6导数综合大题零点与求参及不等式证明-2023年高考数学一轮复习热点题型归纳与变式演练（全国通用）（解析版）.pdf

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1、专题3-6导数综合大题：零点与求参及不等式证明目录【题型一】零点求参1：基础型(一个零点型).1【题型二】零点求参2：拔高型(两个零点型).4【题型三】零点求参3：综 合 型(3个零点型).6【题型四】讨论零点个数1：基础型(无参讨论).8【题型五】讨论零点个数2：有参讨论型.10【题型六】讨论零点个数3：给参数范围证明型.13【题型七】零点不等式1：基础型.16【题型八】零点不等式2：比值代换型.18【题型九】零点不等式3：零点与极值点型(难点).21【题型十】零点不等式4：加新参数.24【题型十一】三角函数中的零点.26二、真题再现.错误!未定义书签。三、模拟检测.错误!未定义书签。综述：

2、本专题是结合2022年高考全国甲乙卷导数大题题型而总结的训练专题【题型一】零点求参1：基础型(一个零点型)【典例分析】(2023全国高三专题练习)已知函数/(x)=a e-l-ln(o x+a),其中q Y,且“*0.(1)当a=l时，求“X)的单调区间；若x)只有一个零点，求。的取值范围.【答案】(1)/(力 的单调递增区间是(0,+e)，单调递减区间是(T O);(-e2,O)ul【分析】(1)用导数法直接求解即可；(2)尸(x)=ae*-L =a e (x +1)令 g(、)=圮(x+l)-l,再分-e?a0 两种情况讨论，即x+1 X+1可求解(I)当a=l时，/(x)=e-l-ln(

3、x+l),(x -l),/,(x)=e 一一,易 知/(无)在(-1,+动上单调递增，且/(0)=0,所以当1,0)时,r(x)0,此时“X)单调递增；所以“X)的单调递增区间是(O,+8),单调递减区间是(-1,()；(2)/(X)=aC =加+1)T ,令 g(x)=e(x+l)-l,x+x+(1)当-e?a 0,此时g(x)单调递增；当x e(2,l)时，g，(x)0,此时g(x)单调递减；故g(x)V g(-2)=_ET-o o 时，/；所以此时 x)在(-8,-1)只有一个零点；(2)当a 0 时，则x e(-1,-8),/(x)=a e (x+2)0 恒成立，g(x)在(一 1,1

4、)单调递增，且 g(T)=T 1 1+”1，则g(L)=a e；+l -l =e (l +)-l 0,故存在x e l，,使得g)=0,当X(-1,%)时，g(x)0,因为当X -1 时，所以当x e(-l,天)时，r(x)0,“X)单调递增；当 x =x 0 时，/(x)取得极小值，由 g(%)=()得 a e =；,则 l n a +x o=l n 一二，当/=0时-，等号成立，由/()=(),可得/(O)=a e l-l n a =a-l l n a =(),解得a =l,综合第一问可知，当。=1 时，X)只有一个零点：综上，若/(x)只有一个零点，则。的取值范围是(3,0)0 1【提分

5、秘籍】基本规律零点求参基础型：1 .分类讨论思想与转化化归思想2 .数形结合与单调性的综合应用：一个零点，则多为所求范围内的单调函数，或 者”类二次函数”切线处(极值点处)3 .注 意“找点”难度，对于普通学生，可以用极限思维代替“找点思维”。【变式演练】1.(2 0 2 2 山西太原三模(理)已知函数/(可=加-e .(1)若函数/(x)的图像与直线了 =-x+1 相切，求实数。的值；(2)若函数g(x)=尤)+x-l 有且只有一个零点，求实数a的取值范围.【答案】(D a =(2)(0,4 4【分析】(1)设切点坐标，根据导数的几何意义求出切线的斜率，进而列出关于”的方程组，解之即可;(2

6、)由二次函数和指数函数的性质知当x =0 时不符合题意，故xxO,利用分离参数法可得a =e*-：+I=/?(x),根据导数研究函数(x)的单调性，结合图形即可得出结果.X 竹,设切点为(&(%),则 勺)将Y4 =0 时，显然不成立，a x O 消去a得(-2 乂e+1)=0若f(w)=o,则喝弋3即 J 2 /U，._ e-l AQ=2,c i ；(2)令 g(x)=。，B|J ax2+x-l-ev=OW KKW 一 个解，当x=0 时，显然公?+不一1一 =0 不成立，A x0,a=士 r 令%(x)=T f，丁 二。与(x)=尹【有且只有一个交点，Z(x)=伫 -1)/一 2 x(e*

7、x+l)=(X二2*:1),当x e(9,o)时，(x)0,以幻单调递增；当 x 0,2)时，/Z(x)0,O)单调递增，又当x f Yo 时、h(x)-0,当x 0时，h(x)+ooM 1当x=2时，/z(2)=,当Xf+oo 时，/?(x)f+8,如图所示，e2_1综上，”的取值范围是(0,).42.(2023全国高三专题练 习)已知函数/二 /一 4小工-必色。).讨论了(x)的单调性；若/(力 恰有一个零点，求。的值.【答案】(1)答案见解析。=；【分析】(1)利用导数判断单调性，结合a 0,则A 0,同时注意定义域对根进行取舍；(2)根据题意/(x)min=/(%),分/()=0和/

8、(%)0,则A=/+4 a ()，即原方程有两根设为方超八 匕 匚 、i a er+4 a/4+、+A/+4Qx 0，所以=-0(舍去)，/=-1 2 2 2则当XW 0,-时，f(x)0 7 7/(X)在o,+J；+4)上是减函数,在+4”,+8 上是增函数.(2)由 可知/(%)二=/(巧).X o-alnxj-ax7=0,_eza.八2，可得 1 Z in/W=0，x；-ax2 -a=0,设h(x)=l-2 1 n x-x,h(x)在(0,+8)上单调递减所以(x)=0 至多有-解且妆1)=0,则乙=1，代入解得。=，-1 X；2-al7n x-,-ax-,八(),，.八2 2,可得 1

9、 -21nx2-W 1，因为，1工 2，/(_ =a=-+0,e2 e-e e 2e-e 若/4Q时，f(x)2 ax-alnx-ax=t z(x-l n x)0,所以y=/(x)在(与”)存在一个零点.因此y=/(x)存在两个零点，不合题意综上所述：【题型二】零点求参2：拔高型(两个零点型)【典例分析】(2 0 2 2 贵 州 六 盘水市第五中学高三 期 末(文)设函数/(x)=r e +a(l-r)x(a R jG(O,l),其中e 是自然对数的底数，=2.7 1 8 2 8.若 x)e*在(0,+巧 上恒成立，求实数。的取值范围；(2)当f 时，若函数“X)有两个零点，求实数”的取值范围

10、.【答案】(1)(e,+8)(,-e)【分析】(1)山/(x)e*,整理得(r-l)(e*-以)0,又r 0,l),故只需e-a x 0，分离参数，即可求解.(2)先讨论x =0,不为根，再讨论X HO,令 x)=0,分离参数得-。=二，X题意转化为y =Y 和 y =巨 的图像有两个交点，即可求解.X(1)解：因为 x)e 在(0,一)上恒成立，即(f-D(e -a r)0,又/0,1),故(1)0,所以只需e，-a r0恒成立，故只需。史，令&(x)=1，g (x)=*F 2,当x e(O,l)时，g (x)0,Xx冗所以g(x)m M=g(D =e ,故 e,即a w(e,+o o).(

11、2)当 f 时，f (x)=g e*+g a r,当 x =0 时，/(0)=g x 0,当x w O 时，令 x)=0,分离参数得一。=，X由 得 g(x)f,在(-8,0)和(0,1)单调递减，在(1,m)单调递增，可得图像为：所以-a e,即a 0 两种情形，根据导数与0 的关系可得单调性；(2)函数有两个零点即g(x)=e -/(x)有两个零点，根 据(1)中的单调性结合零点存在定理即可得结果.(1)由题意知，g M=e -f(x)=e -a(e +l)-2 =a e (ex+l)-2 e -x ,g(x)的定义域为(-,+o o),g (x)=aex(ev+l)+aex-e -2 e

12、v-l =(2 ex+l)(a e -l).若“0,则g (x)0,令g (x)=0,解得x =-l n a.当x e(-o o,-l n a)H j,g (x)0,所以g(x)在上单调递减，在(-I n a,内)上单调递增.(2)因为e*0，所以/(x)有两个零点,即为x)=e*./(x)有两个零点.若aV O,由(1)知，g(x)至多有一个零点.若a 0,由(1)知，当x =-l n a 时，g(x)取得最小值，最小值为g(-l n a)=l-+l n a .a当a =l 时，由于g(-l n a)=O,故 g(x)只有一个零点：当 a w(l,+8)时，由于 i-J _ +i n a 0

13、,即 g(T n a)0,故 g(x)没有零点；a当。e(O,l)时，l-+l n a 0,即 g(-l n a)-2 e-2+20,故g(x)在(T O,I na)上有一个零点.存在x。,则 g(Xo)=a e(e*+l)-2 e-%=e*(a e*+a-2)-Xo -%().又皿(-1 -1!1 0 两种情形，根据导数与0 的关系可得单调性；(2)函数有两个零点即g(x)=e J/(x)有两个零点，根 据(I)中的单调性结合零点存在定理即可得结果.(1)由题意知，g(x)=e*,/(x)=e J a(e*+l)-j-2 =a e (er+l)-2 el-x ,g(x)的定义域为(3,+00

14、).g (x)=a e*(e*+1)+aex-e-2 el-1 =(2 ev+l)(a ev-1).若。V O,则g (x)0,令g (x)=O,解得x =-l n a.当x e(-8,-l n a)时，g (x)时，g (x)0,所以g(x)在(o o,Tn“)上单调递减，在(-I n a,+o o)上单调递增.(2)因为e、0,所以/(x)有两个零点，即g(x)=e*/x)有两个零点.若。V 0,由(1)知，g(x)至多有一个零点.若a 0,l l (1)知，当x =-l n a 时，g(x)取得最小值，最小值为g(-l n a)=l-+l n a .a当a =l 时，由于g(-l n a

15、)=O,故g(x)只有一个零点：当a w(l,w)时，由于l-+l n a 0,即g(-l n a)0,故g(x)没有零点；a当 a e(0,1)时，l-l +l n 0,即 g(-l n a)-2 e-2+2 0,故g(x)在(ro,-l n a)卜一有一 个 零点.存在/e(i n(上_ +er -x()0.又l n(5-l)Tn ,因此g(x)在(-l n a,+)上有一个零点.综上，实数”的取值范围为(，D.【题型三】零点求参3：综合型(3 个零点型)【典例分析】(2 02 2.全国.模拟预测(理)已知函数/(“=依,+一年(其中e 为自然对数的底数).若 a =l,证 明:当 x 0

16、,y)时，/(力 e.【分析】(1)把。=1代入函数f(x),在给定条件下，等价变形不等式，构造函数，借助导数推理作答.(2)把问题转化为函数可x)=a r-e 有两个都不是0 的零点，再利用导数探讨力。)最大值，并结合零点存在性定理推理判断作答.(1)当 a =l 时，/(x)=x2+x-xev,因 V xe(0,-K ),/(x)()x+l-eA 0 ,求导得短(x)=l-e*0 ,即函数g(x)在(0,+a?)匕单调递减，V xe(O,-K ),g(x)g(0)=0,因此，当xe(0,y)时，x+1-e*0 恒成立，所以当xe(0,4 w)时，力 0 恒成立.(2)依题意，y=f(x)-

17、x=ax2-xe,山 y=0,得 x(a r-e，)=0,显然 x=0 是函数 N =/(x)-x 的一个零点，因函数y=x)-x在 R上有三个零点，则八(x)=a r-e 有两个都不是0的零点，(x)=a-e*,当a V O 时，(x)0 时，l(x)=a-e”在 R 上单调递减，/(In )=0 ,则当 xc l n a 时，h(x)0 ,当 x l n a 时，h x)0,即a l n a-a0,得l n a l o a e,因(。)=-1 l,求导得：(px)=e -2 x,y=e*-2x,y=e*-2 0,则函数y=e-2x在(L+)上单调递增，V x l,d(x)e 0,因此，函数

18、(x)在(l,+a )上单调递增，V x l,奴x)e(l)=e-l 0,即在x l 时，e*x2恒成立，当a e 时，在 x l n a 时恒有-e*e,(x)=a r-e*va r-W,令尸(x)=a r-xxIn a ,则 F(a +In a)=a(a+l n a)-(a +l n a)2=-(a +In “)In a e 时，/i(x)在(0,+8)上有两个零点，即函数y=.f(x)-x在 R上有三个零点，所以实数“的取值范围是a e.【提分秘籍】基本规律1、三个零点型，注意是否有容易观察出来的零点，这样可以转化为两个零点型以降低难度。2、三个零点型，可通过讨论，研究函数是否是“类一元

19、三次函数”型。3、如果函数有“断点”，注意分段讨论研究。【变式演练】1.(2022.重庆南开中学高三阶段练习)已知函数/(x)=e(x-3)+or+2x+3 当 =时，求函数“X)的单调区间；(2)若函数.f(x)有3个不同零点，求实数。的取值范围.【答案】单调递增区间为(,0),(2,+8),单调递减区间为(0,2)(2)0“。得x2,，/(x)在xe(-8,0)时单调递增，xe(0,2)时单调递减，x 2,w)时单调递增；所以函数/(x)得单调递增区间为(-8,0)和(2,+8),单调递减区间为(0,2)；(2)注意至I J 4 0)=0,设g(x)=e -2+2 x +3,则8(力=_。

20、在 时 有 两 不 同 解，&(x)_ e：(一 妙：6)一2x一6,令a(同=6(*2_4%+6)_2 _6,(0)=0h(x)=eA(x2-2x+2)-2 ,(0)=0,令 p(x)=(x),则有 p(x)=e*x2 20,二(x)是增函数，则W(YO,0)时,h(x)0,所以XG(YO,0)时，Mx)单调递减,xe(0,o)时,/i(x)单 调 递 增,/?(x)/?(0)=0,所以xe(-,0)时，g(x)0,所以g(x)在xe(-o),0)时，单调递减，x(),4w)时，单调递增，因为 lim g(x)=lim 0 t A 2=im E(0 xf o X T。2X A-0 22_当,

21、0)时，OVeVI,x-3+2x+3Ve(x-3)+2x+3V2犬+3,即三 g(x)3,当x f-8 时，上 -o o x x x-当 x e(O,y)时，Ji 巴 g(x)=wo,函数图像如下：所以-g -4 0 即 0“；综上，函数/(X)得单调递增区间为(-8,0)和(2*),单调递减区间为(0,2),0 2【分析】(1)首先求出函数的导函数，即可得到函数的单调性，再根据(1)=0,即可得证；(2)令尸(x)=21nx x+4(x 0),求出函数的导函数，-x2+Ax-l=O.则 A=42-4,分一2 4 4 4 2、2 2三种情况讨论，利用导数研究函数的单调性，即可得解；解：因 为

22、心）=l m+#0）,所以，X 0）,所以/食）=二X 令-f+x-l=0,则 A=一 4,XX当 A=A2-4 0,即一 2 4 4 M2时 F（x）=二厂12不符合题意.当4 -2 时，/*）=丛交4 0 此时尸。）在（0,+8）单调递减，至多有一个零点，所以4 2（1 寸，A=A2-4 0,不妨设_ f+/U _=0 两根分另IJ为百=,：2 4“2-42山韦达定理知。芭ClVX2,所以当 0 xX|时/（x）0,当 x当 时 F（x）0,所以F（x）在（O,xJ上单调递减，在（5,）上单调递增，在（%,收）上单调递减,1。由F=0所以此时F（x）在（斗）上有一个零点，令（x）=l n

23、x-x,则/（x）=L-l=!,所以当0 c x l时”（x）0,即力（可在（0,1）上单调递增，在（1,物）上单调递减，所以/i(x)1ra*=0)=1 。，即ln x 0),所以In4 6，n=r),1 J-2即 n x 5 ，m x 2 c丁,所以 l n x ln x -iJx-II-?I I2 当 0 x 2 -1 +-=-)=x Jx x x1 1 ,令-2冗+下=1得W =7 77 占 0,尸但)JX(2X+1)所以此时F（X）在（0出）上有一个零点3 当 x 1 时 尸（x）=Ain x x+1且 尸（匕）0，所以此时F M 在（毛,+8）上有一个零点综上若尸（幻=肛 -g（x

24、）在（0,+8）上有3 个零点则A2.【题型四】讨论零点个数1：基础型（无参讨论）【典例分析】（2022全国模拟预测（文）已知函数 x）=e、-orlnx在 x=l 处的切线与x 轴平行.（1）求。的值；（2）求证：X）在区间（0,+8）上不存在零点.【答案】（1）&=e；（2）证明见解析.【分析】（1）山函数在在x=l 处的切线斜率为0,列方程可得。的值；(2)要证 x)=e -ex l nx 在区间(O,+e)上不存在零点，即证/(x)=e-ed nx =O 在区间(),+/)上不存在QX-I 1 p V-方程根，即证函数g(x)=0与人(司=在区间(0,+8)上不存在交点，分别对函数求导

25、判断出单调性求X X出最值，可得命题成立.【详解】(1)r(x)=er-a(l nx+l),由题意可得了(1)=e-a=(),解得 a=e；(2)证明：要证 x)=e*-er l nx 在区间(0,+8)上不存在零点，即证X)=e -ex l n x =0 在区间(0,+8)上不存在方程根，化简可得匚-胆=0，即证函数g(x)=二 与 (x)=也在区间(0,也)上不存在交点.r X X Xg(x)=，定义域(0,+8),g，(x)=e*T(：-2),则8 在(0,2)上单调递减，在(2,用)上单调递增，gm i n W =g(2)=4 ；x4/?(x)=今，定义域(0,+8),)=空,则(x)

26、在(0,e)上单调递增，在(e,+8)上单调递减，矶 X x)=/7(e)=；P 11 n Y*乂?L即函数g(x)=N与网力=吧在区间(0,+功 上不存在交点,4 e x x即/(x)=e*er I n X =0在区间(0,+向 上不存在方程根，得证.【提分秘籍】基本规律无参数型零点，难度多在函数图像负责，必要时，甚至需要二次求导，高次求导来研究原函数图像的单调性。【变式演练】1.(2 0 2 2 全国高三专题练习)已知函数/(x)=e (a-x)+x+l(1)若函数/(x)的图象在区间 0,1 上存在斜率为零的切线，求实数a 的取值范围；(2)当a=l 时,判断函数/*)零点的个数，并说明

27、理由.【答案】(1)0,2-工(2)2,理由见解析_ e _【分析】(1)首先求函数的导数，参变分离后转化为a=x+l-e-在区间 0，1 上有解，转化为求函数的值域；(2)将方程转化为e，-告=0(x*l),设函数/i(x)=e-=e、-l-E，利用函数的单调性，结合函数零点存在性定理，即可判断零点个数.(1)依题意，方 程/(=6 (4 7-1)+1 =0 在区间 0,1 上有解，即a=x +l-e T 在区间 0,1 上有解，记g(x)=x+l-eL 则函数g(x)区间 0,1 上单调增，其值域为0,2 故实数a 的取值范围是。，2-._ e _Y-4-1Y-1-1 O(2)f(x)=0

28、 =e =0 aw l)令/2(x)=e=e x-l-一二在(f)上单调递增，在(1,8)上单x-1 x-1 x-l调递增，/?(一 2)=E g 0/2(1.1)=e -2 1 0,根据零点存在性定理可知，/)在(y,l),(l+8)上各有一个零点，即原函数有2个零点.3 x2.(2 0 2 2.全国高三专题练习)己知函数,(”一鼠内，8(力=加皿，曲线丫 =力 和 y=g(x)在原点处有相同的切线/.(1)求人的值以及/的方程；判断函数妆x)=f(x)-g(x)在(0,+8)上零点的个数，并说明理由.【答案】(1)6 =1,/的方程：y=x.(2)/z(x)在(0,+8)上 有 1 个零点

29、，理由见解析.9(1)依 题 意 得:正牙g (x)=A os x.，/3时，-=3-l s i nx,/z(x)0,此时人(力无零点.9 9 ，兀、当 O X C 时，h(x)=-7 T-C O S X 令(x)：7-5 C O S X,X 0,-2 (x +3)(x+3)-I 2)贝 i j (x)=-G 1+s i nx,显然 (X)在(0，5)上单调递增，又“(0)=-|0,所以存在使得“(。=0，因此可得0 x 时，H (x)0,H(x)单调递增;又“(0)=0,陪)。所以存在入使得(九)=0，即0 x 1时,(x)0,(x)(),依x)单调递减；大 x 0,(x)0,/z(x)单调

30、递增；又(0)=0,/7 6)0,所以(x)在(0,3 上有一个零点.综上，力卜)在(0,+勿)上 有 1 个零点.【题型五】讨论零点个数2：有参讨论型【典例分析】(2 0 2 1 河南高三开学 考 试(理)已知函数/(x)=l n(l +x)-x +5 x 2(rw R).(1)若f =(),求曲线y=/(x)在点(1 J(D)处的切线方程：若 此 1,试讨论函数/(X)的零点个数.【答案】(I)y=-；x+l n 2-g 当 f =l 时，A x)有 1 个零点；当/1 时，A x)有 2个零点【分析】(1)利用导数，结合切点和斜率求得切线方程.(2)求得f(x),对f 进行分类讨论，结合

31、函数的单调性、零点的存在性定理求得正确答案.(/(1)=I n 2-1 t=0,/()=1 1 1(1+划一,所以广(幻=1,由 题 意 知，小 1 ，所以曲线y=/(x)在点(1 J(1)1 +X /(1)=-处的切线方程为y-l n2 +l =-g(x-l),即 y=-g x +l n2-g；(2)已 1 时，广(1二丁二+(),令 八 为=0,解得=0,x2=-1+-,+x t无 2(i )当f =l 时,r(x)=一之0 在(Te)上恒成立,所以A x)在(-1,+0 0)上单调递增,1 +X因为 0)=。，故函数/在(-1,内)t:有且只有一个零点；(i i )当空 1 时，止 匕

32、时 一 1 一 1 +1 /(0)=0,Y21构造函数M(x)=+l-l nx ,x l,贝 l j M (x)=x 0 ,2 x所以M(x)在(1,内)上单调递增，3 /f-所以。)(1)=一 +1-出1 =二 0,即一+1-l nr 0 ,即-，2 2 2 2产t2所以e-万 一 1，所以一 1 6-5 7-1 一 1+1，tt又因为当工 (一1 -1 +：)时，一 X v ；(一 1 一(一 1)=；+1 所以7 -l+e_ y-，ln l-l+e-y-1+.+l=-1 +-+1 =-(r-l)0 ,7 /所以-1+e 2 1 时，./(x)在(-1,一)上有且仅有两个零点.综上所述，当

33、f=l时，/(X)有 1 个零点；当 1时，/a)有 2个零点.【提分秘籍】基本规律判断函数/(X)零点个数的方法有：(1)直接法，令/(x)=0,如果能直接求出解，那么有几个不同的解，/(X)就有几个零点.(2)图象法，画出函数/(力的图象，函数“X)的图象与x 轴的交点个数就是函数“X)的零点个数;将函数/(x)拆成函数做x)和g(x)的差的形式，/(x)=0 o(x)=g(x),则 函 数 的 零 点 个 数 就是函数y =/?(x)和 y =g(x)的图象的交点个数.(3)函数零点存在定理，利用函数零点存在定理时，不仅要求函数图象在区间“，目上是连续不断的曲线，/(a .f(b)1 时

34、，g(x)无零点.【分析】(1)求导分析函数的单调性与极值点即可；(2)令g(x)=O,得，构造函数力(x)=(；?：,x-g,求导分析函数的单调性可得h(x)m,n=/?(0)=1,从而讨论。的范围判断零点个数即可 由题得 r(x)=(x+2)e*,当x e(y,2)时，r(x)0,/(x)单调递增,所以当x=-2 时，“X)取得极小值，无极大值，故/(x)的极值点个数为L由题得g(x)=(x+l)e +2 m:+a,令 g(x)=O,得_ 叫卜+肌,.令由=,I 1 2*I 1则力(X)=Q；+3；令(x)0,得一 g x 0,(2 x +l)(2 x 4-1)2 2所以小)在区间f-p

35、O j 内单调递减，区间(0,田)内单调递增，1得 x 0.所以M x L=M )=l，所以当一。=1，即。=-1 时，直线N =1 与力(x)的图像有一个公共点,即g(x)有一个零点；当 a l时，直线=-与九(X)的图像无公共点，即g(x)无零点.2.(2 0 2 3 全国高三专题练习)已知函数 x)=l n x+3 g 其中a e R.(1)讨论函数/(*)的单调性；(2)讨论函数/(x)零点的个数.【答案】(1)当时，函数/(X)的增区间为(0,o),没有减区间；当。4 时，函数/(X)的增区间为八 a-2-a1-4a a-2-va1-4a-一、_,、，a-2-ya2-4a a-2 +

36、a2-4a0-%-,-1-，+，减 区 间 为-j-y-I)/(2)当。44,函数/(x)有且仅有一个零点；当。4 时，函数f(x)有且仅有3个零点【分析】(I)求导，再分。4 分类讨论即可；(2)根据单调性及零点存在性定理分析即可.(1)函数x)的定义域为(o,+8),r(x)=L-厂=当学野，X(X +1)X(X+)在一元二次方程 f +(2-a)x +l =0 中，A =(2-a)2-4 =a2-4a=a(。-4),当。v 0 时，/rU)0,此时函数f(x)单调递增，增区间为(0,”)，没有减区间;当0 K a 4 4 时，/“，此时函数/单调递增，增区间为(0,田)，没有减区间；当a

37、 4 时，一元二次方程x、(2-a)x +l =0 有两个不相等的根，分别记为现,工 2(马 玉)，有+工2=-2,=1 0 ,可得%1 0 ,有 X =a-2-y la2-4a2a-2 +ya2-4a2可得此时函数/*)的增区间为(0,5),(马,”)减区间为(%,)，综 上 可 知,当 时，函 数 的 增 区 间 为(0,+8),没有减区间;当时，函数/(X)的增区间为0/一2一产二元,。-2+产二元+8 ,乙 乙 J /、4l、a-2 y/a2-4a a 2+da1 4a减区间为-，-1-;/(2)由(1)可知：当。4 4 时，函数人外单调递增，又由/=0,可得此时函数只有一个零点为x

38、=l；当4 4 时，由司%2 =1 ，2 芭,可得0 不 1 /(1)=0,)/(1)=。，当0 x l 且o x e q时，可得l n x l n e 4，有可得 f (x)l n x +o l n x +l n x-l n e -=-=0 x e J 2 2 2 2可知此时函数，(x)有且仅有3个零点，由上知，当时，函数f(x)有且仅有一个零点；当。4 时，函数f(x)有且仅有3个零点.【题型六】讨论零点个数3：给参数范围证明型【典例分析】(2 0 2 2 河南高三开学考试(理)已知函数/(x)=(x 2-a)e 1 若 x)存在两个极值点玉，巧，求+E的取值范围；若 2 e 2 o.92

39、 3,证明：当0.2 5 0.2 6 时，函 数/(x)=f(x)-以,在卜ggj上有？个零点.(参考数据：0.92 3=0.778 6 8 8)【答案】(1)(2,+8)(2)证明见解析【分析】(1)求导，根据函数存在两个极值点，可得。的取值范围，再结合韦达定理，可得解；Y 2 t 1(2)由f(x)-a?=0,分离参数，构造函数g(x)=J(x 0,即a -l,所以x；+考=(3+)2-=4+2 a 2 ,则x；+x；的取值范围是(2,+8)；(2)由/-依?=x 2 e*-a(e，+x 2)=。，得：e*=,3*1 ,/、ev(x3+2 e )设g(x =r(0,/2(-1)=-1 1,

40、e所以M x)在(1,-0.92)内存在唯一的零点m,且e ，,当?x 0 时，g (x)()；当或0 x 0,所以当x =机时，g(x)取得极大值,且极大值为g（相）=r 京=二i-=-T（-l m-0.92）,病+e 加，一22又（工）=2 （，;,3）0,则函数p（m）=恶在（T,-0.92）上单调递减，1A 0,3所以p（-0.92）p（0.2 6,又8 冉=*7=军=0 2 5,且Hre（f 0）,g（x）0.2 5,2 J l +4j e 4j e所以当0.2 5 ”0.2 6 时，方程a =g（x）在-8,；）上有2 个不同的实根，即尸（x）在卜8,鼻 上有2 个零点.【变 式

41、演 练】1.（2 0 2 2 重庆八中高三阶段练习）已知f（x）=；a r2-（/+a+2）x +（2 a +2）l n x +b（“W 0）.讨论了（x）的单调性；若“3 且/+1 6 3 时，函数八 力 在（0,j）和（。+1,母）上递增，在（ja+1）上递减,要使f（x）恰好有三个零点，只需要/*0，。+1）0,%+1）0 即可得证.解：小）=g（/+,+2）+乎 If一。）,当 =0 时，/（力=-2（1）,当0 0,当X 1 时,f（x）0 时，令/（力=0，则4=，或 a +1,当j =a +l,即4=1 时，r（x）=（x _ 2）20,所以函数“X）在（0,+8）上递增；2当一

42、 。+1,即0 时、/7x）0,当a +l x 时，/7 x）0,a a所以函数/（X）在（0,。+1）和仁，+8）上递增，在1+1,上递减；2 2 2当一 +1,即时，当0 x a +l H寸，/（工）0,当一 x a +l 时，f（x0,a a a所以函数/（X）在（。，总 和（。+1,转）上递增，在+上递减，综上所述，当4=0 时，函数/（X）在（0,1）上递增，在（1,y）上递减；当。=1 时,函 数/（X）在（0,+8）上递增;当。1 时，函数“X）在（O,：）和（。+1,+向 上递增，在（1,。+1）上递减；（2）证 明:由（1）得，当a 3 时，函数/（X）在（0。）和（a+1,

43、+8）上递增，在k+1）上递减，当 X.0 时，/（X）f-0 0,当 X f+8 时，/（x）f+0 0,函数/（X）得极大值为F极小值为4。+1），要使/恰好有三个零点，只需要/（一）0,/（a+l）a2+（2 a+2）ln t z 12 9=a2+（2 a+2）ln2-（2 a+2）Ina-Q-1,令+（2 a+2）ln2-（2 a+2）lna-a-1（。3）,a a则 h（a）=2 +2 1 n2-2 1 n-+-=2 a-2 na+2 1 n2-3（a 3）,o o 2 2 2 2,1、，、y=2 a-2 na,y=（t z 3）,则 y =2 一 二 0,y=-+=1 0（3）,a

44、r a a a a a a）2 2所以函数），=2-2 1!1 4,丫 =-在（3,+0 0）上递增，即函数”在（3,+0 0）上递增，所以“（4）/?（3）=1 +2 1 n2-2 1 n3 =1 +2 1 n q 1-2 0,所 以 函 数 在（3,转）上递增，所以力（a）M 3）=+4 1 n -4 0,所以/（2）0,+=-+a+2）（a+l）+（2 a+2）ln（Q+l）+/?i 5 1 9=-万/-a2-/-2 +(2 o +2)ln(a+l)+b 3),=+2 t 7-+2 1 n(iz +l)+rp =|2+2 +2 1 n(+l)-,(6 7 3),令机(a)=1 2 +2

45、+2 1 n(+l)-g,(a 3),则 /()=-3 a+2 +y=+3),2 7 5故函数加(。)在(3,+o o)上递减，所以加(。)愣(3)=-4-6 +2 1 n4-=-1 0 +41 n2 0 ,即/.)(),所以函数g(a)在(3,内)上递减,2 7 2 7所以 g()g=-万 +9-万+8 1 n4=-1 8 +1 6 1 n2 0,所以“+1)0,综上所述，/W恰好有三个零点.2.(2 0 2 0 全国 高三专题练习(文)已知函数/(x)=as inx-lnx(/?),其导函数为/(x).(1)若不等式/(幻2在区间(0,外上恒成立，求实数。的取值范围：X I J(2)当。=

46、2 时，证明：/(X)在区间(0,外 上有且只有两个零点.【答案】(1)42 2(2)证明见解析【分析】(1)根据分离参数，转化成最值问题.(2)构造函数，利用导数判断其单调性，结合零点存在性定理即可求解.(1)/(X)=6 7 CO SX-,X由题意得:在(0 用 上恒成立,即说 一在卜,外上恒成立，X I J CO SX I 3 _由于函数y=co s x在(0,占 上单调递减，所 以!4co s x l,(一)1 1 1 ax=2,I J 2 co s x所以2,i 2 x co s x-1 ,(2)当。=2 时，/(x)=2 co sx =-.设力(x)=2 xco sx-,则(x)=

47、2(co s x-xs inx)x x令(x)=co s x-xs inx,则e (x)=-2 xs inx-xco s x 0(0 x 0,=故存在不 ()，)，使得夕()=0,当x eQ/)时，0,即 (x)0,(x)在(0,%)上单调递增;当 时，(p(x)0 ,B|J hM 0,(x)在(x。,：)上单调递减；又(0)=-1 0,/z-K O,所以h(x)在(0,：)和(若)上各有一个零点，从而f x)在(。，|上有且仅有两个零点.【题型七】零点不等式1:基础型【典例分析】(2 0 2 2 云南高三阶段练习)已知函数/(x)=旦 手+*0).(1)当a=l时，求曲线y=/(x)在(T

48、J(T)处的切线方程；(2)若函数/(X)有两个零点七，巧，证明：占+()，并指出。的取值范围.【答案】V=(e l)x+e-；：(2)证明见解析，a 0.【分析】(I)对 f(x)求导并求出切点坐标，根据导数几何意义求切线斜率，进而写出切线方程；(2)讨论。的范围，利用导数研究x)的单调性，并判断零点个数，即可确定。的范围，令 0 0 时，由/(x)=。得 x=0 或 x=lna；若 0 a 。，/(x)为增函数；lna x 0 时/(x)0 时/(x)0,/(x)为增函数.则极小值/(0)=。0,故.f(x)最多只有一个零点，不符合题意；若。=1,由(1)知，f(x)为 R上的增函数.由/

49、(-1)=3 0,/(-2)=-e2+2 1时，贝 U x v O 时，(x)。,f(x)为增函数；0 x l n a 时r(*)na时/(x)0,f(x)为增函数，则极小值/(I n“)=g(I na)2+I n“+1 0,故/(x)最多只有一个零点，不符合题意；当。0 得广。)0,x)为增函数，则/(X)m i n =/()=。0，X 趋向”时/1)。,综上，当。0 时/(X)始终有两个零点为，须，不妨令芭0 0 时，ex-e-x0,又a 0,则 F(幻=6 卜*-0-。0 恒成立，所以网幻为(0,+)上的减函数，则尸(x)F(0)=/(0)/(0)=0,即/(x)/(-x),故/(W)/

50、(一 )又看，是f(x)的两个零点，则 4)=/5)，所以百)-，所以%+%0.【提分秘籍】基本规律零点不等式，也是极值点偏移的一个类型。【变式演练】1.(2022陕西省安康中学高三阶段练习(理)已知函数 x)=e*-a(x-l),awR,e 为自然对数的底数.(1)若存在%1,+8),使/(与)办工2.【答案】，+8)(2)证明见解析【分析】(1)参变分离可得 ,设g(x)=,依题意a g(x)n,in,利用导数说明函数x-x-l的单调性，即可求出函数的最小值，即可得解；(2)依 题 意 只 要 证/,即 证%+w 21n“，即证由 21n a-w，不妨设占 /(21恒-)，令/z(x)=/