2023北京西城初三（上）期末数学试卷含答案.pdf

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1、2023北京西城初三（上）期末数 学满分100分，考试时间120分钟.第一部分选择题一、选择题（共16分，每题2分）1.二次函数y=（x-2）2+3 的最小值是（）A.3 B.2 C.-2 D.-32.中国传统扇文化有着深厚的文化底蕴，是中华民族文化的一个组成部分，在中国传统社会中，扇面形状的设计与日常生活中的图案息息相关，下列扇面图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）3.下列事件中是随机事件的是（）A.明天太阳从东方升起B.经过有交通信号灯的路口时遇到红灯C.平面内不共线的三点确定一个圆D.任意画一个三角形，其内角和是5404.如图，在 O。中，弦 A B，C D 相交于点P,乙4

2、=45,ZAPD=SO,则 的 大 小 是（）A.35 B.45 C.60 D.705.抛物线 =-2/+1 通过变换可以得到抛物线y=-2（x+l p+3,以下变换过程正确的是（）A.先向右平移1个单位，再向上平移2 个单位B.先向左平移1个单位，再向下平移2 个单位C.先向右平移1个单位，再向下平移2 个单位D.先向左平移1 个单位，再向上平移2 个单位6 .要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都只赛一场），计划安排1 5 场比赛，如果设邀请x 个球队参加比赛，那么根据题意可以列方程为（）A.2 x =1 5 B.X（X+1）=1 5 C.x（x-l）=1 5 D.=1 57

3、.如图，在等腰4WC中，N A =1 2 0,将绕点C逆时针旋转a（0 a 9 0）得到ACDE,当点A的对应点。落在BC上时，连接3E,则的度数是（）()7 7 8 8A.攵 2 B.攵 2 C.2Z D.2Vzl时，）随x的增大而增大，请你写出一个满足上述条件的二次函数的解析式：.15.如图，在平面直角坐标系x O y 中，以点A（夜,0）为圆心，1为半径画圆，将 4绕点。逆时针旋转。（0。&180。）得到。A,使得OA与 轴相切，则a的度数是16 .如图，是。的直径，C为。上一点，且A 3L0 C,2为圆上一动点，M为”的中点，连接CM，若。0的半径为2,则CM长的最大值是三、解答题（共

4、 68分，第 17-18题，每题5 分，第 19题 6 分，第 20-23题 5 分，第 24-26题，每题6 分，第 27-28题，每题7 分）17 .解方程：X2-4X+2=018.已知：点A,13,。在。上，且N 8 4 C =4 5.求作：直线/，使其过点C,并 与 相 切.作法：连接OC；分别以点8,点C为圆心，。长为半径作弧，两 弧 交 于 外 一 点。；作直线c o.直线co就是所求作直线/.（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）;（2）完成下面证明.证明：连接08,BD，OB=OC=BD=CD，.四边形O B O C 菱形，.点A,B,C 在。0 上，且 4 8

5、4 7 =45,；.NB0C=0（）（填推理的依据）.四边形O B D C 是正方形，A ZOCD=9（）0,即 0 C L C D,V。为半径，.直线 8 为。0 的 切 线（）（填推理的依据）.19.已知二次函数y=x?-2x-3.（1）将丁=尤2-2%-3 化成旷=。（万 一 ）2+左的形式，并写出它的顶点坐标；（2）在所给的平面直角坐标系中画出此函数的图象；（3）当-l x 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 900010000摸球次数/次（1）根据所学的频率与概率关系的知识，估计从这个不透明的帆布袋中随机摸出一个球是红球的概率是,其 中

6、 红 球 的 个 数 是;(2)如果从这个不透明的帆布袋中同时摸出两个球，用列举法求摸出的两个球刚好一个是红球和一个是白球的概率.22.如图，在四边形ABC。中，A C,是对角线，将点B绕点C逆时针旋转60。得到点E，连接A E，BE,CE.(1)求NC8E的度数；(2)若AACD是等边三角形，且NA5C=3(),AB=3,B D =5,求BE的长.23.已知关于x的方程x-2mx+m 9=0.(1)求证：方程有两个不相等的实数根；(2)设此方程的两个根分别为为，且玉/，若2芯=+5,求机的值.24.如图，在。中，A B A C,NB4C=9 0 ,点。是AC上一点，以。为圆心，Q 4长为半径

7、作圆，使。与8 c相切于点。，与AC相交于点E.过点8作8 E A C,交。的延长线于点尸.(1)若AB=4,求。的半径；(2)连接3 0,求证：四边形5EEO是平行四边形.25.跳台滑雪是冬季奥运会的比赛项目之一，如图，运动员通过助滑道后在点A处起跳经空中飞行后落在着陆坡5 C上的点P处，他在空中飞行的路线可以看作抛物线的一部分，这里0 4表示起跳点A到地面。8的距离，0 C表 示 着 陆 坡 的 高 度，。8表示着陆坡底端5到点。的水平距离，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)近似满足函数关系：y -x2+b x+c,已

8、知。4=70m,OC=6 0 m,落点P的水平距离是40m,竖直高度是 30m.(1)点A的 坐 标 是，点 尸的坐标是;(2)求满足的函数关系y =-1 V9+bx+c；1 6(3)运动员在空中飞行过程中，当他与着陆坡竖直方向上的距离达到最大时，直接写出此时的水平距离.2 6 .在 平 面 直 角 坐 标 系 中，抛物线 =改 2+版+4。0)的对称轴为直线 =，且3Q+2Z?+C=0.(1)当c =0时，求f 的值；(2)点(2,y),(1,%)，(3,%)在抛物线上，若 a c (),判 断 当 与 力 的 大 小 关 系，并说明理由.2 7 .如图，在AABC中，A C=B C，Z A

9、CB=90,ZAPB=45,连接CP,将线段CP绕点。顺时针旋转 9 0。得到线段CQ,连接A Q.(1)依题意，补全图形，并证明：A Q=B P.(2)求 NQAP度数；(3)若 N 为线段AB的中点，连接NP,请用等式表示线段NP与 CP之间的数量关系，并证明.2 8 .给定图形W 和点尸，Q,若图形W 上存在两个不重合的点M,N ,使得点P关于点M 的对称点与点。关于点N 的对称点重合，则称点P与点。关于图形W 双对合.在平面直角坐标系X。)，中，已知点4(-1,-2),5(5,-2),C(-l,4).(1)在点。(4,0),(2,2),E(6,0)中，与点。关于线段AB双 对 合 的

10、点 是；(2)点 K是x 轴上一动点，0K的直径为1.若点A与点T(o,r)关于OK双对合，求t的取值范围；当点K运动时，若&48c上存在一点与0K上任意一点关于G)K 双对合，直接写出点K 横坐标Z的取值范围.参考答案第一部分选择题一、选择题(共16分，每题2分)1.【答案】A【解析】【分析】根据二次函数的性质解答即可.【详解】二次函数丫=(x-2)2+3,当x=2时，最小值是3,故选A.【点睛】本题考查的是二次函数的最值，掌握二次函数的性质是解题的关键.2.【答案】C【解析】【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫

11、做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转1 8 0,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可.【详解】解：A.是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项不合题意；B.是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不符合题意；C.既是轴对称图形，又是中心对称图形，故C选项合题意；D.是轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项不合题意.故选：C.【点睛】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义.3.【答案】B【解析】【分析】根据随机事件的定义，逐项判断即可求解.【详

12、解】解：A.明天太阳从东方升起，是必然事件，故本选项不符合题意；B.经过有交通信号灯的路口时遇到红灯，是随机事件，故本选项符合题意；C.平面内不共线的三点确定一个圆，是必然事件，故本选项不符合题意；D.任意画一个三角形，其内角和是540。，是不可能事件，故本选项不符合题意；故选：B.【点睛】本题主要考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念，熟练掌握必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件是解题的关键.4.【答案】A【解析】【分析】根据三角形的外角的性质可得NC+NA=NAPD，求得

13、/C,再根据同弧所对的圆周角相等，即可得到答案.【详解】解：.NC+ZA=ZAP）,ZA=45,ZA叨=80,ZC =ZAPD-ZA=80-45=35，N3=NC=35。，故选：A.【点睛】本题考查了圆周角定理及三角形的外角的性质，熟练掌握知识点是解题的关键.5.【答案】D【解析】【分析】由平移前后的解析式，结合平移法则即可得解；【详解】解：抛物线y=-2/+l通过先向左平移1个单位，再向上平移2个单位可以得到抛物线y=-2（x+l+3,故选择：D【点睛】本题考查抛物线的平移.熟练掌握二次函数平移规律是解题的关键.6.【答案】D【解析】【分析】赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），X个球队比

14、赛总场数=；x（x-l）,由此可得出方程.【详解】解：设邀请X个队，每个队都要赛（X-1）场，但两队之间只有一场比赛,g一0 X（X-1）由 题 意 得 一:一=15.故选：D.【点睛】本题考查了由实际问题抽象一元二次方程的知识，解决本题的关键是读懂题意，得到总场数与球队之间的关系.7.【答案】B【解析】【分析】由等腰三角形的性质和三角形内角和定理，得NABC=NACB=3 0 ,根据旋转的性质，得BC=CE,ZDCE=ZDEC=ZABC=ZACB=30,再 由 等 腰 三 角 形 和 三 角 形 内 角 和 定 理 得NCBE=NCEB=1(180-30)=7 5 ,即可求得 ABED=NB

15、EC-NCED.【详解】解：=AB=AC,ZA=120,.-.ZABC=ZACB=30,由旋转得，B C =C E,Z D C E =Z D E C =Z A B C =Z A C B =30。,：.N C B E =N C E B=1(180-30)=75,A B E D =N B E C -N C E D=75-30=45,故选：B.【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质和三角形内角和定理，熟练掌握知识点是解题的关键.8.【答案】C【解析】【分析】根据表中数据得出对称轴4-1,进而得到抛物线与x轴的交点，利用交点式得到2 4 Sy=a(x+3)(x-l),从而得到二次函数表达式为y

16、=x+2,根据当时，直线Q丁 =女 与该二次函数图像有两个公共点，可得2%.一5+3【详解】解：由(一5,机)、(3,m)可得抛物线对称轴x=又由仁,()、(1,0)以及对称轴x=_ 1可得玉=-3,二.(3,0)、(1,0),则设抛物线交点式为y=。(工+3乂X-1),y=62(x+3)(x-l)=n(x2+2x-3=ax2+2ax-3a 与 y=ax2+&+2(4。0)对比可得一3 =2,解得Q=-，32.4二二次函数表达式为y=一%2 一x+2,:当 芯=一|时，y=H河E l T X当x=0时，y=2；9 Q当 =-1 时，y=-(-i+3)(-i-i)=-,7 Q 5.一 2一，当一

17、己 x 0时，直线y=A与该二次函数图像有两个公共点，6 3 2：.2 k r；点尸在圆上0 d=r；点P在圆内=4 r,点P在。0 外，故答案为：外.【点睛】本题考查点与圆的位置关系，记住：点P在圆外Od r；点P在 圆 上=尸；点P在圆内=d解得c =；94_ _ 9故答案为：一 .4【点睛】本题考查了一元二次方程a x 2+b x+c=0(a#0)的根的判别式=b 2-4 a c：当 (),方程有两个不相等的实数根；当=(),方程有两个相等的实数根；当 i时，了随x的增大而增大，-a Q,开口向上，且对称轴x =w i,即玉4 2,二可以设二次函数为y =a x（x-x j,满足 0,西

18、4 2均可.故答案不唯一，如：y=X2-2 x .【点睛】本题考查二次函数的图像与性质，掌握二次函数的图像与各系数间的关系是解题的关键.1 5 .【答案】4 5 或1 3 5【解析】【分析】分析可知：A在以。为圆心，、历为半径的圆上运动，分情况讨论，当A转到A 时，。4 =&，作轴与点B,利用勾股定理可知0 3 =1,进一步可求出旋转角度为4 5。；当A转到A 时，0 尺=叵，作轴与点C,利用勾股定理可知0。=1,进一步可求出旋转角度为13 5.【详解】解：A（、/Io）,将O A绕点。逆时针旋转a（0 a/.CM=y/5+1故答案为石+1 .【点睛】本题考查了直径所对的圆周角是90。及三角形

19、的中位线的性质，熟练掌握数形结合思想是解题关键.三、解答题（共 68分，第 17-18题，每题5 分，第 19题 6 分，第 20-23题 5分，第 24-26题，每题6 分，第 27-28题，每题7 分）17.【答案】%,=2+72,x2=2-7 2；【解析】【分析】选用配方法可解此方程.【详解】解：x2-4 x+2=0 x2-4 x+4-2=0（x-2）2=2x-2=y/2 或 x-2=-y/2解得：X j =2 +2,x2=2 V 2故答案为=2+0，%=2-夜.【点睛】本题考查了选用适当的方法解一元二次方程.18 .【答案】（1）见解析；（2）90。；一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心

20、角的一半；经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线【解析】【分析】（1）按照题中作法步骤作图即可；（2）根据圆周角定理和切线的判定定理填空.【小 问 1 详解】解：补全图形，如图所示；【小问2 详解】90。；一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.【点睛】本题考查作图-复杂作图，圆周角定理，切线的判断和性质，熟练掌握知识点是解题的关键.19.【答案】（1）y =（x l）24,（1,-4）（2）见解析（3）-4y0【解析】【分析】（1）运用配方法将原解析式化为顶点式即可：（2）根 据（1）所得的顶点式解析式，利用五点作图法直接画出图

21、像即可；（3）根据函数图像确定当-1 x0,由此可证出此方程有两个不相等的实数根；(2)解方程，再 由%，2西=+5,即可得到关于的一元一次方程，解之即可得出结论.【小问1详解】证明：A=(-2/M)-4 x l x ；n2-9)=4M-4 m2+3 6=360.方程有两个不相等的实数根.【小问2详解】解:解方程，得行整L亨,.x x2f M =2+3,x2=m-3./2%=九2 +5,/.2(m+3)=771-3+5./.m=-4.【点睛】本题考查了根的判别式、根与系数的关系，解题的关键是掌握根的判别式、根与系数的关系的表达式，并会熟练计算.2 4.【答案】(1)4 7 2-4；(2)见解析

22、.【解析】【分析】(1)连接Q D,由。与相切于点4与 相 切 于 点。，得到NQOC=90,OD=DC,由切线长定理得：BD=AB=4,由勾股定理求出8c=4 0，即可得到。的半径.(2)连接A O,交0B于点H,由AE是。的直径，得到NADE=9 0.根据AB 与。分别相切于点A,D,证得NA/7O=9()0.得到。8 尸.即可证得四边形BFEO是平行四边形.【小 问1详解】解：连接0。，如图.F.在中，ABAC,ZR4C=90。，二。与 AB 相切于点 A,ZACB=45.0。是。的半径，。与5 c相切于点。，OD BC.：.ZODC=9Q,OD=DC.,:AB=4，二由切线长定理得：B

23、D=AB=4,由勾股定理得：8c=4 0.,OD=DC=4y/2-4-，。的半径是4血 4.【小问2详解】证明：连接A O,交0B于点H,如图.二 ZATE=90.,/AB,与。分别相切于点A,D,：.BD=AB,ZABO=ZDBO.：.O B A D.二 ZAH O 90.ZAHO=ZADE.：.OB/EF.B F/A C，/.四边形5EEO是平行四边形.【点睛】此题考查了圆的切线的性质定理，切线长定理，直径所对的圆周角是直角，平行四边形的判定定理，熟记各定理是解题的关键.2 5.【答案】A（0,70）,P（40,30）；13（2）y=-x2+x+70；16 2（3）18m【解析】【分析】0

24、4=7 0 m,落点尸的水平距离是40m,竖直高度是30m,即可得到点A、P的坐标；（2）用待定系数法求解即可；（3）由OC=6 0 m,先 求 出 直 线 的 表 达 式，作 轴 交 抛 物 线 和 直 线8 c于点、N,用含未知数?的式子表示M N,再根据二次函数的性质进行判断即可.小 问1详解】解：.Q4=7（）m,落点P的水平距离是40m,竖直高度是30m,.-.4（0,70）,P（40,30）；【小问2详解】解：把A（0,70）,（40,30）代入）=-5-%2+笈+;70=c、30=x402+40b+c163h 解得，2,c=70/.y=-x2+x+70；16 2【小问3详解】解：

25、OC=60m,设直线BC的表达式为y=-+60（&n 0）,把 P（40,30）代入，得 30=4（M+60，3解得，k=,43。.,y-x+60,设M（加,：加2 +1机+70）到BC竖直方向上的距离最大,M、N,O B XN（加，一（加+60）,MN=-m2+m+70-f m+60|16 2 I 4）1 ,9=-m+m+1016 4=-（/n2-36w+182-182）+10（m-18）2+1016v）4作MNy轴交抛物线和直线BC于点I c 0得抛物线开口向上，丫随x的增大而增大，即可得出答案.【小 问1详解】当c=0时，得3。+2力=0,2a 2a 4【小问2详解】3a+2Z?+c=(

26、),.3Q+C/.b=-,23。+。b 7 3a+c c 3.t-=-=-2a 2a 4。4a 4a c 0,:点(-2,y,)关于直线x=t的对称点的坐标是(2/+2,%),2f+2 4.2/.l 30,，当时，y随x的增大而增大.必 必 M 【点睛】本题考查了二次函数的性质，主要涉及到二次函数的开口方向、对称性以及增减性，熟知二次函数的基本性质是解决函数问题的关键.2 7.【答案】(1)画图和证明见解析；(2)135(3)CP=6 N P，证明见解析.【解析】【分析】(1)先根据题意画出对应的图形，只需要利用SAS证明AB C%AACQ即可证明AQ=BP；(2)连接Q P,如图所示.先由等

27、腰直角三角形的性质得到/。q=/。尸。=45。.再证明乙4尸。=ZCPB.由全等三角形的性质得到ZCQA=N C PB.则可以推出ZAPQ+ZPQA=4 5 ,利用三角形内角和定理即可得到NQ4P=180-NAPQ-/PQA=135；(3)如图所示，延长PN至K,使得NK=P N,连接AK.证明A N K B N P.得到NKAN=NPBN,AK=BP，则 进一步证明 NK4P=135.得到 NK4P=N Q A P.由此证明AK4尸也AQ A P,得到KP=Q P.在等腰直角PCQ中，CP=C Q,则KP=QP=&CP,即可证明CP=【小问i详解】补全图形，如图所示.证明：线段CP绕点C顺时

28、针旋转90。得到线段CQ,CP=CQ,/PCQ=90。ZACB=90,：.NBCP=ZACQ,：AC=BC，：.BCPAACQ(SAS):.AQ=BP；【小问2详解】解：连接。尸，如图所示.由（1）可得PCQ是等腰直角三角形，NCQP=NCPQ=45。.：.NCQA+NPQA=45。./ZAPB=45,：.ZAPQ=ZCPB.由 ABCP沿4ACQ 可得 ACQA=NCPB.：.ZAPQ+ZPQA=45.：.ZQAP=180-/A P Q-NPQA=135；【小问3详解】解；CP=6NP 理由如下：如图所示，延长PN至K,使得NK=PN,连接AK.；N为线段A8的中点，:.AN=BN.：ZAN

29、K=ZBNP,：.AAN KABN PC网.：.ZKAN=ZPBN,AK=BP./.AK/BP.AK=AQ.：.ZAAP+ZAPB=1800.ZAPS=45,/.NK4P=135.N Q A P =13 5。，二 Z K A P Z Q A P.由 ABCPAACQ 可得 A Q =BP,：.A K A Q,：AP AP，AK 4 2AQAP（SAS）./.K P=QP.在等腰直角 P C。中，C P=C Q,：.K P=Q P =yflCP.；K P =2 N P,二 CP=0 N P .【点睛】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，三角形内角和定理，

30、勾股定理等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键.2 8.【答案】（1）0,F；（2）-2-3 2+V 3 ；或 3 5/2 A:3H A/2.2 2 2 2【解析】【分析】（1）根据双对合的定义逐一判断即可得到答案；（2）由双对合定义可知随着直径G”的端点G,”在0K上运动，点儿在以点A为圆心，2为半径的圆上及其内部（不含点4）,由此求出取值范围；找出临界图形，计算可以求出取值范围.【小 问1详解】由双对合定义可知：MN|PQ,MN =；PQ,A（-l,-2）,8（5,-2）,A B=6,A31|%轴，D（-4,0）,尸（6,0）,.。=4,O F =6,O D|A B,O F A B,

31、二。关于线段A3的双对合点是。，F；故答案为。，F：【小问2详解】设G”是0K上任意一条直径，则GH=L设点A 1是与点A关于0K双对合的点，将点A和点A 1分别关于点G,”对称后重合的点记为4,所以点G,”分别是442和 的 中 点.由三角形中位线的知识，可知AA=2GH=2.随着点G,，在O K上运动，点A在以点A为圆心，2为半径的圆上及其内部（不含点4）,将它记为5.因为点A与点7（0,。关于O K双对合，所以当S与y轴相交时，可求得f的值为-2-6和-2+百.所以，的取值范围是-2-6 Z -2+V3.当 R C上的一点在4 C上时，如图，则。K上离AC最近的点到AC的距离为：1（左时存在，解得一二WA4二；2 2当&4BC上的一点在BC上时，则O K上的点离BC最近的点到3 c的距离不大于1,3即K到BC的距离不大于一，2;AC=AB=6,./B =NC=4 5 ,即与x轴的的夹角为45,交点 M（3,0）,这时MK 4 a夜，2即 3-3 夜%3+3血；2 2综上所述：左 ；或3 yp2 Z；3 H y/22 2 2 2【点睛】本题考查新定义，能正确理解新定义并转化为所学知识解决问题是解题的关键.