2,3,2PB=，因为13PFPB=，设(),F a b c，则()2,2PFab c=，所以 ()()32,3,212,2ab c=，解得433343abc=，所以43 4,333F，同理可得8 2

50、 3 2,333G，()1,0,1 DE=，23 4,333DF=，2 2 3 2,333DG=，令DFxDEyDG=+，则()23 42 2 3 222 32,1,0,1,333333333xyxyyxy=+=+，223332 3334233xyyxy=+=+，112xy=，12DFDEDG=+，DEFG四点共面.【小问 2 详解】解：由（1）可知()2,0,0D，()1,0,1E，43 4,333F，()1,0,1DE=，23 4,333DF=.设平面DEF的一个法向量为(),nx y z=，则00n DEn DF=，即02340333xzxyz+=+=，则3232xyzy=，令2y=，则