2019年高考数学(文)考点一遍过 考点31 直线、平面垂直的判定及其性质(含解析).pdf
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1、2019年高考数学(文)考点一遍过考点3 1直线、平面垂直的判定及其性质考拥雇次(1)以立体几何的定义、公理和定理为出发点,认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理.理解以下判定定理:如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,那么该直线与此平面垂直.如果一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面互相垂直.理解以下性质定理,并能够证明:如果两个平面垂直,那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直.(2)能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题.一、直线与平面垂直1 .定义如果直线/与平面a内的任意一条直线都垂直,我们就说直线/与平面。互相垂直.记作:图
2、形表示如下:【注意】定义中的“任意一条直线”这一词语与“所有直线”是同义语,与“无数条直线”不是同义语.2 .直线与平面垂直的判定定理文字语言一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直.简记为:线线垂直=线面垂直图形语言符号语言7 a,ILb,H U a,Z x z a,a 力=P=/J _ a作用判断直线与平面垂直【注意】在应用该定理判断一条直线和一个平面垂直时,一定要注意是这条直线和平面内的两条相交直线垂直,而不是任意的两条直线.3.直线与平面垂直的性质定理文字语言垂直于同一个平面的两条直线平行.简记为:线面垂直=线线平行ab图形语言77个1r.符号语言a L ah.L
3、a =a/b作用证明两直线平行;构造平行线.4.直线与平面所成的角(1)定义:一条直线和一个平面相交,但不和这个平面垂直,这条直线叫做这个平面的斜线,斜线和平面的交点叫做斜足.过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线,过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影.平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的镣扁,叫做这条直线和这个平面所成的角.(2)规定:一条直线垂直于平面,我们说它们所成的角等于9 0;一条直线和平面平行,或在平面内,我们说它们所成的角等于0.因此,直线与平面所成的角a的范围是 0,2 .25.常用结论(熟记)(1)若两条平行线中一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面.(2)若一条
4、直线垂直于一个平面,则这条直线垂直于这个平面内任何一条直线.(3)过空间任一点有且只有一条直线与已知平面垂直.(4)过空间任一点有且只有一个平面与已知直线垂直.二、平面与平面垂直1 .定义两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直.平面。与 平 面 垂直,记作a,/?.图形表示如下:2 .平面与平面垂直的判定定理文字语言一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直.简记为:线面垂直=面面垂直图形语言1y符号语言7 a,1 u 0 0。1 B作用判断两平面垂直3.平面与平面垂直的性质定理文字语言两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.简记为:面面垂直
5、n线线平行图形语言aa符号语言a l。a。=1Quaa A-l=Q_L/7作用证明直线与平面垂直4.二面角(1)二面角的定义:平面内的一条直线把平面分成两部分,这两部分通常称为半平面.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做三面扁.这条直线叫做二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面.(2)二面角的平面角的定义:在二面角的棱上任取一点,以该点为垂足,在两个半平面内分别作垂直于棱的射线,则这两条射线构成的角叫做这个二面角的平面角.(3)二面角的范围:0,兀 .5 .常用结论(熟记)(1)两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直.(2)两个相交平面同时垂直于第三个平面,它们的交线也垂直于第三
6、个平面.(3)如果两个平面互相垂直,那么过第一个平面内的一点且垂直于第二个平面的直线在第一个平面内.三、垂直问题的转化关系平面几何的定理线线垂直、7T S T考向一线面垂直的判定与性质线面垂直问题的常见类型及解题策略:(1)与命题真假判断有关的问题.解决此类问题的方法是结合图形进行推理,或者依据条件举出反例否定.(2)证明直线和平面垂直的常用方法:线面垂直的定义;判定定理;垂直于平面的传递性(a/b,a,。_ L a);面面平行的性质(a_ L a,。尸尸);面面垂直的性质.(3)线面垂直的证明.证明线面垂直的核心是证线线垂直,而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.因此,判定定理与性质定理的合
7、理转化是证明线面垂直的基本思想.(4)线面垂直的探索性问题.对命题条件的探索常采用以下三种方法:a.先猜后证,即先观察与尝试给出条件再证明;b.先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件,再证明其充分性;c.把几何问题转化为代数问题,探索命题成立的条件.对命题结论的探索常采用以下方法:首先假设结论存在,然后在这个假设下进行推理论证,如果通过推理得到了合乎情理的结论就肯定假设,如果得到了矛盾的结果就否定假设.典例引领典 例1如图所示,A/WB和A4DC都是以。为直角顶点的等腰直角三角形,且/B4C=60。,下列说法中错误的是A.4DJL 平面BDCC.DC_L 平面4BD【答案】DB.BD1
8、平面4DCD.B C L平面力BD【解析】易知AD LBD.AD 1 DC,所以月D 1 平 面 BDC,又&A B D与匕A D C均为以D为直角顶点的等腰直角三角形,所以=NG AD=DC=走.2又 修 立=60。,所以加C 为等边三角形,故8C=4B二代BD,所以Z5DC=9O。,即8D J.DC.所以BD评面幺DC,同理DC坪面幺BD一故选D.变式拓展1.如图,在棱长为1的正方体ABC。A 4 G A中,点E、F分别是棱8 C、CG的中点,p是底面ABCD上(含边界)一动点,且满足APJLEE,则线段4P长度的取值范围是J 1当2C.1,7 3 典例引领典例2 如图,在三棱柱4 B C
9、-4 B 1 G 中,各个侧面均是边长为2 的正方形,。为线段4 c 的中点.(1)求证:平面A C C/i;(2)求证:直 线 响 I I 平面BCW;(3)设”为 线 段 上 任 意 一 点,在 B Q。内的平面区域(包括边界)是否存在点E,使C E J L D M?请说明理由.【解析】(1).三棱柱4 8。-4 3 1 4 中,各个侧面均是边长为2 的正方形,.CCIJ.BC,cqiac,./C1 1 平面 A B C,又平面4 B C,:CC LBD9又底面为等边三角形,D为线段AC的中点,:.BD LAC,又4C n CC=C:.BD 1 平面(2)如图,连接B,C交B g于点0,连
10、接。D,则。为B i C的中点,D是4 c的中点,.0D I I 瓦,又。D u平面B g D,AB1评 面.直线幺为II平面B C Q.(3)在B q。内的平面区域(包括边界)存在点M 使C ELO M,此时E在线段C/上,证明如下:如图,过C作C E C W,交线段的 于点E,由(1)可知,BD _L平面”CCA,又CE u 平面BD 1 CEt由C/?1CD,BD C JD =D,得CEJ,平面.DM u 平面B g”,变式拓展2.如 图 1 所示,在 R t Z A B C 中,/e 9 0,D,分别为4 8 的中点,点尸为线段切上的一点,将沿龙折起到 4。石的位置,使 4 d 微 如
11、图2所示.(1)求证:A.F 1 B E;(2)线段AB上是否存在点0,使 4C,平面。EQ?说明理由.考向二面面垂直的判定与性质判定面面垂直的常见策略:(1)利用定义(直二面角).(2)判定定理:可以通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直.(3)在运用面面垂直的性质定理时,若没有与交线垂直的直线,则一般需作辅助线,基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线,这样就把面面垂直转化为线面垂直,进而转化为线线垂直.典例引领E F=E B=FC=2 E A=FD典例3 已知在梯形4 B C D 中,AB/CD,瓦尸分别为底4 B,C D 上的点,且E F U B,2,2,沿E F 将平面力E F D
12、 折起至平面4 E F D L 平面E B C F,如图.(1)求证:平面BCD1平面BCF;(2)若4 E=2,求多面体4BCDEF的体积.【解析】(1)由平面月后 方。J 平 面EB。孔 且DF LE广 知D F评 面EBCF.而D尸u平面BDF,所以平面BDF J _平面EBCF.由 B F =2垃,B C =2 0 F C =4,B F2+B C2=F C2,即BC_LBF,又以C u平面EBCF,所以BC坪 面BDF.又方C u平面BCD,所以平面BCD呼 面RDF.(2)依题意知,多面体4BCCEF是三棱台4BE-DCF,易得高为E=2,两个底面面积分别是2和8,2,_,28-x(
13、2+8+J2 x 8)=故体积为3 3典例4如图,直三棱柱4BC-4 指也1中,D,E分 别 是 的 中 点,AB=BC(1)证明:B明平面41CD;(2)证明:平面4/C _L平面4CG4.【解析】-A 4 G R的棱力反B C,,上的点.(1)若=,求证:无论点P 在 D D、上如何移动,总有BP V M N-,MA NC(2)棱能上是否存在这样的点只 使得平面A P C,平面4A C G?证明你的结论.考向三线面角与二面角求直线与平面所成的角的方法:(1)求直线和平面所成角的步骤:寻找过斜线上一点与平面垂直的直线;连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影,斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求
14、的角;把该角归结在某个三角形中,通过解三角形,求出该角.(2)求线面角的技巧:在上述步骤中,其中作角是关键,而确定斜线在平面内的射影是作角的关键,几何图形的特征是找射影的依据,射影一般都是一些特殊的点,比如中心、垂心、重心等.求二面角大小的步骤:简称为“一作二证三求”.作平面角时,一定要注意顶点的选择.典例引领典例5正三棱柱A B C-4 4 G 的所有棱长都相等,是4 G 的中点,则 直 线 力 与 平 面 所 成 角 的 正 弦 值 为A-1B.C-ID.45旦5【答案】B1I析】左一:由正三慢口的肉含接长物 号,体IHfiS0住,可的&DJ 平 面/8,,BQ,DC,S7A1QC为 鱼
15、三 设 嚏 性 为 i,.4 D-y .)D-.DC,I/小而 X X =.0 4到 干 圈&频 力 帆Q府I.1 ie.I.7B 1 V?1 .2-X R XaJ.A W*X J S dJ .一 ”内,.森 jw3 R 3133 8 i 2 2 H设且续M与 平 面 从/用n m为 九 四sR=-?=:解法二:在正三棱柱中,由为AG中点可证用。,平面A4CC,如图,作AH,。,;耳。_ LA H.又BQ C D =D,忆 平 面 用CD,;/”为所求的线面角.4 x/5设棱长为2,在 八48中由等面积法得4=耍4 7 5c 4A s i n Z A D H =-9 故选 B.V 5 5典例6
16、如图,直三棱柱ABC-AAG的底面是边长为2的正三角形,瓦F分别是5 C,C G的中点(1)证明:平面A E F,平面BB C C;(2)若直线AC与平面4ABg所成的角为4 5 ,求三棱锥E-AEC的体积.【解析】因为三棱柱3c-4 4 G是直三棱柱,所以4后_|_ 班1,又E是正三角形如c的边刀c的中点,所以XE _ LB C,因 此 翘,平面B/C G,而 丝 u平面A E F ,所以平面A E F 平面B M G.(2)如图,设 A B 的中点为。,连接A。,。,因为a w是正三角已,又三楼在A B C-4AG是叁三检柱,所以CD 1&.因此CD 1平面A.ABB,T ZCX,DU?1
17、4 c与平直域/占用所成的角由 14龙知/。4。=45 所以4n=a)=Y i.u=&,在 R t Z A 4 Q 中,A 4,=网 叮-A。?=VT=VLi 5所以 R 7 =A A =,2 2故三棱锥F AEC的体积V =;S 2 c XF C =;x#x=杏.变式拓展4.如图,四边形4 B C D为矩形,四边形B C E F为直角梯形,BF/CE.BF BC.BF c _ L 4 B.bu /3 n b _ L ca”仇c 是a在月内的射影b/cC.bu ac(Z a3.如图,在三棱锥P-/B C 中,P A J _ 底面力B C,P A=ACf则直线P C 与平面A B C 所成角的大
18、小为 =c/aa/aD.b L a=b.L aA.30 C.6 0。D.9 04.如图,三条相交于点P的线段为,P B,用 两两垂直,尸在平面力回外,P/LL平面脑。于&则垂足是/回的A.外心C.垂心B.内心D.重心5.如图,4 B,C,,为空间四点,在力笈中,AB=2,A伉B O*,等边三角形AD B以四为轴旋转,当平面4%江平面ABC时,CD-A.乖C.依D.16.如图,已知六棱锥人4比颇的底面是正六边形,阳,平面48。,P A=2AB,则下列结论正确的是A.P BLADB.平面必员L平面P BCC.直线式平面用D.直线外与平面4笫所成的角为457.九章算术卷 五 商功中有如下问题:今有刍
19、薨,下广三丈,袤四丈,上袤二丈,无广,高一丈,问积几何?问题中“刍薨”指的是底面为矩形的屋脊状的几何体,如 图 1,该几何体可由图2 中的八边形4BCDEFGH沿BG,CF向上折起,使得4H与DE重合而成,设网格纸上每个小正方形的边长为1,则 此“刍薨”中E尸与平面BCFG所成角的正弦值为A/15A.5y i oC.58.如图,在矩形ABCD中,AB=2,AD=3,点E为4的中点,现分别沿BE,CE 将丛ABE,应翻折,使得点4。重合于点F,此时二面角-8。-尸的余弦值为3A.-42C.一3(1)(2)B.D.也439.已 知%是 平 面,/、是直线,给出下列命题:若勿_1 _ o,g B,则
20、。_ L ;若/n c i a,u a,勿 ,贝l j。;如 果 归a,/XI a,m,是异面直线,那么与。相交;若 a n =/,n/m,且 点。,血 B,则。且“.其 中 命 题 正 确 的 是.1 0.如图,三棱锥P-4 BC,平面P 4 B,平面P BC,若P B 1 B C则 BC的形状为11.在四面体 48。中,M J 平面 4BC,AB 1 AC,AB=4,AC=3,AD=1,E为棱 BC上一点,且平面4DE JL 平面 BCD,则 DE=.12.如图,在三棱锥产一/欧中,RLL底面力以7,/BAC=90,厂 是 4 c 的中点,是 上 的 点,且 既 L 6 G 则PEEC=1
21、3.如图所示,在四棱锥P-A B C D 中,为,底面4 8 s 且底面各边都相等,是用上的一动点,当丘时,平面也切,平面尸.14.四棱锥4-BCDE中,E B/D C,且EB J平面4BC,EB=1,Z)C=BC=4B=4C=2,尸是棱4D的中点.(1)证明:EFJ平面AC。;(2)求三棱锥。-4CE的体积.1 5.如图,已知四边形4 BCD是正方形,P D_ L平面力BCD,CD =P D =2E A,P D/E A,F,G,H分别为P B,BE,P C的中点.(1)求证:GH平面P D4 E;(2)求证:平面FGH 1平面P CD.1 6.如 图,在正方体4 8 CZ)-A 4C Q中,
22、为棱G A的中点,夕为棱比 的中点.(1)求证:直 线 直 线 为I;(2)在线段4 4 上求一点G,使得直线力吐平面 K?并说明理由.1 7 .如图,已 知 三 棱 锥 中,/必=9 0 ,CB=4,4 层2 0,为4 8 的中点,且 P D 5 是正三角形,P AL P C.(1)求证:平面为CJ _ 平面ABC,(2)求二面角正加 C 的正弦值;(3)若 为 阳 的 中 点,求三棱锥材一时的体积.1 8 .如图,已知多面体P 4 BCCE的底面4 BCD是边长为2的菱形,P 4 _ L 底面4 BCD,ED/P 4,且P 4 =2E D=2.(1)证明:平面P1平面P C面(2)若直线尸
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