2022年全国甲卷文科数学高考试卷(原卷+答案).pdf

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1、绝密启用前2022年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷）（适用地区：云南、四川、广西、贵州、西藏）文科数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选 择 题：本 题 共12小 题，每 小 题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题 目 要 求 的.1.设集合A=2,l,0,L2,8=R 0 x 0）的图像向左平移5 个单位长

2、度后得到曲线C,若 C 关于y 轴对称，则的最小值是（）6.从分别写有1,2,3,4,5,6 的 6 张卡片中无放回随机抽取2 张，则抽到的2 张卡片上的数字之积是4 的倍数的概率为（）7.函数y=（3*-3 7）co sx 在 区 间 一,的图象大致为（）8.当X=I 时，函数/(x)=M n X+2 取得最大值一2,则/(2)=()XI A.-1 B.C.D.12 29.在长方体A B S-A B C Q 中，已知片。与平面ABC。和平面4 4 乃乃所成的角均为30。，贝 IJ （）A.AB=2AD B.4 8 与平面A8 G。所成的角为30。C.AC=CB1 D.用。与平面8 耳G C

3、所成的角为45。10.甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2兀，侧面积分别为S甲和S乙，体积分别为和,力7 若S萨m=2,则3p=（）乙 V乙A.5 B.22 C.i D.生 匝4x2 v2111.已知椭圆C:1+=1 3 6 0）的离心率为；，a b 3瓯珂=-1,则 C 的方程为（）A，A2分别为C 的左、右顶点，B 为。的上顶点.若2 2A.-1-=118 162 B.+-=19 8“一13 2D.+y2=12.1 2.已知9”=10,Q=I(T-I L 力=8 9,则(A.a 0 hB.a b 0)C.b a 0D.h 0 a2/14二、填空题：本题共4 小题，每小题5

4、分，共 20分.13.14.15.已知向量之=(i,3),Z?=(1,M+1).a.Lb 则2=.设点在直线2元+y-l =0上，点(3,0)和(0,1)均在O M上，则O M的方程为.2 2记双曲线C：二-与=1(4 0,0)的离心率为e,写出满足条件“直线y=2 x与C无公共点”的e的一个值a b-1 6.已知AABC中，点。在边BC上，Z A D B =120o,A D =2,C D =2 B D.当取得最小值时，B D =A B三、解答题：共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17 21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.(-)

5、必考题：共60分.1 7.甲、乙两城之间的长途客车均由/和8两家公司运营，为了解这两家公司长途客车的运行情况，随机调查了甲、乙两城之间的500个班次，得到下面列联表：(1)根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率;准点班次数未准点班次数424020B21030(2)能否有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关？n(ad-bc)2(+b)(c+d)(+c)(b+d)附：K2P2.k)0.1000.0500.010k2.7063.8416.63518.记Sn为数歹U 4 的前”项和.已知一 +=2an+1.n(1)证明：怎 是等差数列；(2)若 成

6、 等 比 数 列，求S,的最小值.3/1419.小 明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面ABC。是边长为8(单位：C m)的正方形，EAB4 F BC4 G CD4 H DA E A B A F B C A G C D A H D A 均为正三角形,且它们所在的平面都与平面ABeQ垂直.(1)证明：M/平面ABeQ；(2)求该包装盒的容积(不计包装盒材料的厚度).20.已知函数/(x)=V 一 无,g(x)=2+,曲线y=/(x)在点(3 J(再)处的切线也是曲线=g(x)的切线.(1)若 Xl=-1 ,求 a；(2)求a的取值范围.21.设抛物线。：丁=2.武

7、00)的焦点为尸，点。(2(),过尸的直线交C于，N两点.当直线MZ)垂直于X轴时，M7=3.(1)求C的方程；(2)设直线MD,ND与C的另一个交点分别为4 B,记直线MN,AB的 倾 斜 角 分 别 为.当。一夕取得最大值时，求 直 线 的 方 程.4/14(二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程2 +，2 +sX=-X=-2 2 .在直角坐标系X o y中，曲线&的参数方程为J 6 (E为参数)，曲线G的参数方程为J 6 (Sy=4t =-7 7为参数).(1)写出G的普通方程；(2)以坐标原点为极点，X轴

8、正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C?的极坐标方程为2 c o s 6-s i n。=。，求4与G交点的直角坐标，及G与G交点的直角坐标.选修4-5：不等式选讲2 3 .已知a,b,C均为正数，且/+4C2=3,证明:(1)a+b+2c3;(2)若6 =2 c,则L L 3.a c5/14参 考 答 案1.【答案】A【解析】【详解】因为A=-2,T,0,l,2,B=%O x70%,所以A错；2讲座后问卷答题的正确率只有一个是80%,4个85%,剩下全部大于等于90%,所以讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%,所以B对；讲座前问卷答题的正确率更加分散,所以讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后

9、正确率的标准差,所以C错；讲座后问卷答题的正确率的极差为1 （X）%-80%=20%,讲座前问卷答题的正确率的极差为95%-60%=35%20%,所以D错.故选B3.【答案】D【解析】【详解】因为z=l+i,所以iz+3N=i(l+i)+3(l i)=2 2 i,所以厄+3司=T Z =2.故选：D.4.【答案】B【解析】【详解】由三视图还原几何体，如图,则该直四棱柱的体积V=-7-X2X2=12.2故选：B.5.【答案】C【解析】【详解】由题意知：曲线C为y=sin d+?+?=Sin GyX+等又C关于 轴对称，则 -1 =F k兀、AwZ,2 3 2解得o =l+2攵,Z Z,又勿 0,

10、故当Z=O时，的最小值为3 3故选：C.6.【答案】C【解析】【详解】从6张卡片中无放回抽取2张，共有（1,2）,（1,3）,（1,4）,（1,5）,（1,6）,（2,3）,（2,4）,（2,5）,（2,6）,（3,4）,（3,5）,（3,6）,（4,5）,（4,6）,（5,6）15 种情况,6/14其中数字之积为4的倍数的有(1,4),(2,4),(2,6),(3,4),(4,5),(4,6)6种情况，故 概 率 为 白=|.故选：C.7.【答案】A【解析】【详解】令 尤)=(3*-3T)CoSX,尤 -,则 f(x)-(4 -v)cos(-%)=-(3-3v)cos%=-/(%),所以/(

11、x)为奇函数，排除BD；又当Xe(O,g%J,3-3V0,COS%0,所以/(X)0,排除C.故 选:A.8.【答案】B【解析】【详解】因为函数）定义域为（0,+勿），所以依题可知，/（i）=-2,./=o,而r（x）=q一 与，所2 2以b=-2,-b=0,即=-21=-2,所以尸（%）=一（+7，因此函数/（x）在（0,1）上递增，在（l,+s）上递减，X =I时取最大值，满足题意，即有r（2）=-l+g=-g.故选：B.9【答案】D【解析】【详解】如图所示:不妨设A3=,AO=,A4l=c,依题以及长方体的结构特征可知，片。与平面AJBCQ所成角为NgDB,C b _片。与平面祖 乃 乃

12、 所成角为N O gA,所以sin 30=67 =,即。=c,BlD=2c=ya2+b2+c2，解D1LJ DxU 1得Q =2c-对于 A,AB=a f AD=b,AB=及AD，A 错误；对 于B,过8作B E lA g于E,易知B E I平面AMGJ0,所以AB与平面AM Go所成角为NBAE,因为tan ZBAE=-=.所以 B4E30,B 错误；a 2对于 C,AC=Ja 2 +b?=G C，CBj=V b2+c=y2c ACC4,C错误；对 于D,4。与平面BBCC所成角为NOMC,Sin N。耳C=C 2 =E=正，而O /D gC 1，而lg91gllIg 9r ig9+lgll

13、Y pg99?lg ll,所以=10-ll10gu Il=0Ig 9 IglO又lg81gl（咒Igloj=（等J 翳,BUlog89m所以7=8-9 O b.故选：A.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.313.【答案】一二二-0.7548/143 3【详解】由题意知：a b=m+3(m+l)=Q,解得加=一一.故答案为：一 二.4 414.【答案】(x-l)2+(y+1)2=5【详解】解：T点M在直线2x+y-l=0上，；设点加为(,l-2 ),又因为点(3,0)和(0,1)均在C)M G)M上，；点加到两点的距离相等且为半径R,.J(-3)+(1-2)-=o+(-2o)=R，

14、cr-6a+9+42-4+l=52 解得 =l,M(1,-1),R=&,Q M的方程为(x l)2+(y+l=5.故 答 案：(X-I)2+(+!)2=515.【答案】2（满足l o）.所以C的渐近线方程为y=2,a b2 ab h结合渐近线的特点，只需0一2,即 4,a a可满足条件 直线y=2x与C无公共点”所以e=Jl+l,所以l e 6,故答案为：2（满足l 2.7 0 6,10/14【小问2详解】解：由(1)可得%=%+3,%=4+6,0,解得4 2 4-J x O或xl,3令(X)0,解得或0 l,则X变化时，z(x)M(X)的变化情况如下表：X30(o,)1(1,)/(X)0+0

15、0+z(x)52774-17则h(x)的值域为-1,+8),故。的取值范围为 1,+8).21.【答案】(1)/=4xi(2)AB:X =Vy+4.【解析】【分析】(1)由抛物线的定义可得MF=p+,即可得解：(2)设点的坐标及直线MN=+1,由韦达定理及斜率公式可得AMN=2%AB，再由差角的正切公式及基本不等式可得A.=孝，设直线A3:x=0 y +，结合韦达定理可解.【小 问1详解】抛物线 准线为X =-当M。与X轴垂直时，点M的横坐标为p,此时 IMFl=P+5 =3,所以 p=2,所以抛物线C的方程为V=4x：【小问2详解】12/14/2、(2 /2、直线 MN:X =my+1,X=

16、my+1 r由 O,yly2=-4,y=4xk-,2 _ 4 li U 为一必 _ 4由斜率公式可得抽一g _义 一 M +%，Lg_ 反 一 为+X，4 4 4 4直线MO:X=匚 y+2,代入抛物线方程可得/-4(I),y_s =Qt A,y%=一8，所以 为=2%，同理可得=2y,44所以心8%+%2(y+%)又因为直线MN、AB的倾斜角分别为a,尸，C 攵 W V tan a所以心B=tan/?=寸=?-,若要使a 最大，则 ,5 1tan(a-tan”tan.一 k设&MN=2k，A B =2%O ,则 1 +tan a tan 1 +2k-L-r2k 21-Ikk24，1日当且仅当

17、7 =2%即 攵=卫 时，等号成立，k 2B所以当a 一最大时，kilt=-O,y34=-4n=4yly2=-1 6,所以“=4,所以直线A8:x=V5y+4.22.【答案】=6 x-2(0);(2)G，C的 交 点 坐 标 为(,2),G C的交点坐标为(-1,-2).【解析】【分析】(1)消去t，即可得到G的普通方程；(2)将曲线。2,G的方程化成普通方程，联立求解即解出.【小 问1详解】因为X =2 j,y=4t,所以X =匚，即G的普通方程为V=6x-2(yN0).6 6【小问2详解】因为X =丁，=_&,所以 6x=-2丁，即 G 的普通方程为 y2=-6-2(y 0),6由 2co

18、s。-Sin e=O n 2?CoSe-PSin 6=0,即 G 的普通方程为2x-y=O.y2=6x-2(y O)x=-x=1 (A .联立厂 I ),解 得 2或 C，即交点坐标为K/，(1,2)；I 2x-y=0 V =I y=2 12 J /13/141X=2或 y=-lx=-lc，即交点坐标为y=-2睬 表 厅=6x 2（y0）l -(T-2).联“V C 解得：2 x-y=023.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（I）a2+b2+4C2 a2+b2+（2c）2,利用柯西不等式即可得证：（2）由（1）结合已知可得00,力 0,c 0,由（1）得 +h+2c=+4c3,即04+4 c 3,所以一-，,+4c 3由权方和不等式知J+=+如立=_ 3，a c a 4c。+4c a-I-4c1 2 1当 且 仅 当 一=一，即=l,C =一时取等号，a 4c 2所以 L+!23.a c14/14