2021-2022学年高一人教A版数学必修1学案：第三章函数的应用.pdf

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1、第三章函数的应用3.1 函数与方程3.1.1 方程的根与函数的零点1.理解零点的概念.函数的零点与方程根的关系（1 观想象）.：2 2.会求函数零点（数学运算）.；13.掌握函数零点存在的条件.并会判断函数零点的个数（逻辑推理）.标馋基 础 认 知自主学习导思1.函数的零点是如何定义的？它与函数的图象、方程的根有什么样的关系？2.零点存在性定理是什么？它可以求零点吗？1 .函数的零点函数f（x）的零点是使f（x）=0的实数x.函数的零点、函数的图象、方程的根的关系.思考？函数的零点是点吗？提 示：不是，是使f(x)=0的实数x ,是方程f(x)=0的根.函数的零点个数、函数的图象与x轴的交点个

2、数、方程f(x)=O根的个数有什么关系？提 示：相 等.2.函数的零点存在性定理条件：函数y =f(x)在区间 a,b上的图象是连续不断的一条曲线,f(a)f(b)0.结论：函数y =f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c(a,b)使f(c)包，这个c也就是f(x)=O的根.思考函数y =f(x)在区间 a,b上的图象是连续不断的一条曲线，f(a)f(b)0时，能否判断函数在区间(a,b)上的零点个数？提 示：只能判断有无零点，不能判断零点的个数.,基础小测1.辨析记忆(对的打w，错的打“X”)函数y =2x-1的 零 点 是,().(x )提 示：函数y =2 x-l的零点是;.函数f(

3、x)=X2+X+1有零点.(X)提示：因为方程x 2+x+l=0的A=l-4=-30 ,则在区间(a,b)一定没有零点.(x )提 示：如f(x)=X?在区间(-1,1)上有f(-l)f(l)=1x 1=1 0，但是在区间(-1,1)上有零点0.2.下列各图象表示的函数中没有零点的是()选D.结合函数零点的定义可知选项D没有零点，故选D.3.函数y =x2-4的零点是_ _ _ _ _ _ _.令 x?-4=0 ,解得 x =2,所以函数y =x2-4的零点是 2.答 案:2年 能 力 形 成合作探究处类型一函数零点的概念及求法(数学抽象、数学运算)题组训练1.函数 f(x)=x2+2x -3

4、,x 0的零点是(A .-3,1 B.-3,e C .1,e2 D .-3,e22.求下列函数的零点：(l)f(x)=x2+7x +6；(2)f(x)=1-l o g 2(x +3)；x2+2x-3,x0.1.选 D.当 x0 时，令-2+lnx=0,解得 x=e2.x2+2x-3 xv()的零点为-3 和 e02.解方程f(x)=x?+7x+6=0,得 x=-1 或 x=-6,所以函数的零点是-1,-6.(2)解 方 程 f(x)=1 -log2(x+3)=0,得 x=-1 ,所以函数的零点是-1.解方程f(x)=2x-3=0,得 x=log26,所以函数的零点是log26.(4)当 x0

5、时,令-2 +lnx=0,解得 x=e2.x2+2x-3 x0,;解 题 第 略函数零点的求法求函数的零点即求方程f(x)=0 的 根，求根时要涉及一元一次、二次 方 程，分式方程的解法，有时还需要利用指、对互化解与指数、对数相关的方程.在选择题中，也可以利用代入验证的方法求零点.蜀【补偿训练】_ X _ _1.函数f(x)=l n x+丁 的 零 点 为()A,1 1A .1 B.i C.e D .-2 e选A.依次检验，使f(x)=0的即为零点.2.函数y =3 x-2的零点是_ _ _ _ _.令 3*-2=0 ,则 3X=2,所以 x =l o g 32.答 案：l o g 323 .

6、判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出；否则，请说明理 由.(l)f(x)=x2+7x +6；(2)f(x)=1 -Io g2(x +3)；x2+4x -12(3)f(x)=-；-.x -2存在解方程f(x)=x 2+7x +6=0 ,得x=-1或x=-6,所以函数的零点是-1 ,-6.存在解方程 f(x)=1 -l o g2(x +3)=0,得x =-1,所以函数的零点是-1.X2+4x -12存在解方程f(x)=-=0 ,x -2得x =-6,所以函数的零点为-6.K类型二 判断函数零点的个数(直观想象、数学运算)【典例】1.函数f(x)=l n (x+l)-1在定义域内的零点个数为(

7、)A.A.0B.1C.2 D.32.若函数f(x)=ax-x-a(a0,且al)有两个零点，则实数a的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _.【思路导引】将判断函数零点个数转化为判断两个函数的交点问题.1.选C.函数f(x)=In(x+1)-；在定义域 x|x -1且x/)内的零点个A.数，即 为f(x)=0的根的个数,即 求y=In(x+1)和y=；的图象交点A.个 数，作 出y=In(x+1)和y=；的 图 象，可得有两个交点.2.函 数f(x)的零点的个数就是函数y=a*与函数y=x+a的图象的交点的个数，如 图，当a l时，两函数图象有两个交点；当0al.答 案：(1 ,+0 0).

8、解题策略利用函数的图象判断零点个数 原 理：函数的零点个数仁方程的根的个数仁移项拆分为两个函数,作图观察交点个数.关键：拆分成的两个函数应方便作图.跟踪训练,1 .函数f(x)=In X -的 零 点 的 个 数 是()x-1A.0 B.1 C.2 D.3选C.在同一坐标系中画出y=In x与y=的图象，如图所示，函x-1 y =lnx-y=二一的图象有两个交点所以函数f(x)=In x-二一x-1x-1的零点个数为2.2.判断函数f(x)=2x+lg(x+l)-2的零点个数.方;A ：因为 f(0)=l+0-2=-10,所以f(x)在(0,2)上必定存在零点，又因为f(x)=+1g(x+1)

9、-2在(0,+oo)上为增函数,故f(x)有且只有一个零点.方法二：在同一坐标系中作出h(x)=2-和g(x)=lg(x+1)的图象.由图象知g(x)=1g(x+1)的图象和h(x)=2-2X的图象有且只有一个交点，即f(x)=2x+lg(x+l)-2有且只有一个零点.类型三判断函数零点所在的区间(数学抽象、数学运算)角度1判断零点所在的区间【典例】1.由表格中的数据，可以断定方程ex-3 x-2 =0的一个根所在的区间是()X01234ex12.727.3920.0954.603x+22581114A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)2.函数f(x)=1+ln|的零点所在

10、的大致区间是()A.A.A.(1,2)B.(2,e)C.(e,3)D.(3,4)【思路导引】1.利用ex与3x+2在区间端点处的大小进行判断.2 .计算在区间端点处的函数值，利用零点存在性定理判断.L选 C.由题意，令 f(x)=ex-3x-2,因为 f(2)=e2-3x2-2-7.39-8=-0.610,所以f(2f(3)0 ,f =/+l n 2=l n 1可,且;,e2 1，所以 f(2)0 ,故f(l)f(2)0 ,x 0 时 f(x)*-o o ,所以f(x)=X+l o g2x的零点所在的区间为(0 ,1).22.函数f(x)=l n x-的零点所在的大致区间是()AA .(1,2

11、)B.(2,3)C.,1 j 和(3,4)D .(e,+8)选 B.因为 f(l)=-2 0,f(2)=l n 2-l 0 ,所以 f(2f(3)l 或 a=0C.a 1 D.a=-Jo【思路导引】讨论a=0,a0,a0三种情况下，使 f(x)在(0,1)上恰有一个零点时,a 满足的条件.选 C.若函数f(x)=2ax2-x-1在区间(0,1)内恰有一个零点,则方程2ax2-x-1=0在区间(0,1)内恰有一个根,若 a=0,则方程2ax2-x-1=0可化为：-x-1 =0,方程的解为-1 ,不成立；f1 八X+X2=0 ,若a 0,设方程的两根为X,X2,则0,故 X1O,x20,则函数图象

12、开口向上，又 f(0)=-10,所以al.综上：al.*解题策略1.判断函数零点所在区间的三个步骤代入：将区间端点值代入函数求出函数的值.判断：把所得的函数值相乘，并进行符号判断.结论：若符号为正且函数在该区间内是单调函数.则在该区间内无零点，若符号为负且函数连续,则在该区间内至少有一个零点.2.关于含参数的函数零点含参数的函数零点问题往往涉及一元一次、一元二次函数的图象和性质.若二次项系数中含有字母，则讨论系数是否为零，其实质是区分一次函数和二次函数.(2)对于二次函数，则要结合二次函数的图象、端点值、二次方程中、根与系数的关系求解.题组训练、1.二次函数f(x)=ax2+bx+c(x e

13、R)的部分对应值如表：X-3-2-101234y6m-4-6-6_ 4n6不 求 a,b q的 值 判 断 方 程 ax2+bx+c=0 的两根所在的区间是()A.(-3,-1)和(2,4)B.(-3 ,-1)和(-1 ,1)C.(-1 ,1)和(1,2)D.(-8 ,-3)和(4,+刈2.若 a b c，则函数 f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)的两个零点分别位于区间()A.(a,b)和(b,c)内B.(-8 ,a)和(a,b)内C.(b,c)和(c,+oo)内D.(-oo,a)和(c,+oo)内3.函数f(x)=|2X-2|-b有两个零点，求实数b的

14、取值范围.1.选A利 用f(a)f(b)0,f(-1)=-4 0 ,所以在(-3,-1)内必有根.又因为f(2)=-40 ,所以在(2,4)内必有根.2.选 A.因为 f(x)=(x -a)(x -b)+(x -b)(x -c)+(x -c)(x -a),所以f(a)=(a-b)(a-c),f(b)=(b-c)(b-a),f(c)=(c-a)(c-b),因为 a b 0 ,f(b)0 ,所以f(x)的两个零点分别位于区间(a,b)和(b,c)内.3.由 f(x)=|2X-2|-b=0，得2 -2|=b.在同一平面直角坐标系中分别画出y =2 -2|与y =b的图象，如图所则 当0 b 2时，两

15、函数图象有两个交点，从而函数f(x)=|2x-2|-b有两个零点.第【补偿训练】在下列区间中，函数f(x)=ex+4x -3的零点所在的区间为()A .1 B.(0 ,选 C.显 然 f(x)为定义在R 上的连续函数.如 图，作 出 y =eX与 y =3-4 x的 图 象，由图象知函数f(x)=ex+4x -3 的零点一定落在区间(0,胃 内，又咐=%-2 0,所以零点所在的区间为，1教师专用备选类型一元二次方程根的分布(直观想象、数学运算)【典例】关 于 x的一元二次方程ax?-2(a+l)x +a-1 =0 ,求 a 为何值时方程有一正一负根？(2)方程两根都大于1?【思路导引】题 意

16、一 画 草 图 一 转换为数量关系 求解令 f(x)=ax2-2(a+l)x +a-1.(1)方程有一正一负根时，f(x)对应的图象只有如图、两种情况.f a0 ,f a 0 ,因 此 f(x)=0有一正一负根等价于 或 解得f (0 )0 ,0al.所以0a0,a0,0,2(a+1 )解得 0.2a2aJ (1 )0J (1 )0,a0.f(1 )0.所以当a0时，方程有一根大于1 ,一根小于1.除学情诊断课堂测评处1 .函数f(x)=x-2+log2x,则 f(x)的零点所在区间为()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)选 B.f(l)=-1 +log2l=-1 ,f(

17、2)=log22=1 ,所以 f(l).f(2)0.2.函数f(x)=lnx+3x的零点个数为()A.0B.1C.2D.3选 B.令 f(x)=0,则 In x+3x=0,即 In x=-3x,令 y=In x,y=-3 x，作出两函数的图象，如图两函数有一个交点，故方程lnx+3x=0有一个根，函数f(x)=In x+3x有一个零点.3.(教材复习参考改编)若函数f(x)的唯一零点同时在区间(0,8),(0,4),(0,2)内，则下列命题中正确的是()A.函数f(x)在区间(0,1)内有零点B.函数f(x)在区间(0,1)或(1,2)内有零点C.函数f(x)在区间(1,8)内无零点D.函数f

18、(x)在区间 2,8)内无零点选D.因为函数f(x)唯一的一个零点同时在区间(0,8),(0,4),(0,2)内，所以函数f(x)唯一的一个零点在区间(0,2)内，所以函数f(x)在区间 2,8)内无零点.4.已知函数f(x)=x2-ax-b的两个零点是2和3,则函数g(x)=bx2-ax-1 的零点是_.由题意知，方程x 2-a x-b =0的两根为2,3,2+3=a,所以 BP a=5,b=-6,I 2x3=-b,所以方程 bx 2-ax -1=0,即-6x 2-即为函数g(x)的零点.1 1答 案：-2/35.函数f(x)=3x +1-7的零点是7令 3*+J 7=0 ,解得 x =l o g 3g ,7所以函数的零点为10 g 3；.7答 案：10 g 3g-1 =0 ,它的根为 1,关闭Word文档返回原板块