专题03 首届新高考-立体几何大题综合-【冲刺双一流之大题必刷】备战2024年高考数学冲刺双一流之大题必刷满分冲刺（首届新高考江西、广西、贵州、甘肃专用）含答案.pdf

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1、专题专题 0303 首届新高考首届新高考-立体几何大题综合（首届新高考江西立体几何大题综合（首届新高考江西、广西、贵州、甘肃专用）广西、贵州、甘肃专用）一、解答题一、解答题1（2023安徽亳州安徽亳州安徽省亳州市第一中学校考模拟预测）安徽省亳州市第一中学校考模拟预测）已知四棱锥PABCD中，侧面PAD为等边三角形，底面ABCD为直角梯形，/AB CD，90ABC，122BCCDAB，PABD.(1)求证：平面PAD 平面ABCD；(2)求直线PC与平面PBD所成角的正弦值.2（2023湖北黄冈湖北黄冈浠水县第一中学校考模拟预测）浠水县第一中学校考模拟预测）如图，在三棱台111-ABC ABC中

2、，112AB，4ABAC，115AACC，13BB，2BAC(1)证明：平面11A ACC平面ABC；(2)设D是BC的中点，求平面11A ACC与平面1A AD夹角的余弦值3（2023湖北恩施湖北恩施校考模拟预测校考模拟预测）如图，在多面体 ABCDE 中，平面ACD 平面 ABC，BE 平面 ABC，ABC和ACD均为正三角形，23ACBE，点 M 为线段 CD上一点(1)求证：DEAM；(2)若 EM 与平面 ACD 所成角为3，求平面 AMB 与平面 ACD 所成锐二面角的余弦值4（2023山东泰安山东泰安统考模拟预测）统考模拟预测）四棱锥SABCD中，底面ABCD为矩形，2,2,60

3、ADSASAB，45SAD，平面SAD与平面SBC的交线为l.(1)求证：直线l平行于平面ABCD；(2)求二面角DSAB的余弦值.5（2023山东泰安山东泰安统考模拟预测统考模拟预测）如图 1，在平行四边形ABCM中，22 3ABBC，60MAD，D为CM的中点，12AFFC，AHHD，沿AD将MAD翻折到PAD的位置，如图 2，PFAC.(1)证明：/HF平面PBD；(2)求平面PBC和平面PCD的夹角.6（2023福建宁德福建宁德校考模拟预测）校考模拟预测）如图，已知多面体 EACBD 中，EB底面 ACBD，EB=1，AB=2，其中底面由以 AB 为直径的半圆 ACB 及正三角形 AB

4、D 组成(1)若 BC=1，求证:BC平面 ADE.(2)半圆 AB 上是否存在点 M，使得二面角MAED是直二面角?若存在，求出AMBM的值；若不存在，请说明理由.7（2023福建厦门福建厦门统考模拟预测）统考模拟预测）筝形是指有一条对角线所在直线为对称轴的四边形如图，四边形ABCD为筝形，其对角线交点为,2,2O ABBDBC，将ABD沿BD折到A BD的位置，形成三棱锥ABCD(1)求B到平面A OC的距离；(2)当1A C时，在棱A D上是否存在点P，使得直线BA与平面POC所成角的正弦值为14？若存在，求A PA D的值；若不存在，请说明理由8（2023安徽合肥安徽合肥合肥市第六中学

5、校考模拟预测合肥市第六中学校考模拟预测）如图所示的几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD（及其内部）以边AD所在直线为旋转轴旋转23得到的，M是BE的中点(1)设N是CF上的一点，且ANCD，求FDN的大小；(2)当2AB，4AD时，求二面角CAMF的余弦值9（2023辽宁辽宁辽宁实验中学校考模拟预测）辽宁实验中学校考模拟预测）已知直角梯形形状如下，其中ABAD，26DCABAE ，6AB，2AD(1)在线段 CD 上找出点 F，将四边形ADFE沿EF翻折，形成几何体A BEDCF若无论二面角AEFB多大，都能够使得几何体A BEDCF为棱台，请指出点 F 的具体位置（无需给出证明过程）(2

6、)在（1）的条件下，若二面角AEFB为直二面角，求棱台A BEDCF的体积，并求出此时二面角BA DE 的余弦值10（2023山西山西校联考模拟预测校联考模拟预测）如图，斜四棱柱1111ABCDABC D的底面ABCD为等腰梯形，且/ABCD，点1A在底面的射影点O在四边形ABCD内部，且1112,4,1,ADBCCDAAABAOAABC.(1)求证：平面ABCD平面11ACC A；(2)在线段11B D上是否存在一点M，使得平面MBC与平面ABCD夹角的余弦值为217，若存在，求111B MB D的值；若不存在，请说明理由.11（2023河北河北统考模拟预测）统考模拟预测）在圆柱12OO中，

7、等腰梯形ABCD为底面圆1O的内接四边形，且1ADDCBC，矩形ABFE是该圆柱的轴截面，CG为圆柱的一条母线，1CG.(1)求证：平面1OCG平面ADE；(2)设DPDE，0,1，试确定的值，使得直线AP与平面ABG所成角的正弦值为10535.12（2023湖南长沙湖南长沙长郡中学校考模拟预测）长郡中学校考模拟预测）如图，在直角梯形 ABCD 中，/AD BC，ADCD，四边形CDEF为平行四边形，对角线CE和DF相交于点 H，平面CDEF平面ABCD，2BCAD，60DCFo，G 是线段BE上一动点（不含端点）(1)当点 G 为线段 BE 的中点时，证明：/AG平面CDEF；(2)若1,2

8、ADCDDE，且直线DG与平面CDEF成45角，求二面角EDGF的正弦值13（2023广东佛山广东佛山华南师大附中南海实验高中校考模拟预测）华南师大附中南海实验高中校考模拟预测）如图，在四棱锥PABCD中，ABCD，ABAD，22BCCDAB，E为PC中点.(1)在棱PD上是否存在点Q，使得/AQ平面EBD？说明理由；(2)若PC 平面PAD，PCPD，求平面PAD与平面EAB所成角的余弦值.14（2023广东广州广东广州广州六中校考三模）广州六中校考三模）四棱锥PABCD中，ADBC，22ABADBC，60ABC，PACD，PDAC，点E是棱PD上靠近点P的三等分点(1)证明：PA 平面AB

9、CD；(2)若平面PAC与平面EAC的夹角的余弦值为3 1010，求四棱锥PABCD的体积15（2023广东深圳广东深圳深圳中学校考模拟预测深圳中学校考模拟预测）如图，ADBC且2ADBC，ADCD，EGAD且EGAD，CDFG且2CDFG.DG 平面ABCD，2DADCDG.(1)求平面EBC与平面BCF的夹角的正弦值；(2)若点P在线段DG上，且直线BP与平面ADGE所成的角为60，求线段DP的长.16（2023广东深圳广东深圳统考模拟预测统考模拟预测）在正三角形ABC中，E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点，满足AE：EBCF：FACP：1PB：2(如图1).将AEF沿EF折起到1A

10、EF的位置，使二面角1AEFB成直二面角，连结11,AB AP(如图2)(1)求证：FP/平面1AEB；(2)求证：1AE 平面BEP；(3)求直线1AE与平面1ABP所成角的大小17（2023江苏无锡江苏无锡校联考三模）校联考三模）如图，已知在平面四边形ABCD中，2ABBC，2ACCD，=90ACD，现将ABC沿AC翻折到PAC的位置，使得2PD.(1)求证：平面PAD 平面ACD；(2)点M在线段CD上，当二面角MAPD的大小为6时，确定M点的位置.18（2023江苏常州江苏常州江苏省前黄高级中学校考模拟预测江苏省前黄高级中学校考模拟预测）如图，在三棱台 ABC111ABC中，11111

11、22BBBCC CBCABBC，平面11AAB B 平面11BBCC.(1)证明：AB平面11BBCC；(2)若二面角1BC CA的大小是6，求侧面11AACC与底面ABC所成二面角的正弦值.19（2023江苏苏州江苏苏州模拟预测模拟预测）在如图所示的圆锥中，已知P为圆锥的顶点，O为底面的圆心，其母线长为 6，边长为3 3的等边ABC内接于圆锥底面，ODOP 且1,12.(1)证明：平面DBC 平面DAO；(2)若E为AB中点，射线OE与底面圆周交于点M，当二面角ADBC的余弦值为519时，求点M到平面BCD的距离.20（2023辽宁沈阳辽宁沈阳东北育才学校校考模拟预测）东北育才学校校考模拟预

12、测）如图，棱长为 2 的正方体1111ABCDABC D中，P 为线段11B D上动点(1)证明：CP平面1ABD；(2)当直线 BP 与平面11A BCD所成的角正弦值为36时，求点 D 到平面1ABP的距离21（2023江苏盐城江苏盐城盐城中学校考三模）盐城中学校考三模）如图，该几何体是由等高的半个圆柱和14个圆柱拼接而成，点G为弧CD的中点，且C，E，D，G四点共面.(1)证明：平面BDF平面BCG；(2)若平面BDF与平面ABG所成二面角的余弦值为155，且线段AB长度为 2，求点G到直线DF的距离.22（2023重庆沙坪坝重庆沙坪坝重庆南开中学校考模拟预测重庆南开中学校考模拟预测）如

13、图所示，正三棱柱111ABCABC-中各条棱长均为 2，点,M N E分别为棱1,AC AA AB的中点(1)求异面直线MN和CE所成角的正切值；(2)求点B到平面MEN的距离23（2023云南云南校联考模拟预测校联考模拟预测）如图，正ABC是圆柱底面圆O的内接三角形，其边长为a.AD是圆O的直径，PA是圆柱的母线，E是AD与BC的交点，圆柱的轴截面是正方形.(1)记圆柱的体积为1V，三棱锥PABC的体积为2V，求12VV；(2)设F是线段PE上一点，且12FEPF，求二面角AFCO的余弦值.24（2023黑龙江哈尔滨黑龙江哈尔滨哈尔滨三中校考模拟预测）哈尔滨三中校考模拟预测）在长方体1111

14、ABCDABC D中，12ABBCCC，点 P 为棱11C D上任意一点.(1)求证：平面11AACC平面PBD；(2)若点 E 为棱1CC上靠近点 C 的三等分点，求点 P 在棱11C D上什么位置时，平面BDE与平面PBD夹角的余弦值为6 219.25（2023吉林吉林长春吉大附中实验学校校考模拟预测长春吉大附中实验学校校考模拟预测）如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于,A B的点，直线PC 平面,ABC E F分别是,PA PC的中点(1)记平面BEF与平面ABC的交线为l，证明：l平面PCB；(2)设（1）中的直线l与圆O的另一个交点为D，且点Q满足12DQCP 记直线PQ与平面A

15、BC所成的角为，异面直线PQ与EF所成的角为，二面角ElC 的大小为，求证：sinsin sin26（2023江苏江苏金陵中学校联考三模）金陵中学校联考三模）如图，圆锥DO中，AE为底面圆O的直径，AEAD，ABC为底面圆O的内接正三角形，圆锥的高18DO，点P为线段DO上一个动点.(1)当3 6PO 时，证明：PA 平面PBC；(2)当P点在什么位置时，直线 PE 和平面PBC所成角的正弦值最大.27（2023广东深圳广东深圳校考二模）校考二模）如图 1 所示，等边ABC的边长为2a，CD是AB边上的高，E，F分别是AC，BC边的中点现将ABC沿CD折叠，如图 2 所示.(1)证明：CDEF

16、；(2)折叠后若ABa=，求二面角ABD E-的余弦值.28（2023湖南邵阳湖南邵阳邵阳市第二中学校考模拟预测邵阳市第二中学校考模拟预测）如图，在ABC中，90B=，P为AB边上一动点，/PD BC交AC于点D，现将PDA沿PD翻折至PDA.(1)证明：平面CBA 平面PBA；(2)若24PBCBPD，且A PAP，线段AC上是否存在一点E（不包括端点），使得锐二面角EBDC的余弦值为3 1414，若存在求出AEEC的值，若不存在请说明理由.29（2023湖南衡阳湖南衡阳校考模拟预测）校考模拟预测）如图，ADM是等腰直角三角形，ADDM，四边形ABCM是直角梯形，ABBC，MCBC，且222

17、ABBCCM，平面ADM 平面ABCM(1)求证：ADBM；(2)若点 E 是线段DB上的一动点，问点 E 在何位置时，三棱锥MADE的体积为218?30（2023浙江温州浙江温州统考二模）统考二模）已知三棱锥DABC中，BCD是边长为 3 的正三角形，,ABACAD AD与平面BCD所成角的余弦值为33(1)求证：ADBC；(2)求二面角DACB的平面角的正弦值专题专题 0303 首届新高考首届新高考-立体几何大题综合（首届新高考江西、广立体几何大题综合（首届新高考江西、广西、贵州、甘肃专用）西、贵州、甘肃专用）一、解答题一、解答题1（2023安徽亳州安徽亳州安徽省亳州市第一中学校考模拟预测

18、）安徽省亳州市第一中学校考模拟预测）已知四棱锥PABCD中，侧面PAD为等边三角形，底面ABCD为直角梯形，/AB CD，90ABC，122BCCDAB，PABD.(1)求证：平面PAD 平面ABCD；(2)求直线PC与平面PBD所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)68【分析】（1）由题意，利用勾股定理逆定理证明ADBD，由已知PABD，证明BD平面PAD，从而证明平面PAD 平面ABCD；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.【详解】（1）四棱锥PABCD中，90ABC，122BCCDAB，则222 2BDBCCD，224222 2AD，4AB，222BDADAB，AD

19、BD，又PABD，且PAADA，,PA AD 平面PAD，BD平面PAD，又BD平面ABCD，平面ABCD平面PAD，即平面PAD 平面ABCD；（2）如图建立空间直角坐标系，则0,0,0D，0,2 2,0B，2,2,0C，2,0,6P，所以0,2 2,0DB uuu r，2 2,2,6PC ，2,0,6DP ，设平面PBD的法向量为,nx y z，则2 20260n DByn DPxz ，令3x，则1z ，所以3,0,1n，设直线PC与平面PBD所成角为，则66sin248n PCnPC ，所以直线PC与平面PBD所成角的正弦值为68.2（2023湖北黄冈湖北黄冈浠水县第一中学校考模拟预测浠

20、水县第一中学校考模拟预测）如图，在三棱台111-ABC ABC中，112AB，4ABAC，115AACC，13BB，2BAC(1)证明：平面11A ACC平面ABC；(2)设D是BC的中点，求平面11A ACC与平面1A AD夹角的余弦值【答案】(1)证明见解析(2)23【分析】（1）由线面垂直证面面垂直，根据题中条件，在平面ABC中，AB垂直于两平面的交线AC，只需再证其与平面11A ACC内的另外一条与AC相交的直线垂直即可.（2）建立空间直角坐标系，两平面法向量的夹角余弦值的绝对值即为平面11A ACC与平面1A AD夹角的余弦值.【详解】（1）证明：由三棱台111-ABC ABC知：1

21、1/ABAB，在梯形11A ABB中，取AB的中点E，连接1B E，因112AB，4ABAC故11ABAE，四边形11A AEB是平行四边形，115B EAA，122EBAB，13BB 所以22211B EEBBB，12BEB，即1B EAB，因11/B EAA，所以1BAAA，又因2BAC，所以BAAC，又因1AAACA，所以BA 平面11A ACC，因BA 平面ABC，所以平面11A ACC平面ABC；（2）解：取AC的中点O，11AC的中点F，连接OD，OF，则/ODAB，因ABAC，所以ODAC，由条件知：四边形11A ACC是等腰梯形，所以OFAC，平面11A ACC 平面=ABC

22、ACOF 平面11A ACC,平面11A ACC平面ABCOF 平面ABC，分别以OA，OD，OF所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图，则在等腰梯形11A ACC中，由平面几何知识可得：25(2 1)2OF，2,0,0A，0,2,0D，11,0,2A，2,2,0AD ，11,0,2AA 设平面1A AD的法向量,x y zr，则由1AAAD得22020 xyxz，令2x，得2y，1z，所以2,2,1，又平面11A ACC的法向量0,1,0，设平面11A ACC与平面1A AD的夹角为，则2222 12cos32211 3（2023湖北恩施湖北恩施校考模拟预测校考模拟预测）如图，在

23、多面体 ABCDE 中，平面ACD 平面 ABC，BE 平面 ABC，ABC和ACD均为正三角形，23ACBE，点 M 为线段 CD 上一点(1)求证：DEAM；(2)若 EM 与平面 ACD 所成角为3，求平面 AMB 与平面 ACD 所成锐二面角的余弦值【答案】(1)证明见解析；(2)1313.【分析】（1）取 AC 中点 O，利用面面垂直的性质、线面垂直的性质证明/DEOB即可推理作答.（2）利用（1）中信息，建立空间直角坐标系，借助空间向量求解作答.【详解】（1）取 AC 中点 O，连接 DO、OB，在正ACD和正ABC中，2AC，则,3DOAC BOAC DOBO，而平面ACD 平面

24、 ABC，平面ACD 平面ABCAC，DO 平面 ACD，BO平面 ABC，于是DO 平面 ABC，BO平面 ACD，又BE 平面 ABC，即有/DOEB，而3DOEB因此四边形 DOBE 是平行四边形，则/DEOB，从而DE平面 ABC，AM 平面 ADC，所以DEAM.（2）由（1）知，DE平面 ADC，EMD为 EM 与平面 ADC 的所成角，即3EMD，在RtEDM中，313tan3DEDM，即 M 为 DC 中点，由（1）知，,OB OC OD两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，则13(0,1,0),(3,0,0),(0,0,3),(0,1,0),(0,)22ABDCM，

25、33(3,1,0),(0,)22ABAM ，显然平面 DAC 的一个法向量为1(1,0,0)n，设平面 MAB 的一个法向量为2(,)nx y z，则223033022nABxynAMyz ，令1x，得2(1,3,3)n ，121222212|113|cos,|13|11(3)3n nn nnn ，所以平面 AMB 与平面 ACD 所成锐二面角的余弦值为13134（2023山东泰安山东泰安统考模拟预测）统考模拟预测）四棱锥SABCD中，底面ABCD为矩形，2,2,60ADSASAB，45SAD，平面SAD与平面SBC的交线为l.(1)求证：直线l平行于平面ABCD；(2)求二面角DSAB的余弦

26、值.【答案】(1)证明见解析(2)33【分析】（1）根据题意证得/AD平面SBC，结合线面平行的性质定理证得/AD直线l，再由线面平行的判定定理，即可证得/l平面ABCD；（2）以点A为原点，建立空间直角坐标系，设(,)ASa b c，取AB 的方向向量(0,1,0)e，根据60SAB，45SAD，利用向量的夹角公式，求得(2,1,1)AS ，进而求得平面ADS和平面ABS的一个法向量，结合向量的夹角公式，即可求解.【详解】（1）证明：因为底面ABCD是矩形，可得/ADBC，又因为AD 平面SBC，BC平面SBC，所以/AD平面SBC，因为AD 平面SAD，且平面SAD平面SBCl，所以/AD

27、直线l，又因为l 平面ABCD，AD 平面ABCD，所以/l平面ABCD.（2）解：以点A为原点，,AD AB，垂直于平面ABCD的直线AZ分别为x轴、y轴和z轴，建立如图空间直角坐标系，则(0,0,0),(2,0,0)AD，则(2,0,0)AD，设(,)ASa b c，取AB 的方向向量(0,1,0)e，因为60SAB，45SAD，可得22222cos,22AS ADaAS ADAS ADabc 2221cos,21AS ebAS eAS eabc ，又因为2SA，可得2222ASabc，即2224abc，解得2,1,1abc，即(2,1,1)AS ，设平面ADS法向量为111(,)mx y

28、 z，则11112020m ADxm ASxyz，取11z，可得110,1xy，所以(0,1,1)m，设平面ABS的法向量为222(,)nxy z，则2222020n eyn ASxyz ，取取22z ，可得221,0 xy，所以(1,0,2)n，所以23cos,323m nm nm n ，由图象可得，二面角DSAB为锐二面角，所以二面角DSAB的余弦值为33.5（2023山东泰安山东泰安统考模拟预测）统考模拟预测）如图 1，在平行四边形ABCM中，22 3ABBC，60MAD，D为CM的中点，12AFFC，AHHD，沿AD将MAD翻折到PAD的位置，如图 2，PFAC.(1)证明：/HF平面

29、PBD；(2)求平面PBC和平面PCD的夹角.【答案】(1)证明见解析(2)4【分析】（1）确定PAD为正三角形，ACBDG，证明/HFDG，得到证明.（2）确定AD 平面PHF，ACBC，建立空间直角坐标系，确定平面PCD和平面PBC的法向量，根据向量的夹角公式计算得到答案.【详解】（1）3PAPD，60PAD，PAD为正三角形，AHHD，则H为AD中点，设ACBDG，/CDAB，12CDAB，故12CGGA，故G为AC的三等分点，13AFAC，F为AC的三等分点，即 F 为AG的中点，故/HFDG，DG 平面PBD，HF 平面PBD，故/HF平面PBD.（2）由题设易得3AD，60DAB，

30、22212cos3 12232 392BDADABAD ABBAD，故222ADBDAB，即ADBD，/HFDG，故ADHF，ADPH，PHHFH，PH、HF 在面 PHF 内，故AD 平面PHF.PF 在面 PHF 内，故ADPF，又PFAC，ACADA，AC、AD 在面 ABCD 内，故PF 平面ABCD.在Rt PFH中，222231222PFPHHF，由题意易得ABC=60，BAC=30，则ACB=90，故ACBC，过点C作平面ABCD的垂线为 z 轴，以CACB ,分别为x轴、y轴正方向，建立如图所示坐标系.则0,0,0C，0,3,0B，3,0,0A，2,0,2P，33,022D，3

31、3,022CD，2,0,2CP ，0,3,0CB ，设平面PCD的一个法向量为(,)nx y z，则33022220n CDxyn CPxz ，令1x，则3,2yz，所以1,3,2n 设平面PBC的一个法向量为111(,)mx y z，则11130220m CBym CPxz ，令11x，则10y，12z ，所以1,0,2m，设平面PBC和平面PCD的夹角为，0,则122coscos,236m n，4，所以平面PBC和平面PCD的夹角为4.6（2023福建宁德福建宁德校考模拟预测校考模拟预测）如图，已知多面体 EACBD 中，EB底面 ACBD，EB=1，AB=2，其中底面由以 AB 为直径的

32、半圆 ACB 及正三角形 ABD 组成(1)若 BC=1，求证:BC平面 ADE.(2)半圆 AB 上是否存在点 M，使得二面角MAED是直二面角?若存在，求出AMBM的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)证明见详解(2)存在，5 3AMBM【分析】（1）根据题意分析可得30CAB，进而可证ADAC，AD/BC，根据线面平行的判定定理分析证明；（2）建系，设cos,sin,0,0,M，分别求平面ADE、平面MAE的法向量，结合面面垂直的向量关系运算求解.【详解】（1）由题意可得：ACBC，则1sin2BCCABAB，且CAB为锐角，则30CAB，因为三角形 ABD 为正三角形，则60DAB

33、，可得90DACDABCAB，即ADAC，所以AD/BC，AD 平面 ADE，BC 平面 ADE，可得 BC平面 ADE.（2）如图，以AB的中点O为坐标原点，AB为 x 轴，AB的中垂线为 y 轴建立空间直角坐标系，则1,0,0,1,0,0,0,3,0,1,0,1ABDE，可得2,0,1,1,3,0AEAD uuu ruuu r，设平面ADE的法向量,nx y z，则2030n AExzn ADxy ，令3x，则1,2 3yz，即3,1,2 3n r，设cos,sin,0,0,M，平面MAE的法向量,ma b c，因为cos1,sin,0AMuuur，则20cos1sin0m AEacm A

34、Mab ，令sina，则1cos,2sinyz，即sin,1 cos,2sinmu r，若二面角MAED是直二面角，则3sin1 cos4 3sin0n mr u r，整理得5 3sincos1，联立方程225 3sincos1sincos1，解得5 3sin3837cos38 或sin0cos1，因为0,，则sin0，可得5 3sin3837cos38，即37 5 3,03838M所以222222375 35 57375 31910,10383819383819AMBM，可得当5 57195 31919AMBM时，二面角MAED是直二面角.7（2023福建厦门福建厦门统考模拟预测统考模拟预测

35、）筝形是指有一条对角线所在直线为对称轴的四边形如图，四边形ABCD为筝形，其对角线交点为,2,2O ABBDBC，将ABD沿BD折到A BD的位置，形成三棱锥ABCD(1)求B到平面A OC的距离；(2)当1A C时，在棱A D上是否存在点P，使得直线BA与平面POC所成角的正弦值为14？若存在，求A PA D的值；若不存在，请说明理由【答案】(1)1(2)存在；13A PA D或79A PA D【分析】（1）根据线面垂直的判定可得BD平面A OC，进而可得B到平面A OC的距离112dBD.（2）以O为原点，,OD OE OC所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，再设31,0,1

36、22A PA D，根据线面角的空间向量求法求解即可.【详解】（1）因为2,2ABBDBC，所以BD不可能为四边形ABCD的对称轴，则AC为四边形ABCD的对称轴，所以AC垂直平分BD，所以,A OBD COBDAO平面,A OC CO平面,A OC A OCOO所以BD平面A OC所以B到平面A OC的距离112dBD（2）存在点P，使得直线BA与平面POC所成角的正弦值为14过O作OE 平面BCD，所以,OD OE OC两两垂直.以O为原点，,OD OE OC所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系由（1）得平面BCD 平面A OC，因为1,3,1OAOCA C所以3 10,22A设

37、31,0,122A PA D 3311,2222OPOAA P 0,3,0OC 设平面POC的法向量,nx y zr00n OCn OP 所以0331102222yxyz令2z，则1x所以平面POC的一个法向量1,0,2n设直线BA与平面POC所成角为3 11,22BA2211sincos,42(1)4BA nBA nBA n 所以13或79，所以存在点P，使得直线BA与平面POC所成角的正弦值为1143A PA D或79A PA D8（2023安徽合肥安徽合肥合肥市第六中学校考模拟预测合肥市第六中学校考模拟预测）如图所示的几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD（及其内部）以边AD所在直线为

38、旋转轴旋转23得到的，M是BE的中点(1)设N是CF上的一点，且ANCD，求FDN的大小；(2)当2AB，4AD时，求二面角CAMF的余弦值【答案】(1)6(2)1319【分析】（1）依题意可得CD 平面AND，即可得到CDDN，从而得解；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.【详解】（1）因为ANCD，ADCD，又,AN AD 平面AND，ANADA，所以CD 平面AND又DN 平面ADN，所以CDDN又23FDC，所以2362FDNFDCNDC （2）由（1）以D为坐标原点，分别以DC，DN，DA所在的直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系由题意得0,0,4A，2,0

39、,0C，1,3,4M，1,3,0F，故2,0,4AC，1,3,0AM ，1,3,4AF ，设,mx y z是平面AMC的一个法向量由00m AMm AC，得30240 xyxz，取1x，可得3 11,32m设,na b c是平面AMF的一个法向量由00n AMn AF ，得30340ababc，取1a，可得311,32n所以1111334cos,1919191212m nm nmn ，由图可知二面角CAMF为锐二面角，所以二面角CAMF的余弦值为13199（2023辽宁辽宁辽宁实验中学校考模拟预测）辽宁实验中学校考模拟预测）已知直角梯形形状如下，其中ABAD，26DCABAE ，6AB，2AD

40、(1)在线段 CD 上找出点 F，将四边形ADFE沿EF翻折，形成几何体A BEDCF若无论二面角AEFB多大，都能够使得几何体A BEDCF为棱台，请指出点 F 的具体位置（无需给出证明过程）(2)在（1）的条件下，若二面角AEFB为直二面角，求棱台A BEDCF的体积，并求出此时二面角BA DE 的余弦值【答案】(1)4DF 或F为靠近点D的三等分点；(2)2823；63.【分析】（1）延长,DA CB交于点O，连接OE并延长交CD于F，翻折后证明平面/AEB平面DFC即可推理作答.（2）根据给定条件，证明D E 平面EFC，再利用锥体的体积公式结合割补法求出体积，建立空间直角坐标系求出面

41、面角的余弦作答.【详解】（1）在直角梯形ABCD中，延长,DA CB交于点O，连接OE并延长交CD于F，如图，/ABCD，212DCAB，2AE，于是2DFDODCAEAOAB，则4DF，F为靠近点D的三等分点，将四边形ADFE沿EF翻折，即将ODF沿EF翻折，无论二面角AEFB多大，所成几何体均为三棱锥ODFC，显然/,AEDF DF 平面,DFC AE 平面DFC，于是/AE平面DFC，同理/BE平面DFC，而,AEBEE AE BE平面AEB，因此平面/AEB平面DFC，从而几何体A BEDCF是棱锥ODFC被平行于底面DFC的平面所截，截面和底面间的部分，即几何体A BEDCF是棱台，

42、所以无论二面角AEFB多大，都能够使得几何体A BEDCF为棱台，4DF，F为靠近点D的三等分点.（2）翻折前2,2DFAE DCAB，将DA,FE,CB延长一倍，三线交予点O，在等腰直角三角形ODF中，DEOF，在棱台A BEDCF中，DEOF，又二面角AEFB为直二面角，D E 平面EFC，即三棱锥DOFC的体积为1111322 28 4232323DOFCVD EFC OD，又三棱锥AOBE的体积14283AOBEDOFCVV，则有棱台A BEDCF的体积为32428222333A BE D CFV，在线段DC上取2DG，有AEDG，四边形AEGD为平行四边形,ADEG EGEB，又D

43、E 面EFC，则,D EEB D EEG，以E为原点，,22 2EG EB EDB 为x,y,z的单位向量建立空间直角坐标系，则(2,2,0),(0,0,2 2),(0,4,0),(0,0,0)ODBE，(2,2,2 2),(2,6,0)ODOB ，(2,2,0),(0,0,2 2)OEED ，取平面ODB的法向量为1(,)na b c，11222 20260n ODabcn OBab ，令1b，取1(3,1,2)n ，取面OD E 的法向量2(,)nr s t，则222202 20nOErsnEDt ，令1r，得2(1,1,0)n ，显然二面角BA DE 的平面角为锐角，设为，121212|

44、3 1 1 1|6cos|cos,3|122n nn nnn ，所以二面角BA DE 的余弦值为63.10（2023山西山西校联考模拟预测校联考模拟预测）如图，斜四棱柱1111ABCDABC D的底面ABCD为等腰梯形，且/ABCD，点1A在底面的射影点O在四边形ABCD内部，且1112,4,1,ADBCCDAAABAOAABC.(1)求证：平面ABCD平面11ACC A；(2)在线段11B D上是否存在一点M，使得平面MBC与平面ABCD夹角的余弦值为217，若存在，求111B MB D的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)证明见解析(2)存在，1111.2B MB D【分析】（1）作出

45、辅助线，得到四边形ADCE为菱形，得到ACBC，得到线面垂直，得到平面ABCD平面11ACC A；（2）建立空间直角坐标系，得到各点坐标，设111B MB DBD，由二面角的大小得到12.【详解】（1）在等腰梯形ABCD中，12,4ADBCCDAAAB，过C作/CEAD交AB于E，则四边形ADCE是菱形，2AEEB，BCE是等边三角形，60,60,30ABCDCEECBACDACE，90,ACBACBC，又111,AABC AAACA AA AC平面11AACC，BC平面11ACC A，又BC平面ABCD，平面ABCD平面11ACC A.（2）由（1）平面ABCD平面11ACC A，1AO 平

46、面1,ABCD AO 平面11ACC A，点1A在底面的射影O在AC上，且1AOAC，又111,2,3AOAAAO，由（1）知AC 2 3,3CO.以O为原点，1,OA OE OA分别为,x y z轴，建立如图空间直角坐标系Oxyz，则O10,0,0,3,0,0,3,2,0,3,0,0,0,1,0,0,0,1ABCDA，则13,0,1,3,3,0,0,2,0AABDBC ，设111B MB DBD，0,1，则 11113,0,13,3,033,3,1BMBBB MAAB M ，易知平面ABCD的一个法向量为0,0,1m，设平面MBC的法向量为,nx y z，则203130n BCyn BMxy

47、z ，解得0y，令1x 得，33z，故1,0,33n，23 121cos,71 3(1)m nm nm n ，解得：12，所以1111.2B MB D11（2023河北河北统考模拟预测统考模拟预测）在圆柱12OO中，等腰梯形ABCD为底面圆1O的内接四边形，且1ADDCBC，矩形ABFE是该圆柱的轴截面，CG为圆柱的一条母线，1CG.(1)求证：平面1OCG平面ADE；(2)设DPDE，0,1，试确定的值，使得直线AP与平面ABG所成角的正弦值为10535.【答案】(1)证明见解析(2)13或23【分析】（1）先证明AE平面1OCG以及AD平面1OCG，根据面面平行的判定定理即可证明结论；（2

48、）建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，求得平面ABG的一个法向量，根据空间角的向量求法，即可求得答案.【详解】（1）在圆柱12OO中，AECG,AE 平面1OCG,CG 平面1OCG,故AE平面1OCG；连接1DO，因为等腰梯形ABCD为底面圆1O的内接四边形，1ADDCBC，故1113AO DCO DBOC ，则1AO D为正三角形，故113O ADCO B，则1ADOC，AD 平面1OCG,1OC 平面1OCG,故AD平面1OCG；又,AEADA AE AD平面ADE，故平面ADE 平面1OCG.（2）如图，以1O为坐标原点，在底面圆1O过点1O垂直于平面ABFE作直线为 x 轴，以112

49、,O B OO为,y z轴建立空间直角坐标系，由于1,1ADDCBCCG，由（1）可知11AO,故3 13101001,010(0,11)2,222,ABGDE,则2,3 3(0 2 0)12,ABAG ，设平面ABG的一个法向量为(,)nx y z，则00n ABn AG，即2033022yxyz，令2 3x，则(2 3,0,3)n，由DPDE，0,1，11,32,2DE，可得33113311222,222,22,PAP，设直线AP与平面ABG所成角为,0,2，则2|3303|105sin|cos,|35|1209221n APn APnAP ，即得29920，解得13或23，符合0,1，故

50、13或23.12（2023湖南长沙湖南长沙长郡中学校考模拟预测长郡中学校考模拟预测）如图，在直角梯形ABCD中，/AD BC，ADCD，四边形CDEF为平行四边形，对角线CE和DF相交于点 H，平面CDEF平面ABCD，2BCAD，60DCFo，G 是线段BE上一动点（不含端点）(1)当点 G 为线段 BE 的中点时，证明：/AG平面CDEF；(2)若1,2ADCDDE，且直线DG与平面CDEF成45角，求二面角EDGF的正弦值【答案】(1)证明见解析(2)427【分析】（1）连接,GH AG，由三角形中位线和边长关系可知四边形ADHG是平行四边形，即可证明/AG平面CDEF；（2）根据题意可