2022年全国卷Ⅰ高考数学理科模拟试题卷含答案(四).pdf

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1、2022年全国卷I高考数学理科模拟试题卷评卷人得分一、选择题(共12题，每题5 分，共 60分)1.已知集合人=仅|0ac B.c ab C.c ba D.bc a4 .已知向量a,6的夹角为6 0,|a|=2,|a-2引=2,则|6|=A.4 B.2 C.y/2 D.15 .函数f(x)=*+8 _ 在区间(-n,0)U(0,n)内的大致图象是6 .已知a =l o g0,5,&=l o g32,c =2 -2,d=(；)-=,从这四个数中任取一个数m使函数/-(x)=x3+m xz+x +2有极值点的概率为A.l B.i C.B D.17 .如图，a _L 6 ,a (1 B=1,AC a

2、 ,Be B,A,B 到 1 的距离分别是a和 b,AB与 a ,B 所成的角分别是。和 小，AB在 a ,B 内的射影分别是m和 n,若 a b,则A.0 (|),m n B.0|),m n C.0 ,m n D.。0成立的最大的自然数是A.9 B.10 C.11 D.1210.已知f(x)是定义域为R 的奇函数，/()是偶函数，且当0 后 1 时，f(x)=。则A.f(辿)f(2)B.f()F(2)7 2a 77ac-f(3-D a 2 2 a 2 211.函数产s i n (2 x Q 的图象经过怎样的平移后所得的图象关于点(-三,0)中心对称A.向右平移三个单位长度 B.向右平移四个单

3、位长度12C.向左平移三个单位长度 D.向左平移三个单位长度12.如图，设 a C B=EF,A B V a,C D V。，垂足分别为B,D,且 如 果 增 加 一 个 条 件 就 能推出以小硒给出四个条件:他L ;Id优 /C 与 劭 在 内的正投影在同一条直线上;4 C与 切 在 内的正投影所在的直线交于一点.那么这个条件不可能是A.B.C.1).第 H 卷(非选择题)请点击修改第I I 卷的文字说明评卷人 得分二、填空题(共4 题，每题5 分，共 20分)13.已知函数/1(*)=21111旄-取(6=2.7 18 2 8 3 是自然对数的底数)有两个不同的零点，则实数力 的 取 值 范

4、 围 是.14 .如图所示是函数尸/s i n(3x+0)(4 0,。0,-n 2),且a,=q,数列1%中任意相邻两项的和不为0,若除为数列8”的前n 项和,则S c。,，=.1 6.已知尸是圆C:x+y+4-2V5J8=0上一动点，户关于y轴的对称点为也关于直线片x的对称点为N,贝 I|网 的 取 值 范 围 是.评卷人 得分三、解答题(共7 题，共 70分)1 7 .A B C 的内角4 B.C 的对边分别为a,b,c,且s i n C =s i n B +s i n(4-B).(1)求角4 的大小；(2)若a=V 7,A B C 的面积S =乎,求 A B C 的周长.1 8 .如 图

5、 1,在四边形A B C D中,E 是边A P 的中点,4 2 陷 449=4,NA=/NDC E=6 0 .将 G 定沿龙折起，使得点。到达点户的位置(如图2).若四棱锥尸4以方的体积最大.图2 求 证：利_ L A C;(2)求三棱锥?以万的表面积.1 9 .为了加强食品安全监管,某县市场监管局计划添购一批食品检测仪器,符合这次采购要求的检测仪器只有甲、乙两种型号，下表是该县市场监管局以往使用甲、乙两种型号检测仪器的使用年限及数量统计表.使用年限1 年 2 年 3 年 4 年合计甲型号检测仪器数量/台28732 0乙型号检测仪器数量/台39622 0以频率估计概率.(1)分别从以往使用的甲

6、、乙两种检测仪器中各随机抽取一台，求甲型号检测仪器的使用年限比乙型号检测仪器的使用年限恰好多1 年的概率；(2)若该县市场监管局购买甲、乙两种型号检测仪器各2台，记 2 年后仍可使用的检测仪器的台 数 为 f,求 f的分布列与数学期望.2 0.已知椭圆。:5+91(a核0)过点做巡，3,且分别以椭圆的长轴和短轴为直径的圆的面积的比值为4.、“(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若直线尸k x(k 0与椭圆C 交于A,6 两点,过点A作直线43的垂线,交椭圆C 于点D,连接B D,与x,y 轴分别交于点P,Q,过原点。作直线劭的垂线,垂足为其求|勿?|P Q的最大值.2 1.已知函数 f5)=4+

7、l f(G0,H 0,a W l,6#1).设 5=2,b=*求方程f(x)=2 的根；若对于任意x W R,不 等 式公-6 恒成立,求实数的最大值；(2)若 0 a l,杨1,函数g(x)=f(x)-2 有且只有1 个零点,求 a 6 的值.请考生在第2 2、2 3 三题中任选二道做答，注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分。2 2 .选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系x O y 中，直 线 A的参数方程为M M 为参数)，直 线 A的参数方程为X=、勺;(应为参数).设直线人与心的交点为巴当变化时点尸的轨迹为曲线G.I 旷=获(1)求出曲线G的普通方程；(

8、2)以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线G的极坐标方程为P si n(夕+J)=3，2,点 0 为曲线G上的动点,求点O 到直线猿的距离的最大值.2 3 .选修：-5:不等式选讲已知函数F(x)=|尸2|.(1)求不等式2 f(x)W 8-f(2)的解集；(2)设 a,&c 均为正实数,若函数g(x)=f(x)+f(x+2)的最小值为尹乙+士求证:“4 从c 1 8.h n n参考答案1 .D【解析】本题考查集合的运算，同时考查对数不等式的解法.求解对数不等式时注意将常数转化为对应的对数,而后准确应用对数函数的单调性进行求解.0 l o g4x l,即l o g 4 1 l

9、 o g 4 X l o g,|4,l x 4,集合 A=x|l x 4 2=2,c=l o g21 3 l o g24=2,所以aby a 1 3=即c b,所 以c ba.故选C.第 5 页【备注】【素养落地】试题选取基本初等函数为载体，引导考生灵活应用函数的图象与性质分析问题，培养逻辑推理、直观想象等核心素养.4.D【解析】1 3-2引 2=|a|2-4a 加4|6|2=4-4X 2X|b|cos 60 +4|引2=4,解 得 =1 或 =0（舍去），故选D.【备注】无5.A【解析】由于f(-X)=阻 旦+=9+=-(任+上)=-f(X),所 以 f(X)是奇函数,-X s m(-x)-

10、x-s i n x x s i a r其图象关于原点对称,排除D;f(x)=0 吧 起=也 纪,当 士 水 n时,71,所以为i nxs i n x xs i n x 2 22；f+J +；s i n 2x0,又 xs i n x0,所以 fx 0,排除 B,C.故选 A.【备注】无6.B【解析】本题主要考查导数与函数的性质、古典概型.对f(x)=；婷+m x2+%+2求导得广(x)=x:+m x +L 若函数f(x)有极值点，则尸(动有 2 个不相等的实数根，故4=4m2-4 0,解得m 1 或m -1,第6页而a =l og。：5 -2,0 b=l og32 1,0 d=（；）b,a2-b

11、2=m2-n20,所以 m n.由于 s i n 0 ,s i n。二 2，而 a b,所以 s i n。s i n。，得 0 为,劣+a=0,于是国二r注 90,51 0=c -1 0=0,S 1 二c出 1 K 0,故选 A.【备注】无第7页10.c【解析】本题考查利用导数研究函数的单调性、奇偶性、周期性，考查分析问题、解决问题的能力.根据已知条件判断出2是函数/1(*)的周期，再结合函数的单调性进行求解.因为&X+3是偶函数,所以f(x+3=f(-x+3,得/1(-x)=f(x+D.又f(x)是奇函数，所以(户1)=-F(x),所以/(户2)=-7(户l)=F(x),所以2是f(x)的周

12、期.当0 xWl时，/Xx)=三,6(X)=之2 0,所以函数/l(x)在(0,1上单调递增，又/Xx)是奇函数,A0)=0,所ex ex以函数/tr)在-1,1上单调递增,而f(c)=cF(l f504X2)=仕c)，/c()c=/(+505X2)=/(-c,/(c)c A D=i.,所以”(守)/管).【备注】【素养落地】试题注重导数的应用，突出函数与导数之间的关联，借助函数图象来探索解决问题的思路，培养直观想象、数学运算等核心素养.11.A【解析】设函数尸sin(2x+与的图象经过平移后所得图象的解析式为3产sin 2(x+0)+巧二sin(2x+2。把),3 3因为函数片sin(2x+

13、2。百的图象关于点(一三,o)中心对称,所以sin 2X(*)+2。乃=0,3 12 12 3即 2 0 隹 二k n,ke Z,得 0=n-i,kG Z.6 2 12故尸sin 2(x+0)产3=sin 2(x)+kK 乃12 3第8页_ sin2(x*)+(为偶数)，-s in 2(x*)+)昉奇数).故将函数尸s i n(2x 灼的图象向右平移三个单位长度后所得的图象关于点(-2,0)中心对称，3 12 12故选A.【备注】无1 2.D【解析】都能说明瓯1 平面A C DB,即都能说明勿垂直于平面力力内的两条相交直线;由三垂线定理可知EF VA C,EF VA B,则加工平面 夕长说明A

14、 C,故都不垂直于EF,否则两条直线重合.故选D.【备注】无1 3.(e,*)【解析】本题考查函数的图象及零点等知识,考查考生的数形结合能力与运算求解能力.求解的关键是将原问题转化为两个函数的图象的交点问题.因为f(x)=2e l n 近 所 以f(x)=e,-k x.令 f(x)=0,得e -k x,则函数f(x)有两个不同的零点等价于函数g(x)=e 的图象和直线片有两个不同的交点.易知当k0时，函数g(x)=e 的图象和直线片在x 没有交点，当A 0.现考虑函数g(x)=e 的图象和直线片而相切时k的值,设切点为(即,e*。)，因为屋(x)=e，,所以切线的斜率k=e*。,又k=,*0所

15、以铲。=之,解得须=1,所以斤e.故要使函数g(x)=e 的图象和直线尸履有两个不同的交点，则需k e.【备注】无1 4.y=2s i n (三 产 工)3 3第9页【解析】方法一(单调性法)由图象可知，函数的最小正周期六至-(T)=3=生，则。=三，2 2 3 3因为点(n ,0)在下降的那段函数图象上,所以生+。e g+2A n ,(%6 Z),由3 2 2s i n(+0)=0,得 +0=(24+l)兀(A GZ),因为-叮 O 兀，所 以6=工3 33易知力=2,故所求的函数解析式为尸2s i n U x+9.3 3方法二(最值点法)由图象可得左2,函数的最小正周期r3 H，所 以 3

16、 二 三，将(三2)代入3 4尸2s i n (三 x+0),得 2s i n(2+6)=2,所以工+P=2k +-(A e Z),所以 6=2k 滨+U(A Z),又3 6 6 2 3-J I J T ,所以 0=工，3故所求的函数解析式为尸2s i n(4+H).3 3方法三(起始点法)函数片/s i n(口/0)的图象一般由五点作图法作此而起始点的横坐标司正是由3 蜀+0=0 解得的，由图象可得4=2,3 二三,即二-三。二-3 加 二-三 X (上)二工.此时0=上满足一n 0 0,。0)的解析式，通常由最高点或最低点确定 4 由周期定3,由特殊点定。.一般来说3的值是唯一的，但。的值

17、是不确定的,它有无第 10页穷多个,因而往往会给定0的取值范围，如本题中,给定0的取值范围-n l =-，求出c,即可.a2=b2+c2-2bc c osA【备注】无1 8.(1)由题意得A E=2f在物 中，由余弦定理得应%4 2+/#-2/8X 4 5 b os 6 0 =3,所以4+力 於症.根据勾股定理的逆定理可知B E LA B.易知 ZP EO NEA B,从而 A B/C E,故B E工 C E.因为四棱锥F A%方的体积最大，第 12页所以平面尸公1平 面 极 石所 以 易 知 班 平 面P C E,又 夕 后 平 面 座 所 以B E L P C.（2）易 得 区,Wx 2

18、X 2 X s in 6 0 =p,由 知4B C E,联 均 为 直 角 三 角 形,且S 账=逐 座X C V 3.以 才 逐 缈X P好事,B y/B E+C E-=V 7,P B=P E-+B E-=/,故 5AX 2 X .7-1 -y/6 t所 以 三 棱 锥 尸 旌 的 表 面 积5=5A+5A+5A+5A=3V3+V 6.【解 析】本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系,考查考生的空间想象能力、逻辑推理能力.由 题 意 易 知 平 面 尸 血 平 面A B C E,所 以 要 证 明B E L P C,只 需 要 证 明 防L平 面 磔;（2）根据垂直关系及

19、长度关系,分别求出各个面的面积,即可得表面积.【备 注】【素养落地】立体几何研究的是空间图形中的位置关系与数量关系，在高考命题中主要承载了对直观想象与逻辑推理等核心素养的考查,在研究过程中,利用特殊儿何体分析研究对象是直观想象的具体体现，以此为基础,还要借助逻辑推理来实现对位置关系的判定.1 9.解：（1）记 事 件4为“从以往使用的甲型号检测仪器中随机抽取一台，使 用 年 限 为，年”，事 件6为“从以往使用的乙型号检测仪器中随机抽取一台，使 用 年 限 为，年”，产1,2,3,4;事 件。为“从以往使用的甲、乙两种型号检测仪器中各随机抽取一台，甲型号检测仪器的使用年限比乙型号检测仪器的使用

20、年限恰好多1年”，则P9=P（施+P5的+R 4 竦x5+三x合+x奈0.2 6 2 5.（2）由题意知甲型号检测仪器2年后仍可使用的概率为3乙型号检测仪器2年后仍可使用的概率为二.第 13页设 2 年后仍可使用的甲型号检测仪器有才台，乙型号检测仪器有y 台，易知F/2,三).2 5由题意知f的所有可能取值为0,1,2,3,4,且 P f=0)=P(省0,片0)=C 9 d)2 C(-)(-),-2 2-5 5 100P f=l)=六0)+尸(后0,片l)=c w 二 C?(3 e)2+C 9 飞)2 C i(-)1(-)*=-,-2 2-5 5-2 2-5 5 10P(f=3)=尸(庐2,及

21、 1)+P C 曰,六2)=3 时(与 C*三)值)+C0 二 C?(2)2(-),-2 2-5 5-2 2-5 5 5P(f =4)=。后2,及2)=%(4)2 时 C 5(-)2(-)=-,-2 2-5 5 25A f =2)=1-必 f=0)-P(f=D-P(f=3)-p(f=4)=工,所 以 f的分布列为g01234P93371110010100525所以 ,f=0 X +1 X+2 X +3 x i+4 X=-.100 10 100 5 25 5【解析】本题考查数学建模能力、运算求解能力.（1）对甲、乙两种型号检测仪器的使用年限的情况进行分类,利用独立事件的概率计算公式求解即可；（2

22、）先根据题意分别求出甲、乙两种型号检测仪器2年后仍可使用的概率,再设2 年后仍可使用的甲型号检测仪器有才台，乙型号检测仪器有y 台,可得 y 均服从二项分布,然后根据二项分布的知识求得f的所有可能取值及其对应的概率,从而可得分布列与期望.【备注】无2 0.解：（1）因为分别以椭圆的长轴和短轴为直径的圆的面积的比值为4,所 以 吗 4,即 2=4彼 .第 14页将（/3 代入椭圆方程，得 专+亲=1.由解得一=4,片=1,所以椭圆，的标准方程为=+y=1.4因为必做 所 以 朋 1%呷 阳 0Q,所以IM-P Q=O P 0Q,故求|。?|国|的最大值，即求0P|的最大值.设 A（xi,y i）

23、,（盟,7 2）,则 8（-%,-力），所以 A=A*1由题意知阳1 四 所 以 直 线相的斜率人 二yi设直线49 的方程为尸卜田巩由题意知h 4又 1=-+y f 2 J y f=II 当且仅当粤二加I 时等号成立,第1 5页所以I 10 0 的最大值为2,故 IM|图的最大值为2.【解析】本题考查逻辑思维能力和运算求解能力.【备注】无2 1.(1)因为行2,吟所以 f(x)=2 +2方程 f(x)=2,即 2,+2 =2,亦即)2-2 X 2 3 1=0,所以(2 T)0,于是2 三1,解得产0.由条件知 f(2 x)=2?,旬其+2 ,)2 -2=(f(x)2-2.因为/(2x)-6对

24、于x G R 恒成立，且 Ax)0,所 以 后 蛆)*对于x G R 恒成立./(*)而 加 土=f(x)伍 瓦 三 4,且 皿 土=4,fW fW Q八 J/(x)/(o)所以勿W4,故实数m的最大值为4.因为函数g(x)(x)-2 只 有 1 个零点，而 g(O)=f(O)-2=a%-2=0,所以0 是函数g(x)的唯一零点.因为 g (x)=*l n a+Z/l n b,又由 0 a 1 知 I n 水0,I n b 0,所以g (x)=0有唯一解x o=l o g-).a R令方(x)=g (A),则方(A)=(a l n a+b,l n 6)=4(I n a)2+b(l n 6)；从

25、而对任意升兄方(入)0,所以/(才)=方(入)是(，+8)上的单调递增函数.于是当 x G (-,加时,g (x)g (x o)=O;当 x G (司,+)时,g (x)g (x o)=O.因而函数g(x)在(y,X。)上是单调递减函数，在(%，q)上是单调递增函数.第 16页下证Ao=O.若刖 0,则刖号 0,于是 g 守)al oS a2-2=0,且函数 g(x)在以义*和l o g,2 为端点的闭区间上的图象不间断,所r以在迎和l o g,2 之间存在g(x)的零点，记为x.因为0 a l,所以l o g 2 0.又 0,所以%1 0,同理可得,在字和l o g/2 之间存在g(x)的非

26、0的零点，矛盾.因此蜀=0.于是-小二1,故 I n a 61V5 一 叵，所以当s i n(?=T时,d 取得最大值,为4 在.【解析】本题主要考查参数方程与普通方程的互化、极坐标方程化为直角坐标方程,考查的核心素养是数学运算.(1)分别消去直线7 1,人的参数方程中的参数,得人人的普通方程,两式相乘,即得曲线。的普通方程；(2)将直线C的极坐标方程化为直角坐标方程，曲线G的普通方程化为参数方程,然后将距离的最值问题转化为三角函数的最值问题,最后得距离的最大值.【备注】无2 3.解：由题意可得不等式2 f(x)W 8-f 2)即 2 12 1 +|4 1W8,即 f x 2,或f 2 x 4,或1(-2(x-2)-(x-4)8(2(x-2)-(x-4)4,(2(x-2)+(x-4)8,解得 0 x W 2 或 2 x W4 或 4 x 3 6,所以2+49 c18,a a当且仅当 ac,-=些时等号成立.ab ac b e【解析】（1）首先利用零点分段法将绝对值去掉,再解不等式组即可得解；（2）先利用绝对值三角不等式求出函数g（x）的最小值,然后利用基本不等式进行证明.【备注】无第 19页