2021-2022学年高二数学教案03（A基础）直线与平面的位置关系（教师版）.pdf

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1、第3翼：直线与平面的位置关系数 学 目 标1、明晰直线与平面的位置关系；2、掌握直线与平面平行的定义、判定定理和性质定理，并能运用其进行相关问题的求解；3、掌握直线与平面垂直的定义、判定定理与性质定理，并能运用其进行相关问题的求解；掌握空间中点、直线到平面的距离的概念，能运用其进行相关问题的求解；4、理解直线与平面所成角的概念，并掌握求线面角常用方法；5、掌握三垂线定理，并能运用三垂线定理进行相关问题的求解.重 点1、直线与平面平行的定义、判定定理和性质定理；2、直线与平面垂直的定义、判定定理与性质定理，空间中点、直线到平面的距离；3、直线与平面所成角；4、三垂线定理.难 点1、空间中点、直线

2、到平面的距离；2、三垂线定理.直线与平面平行直线与平面的位置关系直线与平面垂直直线与平面所成角线面平行的定义线面平行判定定理线面平行性质定理线面垂直的定义线面垂直判定定理线面垂直性质定理点，线到面的距离一作二证三计算三垂线定理（-）直线与平面的位置关系土 知 识梳理直线和平面的位置关系（1）直 线在平面上（无数个公共点）；.（2）直线和平面相交（有百只有一个公共点）:/例题精讲【例1】如图，把空间中直线与平面的位置关系：直线在平面内；直线不在平面内；直线与平面相交;直线与平面平行，依次填入结构图中的E,F,G,H中，则正确的填写顺序是（）直线与平面的位置关系A.B.C.D.【难度】【答案】B【

3、解析】解：空间中直线与平面的位置关系是:直线不在平面内直线与平面相交直线与平面平行;直线在平面内所以依次填入结构图中的E,F ,G，“是 .故 选：B.巩固训练1、下列不是直线与平面的位置关系的是（A.异面B.平行C.相交D.在平面上【难度】【答案】A【解析】解：直线与平面的位置关系有：相交、平行、直线在平面内，异面不是直线与平面的位置关系.故选：A.（二）直线与平面平行工 知 识梳理线面平行定义：当直线与平面没有公共点时，叫做直线与平面平行.判定定理：如果不在一个平面上的一条直线与这个平面上的一条直线平行，那么该直线与这个平面平行.书中很少出现这个U符号，多多注意性质定理：如果一条直线和一个

4、平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.a/a,a u =b=a/b，例题精讲判定定理【例 2】已知直线a,b,平面a,满足a u a,则使b/a 的条件为（A.b!laB.b/a 鱼b t a C.a 与人异面D.。与/?不相交【难度】【答案】B【解析】解：:a u a ,./a=/?/a ,或b u c,故A 不成立；b/la Ab U a =b I/a、故 8 成立；。与b 异面=/a 或Z?与a 相交，故C 不成立；a 与b不相交=/二或Z?u a 或b 与a 相交，故D不成立.故选：B.【例 3】过平面外一点，可以作这个平面的平行线的条数是（）A.1条 B

5、.2 条C.超过2 条但有限 D.无数条【难度】【答案】D【解析】解：过平面外一点作该平面的平行平面，有且只有1个，在这个平行平面上过这个点的直线有无数条，这些直线都与原平面平行.故选：D.【例 4】如图，正方体A B 8-A B C A ,E、P 分别为A,CQ 中 点.求证:73/平面 ABC。；【难度】【答案】见解析【解析】证明：连接AC,.、产分别为A。、C Q 中点、，；.EF/AC，又 尸U平面 ABCD,A C u 平面/WC，.1 E F/平面 ABCZ）.【例 5】如图，平行四边形ABC 有一点P 构成如图所示的几何体，点、E、尸分别为棱4 3、PD的中点.求证：人尸/平面尸

6、。；【难度】【答案】直线与平面平行【解析】证明：取 PC的中点G,连结EG、FG,:F，G 分别是PD、PC的中点，.尸 G/1。，=2-,-AB/CD,E 是 4 3 的中点，.A E/J cf),.,.FG/AE,.四边形AEGE是平行四边形，=2.-.AF/EG,.4PU 平面PCE，EGu 平面PCE,A F/平面 PCE.【例 6】如图所示的四个正方体中，A,得出A 8/平面MVP的图形的序号为(8 是正方体的两个顶点,)M,N,P 分别为其所在棱的中点，能A.B.C.D.【难度】【答案】D【解析】解：对，连接 班）交NP于点O，则 O M/M，易知A B/平面ACVP，即正确，故排

7、除BC：对，由正方体的性质可知，平面M A P/平面ABC,乂AB在平面ABC内，故4 B/平面M V P,即正确，故排除A.故选：D.巩固训练1、能保证直线与平面平行的条件是（）A.直线与平面内的一条直线平行B.直线与平面内的某条直线不相交C.直线与平面内的无数条直线平行D.直线与平面内的所有直线不相交【难度】【答案】D【解析】解：A 不正确，因为由直线与平面内的一条直线平行，不能推出直线与平面平行，直线有可能在平 面 内.B 不正确，因为由直线与平面内的某条直线不相交，不能推出直线与平面平行，直线有可能在平面内，也可能和平面相交.C 不正确，因为由直线与平面内的无数条直线平行，不能推出直线

8、与平面平行，直线有可能在平面 内.O 正确，因为山直线与平面内的所有直线不相交，依据直线和平面平行的定义可得直线与平面平行.故选：D.2、/是平面a外一条直线，过/作 平 面?，使a/,这样的夕（）A.只能作一个 B.至少可以作一个C.不存在 D.至多可以作一个【难度】【答案】D【解析】解：当a/a时，过a作平面力，使得4/a,由平面与平面平行的性质得:这样的平面力有且只有1个.a与a相交时，设 平 面 为a h ia交点为P,根据题意P e夕，P e a,则a|=/且P e/,这与a/矛盾，二这样的户不存在.综上所述，过平面。外一条直线。与。平行的平面的个数为至多1个.故选：D.3、如图矩形

9、ABCD所在平面外一点尸，连接P4,PB,PC,P D,点、E,F分别是P5,PC的中点，求证：瓦7/平面P4Z）.【难度】【答案】见解析【解析】证明：.点，厂分别是尸8，PC的中点，.EF/3C,.3C/AT）,:.EF/AD，尸平 面 皿）,AQu平面；.E F/平 面 皿）.4、如图，在四棱锥O-43C Q中，底 面 为 平 行 四 边 形，M为。4的中点，N为8C的中点，求证：M N/1平面OC）.o【难度】【答案】见解析【解析】证明：取 OD的中点E,连接CE,M E,因为M E/NC，M E =N C ,所以MEVC为平行四边形，则MNC E,而 MN丈平面0 8,C E u平面0

10、 8,.MN 平面 OCZ).5、如图所示，在空间四边形ABCD中，E,尸分别为4）上的点，S.AE:EB=AF.F D =l:4,又”,G 分别为8C,CD的中点，则（）A.B D”平面E F G H,且四边形FG 是矩形B.E F/平面3CZ）,且四边形EFG”是梯形C.G/平面A 3 D,且四边形EFG”是菱形D.E，/平面A D C,且四边形EFG”是平行四边形【难度】【答案】B【解析】解：在平面43。内，-.AE:EB=A F:F D =:4,:.EF/BD.又 B D u平面8 a ,所 平面8 a,:.EF 平面B C D.又在平面BCD内，：H ,G 分别是 8 C，C的中点，

11、:.HG/BD.:.HG/EF.X =1,=1,.E F H G.在四边形瓦中，EF/HG 电 EF 丰 HG,BD AB 5 B D BC 2四边形W G”为梯形.故选：B.性质定理【例 7】若直线。平行于平面a,则下列结论错误的是（）A.直线a 上的点到平面a 的距离相等B.直线a 平行于平面a 内的所有直线C.平面a 内有无数条直线与直线a 平行D.平面a 内存在无数条直线与直线。成90。角【难度】【答案】B【解析】解：由直线。平行于平面a,知：在 A 中，直线。上的点到平面a 的距离相等，故 A 正确；在 3 中，直线。与平面。内的所有直线平行或异面，故 3 错误；在 C 中，平面a

12、内有无数条直线与直线。平行，故 C 正确；在。中，平面a 内存在无数条宜线与直线a 成90。角，故。正确.故选：B.【例 8】如图，已知S 为 四 边 形 所 在 平 面 外 一 点，G ,分别为S3,8。上的点，若 G H/平面SCO,则（）s/I/、，/A BA.GH!ISA B.GH USD C.GH/ISC D.以上均有可能【难度】【答案】B【解析】解：.G，/平面SCO,Gu平面S8O，平面S 8 D C平面S 8 =S）,.-.G H/SD,显然G H与SA,SC均不平行，故选：B.【例 9】如图，P是AABC所在平面外一点,Ap平面ENG,PB/平面E F G,则”二（EBE,F

13、,G 分别在 AB,BC,PC 上，且尸G=2GC,AC/)1 3A.-B.1 C.-D.22 2【难度】【答案】A解析 解：AC/平面EFG,平面EFGC 平面ABC=EF,PB/平面EFG,平面)G C平面PBC=FG,AC/EF,PBHFG.PG:GC=BF:FC=EB:AE.PG=2GC,:.BF=2FC,:.EB=2AE,AEEB，.故选：A.2【例 10如图，已知四边形ABC。的是平行四边形,尸是其外一点，点 尸 在 棱 上，PF=AAF,若尸平面应小,则见 的值为（）pA.132C.3D.2【难度】【答案】A【解析】解：连结AC,交 加 于 O,连结O F,四棱锥尸-ABCD的底

14、面是平行四边形，.49=0。,点尸 在 棱 上，PF=A A F ,P C/平面&）尸，:.OFHPC,:.A=1.故选：A.巩固训练1、若 E,F ,G ,分别在四面体的棱相，BC,CD,AD上，且 A C/平面E F G/7,则（）A.EF/GH B.EH/FG C.E”/平面8 8 D.F G/平面A3。【难度】【答案】A【解析】解：若 E,F，G，4 分别在四面体的棱梯,B C，CD,A）上，且 A C/平面EF6”,.平面 A BCC 平面瓦G/7=E F,:.AC/EF,同理 AC7/G”，:.EF/GH.故选：A.2、如图，E是正方体A B 8-A 8 C R的棱G R上的一点E

15、（不与端点重合），BD/平面B E ,则（）A.BD,UCE B.ACt BDt C.D、E=2EC、D.DtE=ECt【难度】【答案】D【解析】解：如图，设可得面。8 c l e面MCE=EO,平 面q CE,根据线面平行的性质可得R3/EO ,为用C的中点，:.E为C R中点,:.R E =EC故选：D.3、四个面都是全等的正三角形所组成的几何体如图所示，点P是棱0 1的中点，过点尸将木块锯开，使截面PEEE）平行于棱VB和AC,若木块的棱长为a,则截面PFED面积为.【难度】【答案】4【解析】解：在平面144c内作直线P D/A C,交W 于 D，在平面VR4内作直 线 小/V B,交

16、AB于 尸，过点。作直线D E/A C，交 B C 于 E、-.PF/DE,:.P,D,E,尸四点共面，且面包花 尸 与 和AC度平行，则四边形尸。所 为 边 长 为 的 正 方 形，故其面积为 三.故答案为：2 4 44、如图所示，底面ABCD是一梯形，其平面外有一点P 构成了如图所示的几何体，AB/CD,过点8 作平面P A D的平行线交直线P C 于点、E,则点PE:EC=.=3AB,【难度】【答案】1:2【解析】解：取 电）的 3 等分点F,PE=-E C,连 接 瓦A F ,AB/CD,C D =3AB,2所以 EE/A fi,S.EF=-C D,又 AB/CD,C D =3 AB,

17、3E F =A B，从而四边形ABE尸为平行四边形，所以，BE/AF,席 仁 平面R4D,A F u 平面上40,根据线面平行的判定定理可得8E平面R4D；所以PE:EC=1:2.故答案为：1:2.（三）线面垂直工 知 识梳理线面平行定义：如果一条直线与平面上的任意一条直线都垂直，就说这条直线与这个平面互相垂直.如果直线/与平面a 垂直，我 们 记 作 这 时，直线/叫做平面a 的 垂 线（或者法线）./与a 的交点 P 叫做垂足.画示意图时，通常使直线/与表示平面a 的平行四边形的一边垂直.判定定理：如果一条直线与一个平面上的两条相交直线都垂直，那么此直线与该平面垂直.u a,/，/-L a

18、,-L。-L。性质定理：垂直于同一个平面的两条直线互相平行.a A-a,b A-a=al lb推 论 1：过一点有且只有一个平面与给定的直线垂直.推理2：过一点有且只有一条直线与给定的平面垂直.点到平面的距离定义：由推理2,过平面a外任意给定的一点M,有且只有一条直线与平面a垂直，从而把点 M与垂足N之间的距离叫做点M到平面a的距离；备注：如果一条直线/平行于一个平面a ,那么直线/上任意两点到平面a的距离都相等，从而直线/与平面 c的距离可以转化为直线/上任意一点M到平面a的距离问题.，例题精讲判定定理【例 11（1）将一本书打开后竖立在桌面上（如图），则书脊所在直线钻是否与桌面垂直？为什么

19、？【难度】【答案】见解析【解析】解：将一本书打开后竖立在桌面上（如图），则书脊所在直线4?与桌面垂直.理由如下：BC，C )u 桌面 BCD,且 BDLAB,v BCBD=B,r.M _ L 桌面 8 8.(2)垂直于同一平面的两条直线()A.平行 B.垂直 C.相交 D.异面【难度】【答案】A【解析】解：根据直线与平面垂直的性质定理，垂直于同一平面的两条直线平行，故选：A.(3)“直线/垂直于平面。内的无数条直线”是的.【难度】【答案】必要不充分条件【解析】解：直线/垂直于平面a内的无数条直线，若无数条直线是平行线，贝心与a不一定平行,如 果 口a，根据线面垂直的性质可知直线/垂直于平面a内

20、的无数条直线.故“直线/垂直于平面a内的无数条直线”是“/_La”的必要不充分条件.故答案为：必要不充分条件.【例12(1)如图，在空间四边形ABC。中，A B=A D,CB=C D,求证：ACA.BD.【难度】【答案】见解析【解析】解：证明如下：取3 3的中点O,连接AO,CO,又 钙=4),B C =D C,所以AABD,&9CZ)为等腰三角形,所以 3 _LAO，B D L C O,又 4|CO=O,所以 8。_ 1_平面 AOC，又 AC。平面。IC,所以 BDA.AC.(2)如图，矩 形 所 在 平 面 与 半 圆 弧 CQ所在平面垂直，是 CQ上异于C、O 的点.证明：DM_L平面

21、8WC;在线段AM 上是否存在点P,使得M C/平面P 8 )?说明理由.【难度】【答案】(1)证明见解析；(2)当尸为AM 的中点时，满足题意，证明见解析.【解析】解：(1)证明：根据题意，平面平面A8CD，交线为8.因为 BC_LC，BCu 平面 A B C),所以 8 c l.平面 CWD，故 BC_LDW.因为M 为半圆弧上异于C,。的点，且 D C 为直径，所以DM _L CM.XBCQCM =C,8 C u 平面 BMC,CM u 平面 B M C,所以 DW_L 平面 BMC；(2)当P 为 AM 的中点时，M C 7/平面P%).证明如下：连结AC交 比 了 O.因为ABCD为

22、矩形，所以O 为 AC中点.连结O P,因为尸为AM 中点，所以M C/O P.mC 9 平面O P u 平面尸 3),所以A/C/平面P8D.B【例1 3（1）如图，R4 _L矩形A B C D,下列结论中不正确的是（)A.P D V B D B.P D Y C D C.P B L B C D.PA A.BD【难度】【答案】A【解析】解：矩形A 8C。，.-.PA A.BD,若 P D 1,BD,则 80 1.平面R4。，又B A J L平面2 4 ）,则过平面外一面有两条直线与平面垂直，不成立，故/，不正确，故A不正确：矩形A B C D,:.PA A.CD，A DVCD,，C _L平面R

23、4。，叨，。，故B正确：.E 4 _L矩形A B 8,.由三垂线定理得P B _LB C,故C正确；.矩形A 8C ,.,.由直线与平面垂直的性质得E 4 J _8D,故。正确.故选：A.（2）如图，垂直于以4 5为直径的圆所在平面，C为圆上异于A,5的任意一点，则下列关系中不正确的是（）A.PA VBC B.B C _L 平面丛 C C.A C Y P B D.P C 1 B C【难度】【答案】C【解析】解：在 A 中，.以垂直于以4 3 为直径的圆所在平面ABC，8 C u 平面A8C,:.P A L B C，故A 正确；在 8 中，:C 为圆上异于A,B 的任意一点，,3C _L AC，

24、-.-PABC,PA0|4C=A，8C_L 平面 P A C,故 3 正确；在 C 中，.A C B C，.若 AC_LP3，则 AC_L 平面 P3C，则 ACJ_PC，与AC_LP4矛盾，故AC 与3 c 不垂直，故C 错误；在。中，.BC_L平面B 4 C,尸 C u 平面B4C,.PC BC,故。正确.故选：C.【例 14】(1)在棱长为。的正方体A 3 C D-A 与中求出下列距离：点A 到面B B C C 的距离：线段B R到面ABC。的距离；点A 到面8月。的距离；【难度】s【答案】(1)a；(2)a.(3)-a；2【解析】(1)因为正方体ABCO ABCQI,则A B,平面B

25、4 G C,所以点A 到面8 片G。的距离为边长钻=。；(2)因为4 A 平面ABCZ)，目旦8 J.平面ABC。，所以线段B R到面ABCD的距离为B1B=a：(3)因为AC_L平面BBQ。，所以点A 到面8 3 Q Q 的距离为面对角线的AC的即 日(2)如图，RIAABC的直角顶点A 在平面a 内，B C H a ,BC=2屈,A B.AC与a 分别成30。，45。角,则B C与平面a的距离是.aAC【难度】【答案】2【解析】解：分别过C、8 向平面a 引垂线C G、BB垂足分别为G、设 CC=BB=X,则 A C2=(X)2=2x2,AB2=(r)2=.又 A C2+Bfic=CB2,

26、sin 45 sin 306x2=(2/6)2,x=2.3 C 与平面a 的距离是2.故答案为：2.专 巩 固训练1、在正方体A B 8-A 4 G R 中：与直线A B垂直的平面是.与直线用垂直的平面是.与直线Q垂直的平面是.【难度】【答案】见解析【解析】解：在正方体ABC。-4 4 G q 中：与直线A B垂直的平面是平面ADRA和平面B C C B，故答案为：平面A D D和平面B CCXB.与宜线A4,垂直的平面是平面M C D 和平面A B C R .故答案为：平面3CD和平面A C R与直线班 垂直的平面是平面A c e a.故答案为：平面ACGA.2、若三条直线。4,OB,8两两

27、垂直，则直线。4 垂直于（）A.平面。4B B.平面O4C C.平面O8C D.平面ABC【难度】【答案】C【解析】解：04_LQB,O A 1 O C,而0 5。=。满足直线与平面垂直的判定定理直线。4 垂直于平面O3C故选：C.3、如果一条直线垂直于一个平面内的：正五边形的两边；梯形的两边；圆的两条直径；正六边形的两条 边.则能保证该直线与平面垂直的是（）A.B.C.（2X4）D.【难度】【答案】A【解析】解：正五边形的两边和圆的两条直径一定是相交直线，梯形的两边和正六边形的两边不一定相交，故能保证直线与平面垂直的是.故选：A.4、若 为 RTAABC斜边4?的中点，平面A B C,贝 卜

28、）A.PA=PB=PC B.PA=PBPC C.PA=PBu 平面 AO),.3C_L平面A O D,Wu 平面AOD,:.B C L A D.设 3D=a,vZABC=60，NOBC=45,:.OB=42BD=yf2a,AB=2BD=2a.:.cosZABO=.,ZABO=45.AH 2.A O _L a,，/记。为 AB与平面a 所成的角.故答案为：45.【例 18】已知四面体S-/W C 各棱长都为1,则棱SA与平面ABC所成的角的余弦值为【难度】【答案】arccos3【解析】解：设四面体的棱长为。，过 S 作 SM L 平面A 8 C,垂足为M,则M 为三角 形 他 C 的中心，连接4

29、 0 ,则 可 得 即 为 宜 线 与 平 面 所 成 的 角在 RtASAM 中，可知 S4=a,A M=-x a=-a,cosZSAM=3 2 3 AS 3Z.SAM=arccos且，故答案为：arccos3 3Rs【例19】设A,3是平面a同侧的两点，点O w e,OA,OB是平面a的斜线，射线。4,0 3在a内的射线分别是射线04,，若ZA OB=-,则Z4OB是（锐角、直角或钝角）2【难度】【答案】锐角【解析】解：在。4,0 8上取点A,B,使得/W/a,则射影长A9等 于 舫=c,设=O F =b，则 +/=c2,cos W B =（）A2+。夕-,夕 一 +-=0,.乙4。3 是

30、锐角；故答案为：锐角.2 OA.OB 2 OA-OB巩固训练1、若直线/与平面a所成角为生，直线a在平面a内，且与直线/异面，则直线/与直线a所成的角的取值3范围是（）A.0,B.J 寻）C.4与 D.弓,寻 3 3 3 3 2 3 3【难度】【答案】C【解析】解：山于直线/与平面a所成角为工，直线/与平面a所成角是直线/与平面a内所有直线成的角3中最小的一个，而直线/与平面a所成角的范围是 0,-,直线。在平面e内，且与直线/异面，2故直线/与直线a所成的角的取值范围是口,工.故选：C.3 22、如图，在长方体ABCD-AgG.中，A B =B C =2,A 4,=1 ,则AQ与平面AgGA

31、所成角的正弦值为【难度】【答案】-3【解析】解：连接AG，在长方体ABCO-ABCR中，.A A _ L平面ABCA,则NAG4为AG与平面48cA 所成角.在 A G A ，s i n Z 4 C,=.1=-.4 c l V l +22+22 3故答案为：33、九章算术中称四个面均为直角三角形的四面体为鳖膈，如图，若四面体ABCD为鳖膈，且平面BCD,A f i =3 C =CD,则4)与平面ABC所成角大小为(结果用反三角函数值表示)【难度】【答案】a r c s i n 3【解析】解：.四面体A B C。为鳖脯，且AB_ L平面8 8，A B =B C=C D,B C工D C,以C为原点

32、，CD为x轴，CB为y轴，过C作平面 加C的垂线为z轴，建立空间直角坐标系,设 A f i =3 C =C )=l,则 A(0,I,1),0(1 ,0,0),8(0,I,0),C(0,0,0),A D =(1,-1 ,-1),平面ABC的法向量为=(1 ,0,0),设AD与平面ABC所成角为，则s i n 0=1 A p利=上=2,A DJn V 3 3AD与平面A 6 C 所成角大小为a r c s i n .故答案为：a r c s i n 3 3.-.6 =a r c s i n 34、PA.P B、PC是从P点引出的三条射线，每两条夹角都是6 0。，那么直线PC与平面4%所成角的余弦值

33、是.【难度】【答案】3【解析】解：在 P C上任取一点。并作P O J 平 面 则 N D P O 就是直线PC与平面/I P B 所成的角.过点 O 作 O E _ L B 4，O F 工 P B，.。01 _ 平面48，：.DEYPA,DFA.PB.A D E P A D F P,:.EP=FP,:.AOEP=A O F P,-.ZAPC=Z B P C =6O ,.,.点 O 在 N A P 8 的平分线上，即 Z O P E=30.设 P E =1,v Z O P E =3 0 ,A OP =!=,在直角 A P E Z）中，ZDPE=60,P E=,则尸D=2.c o s 3 00

34、3在直角A D O 尸中，0 尸=2 叵，尸 ）=2 .则 c o s/Z）P O =9C=正.即直线P C与平面R 4 B 所成角的余弦值3 P D 3是 曲.故答案为：.3 3（五）三垂线定理卫 知 识梳理三垂线定理：平面上的一条直线和这个平面的一条斜线垂直的充要条件是它和这条斜线在平面上的投影垂直.，例题精讲【例 20】叙述并证明三垂线定理（写出已知、求证及证明过程，并作图）【难度】【答案】见解析【解析】解：三垂线定理：在平面内的一直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直已知：如图R 4、PO 分别是平面a 的垂线、斜线，AO是 PO在平面a 内的射影，证明如下：

35、ja u a,a AO,：PA a a z a .PAYa,AO a AD两两互相垂直，则顶点A在底面8 8 上的正投影”为AfiCD的（）A.垂心 B.重心 C.外心 D.内心【难度】【答案】A【解析】解：如图，连接 3 、DH-BAC A,BAYDA-CADA=A.E41.平面A C D,结合S u 平面AC二8 _ 1 班 又.4/_1平 面 加。，C）u 平面8ZX7:.CD AH AHBA=A.C，平面4 阳，得到3”_L8所以3 为DC边上的高同理可得。”为 BC边上的高，因此“为三角形加C1的垂心.故选：A.B-）D【例 22】已知AA5C的一边3 c 在平面a 内，Ae a ,

36、点A 在平面a 内的射影为点P,则 N fi4c与 NBPC的大小关系为（）A.N B A C v N B P CB.Z B A C N B P CC.NBAC”N B P CD.以上情况都有可能【难度】【答案】D【解析】解：当A 48c为锐角三角形时，当N8AC绕 8 c 顺时针旋转时（起始位置为与a 重合）,N B P C从Z B A C变化到180（平面A B C平面a 时），故旋转过程中有A B A C ZBPC,故选：D.巩固训练1、如图AABC中，/4C B =90。，直线/过点A 且垂直于平面ABC,动点尸三/,当点P 逐渐远离点A 时，ZPCB的大小（）BCA.变大 B.变小C

37、.不变 D.有时变大有时变小【难度】【答案】C【解析】解：由题意可得AC_L5c 平面ABC山 三 垂 线 定 理 的 逆 定 理 可 得 PCN PCB=90P,故选：C.2、P 为边长为的正三角形4 3 c 所在平面外一点且R4=PB=PC=a,则 P 到 平 面 4 3 c 的距离为【难度】【答案】3【解析】解：过尸作底面A B C 的垂线，垂足为O,连接CO并延长交因为 为边长为。的正三角形A8C所在平面外一点且PA=P8=PC=a,所以O 是三角形A B C 的中心CE_L/W，尸 ；_ 1_43 PO就是P 到平面ABC的距离,CO=2CE=&X=匝=a 故答案为:恒3 3 2 3

38、 V 3 3 33、AABC的8 C 边在平面a 内，A 在 a 上的射影为AL 若 4 4 C N E 4，C,则A4BC一定为（）A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.以上都不是【难度】【答案】C【解析】解：只需证明AABC中，3 c 边上的高4 5 在形外.假设。在 8,C 之间，连 A。，则 AO_LBC,tan ZBAD=,tanZBA,D=AD AD-.ADAD,lan ZB AD tan ZBAD,：.ZBAD ZBAD,同样，NBAC NBAC,与已知矛 盾.若 B,。或 C,。重合，同样矛盾，故。在 5 c 之外，A4BC为钝角三角形.实战演练填 空 题（共6小

39、题）1、若直线/平面M,则直线/与平面”内的直线的位置关系是【答案】平行、异面【解析】直线/与平面M 内的直线无交点，所以可能平行，也可能异面2、若直线与平面c 不垂直，那么平面c 内与直线。垂直的直线有 条.【答案】无数【解析】3、在长方体ABCD A 4 G A 中，4 3 =3C =4,然=2,则直线B Q 与平面B 3 Q Q 所成角的正弦值为.【答案】木【解析】连接A G 交 耳Q 于。，连接8。，可证明ZCtBO就是直线B C,与平面B B Q Q所成角4、在正方体A B C。-A夕。中，直线AC与平面A 8 C D 所成角的正弦值为【答案】皂3【解析】解：连接AC，在正方体4 9

40、 c o-4夕。7 7中,4A _ L 平面A B C D,则Z A C A;为A C与平面ABCD所成角.设正方体的棱长为IA A设在 4 7 4 中，s i n/A C H =AC1“3故答案为：45、在长方体A B C。-ABC中，正方形A 8 C D 的面积为1 6,AG与平面BBCC所成的角为3 0。，则该长方体的体积为.【答案】64 及【解析】解：.正方形A B C 的面积为1 6,.A B =C )=4,.4 3 _ 1 _ 平面886。，故 N AGB为 AG与平面BBCC所成的角，即乙4 0 8 =3 0。，BCX=4 x/3 ,:.CG=y/BC：-BC，=4 夜.二.长方

41、体的体积 V=1 6x 4 夜=64 近.6、长 方 体 ABCO-AMCQ 中，AB=y3,BC=l,AA,=2,则 对 角 线 AQ 与 底 面 ABCD所 成 角 是;点D到平面A C C.A 的距离是.【答案】B4 2【解析】解：以。为原点，D4为x 轴，DC为 y 轴，为 z 轴，建立空间直角坐标系,A(l,0,0),G(0,B 2),C(0,石，0),Ad，0，2),A C；=(-1,6,2),平面A 8 C D 的法向量万=(0,0,1),设 对 角 线 与 底 面 A 8 C D 所成角为。,则s i n =I/4(元=,=遮,.”工，.对角线AC与底面AB8 所成角是工.1

42、4 G H 五|应 2 4 4A C =(-1,&0),瓯=(0,0,2),而=(-1,0,0),设平面A C C A 的法向 量/=(工，y z),n l n?A C =x +V3y =0,r r-则/，取 y =l,而=(石，1,0),比 A A =2z=0.点D到平面A C G A的距离是：d=还型=B.m 2故答案为：巴，B.4 2二、选择题(共4小题)7、梯形A B C D 中，A B/CD,AB1 平面a,平面a，则直线CD与平面a内的直线的位置关系只能是()A.平 行 B.平 行 或 异 面 C.平 行 或 相 交 D.异面或相交【答案】B【解析】解：.A B/C D,ABu面a

43、,8仁面 a ,C Z)/面a ,直线CD与平面a内的直线的位置关系只能是平行或异面.故选：B.8、给出下列四个命题：(1)异面直线是指空间两条既不平行也不相交的直线;（2）若直线/上有两点到平面a 的距离相等，则/a；（3）若直线 2与平面a 内无穷多条直线都垂直，则加，a；（4）两条异面直线中的一条垂直于平面a,则另一条必定不垂直于平面a.其中正确命题的个数是（）A.0 个 B.1个 C.2 个 D.3 个【答案】C【解析】（1）（4）正确，（2）错，直线/可能与平面a 相交；（3）错，无穷不代表所有9、如图，四棱锥PABC力中，M,N 分别为AC,PC上的点，且 MN平面抬。，贝 比 ）

44、A.MN/PD B.MN/PA C.MN/AD D.以上均有可能【答案】B【解析】利用教材P16例 4 的结论可以直接得出，即直线和平面平行的性质定理10、如图，直线勿垂直于圆O 所在的平面，4 1 8 c内接于圆O,且 4 3 为圆O 的直径，点M 为线段尸B 的中点.现有以下命题：BC，PC；平面APC；点3 到平面PAC的距离等于线段BC的长.其中真命题的个数为（）C.1D.0【答案】A【解析】解：.R4-L圆O 所在的平面，8 C u 圆O 所 在 的 平 面.8C而 3C J.A C，PAAC=A面 P A C,而 P C u 面/8的中点，点O 为AB的中点:.O M/P A,而

45、OM仁面E 4 C,以 仁 而 以 C二OW/平面A P C,故正确；8 c l.面 PAC.点B到平面P A C的距离等于线段B C的长，故正确故选：A .三、解答题(共2小题)11、如图，在四棱锥P-A B CD 中，底面ABCD是矩形，Q4_L平面PCD,M,N 分别是4 5,PC 的中点.求证：(1)直线M N/平面BAD；(2)直线CZ)_L平面BAD.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【解析】证明：(I)根据题意，取 PD 的中点G,连接NG、AG,G 是 PD 的中点，N 是 PC 的中点，则 N G/D C 且NG=，C,2则四边形MNG4是平行四边形，则有M N/A

46、G,又山M N不在平面抬。中，而 AG在平面玄。中，则有直线M V/平面叫D；(2)P4JL.平面则 以 _ L 8,又由底面M C D 是矩形，则C 0 L A D,而尸40|4=4,故直线8 1 平面E4).12、如图，尸是正方形A8CE)所在平面外一点，P A A B,小，4。，点。是R4的中点，24=4,(1)求证：PC1.BD-,(2)求点Q到 处 的 距离.AB=2.【答案】见解析【解析】解：（1）连接AC.ai_L43,PALAD,ABAD=AR4 J平面ABCD AC为斜线PC在平面ABCD内 的 射 影ABCD是正方形:.AC 工 BD PC 工 BD（2）设 ACn8O=O,连接 0。为 Q4 中点，。为 AC 中点，OQ/PC-.-PCBD:.O Q V B D。的长就是点 Q 到 皮）的距离.43=2,PA=4AC=2 0 OA=y/2,QA=2 OQ=yQA2+OA2=y6即点。到 班的距离为指