2023年山西省太原市统招专升本高数自考模拟考试(含答案).docx

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1、2023年山西省太原市统招专升本高数自考模拟考试(含答案)学校:班级:姓名:考号:一、单选题(20题)1.设函数f(x)在闭区间0.1上连续若令t = %,则定积分。自)dr化为( )D.2B. 2山2.下列结论错误的是 A.若/ (r)在=八处可导，则/(1)在x =心处连续B,若/ (X)在X = 4处可导，则/(I)在？ = JTu处可微分C.若fix)在=外处取极大值,则/() = 0或者不存在D.若点(孔.y)为函数/(x)的拐点，则/“(4)=03.设函数/有连续的二阶导数.且/(0) = O.lirn令=】,则=2的7级数,收敛，故X(T厂 绝对收敛；X1是公比为 aAi 0_

2、1 JJ/I/I - I”- J3LXJ1的等比级数,收敛故X(一 ?#绝对收敛；2 4是力=4的6级数发 w= I3= V /i乙散,但 匕产 满足茉布尼茨定理,故(一条件收敛.故选B.、/”=i J10.B【精析】A=lim A *0=limA *0=limA-。/ (o + :)/(.Q h )h/ (j. + :)- / (/o)- / Q 0 h1一 /(八)1hf(r0+ /r) JXq )r /( h) /(o )nh *o- n=f ( JrQ ) + f ( t0 )=2/(10) .ll.B答案1 B【精析】 由/(.r)的定义域为2,2)得一2&3.r+l V 2,从而一

3、1 W才V g ,所以/(31+1)的定义域为一 15卜故应选B. 12.A答案A【精析】 由于极限limsin竽不存在,故级数Win竽一定发散故选A. 3.1513.B答案B5 1的/八【精析】 * 枭又级哼37,发散,故八项级数发散？/是=1sin 级数,故H项级数收敛；limT= 1,而2斗发散，故C项级数发散；lim包士1“=1 /一7尸不满足级数收敛的必要条件，故D项级数发散.【精析】 对等式两边关于工求导得:v - /y v + 1 ，14.D15.A 答案1【精析】则y =型三,即乎=二三 xy+ jT qt xy + /设 /(z)cLr = /,则/ = f(x)djc =4

4、,rcLr Idx = 2 I.J uJ oaJ a所以/ = f /(i)(lr = 19故应选A.答案B【精析】 由de / (/) = eJ d.r两边积分得e f f ( jc) = e，+ C, 即/(.r)=小十把./(0) = 0代人得C = 1,16BQ)= / 一 ，故应选 B.17.D答案1 D【精析】A项中含有(4,故为非线性方程；B项不是二阶微分方程故排除 B项；C项中自由项/(二,)= 1m ,故为非齐次方程.18.B答案1 B.1sin 【精析】A项由莱布尼茨判别法知条件收敛；C项，当- -时，一工二.所以收 n犷敛；D项中2 -7 = S 2.即9 1-故级数收敛

5、；而B项中. (J)H-匕lim = lim： = 1 / 0故发散.：nlnd 4-)ln(l + !)”n工答案1 B19 B【精析】y =e的反函数为.y = Ini,故应选B.20.C匚答案1 C【精析】 由idy+Mn)dr = 0得4也=一,七,两边积分得In | ny =-ln Lr | + G , ylny x即liny = C,故应选C.21.-1lnP _【精析】 lim ln(n- 1) In/? = lim In = lim = LH-8m A8Hn .31V22.12答案12【精析】 由积分中值定理可得.存在e e i,31使得j(.r)di = /(e)(3 1).

6、乂 j /() = 6 ,所以1/(jr)dj = 12.23.答案 1 v= +C2e【精析】 特征方程为5 = 0解得勺=新也=底所以通解为.y = GGef,24.e1F答案一2【精析】 方程两边同时对1求导得b+2)半=0 .则毕=一 cLi,ctr y答案+2)，+ 3之一8 = 0【精析】 当 f =。时，j* = 0y = 1 . = 2./ = ecosf=2cos/ sinf./ = 3e匕则 7(0) = 1,/(0) = 2,/(0) = 3,于是，法平面方程为大一 0 + 2(、y-1)+3(之一 2) = 0, 即7 + 2y + 3、- 8 = 0.9【精析】 画出

7、草图，积分区域D可表示为102.1 & 八故ydrdy =2 厂r2v2da xydy =彳(丁Ji JiJ i Z第15题图=-x(x2 1 )d.rJ i 29 8,27.0【精析】COSufT是奇函数积分区间会年是关于原点对称的，所答案以群es/d-r = 828.答案1(一8.-33 U J-3十oa【精析】因/Q、)的定义域为一4 W.r 3 在 /(：)中，贝ljW 1 3,需分-113 Wx 0答案【精析】/(/)& = 两边求导得2 f( 2j, 1) = c .VQ1 _即八2%1) =七中,代人得/=一Z4一 I 1 e 丁 所以 /(.r) = 丁r -e30.0【精析】

8、lim+h)= lim(+空 +以=hm.(.1J .r *0,只能得出 f（JT）g（X）单调递增.例如，在区间（0,1）内，/、Q） =ng（Q = ,，则/Q） = 1，/（3=一，可 知在（01）上，/（） /（3）,但 ”了）Vg（?）.37.Y【精析】 当上8时.工-0,5山1为有界函数，故1而出=0.38 .N/答案U【精析】 由于定积分sindr + cosgcLr是个常数，故其导数为0.39 .Y40 .Y 【精析】 因为才sin/在一六，上是奇函数所以 IsidrcLr = 0.41.【精析】令 F(jc.之)=e2 q + y + 之，则Fx = yFy =-1 + 1

9、,/之=e + 1,所以上=_坛=dz F；Ji F? er + 1。丫Fz e* + 1所以dz = d.r + dv =-vdw + (w - 1 )dv J、r 7v e4 + 1J，3xdy(e + 1) ve 勺 (ec + 1) veJ3+1)2(e0 + l)2H - 1e + 1 _ yeh - 1)一 + 1 纷 + 1一 42.【精析】%/3 + 2、t 、厂=y/4 (j* 1) * .令才一1=2sii”,一今 V / 厂 Gt2sin/ . 2cos/d/ Zcos/(6 + 2sinf )dz = 6/ 2 cos/ + (=fiarcsin r，3 + 21 /+

10、 C,43.【精析】函数在1=1处可导了 = 3 + 2如+ 54=-f + 2M因函数在7 = 1处取得极值，所以/(I) =。+ 2b+ 5 = 0,又1 =!是函数拐点的横坐标，所以=-4a + 2。= Oy(a + 2。+ 5 = 0,联立/解得a = 1 ,b=- 2.14a + 26 = 0,44.【精析】 因为/(/)在才=。处可导所以f(.r)在才=0处连续,即 lim f(x) = lim (ez acosx) = 1 a = /(0) = 0 所以 a = 1.y-*Hj一*Cr-*il乂因为：(0) = lim e， COSJ = lim(c, +sin.r) = 1 .

11、/： (0) = lim +幻.7一(/N.r-*U ,.r-*U,=lim 红=且 / (x)在/ = 0 处可导所以 / (0) =(0) 即 =1.【精析】 把），=1代入微分方程，2）， + a.y = 0中，得” =0；微分方程/ 2丁 = 0的特征方程为产一2厂=0.可求得方程的特征根为ri = 0.七=2.故原微分方程的通解为y = C +C.【证明】令y（.r） = In（1+ /1 + 2、），田 .则/FT7r/（r）=1+T=）_vkZJ 1+vTT I1 1/1 +、尸 J +、/（1 + r ）/=: 0.yi +u-2（i m所以，/（力 在0. +）上单调递增，则

12、在7 0时有/（1） /（0）=。故当.r 0 时，ln（.r + J1 +./ ） 口 .【证明】e- 1 +9等价于铲+ er 2 +M.JJ令 / （jt） = eJ+ e-f 2 i 知 /（1） = er e 21，/（）=eJ+ e-J - 2 = （/ - eT*,当才 0 时，/（l） 0,于是/（才）在。，+8）内单调增加1 .从而/（工）r（o）=（）.因此/（I）在0,+8）内单调增加，故/（X）/（0） = 0,即匕学二 1 +. 乙乙【精析】 设扇形的半径为”，则弧长为/一 2八设扇形的面积为了,则由题意得、y= :（/ 一 乙21）1 =jt+氏 令，=2彳+ 3

13、x i=Hr6 ,50.【精析】 设存款利率为-存款量为M.因为存款量与利率成正比，所以有M=是正常数）.若贷款总额为A4,则银行的贷款收益为0. 16M = 0.16人，而银行要付给存款为M的 存户的利息为WM =存2,所以银行获得的利涧为L =0.16Q -，/ = 0. 164 2依令=0,则=808,/r=-24 V0,所以 z = 0. 08 是 L 的极大 值点,又因实际问题最值一定存在可知该点也是最大值点，故当存款利率为8%时,银 行获得最大利润.51.【精析】 设底面半径为广,圆柱高为人，则V=仃24+导+,5= 3+ +2式吊，h=上7 1厂，代入 S 得 S = -|-7r

14、r2+ -汽厂 33r3 所以S=毕仃一,令s = 0得唯一驻点厂=/!匕，且宁=B+ W0,故为极 3 产y 5k3 r小值点，在此问题中也为最小值点，代人解得刀=即当该直圆柱的底面半径为J.,高为时，其表面积最小.52.【精析】设储粮桶的底面半径为m,高为/1m,木板的价格为则有U=n,二鼠设制作储粮桶的费用为S则S = 5 irr2+ a 2江厂 h年O V=5 it广 + a Znr ；7rL$=叩。兀,一为.令S，= 0得一居.此时巴法）。.故S在一 Jg处取得极小值,又是唯一驻点,所以S在厂=；层取得最小值.此时分=55疼,因此当 X 五V OTX储粮桶底面半径为二偿 m,高为5：

15、/? m时,所用材料费用最小. 3兀v 0K曲线y = f的渐近线的方程为 X - LA. X = 0 v = 1C. I = 2,了 = 15.若函数f(x+ 1 ) = ,则/(工)=A. /C. (j-l)2B.(1+1D. V 16.设V = v(;r)是由方程=、心+ eJ确定的隐函数则半=axa.十一,1 JTB.D-三7.微分方程包+他=0的通解是 *1A. x2+ 丁 = 25C. x2+ y2= CB. 3i + 4y = CD. y2 x2 = 78.设/(?)在(0, +)上连续,且l则 /(2O2O)=A. 0C. 2D.无法确定9.下列级数中条件收敛的是A. V( l

16、)jr-lcos B.“)c.S(-lr 1n-)D.(-1尸4”510.若四f ( n0 + 小)一/( 4 - h)COB, 2/11.设设x）的定义域为-2.2）则+ 的定义域为B.D. (-5,7)12.下列级数中.发散的是B. V(- 1)DR/u- L Uc2件)13.下列级数中收敛的是a y 11-1。2+lC. sin CM=彳14.已知5=卬.0，），则索 =r .y + 3.jcy + j2jcy + jc15.设函数f（x）为连续函数且/（x） = 4x riB. 21X416.已知 db7(彳) = e*d;rt/(O)=。，则 /(?)=A. c22)19.下列各对函

17、数互为反函数的是A. y= sinSu* v = arcsin -y一C. v = arctan.r e v = arccotjB. v = c = IniD. v =20.微分方程xdy + .ylnydz = 0的通解为A. ye = CC. xny = CB. yev = j + CD. * = C温二、填空题（10题）数列极限lim口n（ - 1） ln1=21.22.若函数在区间1.3上连续，并且在该区间上的平均值是6,则b（w）dwJ 23.微分方程/ - 5y = 0的通解是已知硝 24.空间曲线八:= ecosd“ = 2sin/十cosf.H = 1+e在/ =。处的法平面7

18、/ J/程为.设区域0是由红线.V = 1=2及V = J所围成的三角形闭区域.则二乘积分久由=7 sinz q j-；tcos.k dr =27r ”+/28.（十）的定义域是r1如果函数/（/）的定义域是一卜3 则/O设 f = ,re 则 fCr) 29.设a,b为常数，若lim （普y +/口） = 2.则a +。=30.一 三、判断题（10题）31.设 y = 1 + e 则)/=1 + eA.否B.是已 知(arcsiru，+ 冗)，=，贝U 】dt = arcsinj + 九32. 。-/A.否B.是设函数/Q)在点r= 1处可导，且lim 3券 = 4，则， =a -ihZ4(

19、 )A.否B.是L4-OP I若广义积分丁 Jd/= 1，其中为常数，则k =费.33. J。1 十/-A.否 B.是设5r= 4“ 一 (E0),其反函数/=华(y)在y = 0处导数是1.()ToA.否B.是若/(/) g(l).则 JQ) g(.r). A 才 n 日34. A.否 B.te广义积分37.收敛.A.否B.是r sirtr 1lim = L38.一。0 / A.否 B.是39.j-J sin(.r + cosT)tlr = 0.A.否B.是/sin/dr = 0.40. A.否 B.是四、计算题（5题）2, 设之=之（wy）由方程e一 ly+y + z =。确定,求d之和;

20、1.,dxdy求不定积分, + 5.41. J，3 + 2? 设函数丁 = anx + bx+5%在1=1处取得极值=-为其拐点横坐标，求。之值.je acosu、（）已知/（l） = J试求aJ）的值,使f（x）在/ = 0处可导.+7）,才 4 0,已知函数），=小是微分方程/ 2，+ ” =。的一个特解求常数”的值，并求该微 分方程的通解._j_/1 + T五、证明题（2题）证明：当.ro 时.&(E+ vTTPj 46.47.证明：对、r0,有” 1+千. JJ六、应用题（5题）48.在周长为定值，的所有扇形中,当扇形的半径取何值时所得扇形的面积最大?49.求由曲线丁 = 直线了 =、

21、丁和1=2所围成的平面图形的面积s.并求该平面图形绕T轴旋转而成的旋转体的体积V.50.某家银行准备新设某种定期存款业务.假设存款量与利率成正比经预测与存款量相 同的贷款投资的收益率为16%.假定客户所有存款全部贷出.那么存款利率定为多少时.银行 能获得最大利涧？51.设一物体其下端为直圆柱形,其上端为半球形，如图所示.如果此物体的体积为v问这物体的尺寸各是多少时，才能使其表面积最小?52.25 .欲做一个容积为Vm，的无盖圆柱形储粮桶,底用铝制,侧壁用木板制，已知每平方米 铝价是木板价的5倍,问怎样做才能使费用最少.参考答案1 .D答案D今/ = i fIri iri i i 2 N【精析】

22、= 2j2：/df.故应选 D.2 .D答案1 D【精析】 拐点可能是二阶导数为0的点，也可能是不可导点.故D项错误.3 .A答案1 A【精析】 因为/（U）具有连续的二阶导数.lim 辛=1 0.从而由局部保号性知在W = 0的去心邻域内有Q）。故在W的邻域内广（.，）单调递增.又/（） = 0,所以 在1 = 0的左侧邻域/（） 0.故/（0）是函数的极 小值.故应选A.4 .D【精析】lim-=8,故=2为曲线的垂直渐近线im1=0,故=0为曲 i i - L户 g I - L线的水平渐近线，故选D.5 .C答案1 C【精析】 令 / = 1 + 1 ,则.r =，- 1 ,/（w+ 1） = /*（t） = （z - 1 ）2 ,则 / Q ） = （、rl）2. 故应选C.6.B答案B【精析】 将方程y =心，+c:两边对才求导，其中了为/的函数，得+c即/ =黑目，即半=史=3r一r=43.故应选B.1 - x d.r 1 v1 x1 x7.C【精析】 由也+虫=0,得也=一心,分离变量得一.rd、T = ydy. y 、ry x两边积分，得一 ）、/+（； = Jy2,即原微分方程的通解为/ +丫2 = C,故选C.