2023届福建省邵武高三第四次模拟考试数学试卷含解析.pdf

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1、2023年高考数学模拟试卷注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2.答题时请按要求用笔。3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4 .作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5 .保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共6 0分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设 队y、z是空间中不同的直线或平面，对下列四种情形：x、八z均为直线；心y是直线，z是平面；z是直线，

2、小y是平面；x、y、z均为平面.其中使“x _ L z且=为真命题的是()A.B.C.D.X 2+x +a x W 02.已知A,B是函数x)=一图像上不同的两点，若曲线y=/(x)在点A,B处的切线重合，则x l n x-a,x 0实数。的最小值是()1 1A.-1 B.C.-D.12 23.以下四个命题：两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近1；在回归分析中，可用相关指数心的值判断拟合效果，配越小，模型的拟合效果越好；若数据石,毛，毛，毛的方差为L则2%+1,2+1,2玉+1,2x.+l的方差为4；已 知 一 组 具 有 线 性 相 关 关 系 的 数 据 必),-，(，%)

3、，其线性回归方程9 =应+4,则“(毛,%)满足线性回归方程歹=法+4”是“天=士气产,%=十)；的充要条件；其中真命题的个数为()A.4 B.3 C.2 D.14 .设i是虚数单位，a e R,-=3-2 i,则。=()a+iA.-2 B.-1 C.1 D.25 .已知直线y=4 (x -1)与抛物线C：y2=4 x交于A,B两点，直线y=24 (x -2)与抛物线。：y2=8 1交于M,N两点，设 5 2|MN|,贝！|()A.A -16 B.2=-16 C.-12 2 0 D.A=-126 .已知数列%为等比数列，若。6+%+。8 =2 6,且%与=3 6,则 +,+-!-=()1818

4、 36967.如图，在平行四边形A B C。中，对角线AC与 交 于 点。，且A E =2 E0,则 比 =（）A BA.A D A B B.A D H A B3 3 3 3C.-A D-A B D.-A D+-A B3 3 3 38.已知贝！1 （）A.（一（一萍.（l +a）（l +D.9.已知i为虚数单位，若复数Z=2 +i,z-z,=5,则|z|=A.1 B.7 5C.5 D.5A/510.已知正方体A B C。AgG A的棱长为2,点P在线段C 4上，S体A B C。-A 4G。被平面a截得的截面面积为（）A R9-.GA.3底 B.2瓜 C.5 D.11.已知三棱锥PABC中，A

5、A B C是等边三角形，A 3=4百,P A =外接球的表面积为（）A.25 7 r B.7 5 C.8 0万 D.12.已知复数2=4 +。4/?,若|z|=2,则。的 值 为（）A.1 B.百 C.1 D.（1 a）n.BP=2 P C,平面。经过点A,P，G，则正方5百4PC=2 J F,P A 1 B C ,则三棱锥 P-A B C 的100V 3二、填空题：本题共4小题，每小题5 分，共 20分。13.函数/(x)=/与7的定义域是.14 .若向量=任,2),。=(1,x)满足“为 (),椭圆q 的方程为1+与=i,双曲线c,方程为 一 马=i,G与 c,的离心率之积为且,a a b

6、-2则。2的 渐 近 线 方 程 为.三、解答题：共 7 0分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 .(12 分)已知函数/(x)=s i n 0 x +c o s(8 +),其中 xwR,6 y().(1)当0 =1时，求的值；7 1(2)当/(x)的最小正周期为万时，求/(x)在 0,-上的值域.418 .（12 分）如图，在三棱柱 ABC-A 与G 中，平面 A B C,A B L A C,且 A B =AC=AB=2.(1)求棱A4与 8C所成的角的大小；(2)在 棱 上 确 定 一 点P,使二面角P-A3-4 的平面角的余弦值为平.19 .(12 分)已知数列 4 和 也

7、满足：4=2,4=一 1,4,=2%_|-%，勿=2 1一%,neN*,n2.(1)求证:数列 4 一%为等比数列；(2)求 数 列 一一的前项和S”.可%J20.(12分)已 知A A B C的内角A、B、C的对边分别为、b、c,满 足 石s i n A +c o s A =0.有三个条件：。=1；b=6 SM S C=其中三个条件中仅有两个正确，请选出正确的条件完成下面两个问题：(1)求 J(2)设。为8 C边上一点，且A O _ L A C,求A A B O的面积.21.(12分)已知圆M：1+2 2 +丫2=6 4及定点42 60),点A是圆M上的动点，点B在NA上,点G在M4上，且满

8、足NA=2NB，GB-NA=。，点G的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)设斜率为a的动直线/与曲线C有且只有一个公共点，与直线y=；x和y=-g x分别交于尸、。两点.当网g时，求A O P Q (0为坐标原点)面积的取值范围.22.(10 分)如 图，三棱柱-中，AA，平面 A B C,N A C B =9 0,A C =C 8 =2,N 分别为 A B,(2)若平面CWN,平面gM N,求直线A B与平面gM N所成角的正弦值.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5 分，共 6 0分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.C【解析】举反例，如直线工、y、z位

9、于正方体的三条共点棱时用垂直于同一平面的两直线平行判断.用垂直于同一直线的两平面平行判断.举例，如 x、y、z位于正方体的三个共点侧面时.【详解】当直线X、八 Z 位于正方体的三条共点棱时，不正确；因为垂直于同一平面的两直线平行,正确；因为垂直于同一直线的两平面平行,正确；如X、y、Z 位于正方体的三个共点侧面时，不正确.故选:C.【点睛】此题考查立体几何中线面关系，选择题一般可通过特殊值法进行排除，属于简单题目.2.B【解析】先根据导数的几何意义写出/(x)在 A 8 两点处的切线方程，再利用两直线斜率相等且纵截距相等，列出关系树，从而得出a=；(x e 2 )，令函数8(力=；，-6 2)

10、(0),结合导数求出最小值，即可选出正确答案.【详解】解：当时，f(x)=x2+x+a,则/(x)=2 x+l；当x()时，f(x)=x n x-a则 尸(x)=l n x+l.设A(X”(XJ),8(X 2，/(X 2)为函数图像上的两点，当尤 10或 0玉时，/(X|)*/(X2),不符合题意，故罚0%2.则“X)在 A 处的切线方程为 y-(x：+X 1+a)=(2X 1+l)(x-x j；/(x)在 8 处的切线方程为y-工2 1n x 2+c z=(l n x2+l)(x-x2).由两切线重合可知I n x2+1=2%j +12-X2-Q=玉，整理得 a=1(%,2-e2 M)(%,

11、0).不妨设 g (x)=i(x2-e2 x)(x 0)则 g(x)=x-e2,g(x)=l-2e2*,由 g(x)=。可得x =g l n g则 当x =：l n：时，g（x）的最大值为g（不也不=不历孑一不0.乙 乙 乙 乙 J 乙 乙 乙贝!）8（*）=3（/02，）在（-k2x2-(2k2+4 x+k2=0y=4x n2公+4-4则 x+x2=2+因为直线了=攵(1)经 过 C 的焦点,所以|AB|=%+*2+=4+，.K2同理可得1 加2 =8+,所以 4=4 16=12故选：D.【点 睛】本题考查的是直线与抛物线的交点问题，运用抛物线的焦点弦求参数，属基础题。6.A【解 析】根据等

12、比数列的性质可 得%七9=4 =36,通分化简即可.【详 解】由题 意，数 列%为等比数列，则6%=4 4=片=36,又。6+。8=26,即。6+%=26%,所以,%q +4 9 +4 _ 36+%，（。6+4）_ 36+%（26 7）。（、。7 q 36%36%_ 36+%（2 6-%）_ 36+2 6 0 一 _ 36+2 6 0 -36 _ 26%_ 13【详 解】画出图形，如下图.选取 A B,舛O 为 基 底，则 AE =g AO=；AC=；（A6+AQ）,A ED=AD-AEAD-（AB+AD=-AD-AB.3、*7 3 336“36 36 36 为 18故选：A.【点睛】本题考查

13、了等比数列的性质，考查了推理能力与运算能力，属于基础题.7.C【解 析】画出图形，以A8,、O为 基 底 将 向 量 进 行 分 解 后 可 得 结 果.故 选C.【点 睛】应用平面向量基本定理应注意的问题(1)只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，基底可以有无穷多组，在解决具体问题时，合理选择基底会给解题带来方便.(2)利用已知向量表示未知向量，实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算或数乘运算.8.D【解析】根据指数函数的单调性，即当底数大于1时单调递增，当底数大于零小于1时单调递减，对选项逐一验证即可得到正确答案.【详解】因为0。，b ,b 21 ,L )所以(l

14、 a (1 一4 ，(1 _。)“(1一。尸，所以A,B两项均错；又 1 1 +。1 +所以(1 +。)“(1 +。)“(1-/所以(1 a)“(1 3”，故选D.【点睛】这个题目考查的是应用不等式的性质和指对函数的单调性比较大小，两个式子比较大小的常用方法有：做差和。比，作商和1比，或者直接利用不等式的性质得到大小关系，有时可以代入一些特殊的数据得到具体值，进而得到大小关系.9.B【解析】由Z-Z 1 =5可得二=孑，所以石，故选B.1 0.B【解析】先根据平面的基本性质确定平面，然后利用面面平行的性质定理，得到截面的形状再求解.【详解】如图所不：HA P，G确 定 一 个 平 面a，因 为

15、 平 面A AtDDi/平 面B B g ,所以 A Q/P C，同理 A P/Q G，所 以 四 边 形APG。是平行四边形即正方体被平面截的截面.因为 3 7 =2PC,所以 G 4 =2PC,即 PC=PB=1所 以AP=PG=石,A g=2+由余弦定理得：c o s/A P G=g奈嗫牛=:所 以sinNAPG=平所以 S 四 边 彩 APQG=2 x；AP x P&x sin NAP&=2 故 选：B【点 睛】本题主要考查平面的基本性质，面面平行的性质定理及截面面积的求法，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于中档题.11.D【解 析】根据底面为等边三角 形，取8 C中点可证明8C_

16、L平面从 而8 C _ L R 0,即可证明三棱锥P ABC为正三棱锥.取底面等边AA8C的重心为O,可求得P到平面ABC的距离，画出几何关系，设球心为。，即可由球的性质和勾股定理求得球的半径，进而得球的表面积.【详解】设M为8 c中点，AA8C是等边三角形，所以又因为B4_L3C,且PA A M =A,所以8C_L平面尸4”,则由三线合一性质可知P B =P A =PC,所以三棱锥P ABC为正三棱锥，A8=4，J,PA=P B=P C =25设底面等边AABC的重心为0,可得AO=A M=X6=4，po，=JP A?-AO。=120-16=2,所以三棱锥P-A BC的外接球球心在面ABC下

17、方，设为。，如下图所示：由球的性质可知，P。，平面A B C,且P,O,O在同一直线上，设球的半径为R,在 RfAAO。中，AO?=A O,2+O O,2，即/?2=16+(/?-2)2.解得R=5,所以三棱锥P-A B C的外接球表面积为S=4%/?2=4 x 25=100，故选：D.【点睛】本题考查了三棱锥的结构特征和相关计算，正三棱锥的外接球半径求法，球的表面积求法，对空间想象能力要求较高,属于中档题.12.D【解析】由复数模的定义可得：|Z|=J 7 7 T =2,求解关于实数。的方程可得：a=yf3.本题选择。选项.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共2 0分。1 3.(-o o

18、,0【解析】由1 2 之0,得2、W 1，所以xWO,所以原函数定义域为(-8,0 ,故答案为(-8,0 .1 4.(-3,1)【解析】根据题意计算“多=Y +2X V3,解得答案.【详解】任,2=(1,x),故必+2 x v 3,解得-3 c x b 0,椭圆a 的 方 程 为=+与=1,a2 b2G 的离心率为：J/一”，a2 2双 曲 线 方 程 为 4 =1,a b。2 的离心率：近逵，G 与 C 的离心率之积为把，2.yla2-b2 yja2+/?2 _ A/3a a 2.曾=毕=塔 2 a 2C 的渐近线方程为：y=显x，即x 0 y =O.2故答案为：x y2y=0【点睛】本题考

19、查了椭圆、双曲线的几何性质，掌握椭圆、双曲线的离心率公式，属于基础题.三、解答题：共 7 0 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1 7.出 1(1)9(2)-,12 1 2 J【解析】根 据 e=l,得到函数/(x)=s i n x +c o s(x +a，然后，直接求解了(?)的值；JTJT(2)首先，化简函数/(x)=s i n(o x +),然后，结合周期公式，得到。=2,再结合XG 0,-,及正弦函数的性质解答即可.【详解】(1)因为0=1,所以/(x)=s i n x +c o s x +f(2)因为/(x)=sinGx+cos7 1C D X -6.7 C .7 C-si

20、n cox+cos cox cos-sin eoxsm 6 61 .百二 一sin s +coscox2 2.(吟=sin(DX+I 3 j即 fM =sin|cox+因为T=2=万，所以。=2C O所以/(x)=sin 需x+gJI因为0,-_ 4_ 八 穴 7 54所以3 3 o所以当x=0时，于(x)=2.当x=2时，f(x)=1 (最大值)2 127 1 1当时，/W-4 2/在0,-是增函数，在 是 减 函 数./(x)的 值 域 是1,1【点睛】本题主要考查了简单角的三角函数值的求解方法，两角和与差的正弦、余弦公式，三角函数的图象与性质等知识，考查了运算求解能力，属于中档题.18.

21、(1)y (2)p(l,3,2)【解析】试题分析：(1)因为AB_LAC,AiBJ_平面A B C,所以以A 为坐标原点，分别以AC、AB所在直线分别为x 轴和y轴，以过A,且平行于BAi的直线为z 轴建立空间直角坐标系，由 AB=AC=A=2求出所要用到的点的坐标，求出棱AAi与 BC上的两个向量，由向量的夹角求棱AAi与 BC所成的角的大小；(2)设 棱 BiCi上的一点P,由向量共线得到P 点的坐标，然后求出两个平面PAB与平面ABAi的一个法向量，把二面角P-AB-Aj的 平 面 角 的 余 弦 值 为 毡，转化为它们法向量所成角的余弦值，由此确定出P 点的坐标.试题解析:解(1)如图

22、，以A 为原点建立空间直角坐标系,则 C（2,0,0）,3（0,2,0）,A（0,2,2）,（0,4,2）,M =（O,2,2）,3C =4G=（2,2,0）.c o s A A j,B C =-4 1=-瓜.瓜一 2故 AA1与棱BC 所成的角是(2)P 为棱与G 中点,设 4尸=44C=（2 4 2 4,0）,则 P（2 Z 4-2 4,2）,设平面RW的法向量为=(x,y,z),A/=(2 2,4-2 2,2),n.-AP=0=4 AB=0 x+3y +2 z =02 y =0z=-Axy =0故 4 =（1,0,-A）而平面ABA的法向量是2 =(1,0,0),贝!|c o s ,“2

23、2y/5解得/I =2,即P为棱瓦G中点，其坐标为P(L 3,2).点睛：本题主要考查线面垂直的判定与性质，以及利用空间向量求二面角.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.19.（1）见 解 析（2）5“二：一【解析】（1）根据题目所给递推关系式得到!一=3,由此证得数列%-4 为等比数列.an-2-1（2）由（1）求得数列 4-2 的通项公式，判 断 出 凡

24、+2=1,由此利用裂项求和法求得数列-的前项和S”【详解】(1)b=(2a,-a,)=3(_l-bn_,)nwN*,nW2,-=3一%所以数列%-是以3 为首项，以 3 为公比的等比数列.(2)由知，an-bn=3n,/+以=(%)+(次 *)=%+%(+bn为常数列，且。“+包=,+4=1,:.2an=3+I,.3“_ 4.3 1 1 一(3“+1)(3角+1)_3n+lJ10 28 J23向+1【点睛】占-用本小题主要考查根据递推关系式证明等比数列，考查裂项求和法，属于中档题.20.(1)1；(2).12【解析】5万(1)先 求 出 角4 =丁，进 而 可 得 出。6,则中有且只有一个正确

25、，正 确，然后分正确和正确两种情6况 讨 论，结合三角形的面积公式和余弦定理可求得。的值；S 1 j(2)计 算 出N E 4 O和N C 4 ,计 算 出 产 二 不，可得出=SMBC，进而可 求 得A V步的面积.&ACD Z 3【详 解】(1)因 为g s i n A +c o s A =0，所以 G t a n A +l =0,得 t a n A =-3“5兀0 A A-6A为钝角，与。=1 =工6 2 3q则S”-AB-AD sin ZBAD.,2 1 1-=C _ c-A C AD sinZCAD 2 3i G百=X-3 4 1 2【点 睛】本题考查解三角形综合应用，涉及三角形面积

26、公式和余弦定理的应用，考查计算能力，属于中等题.r2 22 1.(1)+2-=1；(2)(8,4W).16 4【解 析】(1)根 据 题 意 得 到G 5是 线 段AN的中垂线，从 而|G M|+|G N|为定值，根 据 椭 圆 定 义 可 知 点G的 轨 迹 是 以M,N为焦点的椭圆，即 可 求 出 曲 线C的方程；(2)联立直线方程和椭圆方程，表 示 处A O P。的面积代入韦达定理化简即可求范围.【详 解】NA=2NB(1)=8为AN的中点，且G3，AN=G3是 线 段AN的中垂线,GB-NA=O|AG|=|GN|,又皿+|GN|=|GM|+|GA|=|喇=84石=网，.点G的 轨 迹

27、是 以M,N为焦点的椭圆，7 2设 椭 圆 方 程 为=+与a b=1 (.ab0)则 a=4，c-26 :.h=a2-c2=2,X2 y2所 以 曲 线。的 方 程 为 二+2=16 4(2)设 直 线/：y=kx+m(&w),2由，)+m 消 去y,可 得(1+4攵2)%2+8加a+47n2 16=0.x+4y=16 7因 为 直 线/总 与 椭 圆C有且只有一个公共点,所 以 =64公加2 _40+4/)(4 -16)=0,阳2=16左2+4.又 由 y=kx+m-2 2尸。可得尸2m m1一2门一 2k;同 理 可 得。-2m m+2k+2k)由 原 点。到 直 线PQ的 距 离 为d

28、/,和|PQ|=JI+后2 k0一q|,A/1+k2m之1 4左2可得 SAOPQ=PQ-d=；|训/，一引=；.同2m 2m-2 k +2k.,毋 42.1将 代 入 得SA O P。=枭=8矗号，当上2；时，SAOPG=+7)8*综 上，AOP。面积的取值范围是(8,+8).【点 睛】此题考查了轨迹和直线与曲线相交问题，轨迹通过已知条件找到几何关系从而判断轨迹，直线与曲线相交一般联立设而不求韦达定理进行求解即可，属于一般性题目.22.(1)详见解析；(2)叵6【解析】(D连接AG，BG，则Nw A G且N为AG的中点，又为的中点，BG，又 B 0 U 平面8耳C C，MN U平面BBC,故

29、MN 平面BBCC.(2)由 A A，平面 A B C,得 AC J.C G，BC1 CC,.以C为原点，分别以CB,CG，0 4所在直线为轴，轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系,设 CCj=2Z(Z 0),则 N(0,训，4(2,2九0),C7W=(1,0,1),MN=(-,2,0),N g=(2,A,-l).取平面CMN的一个法向量为加=（x，y，z）,由 CM，然=0，MN加=0 得：x+z=0/人 .LAH_/y o,令y=i，得加=（%i,-4）同理可得平面B,M N的一个法向量为n=（%1,34）平面 C M N，平面 B.M N ,：.m-n A2+-3/L2=0行.3亚）-2 2解得，咚得=,又AB=（2,0,2）,设直线AB与平面与WN所成角为。，则 n-A B 6sin 6=cosn,AS=-=.11 同AB 6所以，直线AB与平面g“V所成角的正弦值是逅.