2021-2022学年度北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明定向攻克试题（含答案解析）.pdf

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1、北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明定向攻克考试时间：9 0 分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第H卷（非选择题）两部分，满分1 0 0 分，考试时间9 0 分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。第I卷（选 择 题30分）一、单选题（1 0 小题，每小题3 分，共计3 0 分）1、如图，在4 中，/=90,N =30。，=6 3,。为AB上一动点（不与点力重合

2、），为等边三角形，过，点作鹿的垂线，尸为垂线上任意一点，。为斯的中点,则线段仍长的最小值是（）A.2/3 B.6 C.33 D.92、如图，中，=,1 于 2,，于 E,下列结论不成立的是()A./1=N 2 B./=N 2 C.N=/D./=/3、如图所示，尸为Z AO 8 平分线上的点，P 0 L Q 4 于，P D =3 c m,则点P 到出的距离为（）A.5c mB.4 c mC.3 c mD.2 c m4、如图，在4 8。中，B D 平分/AB C,4C=2/CD B,AB=1 2,CD=3,则力勿的周长为（）D.3 0A.同旁内角互补，两直线平行B.对于有理数a,如果3 a 0,那

3、么a 0C.有两个内角互余的三角形是直角三角形D.在任何一个直角三角形中，都没有钝角6、如图，等腰力%中，A8=AC,点、。是 B C边中点,则下列结论不乏硕的是（）A.Z 5=Z CB.AD LB CC.B AD=CADD.AB=2 B C7、以下列各组数据为三角形三边，能构成直角三角形的是（）A.4,8,7 B.5,12,1 4 C.2,2,4 D.6,8,1 08、如图，在北力优中，Z（9 0 ,J（=1 2,4 炉1 3,4 6 边的垂直平分线分别交4 8、4 c 于 N、，两点，则兆财的周长为（）A.1 8 B.1 6 C.1 7 D.无法确定9、如图，在AA8 C 中，B D、C。

4、分别平分Z A B C、N 4 C B,过点O作直线平行于B C,分别交A 3、A C 于点E、F,当Z A 大小变化时，线段E F 和8 E+C F 的大小关系是（）A.EFBE+CF B.EF 或=）（理解应用）（2）在（1）的条件下，过 点 作 直 线 1 ，分别交，于 点，/，如 图3.图中全等三角形有 对.（不添加辅助线）猜想G E,之间的关系为_ _ _ _ _ _ _ _.（拓展延伸）（3）如 图4,画/=60 ,并画一 的平分线,在 上 任 取 一 点，作N=1 2 0 ,/的两边分别与，相 交 于，两点，与 相等吗？请说明理由.图1 k图2 图32、如图，在4 中，按以下步骤

5、作图：分别以点 为FB o B图4n 为圆心，以大于(的长为半径作弧，两弧相交于点 和；作直线 交的周长.A3、点、P 为等边 的边4 6 延长线上的动点于 点，连接.若 -6,=4,求 小,点 6 关于直线气 的对称点为，连接力 .4、如图1,C CA B P A图1皆(1)如图1,若=2 依题意补全图形,(2)如图2,线段必交外 于点反 设/=,求/的度数；求证：=+.B P3 2并直接写出线段4 的长度;中,1于，且=234；(1)试说明是等腰三角形;(2)已知=4 0 c ,如 图 2,动 点 从 点 8 出发以每秒1cm的速度沿线段掰向点4 运动,同时动点/V从 点A出发以相同速度沿

6、线段4C向 点 C运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止.设 点 运动的时间为，(秒).若 的 边与比平行，求 t 的值；在点”运动的过程中，AAZW能否成为等腰三角形?若能，求出f 的值；若不能，请说明理由.5、已知：在力比中，AD 共分乙B AC,AE=AC.求证：AD/CE.-参考答案-一、单选题1、B【分析】连接。G,A G,设 AG交 OE于点”，先判定AG为线段OE的垂直平分线，再判定 B AC B AG(AAS),然后由全等三角形的性质可得答案.【详解】解：如图，连接OG,A G,设AG交DE于点H,:DELDF，G 为所的中点，/.DG=GE,.点G 在线段DE的垂直平分线上

7、，血 为等边三角形，AD=AE,点A在线段DE的垂直平分线上，.AG为线段DE的垂直平分线，AGLDE,ZDAG=-ZDAE=30,点G 在射线A”上，当B G L 4/时，8G 的值最小，如图所示，设点G，为垂足,-,-ZACB=90,ZC4B=30,ZACB=ZAGB,ZCAB=ZBAG,则在A8 4 c和BAG中，Z C 8 =NAG8 NC4B=NBAG,AB=AB.-.BAC=BAGAAS).BG=BC,V ZACB=90,ZCAB=30,AC=6百，/.BC=AB,BC?+(6扬 2 =AB?,BC、(6百了=(28C)2,解得：BC=6,：.BG=BC=6故选：B.【点睛】本题考

8、查了全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的判定与性质，数形结合并明确相关性质及定理是解题的关键.2、C【分析】由=4)_L 8 c 可得/。平分NBAC,判断出N 1=N 2,再根据45_18c于。，3E_LAC于 6,可知NAOC=NBEC=90。，可 判 断 出=N2和ZAFE=NC,即可得到答案.【详解】解：A、在 B C 中，ABAC,45_LBC,.四 平分ZS4C,Z.Zl=Z2,选项说法正确，不符合题忌；B、于，BE_LAC 于 6,A ZADC=ZBEC=9Q,V ZC=ZC,/.ZEBC=Z 2,选项说法正确，不符合题意；C、：NAFE是AABF的外角，A ZAFE=ZX+

9、ZABF,无法得到NAB尸=N 2,无法得到ZBAC=ZAFE,选项说法错误，符合题意；D、在 中，ZAFE=9 0-Z 2,在 RAOC 中，ZC=90-Z2 A ZA F E=ZC,选项说法正确，不符合题意；故选c.【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、同角的余角相等的性质及三角形的外角的性质，解决问题的关键是熟练运用相关性质.3、C【分析】根据角平分线的性质可得角平分线上的点到角的两边的距离相等，即可求得点。到仍的距离等于P D =3c m【详解】解：为NAO8平分线上的点，于，尸)=3cm,.点P到仍的距离为3cm故选：C【点睛】本题考查了角平分线的性质，掌握角平分线的性质是解题的关键.

10、4、C【分析】根据题意在1 6上截取应三1心,由“SIS”可证俎运笈切，可得N CD B=N 8D E,9/D EB,可证N AD 界N AED,可得力仄/；进而即可求解.【详解】解：如图，在4 6上截取跳=比；连接后，CD AEB:B D 平-分 4 AB C,:.N AB g/CB D,在龙和巡中，CB =B E，ZCB D =N D B E,B D =B D：./CB D /EB D（必S）,:.N CD B=/B D E,N C=N D EB,:4C=2 4CD B,：.ACD E=AD EB,：.N AD E=ZAED,：.AD=AE,的周长=A/AE+B E+B C+CD=AB+A

11、B+CD=2 7,故选：C.【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的性质，注意掌握添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键.5、D【分析】先写出每个选项中的逆命题，然后判断真假即可.【详解】解：A、同旁内角互补，两直线平行的逆命题为：两直线平行，同旁内角互补，是真命题，不符合题意；B、对于有理数a,如果3 a 0,那么a 0 的逆命题为：对于有理数a,如果a 0,则 3 a 0,是真命题，不符合题意;C、有两个内角互余的三角形是直角三角形的逆命题为：直角三角形有两个内角互余的，是真命题,不符合题意；D、在任何一个直角三角形中，都没有钝角的逆命题为：没有钝角的三角形是直角三角形，是

12、假命题，符合题意；故 选D.【点睛】本题主要考查了逆命题，判定命题真假，解题的关键在于能够熟知相关知识进行求解.6、D【分析】根据等腰三角形的等边对等角的性质及三线合一的性质判断.【详解】解：点是比边中点，B=4 C,AD VB C,N B AD=N CAD,故选：D.【点睛】此题考查了等腰三角形的性质：等边对等角，三线合一，熟记等腰三角形的性质是解题的关键.7、D【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可.【详解】解：A、42+7 V 82,故不为直角三角形；B、52+12 V 142,故不为直角三角形；C、2+2=4,故不能构成三角形，不能构成直角三角形；D、6

13、2+82=102,能构成直角三角形;故选：D.【点睛】本题考查勾股定理的逆定理的应用.判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可.勾股定理的逆定理：若三角形三边满足才+5=1,那么这个三角形是直角三角形.8、C【分析】根据勾股定理求出宽的长，根据线段垂直平分线的性质得到,阶物，根据三角形的周长的计算方法代入计算即可.【详解】解：在 RtLABC中,/白90,AC=12,AB=13,.由勾股定理得，BC=lAB2-AC2=5二 加 是46的垂直平分线，：.ABCM的 周 长=册。作物眼=6=8 E,同理可得。F=F C,贝UEF=B E+C F,可得答案

14、.【详解】解：-E F IIBC,，/EDB=NDBC,(3 3。平分443。，/./EBD=/D B C,.ZEDB=ZEBD,ED=BE,同理。E =F C,:.ED+DF=BE+FC,即 EF=BE+CF.故选：c【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定，平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握等腰三角形的判定定理，平行线的性质定理，角平分线的定义是解题的关键.10、C【分析】(1)等边三角形中，中线、高线、角平分线三线合一，且全部都交于同一点；(2)两个全等的三角形，大小、形状都相同，面积也相同；(3)利用两边一角证明三角形全等时，要求两边夹一角；(4)直角三角形全等时，只需要说明斜边、直

15、角边对应相等即可；【详解】解：A 选项中等边三角形中，中线、高线、角平分线三线合一，且全部都交于同一点，表述正确，故不符合题意；B 选项中两个全等的三角形面积相同，表述正确，故不符合题意;C选项中有两条边及一角对应相等时无法证明两个三角形全等，表述错误，故符合题意；D选项中斜边和一直角边对应相等判定直角三角形全等，表述正确，故不符合题意；故选C.【点睛】本题考察了三角形全等的判定条件以及性质，等边三角形的性质.解题的关键在于理解特殊三角形的性质与三角形全等的判定与性质.二、填空题1、150【分析】如图：连接外，由处也 4 8可得必=/、Z X AB=A P A C,进 而 可 得 为 等边三角

16、形易得勿=AP=AP=6；然后再利用勾股定理逆定理可得8/力为直角三角形，且N B P P=90,最后根据角的和差即可解答.【详解】解：连接勿，:P A 8 X P AB,:.PA=P A,Z P1 AB=NPAC,，/户 AP=ZBAC=60Q,:.APP，为等边三角形，：.PP=AP=AP=6；：P P、BP=BP:A B P P为直角三角形，皂NBPP=90,:APB=9Q+60=150.故答案为：150.B【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理逆定理的应用等知识点，灵活应用相关知识点成为解答本题的关键.2、18【分析】利用正三角形4 8 c以及平行关系

17、，求 出 是 等 边 三 角 形，在R/AAOE中，利用含30角的直角三角形的性质，求出AE的长，进而得到CE长，最后即可求出：k：的周长.【详解】解：.M8C是等边三角形，.-.ZA=ZB=ZC=60o,BC=AB=AC=8,：EF/A B ,ZEFC=NA=NB=NFEC=60,.AEFC为等边三角形，C四 =3EC,由于是4 8的中点，故AO=：A3=4,DE上A C,.ZAE=90,在RfAADE 中，ZAD=90-ZA=30,/.AE=-A D =292:.EC=A C -A E =6,AFC=1 8，故答案为：18.【点睛】本题主要是考查了等边三角形的判定及性质、含 30P角的直角

18、三角形的性质，熟练地综合应用等边三角形和含30。角的直角三角形的性质求解边长，是解决该题的关键.3 40.【分析】先根据等腰三角形的性质求出NG6弘的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求NG氏氏及NQR氏的度数，找 出 规 律 即 可 得 出 的 度 数.【详解】解：中，AG=BC,NC=20,：.ZG BJ=180-Z C21800-202=80,:NG尻4 是笈民G 的外角,/B B C产ZC,B,A_2-同理可得,NCBB产20,NCBBz=10,.,./被&=篝Q A故答案为：40,T T -【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根 据 题 意 得 出

19、 出 G,NC近位及N&?近的度数，找出规律是解答此题的关键.4、A14【分析】分三种情况：点/为 顶 点；点 8为顶点；点 C 为顶点；得 到 能 使 a 为等腰三角形的点C的个数，再根据概率公式计算即可求解.【详解】如图，28=炉 方=石，二 若A B=A C,符合要求的有3个点；若A B=B C,符合要求的有2个点；若A C=8 C,不存在这样格点.这 样 的 C点 有 5个.能使械 为等腰三角形的概率是J14故答案为：J14【点睛】此题考查等腰三角形的判定和概率的求法：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同,;7 7其 中 事 件/出 现/种 结 果，那么事件A的概率户（4）=

20、一.n5、12【分析】由垂直平分线的性质得出劭=切，判断出/外修有最小值时即为4C的长时，A3。周长的最小.【详解】解：连接切，如图，.MN为BC边上的垂直平分线，:.BD=CD,：.AB。周长=4班 即4 g/班如股，.当4小切有最小值时，周长的最小，当力、D、C在一条直线上时，4分修有最小值，此时4切最小值为AC的长,，周长的最小值为/於/C的值，：AB=5,AC=7,M周长的最小值为5+7=12.故答案为：12.【点睛】本题考查了垂直平分线的性质和三角形的周长，正确理解垂直平分线上的点到两端点的距离相等是解题的关键.三、解答题1、(1)=；(2)3；G E FH=E F、(3)相等，理由

21、见解析【分析】(1)P 5P F,利用条件证明阳侬 M V 即可得出结论；(2)根据等腰直角三角形的性质得到好抬外 证明4 6 7 倍 叱(/必)，/EP g/F P H,X GP 哈 X O P H,得到答案；根据勾股定理，全等三角形的性质解答；(3)作产。，物 于。P H O B H,证明2 法断根据全等三角形的性质证明结论.【详解】(1)如图2,过 点 尸 作 勿，P N LO B,垂足是M,N,Z AO B=Z P M E=Z 7 i 9 0 ,.*.N M*9 0 ,.%是N 4 如的平分线，:.P N AP N,VZ 7 7 9 0 ,工 /M P 斤 N F P N,在阳V 和/

22、7 W 中,NPME=NPNFPM=PN/MPE=/NPF侬 网,3 9），:PE-PF,故答案为：=;（2）;3平分N4留：.ZAO（=ZBOC=45,67/10C,：,/0G住40HGM5。,OP=PG=PH,./0 3 9 0 ,/EP六94,G P人 OPF,在C T 安和。勿中，/PGE=/POF PG=PO,4GPE=N0PF:Z P g X O P F （4夕 1）,同 理 可 证 明 附GP=PH .1/GPO=NOP，OP=OP:GPgXOPHSAS）、全等三角形有3 对,故答案为：3；GE+FH=EP,理由如下：GPEXOPF,:.G50F,EPgXFPH,：.FH=OE,

23、在 以 阴 中，OP+OEfi,:.GE+F甘=EP,故答案为：GF+F肛E户;(4)如图，作 F 6 工 于 G,PH10B于H,在 石 和 /月中，ZPGO=ZPHO-NPOG=NPOH,OP=OP:.0P g/0P H,：.PGPH,：ZAOB=60,N P G 3 N/W 3 9 0 ,：.4GP H=2 0 ，:N EP F=1 2 0 ,:.N GP H=/EP F,：.4GP E 4F P H,在户龙 和战中，NPGE=N P H F3=C.A48D周长转化为Afi+AC即可求解.【详解】解：由已知作图方法可得，ON是线段8 c 的垂直平分线，所以，B D =CD,因为，A C

24、=6,AB =4,所以，A B+B D+A D =AB +C D+A D =AB +A C =4+6=10,因此，AB。的周长是10.【点睛】本题主要考查中垂线性质，解题的关键是掌握中垂线上一点到线段两端点距离相等，将所求周长转化为A 8+A C 的和即可.3、（1）AD =2 y/3.（2）Z A C =6 0。；证明见解析.【分析】（1）连接加，B D,可证明展为等边三角形，再结合等腰三角形的性质和三角形外角的性质证明N B AD=N B D A=30 ,可得N/1 旌 9 0 ,利用勾股定理即可得出结论；（2）连接物与。3交于凡连接比利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求得N C O

25、8 和Z C D A,从而可求得Z A D 8,根据轴对称图形对应点连接线段被对称轴垂直平分、三角形内角和定理、对顶角相等可求得Z A E C 的度数；连接跳；在 4 5 1 上 截 取 游 圆 可证明a G C 石为等边三角形和X ACGgX B CE,结合等量代换即可证明结论.【详解】解：（1）补全图形如下，连接R B D,为等边三角形，：.ZAB(=60 ,AB B(=2,又：N B CH/B P O N AB O 6G,B O B P,B C六/B P O B N ,:点 6 关于直线上 的对称点为D,：.B P=D P,N B P C=/D P g G ,:.N B P D-60。，

26、出力为等边三角形，:.N D B 再6。,D 六B D=B 六AF 2,，/BAD=/BDA,又 ：N B A/N BDA=N DB六,:.NBAD=NBDA=3Q,，/4 9片90,/.AD=J AP?-DP?=（AB+BP）2-D P2=/42-22=.（2）如下图所示，连接劭与交于尸，连接比；由（1）可知/雀=60,AOBC,点6关于直线的对称点为D,J.BOCD-AC,NDCP=NBCP=a,N C7790 ,=9 0-a,6 0-a,ZADB=NCDB-ZCDA=（90-a）-（60。-a）=30,，ZAEC=ZFED=90-ZADB=60,如下图，连接阳 在I f上截取给党由得ZA

27、C=60。，GECE,为等边三角形,:.GC=CE,NGC&60。,由(1)得N4 60,AOBC,./叱/戍炉60-ABCG,在 力 ；和6Q 中AC=BC；NACG=NBCE,CG=CE：./ACG/BCE(SAS):.A1BE,点6 关于直线/T 的对称点为D,：.BE=DE,：.AE=GE+AG=CE+BE=CE+DE.【点睛】本题考查轴对称的性质，全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，三角形外角和内角的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等.（1）中能正确构造直角三角形并证明是解题关键；（2）中掌握等边对等角定理，并能利用三角形内角和定理表示等腰三角形的底角是解题关键；中掌握割

28、补法是解题关键.4、（1）证明见解析；（2）力值为5 或 6；点 运动的时间为6s,y.v,或5s时;AADN为等腰三角形.【分析】(1)设 B D=2 x,AD=Zx,CD=x,则 4 6=5 x,由勾股定理求出4G即可得出结论；(2)由4 6 C 的面积求出 做、AD.CD、AC；再分当腑比时，川仁4 V 和当 V 和时，4 =4 V 两种情况得出方程，解方程即可；分三种情况：AD=AN-,D A=D N-,和 A 氏A%,三种情况讨论即可【详解】解：(1)设 B D=2 x,4 g 3 x,C A 4 x,则 4 6=5 x,在 R tl ACD 中，AC=JAD2+CD2=5 x,：.

29、AB=AC,.4%是等腰三角形；(2)五.=g X 5 xX 4 x=4 0 c i n2,而 x 0,；x=2 c m,则切=4 c m,力 =6 c m,6 7 2=8 c m,AC=1 O c m.当掰V 比时，AM=AN,即 1 0 V=,此时t=5,当 D N B C卡,AD=AN,此时 1=6,综上所述，若%V 的边与比平行时，值为5 或 6；A 4 0 N 能成为等腰三角形，分三种情况：(i )若/仄a N 6,如图：C/NBD工则 i=Y=6 s；(i i )若D归D N,如图:过 点 作，AC于点H,则A住NH,由 5 v/8=g 4 D C D =；A C O ，得g x6

30、 x8 =g xlO xO”，解得。=三2 4，在 RIYADH 中，AH=AD-DH-=/-(券=J 1,AN=2AH=-,AN 3 6.t=-=S ;1 5(i i i)若 N FN A,如图：DQB过点 作NQ J.A 3于点0,则 力 仍3,NQ=gcD =4,：.AN=1 AQ2+NQ2=732+42=5,t=-A-N-=5cs；1综上，点/V运动的时间为6s,y.s,或5s时，AADN为等腰三角形.【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形的面积公式，勾股定理，解本题的关键是熟练掌握方程的思想方法和分类讨论思想.5、见解析.【分析】先根据角平分线的定义得到/物场3 N阴,，再根据等腰三角形的性质和三角形外角定理得到N斤gA B A C,从而得到/加加N 4,即可证明4?龙.【详解】解：:AD平分4BAC,:.NBAD=g/BAC,：AE AC,：.AE=ZACE,：AE+AACE=ZBAC,：.N*/BAG：./BAD=NE,：.AD/CE.【点睛】本题考查了角平分线的定义，等腰三角形的性质，平行线的判定，三角形外角定理，熟知相关定理并灵活应用是解题关键.