【2021中考数学】几何变换综合题含答案.pdf

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1、2021中考数学几何变换综合题1.如 图1,力B。与 C D E都是等腰直角三角形，直角边8在同一条直线上，点M、N分别是斜边/B、。后的中点，点 尸 为 的 中 点，连 接/旦BD,P M,P N,M N.(1)观察猜想：图1中，9与/W的 数 量 关 系 是,位置关系是.(2)探究证明：将 图1中的绕着点。顺时针旋转a (0 a 90 ),得到图2,AE与MP、3。分别交于点G、H,判断的形状，并说明理由；(3)拓展延伸：把 C D E绕 点。任意旋转，若力。=4,8=2,请 直 接 写 出 面 积 的 最 大 值.2.【问题背景】图1图2图3【知识应用】(2)如图 2,和 都 是 等 腰

2、 三 角 形，AC=AE=12G ,D、E、。三点在同一条直线上，连接囱?.求证：4 0郎/E C；1请写出线段Z。，BD,8之间的等量关系式，并说明理由？(3)如 图 3,和C8O均为等边三角形，在内作射线8河，作 点。关于 的 对 称 点E,连 接 并 延 长 交 于 点F,连 接C E,C F.若A E=,C E=1,求*的 长.3.如图，在中，NA4C=90,AB=AC,点。是 B C边上一动点,连接把力。绕 点/逆时针旋转90,得 到AE,连 接C E,DE.点尸是。后的中点，连接C F.(1)求证：C F=A F;(2)在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有的等腰直角三角形

3、.4.问题发现：如 图 1,在中，A B=A C,/氏 4。=60,。为 2。边上一点(不与点B,。重合)，将线段力。绕点力逆时针旋转6 0 得到力 ,连接反。，贝 I:(1)/月CE的度数是；线段/G C D,CE之 间 的 数 量 关 系 是.拓展探究：(2)如图2,在中，A B=A C,/A4C=90,。为 8。边上一点(不与点B,。重 合)，将 线 段 绕 点/逆 时 针 旋 转 9。得到连接E。，请写出N/CE的度数及线段4。，BD,8之间的数量关系，并说明理由；2解决问题：(3)如图 3,在 RtaO BC中，DB=3,。=5,D C=9 0 ,若 点/满 足 48=A C,A C

4、=9 0 ,请直接写出线段/。的长度.图35.如 图 1,在 RtZ04B中，/。8=90,OA=OB,。为 OB边上一点，过。点作交力B 于 C,连接AD,E为 AD的中点,连接C E.观察猜想(1)。后 与 m的 数 量 关 系 是；/OEC与 2O4B的 数 量 关 系 是;类比探究(2)将 图 1 中绕点B 逆时针旋转45,如图2 所示，则(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；拓展迁移(3)将绕点3 旋转任意角度，若03=3,请直接写出点。、C、B在 同 一 条 直 线 上 时 的 长.6.在44。中，A B=A C,AC=a,点尸为线段C4延长线上一动

5、点，连 接 阳，将线段形绕点尸逆时针旋转，旋转角为a,得 到 线 段 连 接。B,D C.3(1)如 图 1,当 a=6 0 时，求证：P A=D C-,求 尸 的 度 数；(2)如图2,当 a=120时，请直接写出R4和。的数量关系.(3)当 a=120时，若 45=6,BP=技，请直接写出点。到。尸的距离为7.已 知 是 边 长 为 4 的等边三角形，点。是 射 线 上 的 动 点，将/。绕点/逆时针方向旋转60得到/E,连 接D E.(1)如 图 1,猜想力。后是什么三角形？；(直接写出结果)(2)如图2,猜想线段C4、C E、8之间的数量关系，并证明你的结论；(3)当 即 为 何 值

6、时，E C=3 0 ;(直接写出结果)点。在运动过程中，。反。的周长是否存在最小值？若存在.请直接写出DEC周长的最小值；若不存在，请说明理由.8.请认真阅读下面的数学小探究系列，完成所提出的问题：(1)探 究 1,如图，在 等 腰 直 角 三 角 形 中，/CB=90,B C=3,将边A B4绕 点 B 顺时针旋转9 0 得到线段B D,连 接CD,过点。做 B。边上的高DE,则DE与 B C 的数量关系是,8 8 的面积为(2)探究2,如图，在一般的R ta/夕。中，/4 04=90,B C=a,将边力3 绕点B 顺时针旋转9 0 得 到 线 段 连 接 8,请用含a 的 式 子 表 示

7、的 面 积，并说明理由;(3)探 究 3:如图，在等腰三角形4 5。中，A B=A C,B C=a,将边Z 3 绕点B 顺时针旋转9 0 得 到 线 段 加，连接 8,试探究用含a 的式子表示BC。的面积，要有探究过程.图图图9.在中，N%C=90,A B=A C.9 0 得到连接E。.(不 与 点。重 合)，将线段力。绕点力逆时针旋转求证：(1)X B AD X CAE、(2)B C=D C+E C.(D)如图，。为4 5。外一点，且/400=45,仍将线段力。绕点“逆时针旋转90 得 至!连 接 EC,E D.(1)4 4 4C4E的结论是否仍然成立？并请你说明理由;5(2)若 B D=9

8、,8=3,求 4 0 的长.1 0.如 图 1,在矩形力B C D 中，AB=1,对角线/C,由 相 交 于 点O,2 C OD=6 0 ,点反 是 线 段 上 一 点，连 接OE,将线段OE绕 点。逆时针旋转6 0 得到线段O F,连接。尸.(1)求证：D F=C E;(2)连 接EF交于 点P,求。尸的最大值；(3)如图2,点 E 在射线 8上运动，连接力区 在 点 E 的运动过程中，若/公 力 B,求。户的长.6参考答案1.解：（1）PM=PN,PM V P N,理由如下：延长A E交BD于O.归和曲”是等腰直角三角形，：.AC=BC,EC=CD,N ACB=2 ECD=9Q.在/C H

9、和 4 8中A C=B C ZA C B=ZE C D=90 ,C E=C D:.XAC E22BC D(S4 S),：.AE=BD,EAC=CBD,：AEAC+AAEC=9Ga,/_AEC=A BEO,:.乙 CBIXLBEO=9G,:.NBOE=9G,B P AE1BD,.点 以 分别是斜边力区。后的中点，点P为AD的中点,：.PM=BD,PN=AE,：.PM=PN,：PM II BD,PNII AE,AEVBD,7z NPD=z EAC,/_MPA=ABDC,/EAC+N BDC=9G,；.N M灯+/NPC=9Q,；./MPN=9U,即 PM VPN.故答案是：PM=PN,PM1PN.

10、(2)如图中，设/E交BC于。.图./c归和5。是等腰直角三角形，：.AC=BC,EC=CD,NACB=ZECD=90.：.Z ACB+Z BCE=Z E C A /BCE.:./_ACE=(BCD.：./ACE/BC D.:.AE=BD,Z CAE=Z CBD.又：L AQC=/.BOE,Z CAE=Z CBD,：.A BHO=A ACO=90.点R M、N分别为力、AB、。后的中点,：.PM=BD,PM BD-,PN=AE,PNII AE.：.PM=PN.：.Z MGE+Z BHA=180.8:ZMGE=90./M W=900.：.PM_PN.（3）由（2）可知RVW是等腰直角三角形，PM

11、=BD,.当由的值最大时，9的值最大，R07V的面积最大，.当3、C、。共线时，BD的最大值=B C+6,；.PM=PN=3,1q.R0N 的面积的最大值=/3乂3=半2.解：（1）如图1,过点，作于。，：AB=AC,NA4C=120,:.B Q=C,/_BAQ=5467=60,在 RtZ43Q 中，/B=30,根据勾股定理得，?=7AB2-AQ2=:.BC=2BQ=故答案为正；(2)证明：如图 2,：ABAC=ADAE=120,：.Z DAB=Z CAE,在和区4。中，rDA=EA-ZDAB=ZEAC,AB=AC:./D AB/EAC SAS);CD=yfAD+BD-,理由：如图2 中，作/

12、H l 8于，9:XDABXEAC,/.BD=CE,在 RtZVlOH中，同（1）的方法得，DH=-：AD=AE9 AHLDE,；.DH=HE,：.CD=DE+EC=2DH+BD=(3)证明：如图3,作于G,连接班?.：E.。关 于 对 称，：.BC=BE,FE=FC,.8垂直平分CE,:.LBNE=9G,Z EBN=Z CBN,在菱形中，AB=BC,N/BC=120,AB=BE,又YBG上AE,A ABG=Z.EBG,BGE=90,z EBG+z EBN=ABC=60,四边形 BTVEG 中，/CEG=360-90-90-60=120:.CEF=6G,又,：FE=FC,.后 尸。是等边三角形

13、；-：AE=4：,EC=EF=,:.AG=GE=2,FG=3,在 RtZXBG户中，:ZBFG=30,：.BG=BF,根据勾股定理得，BF2-(段 明 FCP=9BF=2.10图3Z BAC-Z CAD=Z DAE-/_ C A D,即/期。=/。4瓦在84。与C4E中，A B=A C,ZB A D=ZC A E.A D=A E：.B A D A C A E (S A S).：./_ABD=/.ACE.：AB=AC,BAC=90,：.A ABC=A ACB=A50.：.A ABD=A ACE=A5,Z DCE=Z ACB+Z ACE=90a.点尸是。E 的中点，乙DAE=DCE=90.：.AF

14、=DE,CF=DE.2 2CF=AF;(2)解：符合条件的等腰直角三角形有：AABC,XADE,4ADF,tAFE.理由如下：在 力 中，AB=AC,NA4C=90,则/3 C 是等腰直角三角形.在4D E 中，AD=AE,NZZ4E=90,则。及1是等腰直角三角形.在等腰R Q 4?反中，.点厂是。后的中点，11：.AD1_ DE,AF=DF=EF=D E,ADF,力所都是等腰直角三角形.4.解：(1)在 力 中，AB=AC,/期 C=6 0 ,：./.BAC=/.DAE=60Q,Z J3AC-Z DAC=/_ DAE-Z D A C,即/8 4。=/。4 区，A B=A C在8 4。和 C

15、 4 E 中，ZB A D=ZC A E,A D=A E:.BADXCAE(S A S),：.Z.ACE=Z.B=60,BD=CE,BC=BEh-CD=EC+CD、：.AC=BC=EC+CD故答案为：6 0 ,AC=DC+EC,(2)BEP+CD2=2AD2,理由如下：由(1)得，BADXCAE、:.BD=CE,NACE=NB=45,；.DCE=90,：.CEi+CDi=EDi,在 RtZiA D 反中，AEP+AEP=E E P,又 AD=AE,；.BU+CU=2A 巧(3)作力E _ L C 于 E,连接力。，.在 RtZXD B。中，DB=3,Z?C=5,BDC=9G,:-BC=4 9+

16、2 5 =低，BAC=90,AB=AC,12：.AB=AC=yj,2ABC=/ACB=45,Z BDC=Z BAC=90,.点3,C,A,。四点共圆，N/OH=45,.4D E是等腰直角三角形，：.AE=DE,CE=5-DE,：AEi+CJS2=AC2,：.AEP+(5-/0 2=17,：.AE=1,AE=4,.AD=如或力。=4&.图1 ：CD AB,./力。=90,：/.AOD=90,AE=DE,：.OE=EC=：.OE=EC.：EO=EA,EC=EA,:.乙 EAO=乙 EQA,EAC=/ECA,13,N OED=Z E A 8 /_ EOA=2/_ EAO,Z DEC=Z EAC+Z

17、ECA=2/EAC,/0 4=0 3,AOB=90,.NO43=45,/.Z OEC=2(Z.OAE+Z.EAC)=90,:.乙 OEC=2/_OAB,故答案为 OE=EC,Z OEC=2A OAB.(2)结论成立.理由：如图2中，延 长OE到使彳导E H=O E,连接。H,CH,OC.由 题 意 都 是 等 腰 直 角 三 角 形,：,乙 A=乙 ABO=乙 DBC=乙 CDB=45,:AE=ED,Z.AEO=DEH,OE=EH,:、X A E g D E HS A S),:.AO=DH,ZA=/ED H=45,/.Z CDH=Z OBC=90,：OA=OB,BC=CD,：,DH=OB,/&

18、0 3。(S 4 S),.CH=OC,Z HCD=Z OCB,:乙 HCO=LDCB=9G,：./_COE=/_CHE=45,：OE=EH,.CE1_ OE,14：.AOEC=90,Z OEC=-2/_ OAB,OE=EC.(3)如图3-1 中，当 点。落 在 0 3 上时，连 接 EC.图3-1由(1)(2)可知OEC是等腰直角三角形,;B C=B D=,OB=3,2：.OC=OB-BC=3-1=2,OE=与oc=M.如图3-2 中，当点。落 在 0 4 的延长线上时，连 接 E C.同法可得。=返。=返2 2图3-2综上所述，。反的长为加或26.(1)证明：如 图 1 中，图 115.,将

19、 线 段 阳 绕 点P逆时针旋转，旋转角为a,得到线段：.PB=PD,-：AB=AC,P B=P D,乙 BAC=乙 BPD=60,ABC,依。是等边三角形，:A B C=/P B D=60,：./_PBA=/.DBC,：BP=BD,BA=BC,：.lP BA/D B C (&4S),：.PA=DC.解:如 图1中，设BD交PC于 点O.：XPBAXDBC,Z BPA=Z BDC,/BOP=Z COD,；.2 OBP=OCD=60,即/。尸=60.(2)解：结论：CD=M PA.理由：如图2中，图2：AB=AC,PB=PD,BAC=BPD=12(r ,.BC=24B cos30=&B A,BD

20、=2BAcos30=B P,弛=毁=BA BP S ：A ABC=/_PBD=30,:.LABP=/_CBD,:.丛CBDSRABP,16/.CD=M PA.(3)过 点。作1尸。于“，过点6作 坊 匕。尸交。尸的延长线于M如图3-1中，当 曲是钝角三角形时，图3-1在 RtZXABTV 中，./=9 0 ,AB=6,A BAN=60,./N=4B cos60=3,3 g力Bsin60=3 ,PN=VPB2-B N2=V3 1-2 7=2,.PA=3-2=1,由(2)可知，CD=4PA=：A BPA=A BDC,：.ADCA=APBD=3Q,：DM_ PC,：.DM=CD=返2 2如图3-2中

21、，当力BP是锐角三角形时，同法可得=2+3=5,8=5 ,DM=CD=2 27.解：(1)由旋转变换的性质可知，AD=AE,/D 4=60,17.4D E是等边三角形，故答案为：等边三角形；(2)AC+CD=CE,证明：由旋转的性质可知，A DAE=60,AD=AE,.月B。是等边三角形：.AB=AC=BC,NBAC=60,：.BAC=/.DAE=6G0,/.BAC+Z.DAC=Z.DAE+Z D A C,即 Z BAD=Z CAE,在4 6。和中，AB=ACBC+DE,：.DEC 的周长JBC+DE,.当。在线段BC上，且。E最小时，O E C 的周长最小，./O E 为等边三角形，DE=A

22、D,的最小值为2 遮，的周长的最小值为4+2 遮.8.解：(1).力 5。是等腰直角三角形，/.CA=CB,/月=/3。=4 5 ,由旋转的性质可知，BA=BD,ABD=90,:D B E=45,在和。班 中，ZA C B=ZD E B3X 3=,Q故答案为：DE=BC;(2)作。G1C3交 CB的延长线于G,：A ABD=90,：.ABC+Z.DBG=90,又/月 B C+N 为=9 0 ,：./_A=/.DBG,在力C 3 和3 G。中，ZA=ZD B G ZA C B=ZB G D,A B=B D19:、XACBXBG D (A A S),/.DG=BC=a,.4。的 面 积=全3。&=

23、-a2;(3)作/I B C于 乂。河1 5 C交。的 延长线于,：AB=AC,AVI 3G：.BN=BC=a,2 2由(2)得，4VS2 3A?，：.DM=BN=a,2/XBCD 的面积=X BODM=a2.2 4图图9.解：(I)；A C=2 DAE=9G,Z SAC-Z DAC=Z DAE-Z D A C,即/A4O=/C4,，AB=AC在A4。和中，ZBAD=ZCAE,AD=AE：./B A D C A E (S A S);(2),:&BA恒XCAEBD=CE,.BC=BIX CD=EC+CD;(D)(1)A4Z?2的结论仍然成立，理由：将线段力。绕点力逆时针旋转9 0 得到20二4

24、DE是等腰直角三角形，AE=AD,/R4C+N CAD=Z DAE+2 CAD,即/64D=N C4石，AD 二 AC在A4。与4H 中，ZBAD=ZCAE,AD=AE：.IXBADXCAE/3-V3in)2=1,，皿=,m2=(舍 去)，.sinZ FAM-：.FAM=30,r.N孙0=60,SLAF=AB=AO,尸是等边三角形，22OF=1.如图2,过点4 作力N l。尸于点M 则/斤 D4=30,cos/川 7 V=,2必 7V=3O,.-.240=120,又/4。=120,：,/_FAO=/_AOD,XAF=AO=OD9：.X O A 0匕AOD(S A S),/.OF=AD=综合以上可得，OF=1或如.23