2023年四川省雅安市统招专升本高数自考预测试题(含答案).docx

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1、2023年四川省雅安市统招专升本高数自考预测试题（含答案）学校:班级:姓名:考号:一、单选题（20题）1.下列级数发散的是3 4/ (+ 1)5 + 2)2.设/（才）=+ 1）（1+ 3）.则/（1）=0有（）个根.A. 3B. 2C. 1D.03.微分方程+ , a = 0的通解为A35+ G By =千+人LZ xC.y =y +CDy =+ Cr乙9设函数y（u ） = arctan ,则才=0是/（才）的（）xA.连续点B可去间断点C.跳跃间断点D.第二类间断点设函数y = y（x）由方程e0 =彳一所确定，则dy |=（）A. 2dlB.2C. dwD. 3dl答案1 B【精析】方

2、程分离变量得半=也，两边积分得In | 1” | = In | 1 I + G 即j =5， ylny jc又由N = 得。=1，故特解为= e /=i答案1 C(9一小 0,厂 3&工 W 3.【精析】 因为对于函数y应满足i + 20=|1一2.1 + 2 / 1 xr- 1 9I这三个不等式的公共解为-2 V_r V-1或一1 V/&3. C所以函数的定义域为(一2- 1) U(-13112.A.答案A【精析】P(A | B)=%罂=PA)= 0.8.故 P(AB) = P(A)P(5),所以 A 与 B 相互独立.答案1 C9 一 / )0,厂3&/0=i2,jr + 2 # 1 x

3、r- 1,这三个不等式的公共解为一2 Vr V-1与-1 Vr&3.nr所以函数的定义域为(一2.-1)U(-1，3.JL J14.D答案D【精析】 极值点不可能是端点，且极值是同部概念.不是最值，故应选D.【精析】微分方程的阶数为方程中最高阶导数的阶数故应选B.15.B答案B16b【精析】/&(?)1/(?)故应选B.17.B【精析】A =| A | A，所以 | 3A1- 2A” | = |-A- |=【精析】 原微分方程可变形为 =1所以方程的通解为y=鼻(/ 】一；“1 + C )=1 ( ad.r + C)=1+()=I/ + Q.18.B19 .D答案D【精析】A选项中，函数在彳=

4、0处不连续；B选项中,函数在无意义；C选 项中，函数在(1.2无意义；D选项中，函数在- 1,1连续,在(- 1.1)可导.符合 拉格朗日中值定理条件,故选I).20 .C答案C【精析】 由于方向角ag,y必须满足cos2a + COSJ9+ cos2/ = 1 .验证四个选项只 有C选项满足条件.21 .T【精析】 因为向量。+2b垂直于q 4人所以(a+2b) (a-4b)= 0,即/ 一2。 b- Sb2= 0,同理得(a + 4b) (a 2b) = 0,即屋 + 2a b - 8/ = 0,一CD 得 4a b = 0,即a b = 0.所以向量q与向量力垂直，则向量Q与向量b的夹角

5、是今22.3答案312-210012-10 0 13- t0 0 -12131【精析】A= 1故 r(A) = 3.23.y = e5,ri ,r【精析】u = v：i = (sini) = sin,则 y = en = e24.0答案o.o【精析】 由+1）=） +，（4世小得./（1 -0. 01） 0. 01 = 0. OL25.答案1 6T【精析】（小=用（弓中）=lim 11 J- + 1lim _T7 C.一 .+ | = C21,三(I+1户-2 /m+c答案 4(.r+ 1) -2 ZTTT-kC精析 _dw =+ 1JcLr = /r + 1 ch 1drJ s/jL -|-

6、 1*/-T + *、+ I=三(彳+一2，7干T十C答案arctan/( j*) + C.【精析】28.1 +/(“产-d/(j) = arctan/( j ) + C.1 + 广(？)答案（壬产n壬+系【精析】丁=产两边取对数，得lny = 2zln 了乎， 1十工1十1两边求导，得上=21n三一+ 丁吉.y1十 I十/所以y = ,21n壬+4=（壬产Wn壬+壬】答案/（内 + y + l）【精析】 华=e + v） += e1v（xy + y2 + 1 ）答案1 x【精析】 f 8时，（f0 .此时皿1 +5）焉,所以原式=lim3 ，31.Y【精析】 因为lim三9 =8,1淅 三吉

7、 =8,所以曲线的垂直渐近线为/ = 1. 1 1，一】j: I32.N【精析】 当为奇数时,数列收敛于1：当为偶数时,数列收敛于01 #0.故该数列 发散.33.N【精析】 反例：骞函数v =-的原函数为y = in | .r |+C.不是弃函数.34N【精析】/，）= 2/（2） = 4.而= 0【精析】（e） = e （2.r）z= 2e.35.N36.Y【精析】 :丫 = siru + （、,、/=cosuT,），= siru,满足（y） = 1 （/ 尸，F = sin.r + C是微分方程的解，但原微分方程是二阶的.所以通解应含有两个独立的任意常数. 故不是通解，【精析】 由于定积

8、分sin（.r + cov）ch是个常数.故其导数为0.37 .Y一38 .N答案Xdy【精析】 半=半= COSf ,所以& = CO5/ L-ff = - 1 ,当，=时= 7T w v 1 dr cLr 1df所以t =穴处的切线方程为y 1 = l（i 穴）即1十y 1 it= 0.39.N答案X【精析】=lirn 二心)=/Cr) 而(/(*) = 0,因此 /(-) ./ A ,.If%(/(4).40.N【精析】=2.故抛物线在点（1,1）处的切线方程为y一1 = 2（ r1).41.【精析】NarcsirLrdi o什.乂 21 /arcsinjrdjr = I0L I1 /a

9、rcsinx x27T一T 240 /l d/d.rTFsin，,-dx =?rmsin2 2dz = (1 cos2r)df =NJ。L7T6彳arcsirrrd彳=联二 4842.【精析】 由题意知 /( 1)=。且 g( 1) =()/( 1) = /( 1) j(i) = 3.r* + a 9 g/C.r) = 2/n ,即， + c = 0 ,解之得 a = 1 J)= 13 + a 2/j,43.【精析】令= A则 /Q)=七+3ri则 /Q) d/ =7T3ri44.【精析】45.【精析】0 1 + Jrid.r + Az,3 dr,即 A = arctan.r 、o/ (j)

10、da =工，即 / Q )=o61.7T .7TT TzlimlO- 1 - Jt/ (.r + y w.ry,3=lim j- ,*=limJ- A。i 4 i。+张3eJ - 1 - xP3一 =lim0V2 = lim 工 2K3LO 213)=(x 4- y)2 3才了 .故 f( y)=0.所以【证明】/(a)d 1= f (jc2)d.r + /(2,)cLr,”一城” u U令J = /，则iarof(.7,2) d J1 = /(Z)2 Jd( t) =- I fit )dzJuJuJu=f (广)dt = f f(/ )chJ 【证明】令FQ ） = / （x）sinx则 F

11、（0） = J （O）sinO = 0 = /（Qsimr = F（tt）且F（x）在0.用上连续，在（0,内内可导.由罗尔定理知.在（0，内内至少存在一点。使得F（3）=0.即 /（F）sinf = /（c）cos.【精析】 设每小时的燃料费为止比例系数为为（/（）则y = kv把， =I2y = 720代入，解得 = 5.设全程的燃料费为y，由题意可得_200 _ 1000（7口=不于所以/2000加 u 8） 1000/1000/ 16000vV =.（V 8）2（v 8 ）-令=0,解得77= 16 因为驻点唯一，且实际问题最值存在所以当v= 16km/h时.全程燃料费最省$此时船的实

12、际速度为（16 8） = 8 km/h.49.【精析】 设利润函数为L(Q),由题意可得L(Q) = PQ-C(Q) =(80 0. lQ)Q-5000-20Q = 60Q-0. 1Q2-5000则边际利润函数为LQ) =-0. 2Q + 60.当Q = 150时/(150) = 30,即边际利润为30,经济意义：当产量为150时，产量再增加1个单位，利润将增加30个单位.当Q = 400时.17(400) =一 20,即边际利润为一20经济意义：当产量为400时，产量再增加1个单位，利润将减少20个单位.，【精析】 设正方形的周氏为八则圆形的周氏为a则正方形的边长为圆形的半径为彳1 /n正方

13、形与圆形的面积之和S = + 仁立,()： 4)1647r令s = 3-皆=。电=德而宁(泮；) 0 ,故1 = *;时正方形与圆形的面积之和取极小值,又是唯一驻点，故也为最小值,即当正方形周长为广匕,圆的周长为时，1E方形与圆形的面积之 4 - 7T4十兀和最小.fl1【精析】 由题可知所求面积S = e-Jd.r = (e-1 - 1) = 1 - e-1.Jo0【精析】 设底面半径为，圆柱高为人则支=.3十兀/6= 3/+27rM ,h=匚一,代入S得S =I型.兀广 33r所以S, 苧7tz，令S 0得唯一驻点r = 且S =。，故为极3 厂、。兀3 r小值点.在此问题中也为最小值点.

14、代入厂解得人=J 即当该直圆柱的底面半径为V，式a/t *高为J詈时,其表面积最小.6.lim(2x-l)2(3r + 2)2B.Oc4D. OO7.函数= .rtan.r 是A.奇函数B.非奇非偶函数D.无法确定奇偶性8.,下列各组函数中表示同一函数的是A. /(x) =3 a,g(i) = a/C ,Z(t)= E( )B. /(.r) = G M 1，g(/)= y/xx 1)D. /(k) = Inj； g(E)= 21n | x 9.由曲线y = Ct与直线l =0,1= 1，3= 0所围成的平面图形的面积是()A. e-B. 1C. 1 - JD. 1 + J10.微分方程弋，一y

15、ny = 0满足yA. y = 1 + 1 B. v = eJ11.函数0工的定义域是 lg(x + 2)A. 2,3C.(-2,-l) U(一131的特解为()C. y = e。D. y =- 1( )B. 3,3D. (-2,3)12.设P(A) = 0.8.P(B) = 0.7,P(A | B) = 0. 8,则下列结论正确的是()A. A与B相互独立C. BZ) AB.事件A与B互斥D. P(A + B) = P(A) +P(B)B. 3 , 3D. (-2,3)函数。=/三鼻的定义域是 lg(.r + 2)A. 2 . 3C. (2, 1) U (-1.3若点八为函数了 = /（Q的

16、极大值点,则下列命题正确的是（）A. /（）比任何点的函数值都大B.不可能存在比/（右）大的极小值Cm也可能是区间的端点D.以上说法都不对.微分方程（J）? + （y）2y + y = 0的阶数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4设函数/Cr）为奇函数.gCr）为偶函数，则复合函数/g（z）为（）A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数 D.既奇又偶函救17.设A是3阶方阵，且| A |=2,则|347 2A.i =D. 1C. 218.方程yz y = x3的通解为Cy=f+a19.下列函数在给定区间满足拉格朗Fl中值定理条件的有r sin2.r ,八A NO久兀1人,3、F21,= 0,li

17、. y= lncosjs0 7tC y = arcsin_j0.2D. y = ln( 1 + xz ) lei下列各组角中,可以作为向量的一组方向角的是D工三三必3 6二、填空题（10题）向量a + 2b垂直于a 皿，向量a+ 48垂直于。一 2b,则向量。与向量b之间的夹角为12-10矩阵A= 1 32 - 1的秩是22.由函数、y = e = J，期=sinw构成的复合函数为乙 D24.已知函数f（.r）= In.r为可导函数则/O）在点/ = L 01处的近似值为25.极限加（年）27.1+小产已知了 = (士28. I产,则丁 =设u=门(.r + y) 则=29,日三、判断题（10

18、题）7r2 4- Q曲线 31.飞十彳的垂直渐近线为1 = 1.7A.否B.是”数列（ 1尸是收敛的人不口曰32. A.台 Jd.7E塞函数的原函数均是弃函数.33. A.否 B.是设/Q)=犬.因为 /(2) = 4 .所以 /(2) = 4 = 0.34. A.否 B.是35.A.否B.是），=sinu +C是微分方程（W = 1-（/）2的解.但不是通解（其中C是任意常数）.A.否B.是- j sin（H + cos/）dz = 0.37.4泊-1A.否B.是，.r =1.参数方程在1 =近处的切线方程为/ + y1 = 0.（）y = 1 + sin/A.否B.是导数值，Q、O）=（）

19、A.否B.是抛物线y = /在点（l.l）处的切线方程为1 =38. A.否B.是四、计算题（5题）聂承蕊缪:蕊懿:.计算定积分2j?arcsinxd-z41.设曲线/(t)= x3 +a、r与g(x) = h? +c的交点为(-1,0) ,且在点(- 1.0)有公共切线求明。的值.1fl设 /x) = 7 + r3 /(i)cLz 求 /(x).1 + 1Jo*求极限lim一.； x *o sin /设/(1十.yr)45.五、证明题（2题）f ()d.r.设/Q）在区间。“上连续.证明：/（）1 = 46.设函数/（I）在闭区间0.八上连续.在开区间（Of）内可导证明在开区间（0.0内至

20、少存在一点 使得= f（S）cos&六、应用题（5题）已知A3两地相距200 km 一只船从A地逆水（沿水流方向的反向）行驶到8地水 速为8 km/h,船在静水中的速度为v km/h（8v40）.若船每小时的燃料费与其在静水中 的速度的平方成正比，当以=12 km/h时，每小时的燃料费为720元，为了使全程燃料费最省. 船的实际速度为多少？20.设需求函数为P + 0.1Q = 80,成本函数为C（Q） = 5OOO + 2OQ,其中Q是曲品的需求 量,P为商品价格，计算边际利润函数，以及Q= 150.400时的边际利润，并解释其经济意义.50.25,将长为。的铁丝切成两段,一段围成正方形.另

21、一段围成圆形.问这两段铁丝长各是多少时,正方形与圆形的面积之和最小?51.求由曲线y = e-与直线文=0，、r = ,y =0所围成的平面图形的面积.52.设一物体其下端为宜圆柱形，其上端为半球形，如图所示.如果此物体的体积为炉问这物体的尺寸各是多少时才能使其表面积最小？参考答案1.A答案AQ,门2【精析】 由于lim（/,=lim（- 1）” （-4）丰0.一（，十 1）（ 十，）一：所以斗一1。；工：；2）发放,故选A.2.B答案B【精析】 函数”）在定义域内连续可导,且八。）=/（-1）=/（-3） =0,故由 罗尔定理可得至少存在两点多 6（- 1，0）怎（一3一1）使得/（&） =0,f（a）=。.又/（4）= 0为二次方程因此/（7）= 0有两个根.【精析】 方程化简为 +义=1.为一阶线性微分方程由通解公式得y= e-f7Lr( 1,下山(11 + (7)=-(1_rctr + Cj4.C答案1 C【精析】因为lim/G )= Um arctan I. lim f(x)=2 一lim arctan =所以i = 0是,/O,g（i）的定义域是全体实效,/C）与g（.r）定义域不同；D项：定义域与对应 法则都相同.9 .C答案1 C【精析】 由题可知所求面积A= ；7上=一67 =（U 1） = 1一厂故选C.J 0o