2020-2021学年上冈高级中学高一年级下册学期期中数学试卷(附答案详解).pdf

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1、2020-2021学年上冈高级中学高一下学期期中数学试卷一、单 选 题（本大题共8小题，共40.0分）1.在复平面内，复数Z=六+乎。12 对应的点位于（）2.A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限当。为第二象限角时，嚣 禽 的 值 为-（）A.1 B.1 C.3D.第四象限D.33.已知四边形4 B C D 是边长为1的正方形，E,F 分别为B C,A.；B.；C.;2 4 4CD的中点，贝IJ（荏+荏）（）4.在长方体A B C D-A i B i G D i 中，A B=BC =2,A Ar=V 2,则异面直线A D】与。2所成角的余弦值为（）A.3 B.叵 C.-小 D.-叵6 15

2、 15 65.己知i 为虚数单位，复数z=*,z与2 共扼，则忆 2|等于（A.1 B.2 C.)D.06.已知 4 B C 的内角4,B,C 的对边分别为a,b,c,a=V 5 bsinB+csinC =asinA +csinB,则力B C 的周长的最大值是（）A.375 B.5+V5 C.2V5+V6 D.4+后7.己知瓦，前是两个单位向量，其夹角为。，若向量记=2前+3 或，贝“沆|=1的充要条件是（）A.8=兀 B.C.0=W D.0=y8.命题：“V x 6 L+8）,/+2%o”的否定是（）A.Vx G （-,0）,x3+2x 0 B.Bx 6 0,4-oo）,x3 4-2x 0

3、D.3x G 0,+oo）,x3+2%0二、多 选 题（本大题共3小题，共15.0分）9.在 A B C 中，角4,B,C 的对边分别为a,b,c,若。2 =炉+儿，则角4 可为（）10 .A A B C 中，A B=A C =2,则下列结论中正确的是（）A.若G为aABC的重心，则 布=|超+浑B.若P为BC边上的一个动点，则 而.（荏+而）为定值4C.若M、N为BC边上的两个动点，且MN=&，则祠前的最小值为|D.已知Q是AABC内部（含边界）一点，若AQ=1,且 而=4 而+而，则4+的最大值是11 1.下列说法正确的是（）A.若 向 量 而=4*+2杳,而=2 否+&,则M，P,Q三点

4、共线B.若非零向量否和杳不共线，若一石+岸和军+化各共线,贝 味=1C.与向量方=（2,1）垂直的单位向量可以是（一9,一等）D.平面上三点的坐标分别为4（一 2,1）,B（-l,3）,C（3,4）,若点。与A,B,C三点能构成平行四边形四个顶点.则。的坐标可以是（4,6）三、单 空 题（本大题共4 小题，共 20.0分）12.如图，在直角梯形力BCD中，BC 1 DC,AE 1 DC.且E为中点，M、N分 -IC别是AD、BE上点，将三角形4DE沿4 E折起.下列说法正确的是.（填上所有正确的序号）不论。折至何位置（不在平面ABC内）都有MN 平面DEC；不论。折至何位置都有MN AEi不论

5、。折至何位置（不在平面ABC内）都有MN/IB；在折起过程中，一定存在某个位置，使EC 14D.13.已知复数z满 足 座 业 =i,i为虚数单位，则2=.Z14.已知a,b,c分别为 4BC的三个内角4,B,C的对边，a=3,b=2,且accosB-a2 b2+bc4则 B=.15.在直角梯形ABC。中，AB=ADC（A 0）.ZB=60,AD=W，E为CD中点，若 而 丽=-1，则|小|的值为，的值为.四、多 空 题（本大题共1 小题，共 5.0分）16.在4BC中，44=120。，AB-AC=-1 贝 荏|而|=;|薪|的 最 小 值 是.五、解 答 题（本大题共6 小题，共 70.0分

6、）17.已知函数/(x)=sin(2x+$+cos(2x-(x e R)(I)求/(X)的单调增区间；(II)若ae(p 7r),求t an(a 一的值.18.己知复数Z i =4 +出(其中aR且a0,i为虚数单位，且z；为纯虚数.(1)求实数a的值；(2)若2 =台,求 复 数Z的模|z|.19.直三棱柱4 B C-4 B 1 G 中，A B=A Ar,/-C A B=p(I )证明A B 11 BA1；(II)已知4 B =2,BC =遍，求三棱锥Ci的体积.2 0 .设平面向量五=(3,5),h =(-2,1)(1)求|五一 2石|的值;(2)若守=为一(社方)石，求向量下与方的夹角的

7、余弦值.2 1.已知4,8两点分别在射线C M,C N(不含端点C)上运动,N M C N =疑，在4 A B C中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.若c=痘，乙A BC =0,试用。表示 A B C的边A C、B C的长；(2)试用。表示A A B C的周长/(。)，并求周长的最大值.2 2 .如图，在平行四边形Z B C C中，A B=1,A D=2,BA D =60 ,BD,A C相交于点。，M为B。中点.设 向 量 荏=五，A D =b.(1)试用五，石 表示前和祠;(2)证明：A B 1JD.A参考答案及解析1.答案：A解 析:解：V i4=1,-012=的503-1 复数Z

8、=白+i20 12=:卷七+1=+1 =|+3对应的点）位于第一象限.3 1-5 5 5 5 5故 选:A.利用复数的运算法则、复数的几何意义即可得出.本题考查了复数的运算法则、复数的几何意义，属于基础题.2.答案:A解析：解：:8为第三象限角，sin6 0,cosQ 0二叵咧一网垩sine|cos0|J 故选：A.由。为第三象限角，可得sin。0,cosd 一,，一 1 一 AD+2AB BF=BC+CF=AD-AB,所以（荏 +行）乔=（荏 +T而 +A D +|4B）（AD+A B-A B）=|颂+而）（-A B +A D）=:.故选：B.根 据 条 件 可 知 而=而+而=四+之 而，

9、A F=A D +D F=A D +A B,BF=BC +C F=A D -，荏，代入所求式子换件即可.本题考查平面向量数量积的性质及其运算，属于基础题.4.答案:B解析：本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题.以。为原点，ZM为x轴，DC为y轴，DDi为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线2D1与OB1所成角的余弦值.解：在长方体4BC0中，A B=BC =2,4 4 1=鱼,以。为原点，为久轴，DC为y轴，DO1为z轴，建立空间直角坐标系,则4(2,0,0),(0,0,72),D(0,0,0),团(2,2,夜),A

10、 D I =(-2,0,7 2).西=(2,2,夜)，设异面直线4 劣与。当所成角为。，则 cos。I 血。B1I国H西I2 _ V15V6-V10-15 异面直线与。勺所成角的余弦值为誓.故选：B.5.答案：B解析：解：复数2=仔=濡备=1 一,AZ=1 4-i,-zz=1(1-i)(l+i)|=2.故选：B.化简复数z,求出共辗复数5,再计算|z团的值.本题考查了复数的代数运算与共辆复数的应用问题，是基础题目.6.答案：A解析：解：,*bsinB+csinC =asinA +csinB,，由正弦定理可得：b2+c2-a2=bc,cosA-b2-+-c-2-a2-_-be-=_一 1,2bc

11、 2bc 2V A E(0,7 T),n：A3,由余弦定理可得M=5=Z?2+c2-2bccosA=(b+c)2 3bc (/?4-c)2 +c)2=+c)2,.(b+c)2 2 0,可得b+c 0,故选：D根据全称命题的否定是特称命题进行求解即可.本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础.9 .答案：BC解析：本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题.由已知利用余弦定理整理可得c o s4 =?,将各选项代入即可判断.解：因为在 4 8 C 中，。2 =/+左，又由余弦定理可得:a2=&2 4-c2-2bccosA,所 以+b e =h2 4-c2-2

12、bccosAf整理可得：c =b(l +2 c o s4),可得：c o s4 =2b对于4,若A=拳 可 得 一 卜 黑，整理可得：b=&0,错误;对于B,若4 /可得：品啜,整理可得：小 鼐 。,对于C，若4 =与 可 得：3 工=等=要,整 理 可 得：6=鼻。,对于Q,若4=?，可得：cos?=；=W，整理可得：c =0,错误.33 2 2b故选：BC.1 0.答案：BC解析：解：如图，以4 为坐标原点，分别以4 B,4 c 所在直线为 1%,y轴建立平面直角坐标系.c l则4(0,0),B(2,0),C(0,2).A B=(2,0).A C=(0,2).I对于4,由重心坐标公式，可得

13、G(|,$,B则 而=(泠浑+|而=(相)，.怒 4|荏+|前，故 4错误；对于B,设 乔=t部(0 4 t W 1)，则 而=A B+BP=A B+tBC =A B+t(A C -A B)=tA C +(l-f)A B，则 都(荏+而)=t 而 +(1 t)历 (荏+就)=tA C-A B+tA C 2+(1 -t)|近+(1 -t)历 近=4 t+4(1 -t)=4,故 8正确：对于C,不妨设M靠近B,BM=x,贝 i J o w x w V L得 M(2 -y x,y x),N(2 -当口+圾,当(%+企)=(1 一日居1+日 办则-A N=(2 y X,yX)(l yX,1 +孝%)=

14、(2-y x)(l-y X)+y x(l+y x)=x2-V2x+2.当”当时，祠 而 取得最小值为I，故 c 正确；对于。，由 而=4 南+前，且Q为 ABC内一点，BQ=1,fl 2A 2(A 1得 n/o /四，即 6,I。2 7 (0 M y则;I+的最大值大于1,故。错误.故选：BC.以4 为坐标原点，分别以AB,AC所在直线为x,y轴建立平面直角坐标系，由重心坐标公式结合向量的数乘与坐标运算判断选项A；设 前=t (0 4 t b,则8所以有a-AC=AB-ACcosl200=AB AC (-1)=-1.即 脑|前|=2由余弦定理和基本不等式得，BC2=AB2+AC2-2AB AC

15、cosl200=AB2+AC2+AB AC 3AB AC=6，当且仅当|我|=|晶|时，取等号，所以|立|的最小值是故答案为2;V6.17.答案：解：(/)/(x)=sin(2x+g)+cos(2x-g)3 o T T Ci 7 r.e i r 5T 乃=sin-coszx+cos-sm2x+cosZxcos-+sinZxstn-3 3 6 6=y/3cos2x+sin2x=2sin(2x+g),令：一1+2/C TT W 2x+g W ：+2/nr,(keZ).解得：一患+及7W%W、+及 江，(k E Z).所以：函数的单调递增区间为：一工+时*+时 （/6 2）；（）根据f（X）=2si

16、n（2x+所以：/_=1，解得：2sina=.3sina=由于a 6 6，乃），所以：cosa=3tana=一 一，44-5tan2a2tanal-tan2a247所以:tan(2 a：)tan2a-tan 31l+tan2atan-174解析：（I）首先对函数的关系式进行恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用整体思想求出函数的单调区间.（口）利用上步求出的函数解析式，首先通过函数关系式恒等变形，进一步求出函数的值.本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，利用整体思想求正弦型函数的单调区间，利用三角函数的定义域求三角函数的值，属于基础题型.18.答案：解：(1),Z=4+山

17、,:，z三=(4+ai)2=16+8ai a2,为纯虚数，且Q 0,(16 a2=0(8a 0解得Q=4.(2)v z=Z _ (4+4i)(14-i)(l-i)(l+i)=4i,z=4.解析：（1）根据已知条件，结合纯虚数的概念，即可求解.（2）根据已知条件，运用复数的运算法则，以及复数模的公式，即可求解.本题考查了复数代数形式的乘法运算，以及复数模的公式，需要学生熟练掌握公式，属于基础题.19.答案：（I）证明：如图，连结A BC -&B1G是直三棱柱，C A B=p A C J 平面力 B&a,i fe A C 1 BAr.又4B =44,.四边形48 8 遇1 是正方形，BAX 1 A

18、 By,又C A n 4B 1 =A,BAr J _ 平面C&B,故 C B i 1 BAV(I I)解：.,4B =/L 4i =2,B C =V5，.A C =&C i =1.由(I )知,4。_ L 平面A B 4,1 1 2C i-A B A i=，41 G =-X 2 X l=-.解析：(I)连结力由己知结合线面垂直的判定可得4C J 平面A B B 1 4,贝必C 1 B 4.再 证 明，A B 1，进一步得到B4 J 平面C&B,可得CB11B&；(1 1)由48 =441 =2,BC =后 得到Z C =4 =1.由(I )知，4 c l i 平 面 再 由 棱 锥 体 积 公

19、式求解.本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定及应用，考查空间想象能力与思维能力,训练了多面体体积的求法，是中档题.2 0.答案：解：(1)因为向量乞=(3,5),b =(-2,1).所以方一 2 石=(7,3).所以|五 一 2 石|=V72+32=V5 8.(2)因为向量方=(3,5)5 =(-2,1).a-b=3 x(-2)+5 x 1 =-1，c=a+b=(1,6)向量工与石的夹角为。，。5。=品=嚼.解析：(1)通过向量运算求出日-2方，然后求出向量的模.(2)通过已知条件求出落根据数量积的坐标公式的变形公式，求出两个向量的夹角的余弦.本题考查两个向量的数量积的运算，向量

20、的夹角公式的应用，是基本知识的考查.2 1.答案：解：(1).2/3。中 由 正 弦 定 理 知 前=而 访=遁，:.A C =2sin,BC =2sin(一 6);(2)/(0)=2sin0 +2sin(0)4-V3 =sin0 +y/3cos9+V3,即/(J)=2sin(6+9 +我，8 e(0,二当。=抑，/取得最大值2+V3.4c BC/3解析：(1)ABC中由正弦定理知前=sin(E-。)=寇，即可用。表示AABC的边AC、BC的长;(2)/(0)=2sm(6+)+V 3,根据。e(0,即可求周长的最大值.本题考查正弦定理，考查三角函数的化简，考查学生的计算能力，属于中档题.22.答案：解：(1)AB=五，AD=bBD=AD-AB=b a.又：M为B。中点，.BM=-J D=-(b-a),4 4 JAM=AB+FM=a+-(b -a)=-a+-b.4 ,4 4(2)v-BD=a-(b a)=a-b a2又；AB=1,AD=2,4BAD=60,a-b=1 x 2 x cos60O=1，a2=|a|2=1.：.AB BD=a-b-a2=1-1 =0.即 宿1 BD.解析：(1)根据向量的加减的几何意义求出，(2)根据向量的垂直和向量的数量积的关系即可证明.本题考查了向量的加减的几何意义和向量的数量积公式，属于中档题.