2020-2021学年北师大版九年级数学下册第三章3．3垂径定理 同步测试.pdf

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1、北师大版九年级数学下册第三章3.3 垂径定理 同步测试（原卷版）一.选择题1 .如图，已知。0 的直径AB_ L 弦 C D 于点E,下列结论中一定正确的是（）A.AE=O E B.C E=D E C.O E=-C E D.Z A0C=6 02 .如图是一个隧道的横截面，它的形状是以0 为圆心的圆的一部分，C M=D M=2,直线M O 交圆于E,E M=8,则圆的半径为（）4 43.一条排水管的截面如图所示，已知排水管的截面圆的半径0B=1 0dm,水面4.如图，已知。弦AB的长6 cm,O C AB,0C=4cm,则。0 的半径为（）5 .如图，。0 的半径0D,弦 A B 于点C,连 结

2、 A 0 并 延 长 交 于 点 E,连结E C.若 AB=8,0 C=3,则 E C 的长为（）1A.2A/1 5 B.8 C.2A/1 0 D.2A/1 36.如图为球形灯笼的截面图，过圆心的C D 垂直弦AB于 D,AB=2 dm,C D=4dm,则。0 半径为（）A.2 dm B.dm C.-dm D.dm2 8 47 .如图，AB是。0 的弦，O D L AB于 D,若 A0=1 0,0D=6,则AB的长为（）8 .如图，。0 中，AC=6,BD=4,ABL C D 于 E 点，Z C D B=30,则。0 的半径A.V 5 B.5 C.V 1 3 D.2A/1 39 .如图，AB为

3、。0 的直径，点C 在OO上，若AB=4,A C=2&,则0 至 U AC 的距离 为（）2A.1 B.2 C.5/2 D.2 V 21 0.如图，。的直径为1 0,圆心0 至 U弦 AB的距离O M 的长为4,则弦AB的长是（）A.3 B.6 C.4 D.81 1 .如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（源），点0 是这段弧所在圆的圆心,Z A0B=6 0o,点C 是源的中点，C D 1 AB,且C D=5 m,则这段弯路所在圆的半径为（）A.（2 0-1 0-7 3）m B.2 0m C.30m D.（2 0+1 0）m1 2 .已知。的直径2 0,O P 长为8,则过P 的弦中，弦长为整数的

4、弦共有（）条.A.1 B.9 C.1 7 D.1 6二.填空题1 3.如图，AB 是。的直径，弦 C D 交 AB 于点 P,AP=2,BP=6,Z AP C=30,则 C D 的长为.31 4.如图，AB是。0 的直径，C D 为。0 的一条弦，C D L AB于点E,已知C D=4,AE=1,则。的半径为1 5 .在4ABC 中，AB=AC=5,si n B=A,。0 过点 B.C 两点，且。0 半径 r=J 而,5则 0A的长为.1 6 .半径等于1 2 的圆中，垂直平分半径的弦长为 .1 7 .某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，如图是水平

5、放置的破裂管道有水部分的截面.若这个输水管道有水部分的水面宽AB=1 6 cm,水面最深地方的高度为4cm,则这个圆形截面的半径为cm.1 8 .石拱桥是中国传统桥梁四大基本形式之一，如图，已知一石拱桥的桥顶到水面的距离C D 为 8 m,桥拱半径0C 为 5 m,求水面宽AB=m.三.解答题1 9 .已知在以点0 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦A B 交小圆于点C,D （如图）.求证：AC=BD.D42 0.在直径是5 2 cm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果油的最大深度C D为1 6 cm,求油面宽度AB的长.2 1 .如图，将一个两边带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，0,另一

6、边所在直线与半圆交于点D.E,量出半径0C=5 cm,使其一边经过圆心弦D E=8 cm,求直尺的宽.52 2.已知:如图，Z P AC=30,在射线AC 上顺次截取AD=3cm,D B=1 0cm,以D B为 直 径 作 交 射 线 AP 于 E.F 两点，求圆心0 到AP 的距离及E F 的长.2 3.如图。的半径为1 cm,弦 AB.C D 的长度分别为&cm,1 cm,(1)求圆心0 到弦AB的距离；(2)则弦AC.BD 所夹的锐角a 的度数是多少？62 4.如图，有一拱桥的桥拱是圆弧形，已知桥拱的水面跨度AB（弧所对的弦的长）为 8 米，拱高C D （弧的中点到弦的距离）为2 米.（

7、1）求桥拱所在圆的半径长；（2）如果水面AB上升到E F 时，从点E 测得桥顶D的仰角为a，且 cot a=3,求水面上升的高度.2 5 .九章算术是我国古代数学成就的杰出代表作，其中 方田章给出计算弧田（即弓形）面积所用的公式为：弧田面积=（弦X矢+矢2）,弧田（如图）2由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长A B,“矢”指弓形高.在如图所示的弧田中，半径为5,“矢”为2,求弧田面积为多少？7北师大版九年级数学下册第三章3.2 垂径定理 同步测试（解析版）一.选择题1 .如图，已知。0的直径A B _ L 弦 C D 于点E,下列结论中一定正确的是（）A.A E=O E B.C

8、E=D E C.O E=-C E D.ZA 0 C=60 解：根据。0的直径A B _ L 弦 C D 于点E.C E=D E.故选B.2.如图是一个隧道的横截面，它的形状是以0为圆心的圆的一部分，C M=D M=2,直线M O 交圆于E,E M=8,则圆的半径为（）解：连接0 C,I M 是30 弦 C D 的中点，根据垂径定理：E M C D,设圆的半径是x 米，在 R tZk C O M 中,W 0 C2=C M2+0 M2,8即：X2=22+(8-X)2,解得：x=,4所以圆的半径长是卫.4故选：C.3.一条排水管的截面如图所示，已知排水管的截面圆的半径0B=10dm,水面宽AB是16

9、dm,则截面水深CD是()解：由题意知ODLAB,交AB于点E,VAB=16,.B C=lA B=lx i6=8,2 2在 RtAOBC 中，VOB=10,BC=8,0C=VOB2-BC2=7102-82=6.CD=OD-0C=10-6=4.4.如图，已知。0弦AB的长6cm,OC1AB,0C=4cm,则。的半径为（）A.6cm B.5cm C.4cm D.3cmOCB9解：如图:连接0 A.V 0 C 1 A B,A B=6cm,.,.A C=B C=-A B=3cm（垂径定理）；2在 R tZS A O C 中，根据勾股定理知,A O2=O C2+A C2,/.O A2=1 6+9=25,

10、:.0 A=5 cm.故选B.5.如图，O0的半径0 D,弦 A B 于点C,连 结 A 0 并 延 长 交 于 点 E,连结E C.若 A B=8,0 C=3,则 E C 的长为（）A.2V 1 5 B.8 C.2-/1 0 D.2-/1 3.A E 为。0 直径，.N A B E=9 0 ,V 0 D 1 A B,O D 过 0,A C =BC=AAB=x 2=4,2 210V A O=O E,/.B E=20 C,V 0 C=3,，B E=6,在 R tZC B E 中，E C =2+0 2=2yJ故选：D.6.如图为球形灯笼的截面图，过圆心的C D 垂直弦A B 于 D,A B=2d

11、m,C D=4d m,则。0 半径为（）A.2d m B.d m C.卫d m D.d m2 8 4解：；过圆心的C D 垂直弦A B 于D,A B =2d m,C D =4d m,，B D=A D=l d m,在 R taO D B 中，0 D2+D B2=0 B2,即(4-r)2+l2=r2,解 得:r=d m,8故选：C.7 .如图，A B 是G)0 的弦，O D L A B 于 D,若 A 0=1 0,0 D=6,则A B 的长为()解：:A B 是。0的弦,O D L A B 于D,.A D=B D=-A B （垂径定理），211/.A B=2A D,在 R tZX A D O 中,

12、O D _ L A B 于 D,若 A O=1 O,0 D=6,.A D=JAO2-OD2=J 1 02-62=8 （勾股定理）；.,.A B=1 6.故选B.8.如图，。中，A C=6,B D=4,A B J _ C D 于 E 点，ZC D B=30 ,则。0 的半径A.娓 B.5 C.V 1 3解：如图，作 O M J _ A B 于M,O N _ L C D 于N,连接O D.D.2V 1 3V A B C D,A Z0 M E=Z0 N E=ZM E N=9 0 ,.四边形O M E N 是矩形，/.O M=E N,O N=E M,在 R tA C E 中,V A C=6,ZA=ZC

13、 D B=30 ,.C E=1 A C=3,A E=3相，在 R tZS D E B 中，V B D=4,ZB D E=30 ,/.B E=1 B D=2,D E=2,二.C D =3+2 A B =2+3/3,12V 0 M 1 A B,O N C D,.A M=B M=2+3,C N=D N=&+乐,2 2.,.E M=0 N=3 2,2 _ _ _ _ _ _ _D=O N2+DN2=J （当铲）?+（若 鸟 2=任.故选：C.9.如图，A B 为。0的直径，点C 在。0 上，若A B=4,A C=2加,则0 至 U A C 的距离 为（）A.1 B.2 C.我 D.2亚解：连接B C,

14、作 O E L A C 于 E.A B 是直径，A ZA C B=9 0 ,BC=VAB2-AC2=V 42-（2V 2）2=2b,V O E A C,-,.A E=E C,V A O=O B,.-.OE=1BC=V2故选：C.1 0.如图，。的直径为1 0,圆心0至 i j 弦 A B 的距离O M 的长为4,则弦A B 的长是（）A.3 B.6 C.4 D.813的直径为1 0,/.0 A=5,圆心0 到弦A B 的距离0 M 的长为4,由垂径定理知，点M 是A B 的中点，A M=-A B,2由勾股定理可得，A M=3,所以A B=6.故选B.1 1.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（施

15、），点0是这段弧所在圆的圆心，N A O B=60 ,点C 是源的中点，C D A B,且C D=5 m,则这段弯路所在圆的半径C.30 mD.（20+1 0 立）m解：.点0 是这段弧所在圆的圆心,.,.0 A=0 B,V ZA 0 B=60o,.A 0 B 是等边三角形,/.A B=O A=O B,设 A B =0 B =0 A =r m,14.点C是标的中点，.,.0 C 1 A B,A C,D,0 三点共线，/.A D=D B=r m,2在 R tZA O D 中，.0 D=r,2V 0 D+C D=0 C,/.翌 r+5 =r,2解得：r=(20+1 0 3)m,这段弯路的半径为(2

16、0+1 0 7 3)m故选：D.1 2.已知。0 的直径20,0 P 长为8,则过P 的弦中，弦长为整数的弦共有()条.A.1 B.9 C.1 7 D.1 6答案：DA B 是直径，O A=1 0,0 P=8,过点P 作 C D _ L A B,交圆于点C,D两点.由垂径定理知，点P 是 C D 的中点，；.P C=4,在直角三角形O P C 中，由勾股定理求得，P C=6,/.C D=1 2,则C D 是过点P最短的弦长为1 2；A B 是过P 最长的弦,长为20.故过点P的弦的长度都在1 2 20 之间；因此弦长为 1 2,1 3,1 4,1 5,1 6,1 7,1 8,1 9,20；当弦

17、长为1 2.20 时，过 P点的弦分别为弦C D 和过P点的直径，分别有一条；当弦长为1 3,1 4,1 5,1 6,1 7,1 8,1 9 时，根据圆的对称性知，符合条件的弦15应该有两条；故弦长为整数的弦共有16条.二.填空题1 3.如图，AB是。的直径，弦CD交AB于点P,AP=2,BP=6,ZAPC=30解：作OH_LCD于H,连结0 C,如图,VOH1CD,.,.HC=HD,.AP=2,BP=6,.AB=8,.*.0A=4,.,.OP=OA-AP=2,在 RtOPH 中，,.N0PH=30,A ZP0H=60,.-.OH=1OP=1,2在 RtZXOHC 中，V0C=4,OH=1,C

18、H=7OC2-O H2=V15,.,.CD=2CH=2V15.故答案为：1 4.如图，AB是。0的直径，CD为。的一条弦，CD_LAB于点E,已知CD=4,AE=1,则。的半径为16c.A解：连接O C,如图所示:.AB 是。0 的直径，CD1AB,.*.CE=|CD=2,Z0EC=9 0o,设 O C=O A=x,则 0E=x T,根据勾股定理得：CE2+O E2=O C2,即22+(%-1)2=解得:x=2.5；故答案为：2.5.15.在AABC 中，AB=AC=5,s i n B=.1,。0 过点 B.C 两点，且。0 半径 r=5;而,则 0A的 长 为 3 或 5 .解：如图，作 A

19、DL BC于D,V AB=AC=5,.AD垂直平分BC,.点0 在直线AD上，连结0B,在 R t ABD 中，s i n B=-=A,AB 5V AB=5,.AD=4,BD=VAB2-A D2=V 52-42=3,在 R t O BD 中，O B=J i 5，BD=3,AOD=VOB2-BD2=1,17当点A 与点0 在 BC的两侧时，O A=AD+O D=4+1=5；当点A 与点0 在 BC的同侧时，0A=AD-0D=4-1=3,故 0A的长为3 或 5.故答案为3 或 5.16.半径等于12的圆中，垂直平分半径的弦长为V 0D=CD=6,由勾股定理得AD=6百，二由垂径定理得AB=12g

20、,故答案为：12遍.17.某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，如图是水平放置的破裂管道有水部分的截面.若这个输水管道有水部分的水面宽AB=16c m,水面最深地方的高度为4c m,则这个圆形截面 的 半 径 为 10 c m.解：设此圆形截面所在圆的圆心为0,连接0A,过点0 作 0D_ L AB于点D,交弧于点C,贝 U CD=4c m,AD=AB=X 16=8 (c m)，2 2设这个圆形截面的半径为r e m,18则 O D=O C-CD=r -4(c m).,在 R t AAO D 中，0A2=0D2+AD2,/.r2=(r-4)2+8 2

21、,解得：r=10,故这个圆形截面的半径为10c m.故答案为：10.18.石拱桥是中国传统桥梁四大基本形式之一，如图，已知一石拱桥的桥顶到水面的距离CD为8 m,桥拱半径0C为 5 m,求水面宽AB=8 m.解：连接0A,如图所示.V CDAB,.*.AD=BD=1AB.2在 R t a ADO 中，0A=0C=5 m,O D=CD-0C=3m,ZAD0=9 0，A A D=V 0A2-0D2=V 52-32=4，AB=2AD=8 m.故答案为：8.三.解答题1919 .已知在以点0 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦A B 交小圆于点C,D(如图).求证:AC=BD.解：过 0 作 O E_ L

22、 AB于点E,则 CE=DE,AE=BE,.BE-DE=AE-CE,即 AC=BD；20.在直径是5 2c m 的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果油的最大深度CD为 16c m,求油面宽度AB的长.解：由题意得出：0CL AB于点D,由垂径定理知，点D 为AB的中点，AB=2AD,.直径是5 2c m,O B=26c m,/.0D=0C-CD=26-16=10(c m),由勾股定理知，BD=B 02_0)2=24(c m)，AB=48 c m.2021.如图，将一个两边带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心0,另一边所在直线与半圆交于点D.E,量出半径0C=5 c m,弦

23、 DE=8 c m,求直尺的宽.2V DE=8 (c m)A DM=4(c m)在 R t ZX O DM 中,V 0D=0C=5 (c m)，：.0M=/OD2-DM2=V 52-42=3（蜘），直尺的宽度为3c m.22.已知：如图，ZP AC=30,在射线AC上顺次截取AD=3c m,DB=10c m,以DB为直径作。0 交射线AP 于 E.F 两点，求圆心0 到AP 的距离及EF 的长.21EA Dp，O D=5 c m连接O F/.AO =AD+O D=3+5 =8 c mV ZP AC=300G=-AO=X 8 4c r n2 2V 0 G 1 E F,AEG=GF=3c m EF

24、=6c m.2 3.如图。0的半径为1 c m,弦AB.C D的长度分别为&c m,(1)求圆心0到弦A B的距离；(2)则弦AC.B D所夹的锐角a的度数是多少？1c m,解：(1)过点0作O E_ L AB于E,连结O A.0 B,如图,22.*.AE=BE=1AB,2*/O A=O B=1,A B=M，.OA2+OB2=AB2,A A O A B 为等腰直角三角形，.-.OE=1AB=2；2 2(2)连结O C.O D,如图，V 0C=0D=l,CD=1,.,.O CD为等边三角形，/.ZC0D=60,/.ZCAD=1ZCO D=3O ,2V A O A B 为等腰直角三角形，A ZA0

25、B=9 0,.,.ZADB=1ZAO B=45 ,2A Z a =ZCAD+ZADB=300+45 =75 .24.如图，有一拱桥的桥拱是圆弧形，已知桥拱的水面跨度AB(弧所对的弦的长)为 8 米，拱高CD(弧的中点到弦的距离)为2 米.(1)求桥拱所在圆的半径长；(2)如果水面AB上升到EF 时，从点E 测得桥顶D 的仰角为a ,且 c o t a =3,求水面上升的高度.解：丁 点 D是窟的中点，DC_ L AB,，AC=BC,DC经过圆心，23设拱桥的桥拱弧AB所在圆的圆心为0,V AB=8,.AC=BC=4,联结 0A,设半径 O A=O D=R,0C=0D-DC=R-2,V 0D1A

26、B,/.ZAC0=9 0,在 R t AACO 中，V 0A2=AC2+0C2,.R2=(R-2)2+42,解之得R=5.答：桥拱所在圆的半径长为5 米.(2)设 0D与 EF 相交于点G,联结0E,；EF AB,0D1AB,.,.0D1EF,/.ZEGD=ZEG0=9 0,在 R t ZEGD 中，cota=-=3，DG/.EG=3DG,设水面上升的高度为x米，即C G=x,则DG=2-x,AEG=6-3x,在 R t EGO 中，.,EG2+0G2=0E2,二(6-3x)2+(3+x)2=52,化简得 x2-3x+2=0,解得 X 1=2(舍去),x2=l,答：水面上升的高度为1米.2 5.九章算术是我国古代数学成就的杰出代表作，其中 方田章给出计算弧田（即弓形）面积所用的公式为：弧田面积=上（弦X 矢+矢 2）,弧田（如图）2由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长A B,“矢”指弓形24高.在如图所示的弧田中，半径为5,“矢”为 2,求弧田面积为多少？解：如图所示：V0 A=0 C=5,CD=2,.*.0 C=3,V0 C1 A B,.*.AC=BC=O A2_OC2=4,，A B=8,.弧田面积=(弦X 矢+矢2)=1(8 X2+2?)=1 0；2 225