2022中考数学复习《二次函数综合题》（解析版）.pdf

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1、专题0 8 二次函数综合题(解析版)专题诠释：二次函数一直是中考的重点与热点，常以压轴题形式出现。考查的类型有线段问题，面积问题，角度问题，存在性问题及新定义型问题等。第 一 部 分 要 由 珂 析+针 对 训 然类型一线段问题典 例1 (2 0 2 0秋安庆期中)如图，抛物线y=a f+bx+4交x轴于“(-3,0),B(4,0)两点，与y轴交于点C,连接/C,BC.M为线段0 8上的一个动点，过 点 用 作P M L x轴，交抛物线于点P，交8 C于点Q.(1)求抛物线的表达式；(2)过点尸作P N _L 8 C,垂足为点N.设M点 的 坐 标 为 加，0),请用含m的代数式表示线段P N

2、的长，并求出当机为何值时P N有最大值1思路引领：(1)用待定系数法即可求解；(2)由P N =P Qs i n4 5。=字(一号/+g m)=容 一解:(1)将/(-3,0),B(4,0)代 入 尸0?+以+4,解之，得 1 3.b=3所以，抛物线的表达式为y =-#+上+4；1 1(2)由 丁 =一打 2+4,得 C(0,4).将点 8 (4,0)、C(0,4)代入y=h+6,得：匕，=所以，直线8 c的表达式为：y=-x H.由 M(m,0),得P(z n,m2+4),Q(m,-:P Q=一.病+4 +m 4 =一可一+：O B=O C,工乙4 BC=NO CB=4 5.最大值是多少？+

3、竽ni即可求解.彳 旦 1 9 a 3 b+4 =0Wt l6 a 4-4-4 =O 0,解之，得 忆Jm+4).A Z P Q N=Z B QM=4 5Q.D M _ nn,ACO 荻 r 1 2 4 、_/2?2般 _ 5/2 /9、2 2底 P N=P Qs i z i 4 5 =(一+可m)=g-z nz H -m =(m-2)H -,-f 2 V2，当，=2时，P N有最大值，最大值为一 .点睛：本题考查的是抛物线与x轴的交点，涉及到一次函数的性质、解直角三角形、等腰三角形的性质等，有一定的综合性，难度不大.针对训练11.(2 0 1 9贺州)如图，在平面直角坐标系中，已知点8的坐标

4、为(-1,0),且O N =O C=4 0 8,抛物线y=nx 2+bx+c(a O)图象经过/,B,C三点.(1)求4 C两点的坐标；(2)求抛物线的解析式；(3)若点P是直线N C下方的抛物线上的一个动点，作P O L N C于点。，当尸。的值最大时，求此时点P的 坐 标 及 的 最 大 值.思路引领：(1)O A=O C 4 O B=4,即可求解；(2)抛物线的表达式为:y=a(x+1)(x-4)=a(x2-3 x-4),即可求解;(3)P D=H P s i nNP FD=(x -4 -x2+3 x+4,即可求解.解：O A=O C=4 O B=4,故点X、C的坐标分别为(4,0)、(

5、0,-4)；(2)抛物线的表达式为：y=a(x+1)(x-4)=a(/-3 x-4),即-4 a=-4,解得：a=l,故抛物线的表达式为：y=x 2 -3 x -4：(3)直线C 4过点C,设其函数表达式为：y=kx-4,将点力坐标代入上式并解得：A=l，故直线C A的表达式为：y=x -4,过点P作y轴的平行线交A C于点H,y轴，：.Z P H D=Z O CA=4 5 ,设点尸(x,?-3 x-4),则点，(x,x-4),P D=H P s m Z P H D=号(x-4 -x2+3 x+4)=-x2+2 /2 x,.一孝 0.(1)求此抛物线的解析式；(2)当点P位于x轴下方时，求/8

6、 P面积的最大值；(3)设此抛物线在点C与点P之间部分(含点C和点产)最高点与最低点的纵坐标之差为h.求关于机的函数解析式，并写出自变量机的取值范围；当/=9时，直接写出BC尸的面积.思路引领：(1)将点C(0,-3)代入歹=(x-1)之+k即可；(2)易求4(-1,0),B(3,0),抛物线顶点为(1,-4),当尸位于抛物线顶点时,45。的面积有最大值；(3)当 0加1 时、h=-3-(加2-2m-3)=-加 2+2 加；当 1 m 2 时，h=-3-(-4)=1 ；当加2 时，h=m2-2m-3-(-4)=w2-2m+；当=9 时若-加2+2用=9,此时A 0,加无解；若?2-2加+1=9

7、,则加=4,则尸(4,ill5),8CP 的面积=/8 X 4-/5 X l-/(4+1)X 3=6；解：(1)将点 C(0,-3)代入y=(x-1)2+k,得 k=-4,.y=(x-1)2-4=7 -2r-3；(2)令y=0,x=-1 或 x=3,：.A(-1,0),B(3,0),：.AB=4：抛物线顶点为(1,-4),当P 位于抛物线顶点时，44B P 的面积有最大值，S=g x 4 x 4=8；(3)当 0加1 时，h=-3-(m2-2m-3)=-m2+2m；当 lWmW2 时，h=-3-(-4)=1：当?2 时，h=m2-2m-3-(-4)=m2-2w+l：当h=9 时若-，M+2用=

8、%此时AVO,7M无解；若 tn2-2m+l=9.则 m=4,：.P(4,5),:B(3,0),C(0,-3),.8 的面积=2 x 8 X 4-；x5X l-a x(4+l)X 3=6；点睛：本题考查二次函数的图象及性质，是二次函数综合题；熟练掌握二次函数的性质,数形结合，分类讨论是解题的关键.针对训练22.(20 21百色)已知。为坐标原点，直线/：尸 一 分+2与x轴、轴分别交于/、C两点,点8 (4,2)关于直线/的对称点是点E,连接E C交x轴于点。.(1)求证：A D=C D；(2)求经过8、。、。三点的抛物线的函数表达式；(3)当X 0时，抛物线上是否存在点P,使 S BC=若存

9、在，求点尸的坐标;若不存在，说明理由.思路引领：(1)求出4、C两点的坐标，可得四边形O/8 C是矩形，贝IJO/8 C,N BCA=ZOA C,由对称可得等量代换得等角对等边即可得出/O=C D；(2)设 0 D=m,由对称可得 CE=B C=4,4E=A B=OC=2,由(1)得 C D=A D=4-m,在R t Z O C中，根据勾股定理可得?=|,可得。的坐标，再由8、C、。三点的坐标通过待定系数法即可求得抛物线的函数表达式；过 点E作屈kL x轴于由S k 4 E 0=可得设8 c中8 c边上的高为，由SMBC=|S M E可得=2,则点尸的纵坐标为0或4,分别将y=0和)，=4代入

10、抛物线的函数表达式即可求解.(1)证明：尸一营+2与x轴、.轴分别交于4、C两点，：.A(4,0),C (0,2),由对称得/NACB,*：B(4,2),四边形O/2C是矩形，：.0A/BC,：.Z BCA=Z O AC,A ZACD=ZO ACf：.AD=CD；解得:(2)解：设 由对称可得 CE=8C=4,AE=AB=OC=2,NAED=NB=90,.C D=A D=4-m,在 RtZXOCO 中，oJ+OCZnCZ,/./?72+22=(4-m)2,3 3,fn=5,:.D(一,0),2 2设经过8、C、。三点的抛物线的函数表达式为：y=x2+bx+c,3把 8(4,2),C(0,2),

11、D(-,0)代入得：2c=216a+4b+c=2,言a+,b +c 04 28a =15,32.h =-i5c=2.经过8,C,。三点的抛物线的函数表达式为：夕=袅2 _ 1|什2；(3)解：存在，-,SAAED=AD-EM,X2X5=4X(4-)EM,：.EM=2 2 2 2 5设XPBC中8。边上的高为h,5 5 1 1*：S八PBC=QSAOAE，*e-x 二OAEM=；BC，h,4/7X1-26-=5X4X1-2X5-3V C (0,2),B(4,2),点尸的纵坐标为0或4,y=0时,解得:y=4 时，一x2-=4,1 5 1 b解得：X 3=生 要，3=生 萝(舍 去)，3 5 4+

12、v y i存在，点P的坐标为(二，0)或(二，0)或(-，4).2 2 2点睛：本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、待定系数法，矩形的性质、对称的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的面积公式等知识，解题的关键是利用待定系数法求出过8、C,。三点的抛物线的函数表达式，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题.类型三存在性问题3典例3 (20 20东丽区一 模)如图，抛物线经过/(-1,0),B(3,0),C(0,-)三点.(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上有一点P,使 以+P C的值最小，求点P的坐标；(3)点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点M 使以C,M

13、,N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由.B x思路引领：(1)根据待定系数法，可得函数解析式；(2)因为点Z关于对称轴对称的点8的坐标为(3,0),连接8 c交对称轴直线于点尸,求出P点坐标即可；(3)分点N在x轴下方或上方两种情况进行讨论.解：(1)设抛物线的解析式为y=/+6 x+c (W 0),3,：A(-1,0),B(5,0),C(0,-)三点在抛物线上，a b+c =09 a +3 b +c =0c=l解得1-2-13-2.abck抛物线的解析式为：、=一 2+尢+京(2).抛物线的解析式为y =-#+x +|,其对称轴为直线：%=-=L2 a

14、2 x(-1)连接8 C,设直线8 c的 解 析 式 为(左 中0),3*：B(3,0),C (0,-),2(3 k+b =0 f f c =-5A.3 解得 J.If b=f.直线B C的解析式为y =-1 x +|.1 Q当 x=l 时，y =2 +2 =：.P(1,1)；(3)存 在.如 图2所示.当点N在x轴上方时，3.抛物线的对称轴为直线x=l,C (0,3.N(2,)；2当点N在x轴下方时，如图，过点M作N1DA.X轴于点D,：.A A N i D q 4 M le O.：.N iD=OC=即M点的纵坐标为一宗-32+工+|=1,解得 X=1 +迎或 X=一巾,Q O:.Ni(1

15、+V 7,N3(1 -V 7,-1).3 o o综上所述，点 N 的坐标为(2,-),(1 +V 7,(1-V 7,点睛：本题考查的是二次函数综合知识，涉及到用待定系数法求一次函数与二次函数的解析式、平行四边的判定与性质、全等三角形等知识，在 解 答(3)时要注意进行分类讨论.针对训练33.(2 02 1 巴中)已知抛物线y=a 7+6 x+c与x轴交于Z (-2,0)、B(6,0)两点，与 轴交于点C(0，-3).(1)求抛物线的表达式；P M(2)点尸在直线8 C下方的抛物线上，连接N P交3。于 点 当 二7；最大时，求点尸的AMP M坐标及二7 7的最大值；(3)在(2)的条件下，过点

16、尸作x轴的垂线/,在/上是否存在点。，使是直角三角形，若存在，请直接写出点。的坐标；若不存在，请说明理由.思路引领：(1)将/(-2,0)B(6,0)C(0,-3)代入y a x+6 x+c即可求解析式；(2)过点Z作轴交 直 线 于 点 过P作尸凡L x轴 交 直 线 于 点 凡 由PbM P P F P F/A E,可得7 7 7 =7 7，则求大 的最大值即可；AM AE AE(3)分三种情况讨论：当N C 8 O=9 0时，过点8作G H J _ x轴，过点。作。G _ L y轴，D G 与G H交于点、G,过点。作C _ L y轴,C 与G交于点，可证明 O B G s A g C

17、H,求出。（3,6）；当N 8 C Z）=9 0时，过点。作。轴交于点K,可证明 O B C s 4K CD,求出。（3,-9）；当N 8 D C=9 O 时，线段8 C的中点7（3,少，设。（3,加），1 3V5 3 Q./q Q由。7=白8。，可求。（3,一）或。（3,一竽一 2）.2 2 2 2 2解：（1）将点4（-2,0）、B（6,0）、C（0,-3）代入y=/+f e c+c,（4 a-2 b +c =0 f a =i得36 a +6 b +c =0,解得匕=f（c =-3 U Z-3.尸不1丫 2 X -23；（2）如 图1,过点4作4轴交直线B C于点、E,过产作PFL x轴交

18、直线8。于点R:.PF/AE9MP PFAM AE设直线B C的解析式为y=f c r+d,.(6k+d =0.f f c =i.(=3，ld =_3，.尸 1-32,设 尸，J r2-r -3),则 尸(/,*-3),I 1 o 1 9 3P F=3-4，+f+3=一下+2 ：A(-2,0),：.E(-2,-4),：.AE=4,.小=竺=至受=_4+*=4”3)AM AE 4 16 8 16916fMP 9：当z=3时，7二有最大值7 7，AM 16：.P（3,-苧）；（3）V P （3,-苧），。点在/上,如图2,当/。8。=9 0时，过点8作G，_ L x轴，过点。作。G _ L y轴，

19、OG与GH交于点G,过点C作C J _ y轴,C H与G H交于点/,Z DBG+Z GDB=9 0 ，N D B G+N C B H=9 0 ,:.NGDB=/CBH,：.DBGSBCH,DG _ BGBH-CH3 BG即一=-3 6:.BG=6,：.D(3,6)；如图3,当NBCD=900时，过点D 作DKy轴交于点K,：NKCDNOCB=90,NKCD+NCDK=9Q。,：.ZCDK=ZOCB,:AO BCSAKCD,OB OC _ 6 3/.=,即=一,KC KD KC 3:KC=6,：.D(3,-9)；如图4当NBDC=90。时，线段BC的中点7 (3,-|),BC=3后设。(3,%

20、),：D T=BC,二|阳+|=苧，.3V 5 3 T 3V 5 3/M=_2-之或?=-r 2,3y/5 3-37 5 3:D(3,)或。(3,5)；2 2 2 2综上所述：A B C。是直角三角形时，。点坐标为(3,6)或(3,-9)或(3,-竽-力或点睛：本题考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象及性质，通过构造平行线 将 一AM的最大值问题转化为求竺的最大值问题是解题的关键.AE类型四角度问题1 3.(崇川区模拟)如图，抛物线卜=?+版+，交x轴 于O (0,0),A(8,0)两点，顶点(1)直接写出抛物线的解析式;(2)若 点C是抛物线上异于原点。的一点，且满足28 c2=0貂+

21、20c2,试判断o s。的形状，并说明理由.(3)在(2)的条件下，若抛物线上存在一点D,使得N O C D=N/O C-N OC A,求点D的坐标.思路引领：(1)根据抛物线卜=4：+6/。交x轴 于。(0,0),A(8,0)两点，顶 点8的纵坐标为4,根据待定系数法可求抛物线的解析式：(2)设 C(x,y),由勾股定理得点 C (12,-12),则/4 O 8=N N O C=4 5 ,Z B O C=9 0 ,因此 O BC是直角三角形；(3)作轴于E,根据三角函数可得直线与抛物线的交点即为所求点D./O BC中，t a n N 0C 8=g可得直线上方的点。即为点8 (4,4),由点8

22、关于点。的12v 2$对称点(-4,-4),且O 8 _ L O C,可得N O C B=N O C B,将直线8c解析式为尸一方-6 代入抛物线y=/M+2 x,可得点。的坐标.解：(1).抛物线ynaW+bx+c交 x 轴 于O(0,0),A(8,0)两点，顶点8 的纵坐标为 4,C=0(Q =一;64 a+8b+c=0,解得，2 ,16a+4b+c=0(c=0故抛物线的解析式是y=-1 x2+2x；(2)OBC是直角三角形.如 图 1,设 C(x,y),由勾股定理得：O B2=42+42,OC2=x2+y2 BC2=(.x-4)2+(y-4)2,.,2802=0/2+20c2,二化简得x

23、=-y,代 入 产 x2+2x,解得 x=12,y=-12,即点 C(12,-12),则4 0 8=4 0 0=4 5 ,Z5OC=90,因此OBC是宜角三角形.1(3)如图 2,作 CEJ_x 轴于 E,则 tan/CE=w.V Z A O C Z O CE=4 5 ,A Z A O C -N O C A =N O C E -O CA=NACE,/Z0 C D=N A O C -Z O CA,：.ta n Z O C D=1,只要经过点c,在 c o 的上方与下方各作一条直线，使所作直线与c。所成锐角的正切值1为9则直线与抛物线的交点即为所求点D,/O8C 中tan ZOCB=12/2直线上

24、方的点。即为点8(4,4),/点B关于点O的对称点B(-4,-4),且O BL O C,：.Z O C B=Z O CB直线BC解析式为了=-寺x-6.代入抛物线y=-J x 2 +2x,解得x i=-2,X2=1O (舍去),当 x=-2 时，y=-5.则。(-2,-5).点睛：本题主要考查了二次函数综合题，涉及运用待定系数法求抛物线解析式、直角三角形的判定、三角函数、勾股定理等知识，运用图形结合的思想是解题的关键.针对训练4(2021枣庄)如图，在平面直角坐标系中，直线y=-热+3与x轴交于点4,与y轴交于点B,抛物线y=x2+bx+c经过坐标原点和点A,顶点为点M.(1)求抛物线的关系式

25、及点M的坐标；(2)点E是直线下方的抛物线上一动点，连接 8,E4当E/8的面积等于g时，求E点的坐标；(3)将直线N 3向下平移，得 到 过 点 的 直 线 且 与x轴负半轴交于点C,取点。(2,0),连接求证：Z A D M-Z ACM=4 5 .思路引领：(1)用待定系数法即可求解；=(2+3)x1V5,由 点。、河 的坐标得，DM=7(2-3)2+(0+3)2=V 1 0,即可求解.解：(1)对 于 产-3 叶3,令 y=-%+3=0,解得x=6,令 x=0,则y=3,故点/、5 的坐标分别为(6,0)、(0,3),;抛 物 线 产 条 2+Ax+c经过坐标原点，故 c=0,将点”的坐

26、标代入抛物线表达式得：0=*3 6+6 8,解得=-2,故抛物线的表达式为尸#-2x；则抛物线的对称轴为x=3,当 x=3 时，y=#-2x=-3,则点M 的坐标为(3,-3)；设点E 的坐标为(K,jx2-2 x),则点“(x,-1x+3),1 1 11 21则 1 的面积=SAE/8+SAE/A4=2 xEX OA=5 x6X(-6+3-ix2+2x)=爱,7解得x=i 或万，故点E 的坐标为(1,-|)或(1,碧)；(3)直线4 8 向下平移后过点M(3,-3),故直线CAf的表达式为y=(x-3)-3=-%-*,令 夕=-/一 2=0,解得x=-3,故点 C(-3,0)；过点D 作 D

27、HVCM 于点H,V 直线CM的表达式为y=-1 x-1故 tanZAfCD=则 sinNMCZ)=专,则DH=CDsmZMCD=(2+3)X1奔=V5,由点 O、M 的坐标得，DM=J(2 _ 3)2+(0+3)2=V10,则 sin/M 如鼠=磊=竽，故N MZ)=45=ZDMC=ZADM-ZACM=45,ZADM-ZACM=45.点睛：本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、解直角三角形、面积的计算等，其 中（3）,确定N。历4CM是本题解题的关键.类型五新定义问题典 例 5（2021 南通）定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”.例 如

28、，点（1,1）是函数、=3+/的图象的“等值点”.（1）分别判断函数y=x+2,y=7-x的图象上是否存在“等值点”？如果存在，求出”等值点”的坐标：如果不存在，说明理由；（2）设函数夕=3 （x 0）,y=-x+6的图象的“等值点”分别为点Z,B,过点8作8 c_ L x轴，垂足为C.当 Z BC的面积为3时，求6的值；（3）若 函 数 尸7-2（xm）的图象记为斯，将其沿直线x=?翻折后的图象记为礼.当必，仍两部分组成的图象上恰有2个“等值点”时，直接写出m的取值范围.思路引领：（1）根 据“等值点”的定义建立方程求解即可得出答案；（2）先根据“等值点”的定义求出函数y=|（x 0）的图象

29、上有两个“等值点”/（V3,遮），同理求出8弓，/）,根据 A B C的面积为3可得x j b|X|百 一 夕|=3,求解即可；（3）先求出函数y=7-2的图象上有两个“等值点”（-1,-1）或（2,2）,再利用翻折的性质分类讨论即可.解：(1)在 y=x+2中，令 x=x+2,得 0=2 不成立，.函数y=x+2的图象上不存在“等值点”；在歹=-一工中，4 X2-x=x,解得：期=0,X2=2,函 数 的 图 象 上 有 两 个“等值点”(0,0)或(2,2)；(2)在 函 数 尸|(x 0)中，令解得：x=V3,：.A(V3,V3),在函数y=-x+b中，令 x=x+b,1 1 1解得：x

30、=冲,:B(b9-b)91 8C_Lx轴，：.C(-b,0),2：.BC=b,.Z8C 的面积为 3,当 6Vo 时，h2-2y3b-24=0,解得 b=-2V3,当 0W b2VW，b2-2y3b+24=0,:X=(-2V3)2-4X 1X24=-84 X2=2,.函数y=7-2 的图象上有两个“等值点”(-1,-1)或(2,2),当用7时，W,区两部分组成的图象上必有2 个“等值点”(-1,-1)或(2,2),W：y=7-2检：y=(x-2m)2-2(X/M),令 x=(x-2m)2-2,整理得：-(4?+l)x+4/-2=0,的图象上不存在“等值点”,0)%(%=)%-1|分段函数的形式

31、；(2)根据条件得各点坐标为：B(3,2),C(-2,3),(-1,2),)(-3,2),根据 两 点 间 的 距 离 公 式 得 到 DE,AE,C E,再根据相似三角形的判定即可求解；(x2-2 x-3(x 3)P M*丛F M O,4PMHS丛MFO,APMHS丛M F,进行讨论可求点尸的坐标.解：y=|x-l|=(Xr +l(lx(x v1i)；(2).函数y=|x-”与函数y=|的图象交于8,C,过点B 作x 轴的平行线分别交函数y=停 1，-1的图象于。，E两点.根据条件得各点坐标为：B(3,2),C(-2,3),E(-1,2),D(-3,2).:.BE=3-(-1)=4,DE=-

32、1 -(-3)=2,AE=y4+4=2&,CE=VTTT=V2,BE AE 在4E5 和CED 中，/A E B=/C E D,=2,DE CE：.M M BSAPNA.一,-、，10 13 8 11(3)P 的坐标为(6,2 1),(一,一),(一，一).3 9 3 9当 x=0 时，=|-/+2x+3|=3,：.F(0,3).当y=0 时，|-/+2%+3|=0,Axi=-1,%2=3,：.M(-1,0),N(3,0).(x2-2%-3(x V-1)由题意得y=|-X2+2X+3|=-x2+2x+3(-1 x 3)设尸的横坐标为,当x3 时，由题意 P（x,x2-2 x -3）,PH FO

33、右丛PM HsAFM O,=3,MH MOX2-2X-3-=3.x+l解得Xl=-1（舍去），X 2=6.，。的坐标为（6,2 1）.PH MO 1若丛 PMHS M F,=一,MH FO 3解 得=-1（舍去）,x2 310 13.P的坐标为（77，）.3 9二一2比 一3 _ 1X4-1-3点睛：本题考查了二次函数综合题，两点间的距离公式，相似三角形的判定与性质，考查了学生的阅读理解能力与知识的迁移能力，弄清绝对值函数的定义，进行分类讨论是解题的关键.第 二 部 分 专 题 理 优 训 练1.（2 0 2 0 成都模拟）已知，如图，抛物线=0?+瓜+。（a W O）的顶点为（1,9）,经过

34、抛物线上的两点力（-3,-7）和 8（3,加）的直线交抛物线的对称轴于点C.(2)在抛物线上4/两点之间的部分(不包含4朋两点)，是否存在点。，使得DAC=2S&DCM?若存在，求出点。的坐标；若不存在，请说明理由.(3)上 下 平 移 直 线 设 平 移 后 的 直 线 与 抛 物 线 交 于 H ,B 两 点(4在左边，B在右边)，且与y轴交于点P (0,)，若NH M B=9 0 ,求的值.思路引领：(1)抛物线的表达式为：y=a (x-1)2+9,将点/的坐标代入上式并解得：a=-1,即可求解；(2)S&DAC=2SGDCM，则 H N=2G H,即 1 -4-(3 4-7)=2 (9

35、 -4-1+左)，即可求解；(3)/G 4 M=ZHMB，故 t a n/G H M=t a n Z H M B，即：一 =9-(2+)9一(2%1+九)x2-l而 xi+x2=0,xX 2=n-8,+”=2，y y 2=4 n-3 2+n2,即可求解.解：(1)抛物线的表达式为：y=a(x-1)2+9,将点工的坐标代入上式并解得：a=-1,故抛物线的表达式为：y=-f+2 x+8,将点8坐标代入上式并解得：m=5,故点 8(3,5)；(2)过点A/、C、4分别作三条相互平移的平行线，分别交y轴于点G、H、N,直线/与抛物线交于点D,图1设直线机的表达式为：y=kx+t,将点”的坐标代入上式并

36、解得：f=9-七故直线m的表达式为：y=kx+9 -k,当 x=0 时，y 9 -k,即点 G （0,9 -k）,同理直线/的表达式为：y=f c r+l-k,故点，（0,1-k）,同理直线的表达式为：y=kx+3 k-7,故点N（3 4-7）,SADAC=2S&DCM，则 H N=2 GH,即 1-A-（3八7）=2 （9-4-1+左），解 得:k=-2,故直线/的表达式为：y=-2 x+3，联立并解得：x=5 （舍去）或-1,故点。（-1,5）；（3）直线，8 的表达式为：y=2 x+n,设点/、B 的坐标分别为：（X”以）、（X2,”），将抛物线与直线4 8 的表达式联立并整理得：x2+

37、n-8=0.故 xi+x2 =0,x m=n-8,y i+”=2 （xi+x2）+2 n=2 n,同理可得：y y 2=4 n-3 2+2,过点M作x轴的平行线交过点H与y轴的平行线于点G,交过点8 与y轴的平行线于点H,M B=9 0 ,A Z G M A1+Z G A1 M=9 0,Z G M Af+Z M H B,=9 0 ,：.Z GAf M=N H M B ,故 t a n N G H M=ta nNH M B,1 _%i 9 (2%2+m 2即：-=-,而 xi+%2=0,xx2=n-8,y+y 2=2 n,y y i=4 n-3 2+，9 一 (2%i+n)x2-l整理得：n2-

38、1 3”+4 2=0,解得：=6或7(舍去7),故 n=6.点睛：主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养.要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系.2.(诸城市二 模)如图，R t Z /5。的两直角边O/、0 8分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，O为坐标原点，A,8两点的坐标分别为(-3,0)、(0,4),抛物线y=|x2+b x+c经过点8,且顶点在直线x=9上.(1)求抛物线对应的函数关系式；(2)若把4 8。沿x轴向右平移得到 O CE,点/、B、O的对应点分别是。、C、E,当四边形Z 3 C

39、D是菱形时，试判断点C和点。是否在该抛物线上，并说明理由；(3)在(2)的条件下，连接8Z),已知在对称轴上存在一点P使得P 8Z)的周长最小，求出P点的坐标.思路引领：（1）利用对称轴公式求出6 的值，再利用8 点坐标得出c 即可；（2）利用菱形的性质得出C,。点坐标，再利用图象上点的坐标性质得出答案；（3）首先求出C D所在直线解析式，进而轴对称得出尸点位置，进而得出P点坐标.解：抛 物 线 产 jf+bx+c经过8（0,4）,，。=4,，顶点在直线X=擀上，；一/=擀，则-2=2 X3解 得:6=-孚所求的函数关系式为：尸|/一 坐+4；（2）如图所示：在 RtZX/BO 中，04=3,

40、0B=4,：.AB=y/0A2+0 B2=5,.四边形N8CD 是菱形，：.B C=C D=D A=A B=5,C、。两点的坐标分别是（5,4）、（2,0）,当 x=5 时，y=x52-x5+4=4,当 x=2 时,jx 22-y x2+4=0,点 C 和点D都在所求抛物线上；（3）由（2）可知，点 8 与点C 关于对称轴对称，设 8 与对称轴交于点P,则 P 为所求的点，设直线C D对应的函数关系式为y=fcr+6,则 伴+b=4h k +b=0ffe=4解得：3 8，lh =3直线CD对应的函数关系式为：2-3=8-3-5-2X4-3时5-2当点睛：此题主要考查了二次函数综合以及勾股定理和

41、菱形的性质等知识，利用轴对称求出P点位置是解题关键.2.（2 0 2 1 海安市模拟）如图，平面直角坐标系x O y中，直线y=f c v+3与抛物线y =相交于/（x i，与），B（X 2,y 2）两点，与y轴相交于点C,连接/。，BO.（1）求证：点（y i，）在反比例函数y =*的图象上；（2）求/4 9 8的度数；（3）过点/作轴，垂足为，连接C“，判断C”，B O的位置关系，并说明理由.思路引领：（1）联立反比例函数和一次函数表达式并整理得：x2-3f c v-9=0,则x i x 2=-9,即可求解；9（2）ta n/4 O H=一些=9-=我=t a n/O 8 N,进而求解；否

42、 设直线C4的表达式为尸a+s,则，著i +s,则 仁 看 而直线5。的表达式1 2为y=0%=詈x2 x=x=tx,即可求解.解：（1）联立反比例函数和一次函数表达式并整理得：x2-3阮-9=0,则 X1X2=-9,故 川2=,好 X 4好 1(X I J Q)2=X (-9)2=9,二 点(y”)在反比例函数y =的图象上；(2)过点/、8分别作x轴的垂线，垂足分别为，、N,则 t a n/NO=耦=一?=-=矶=t a n/0 8 N,N A O H=ZOBN,：ZAOH+ZHOA90 ,：.NOBN+NBON=90 ,A ZAOH+ZBON=9Q ,.*.40 8=9 0 ；(3)如上

43、图，由一次函数的表达式知，点C (0,3),而点 H(x i，0),设直线C H的表达式为y=f x+s,贝I J*二 广+s,Q则 t=-；X11 2由点B、O的坐标得，直线B O的 表 达 式 为 产/x=孑齐=$=x=l x,J.CH/BO.点睛：主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养.要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度,从而求出线段之间的关系.3.(2 0 2 1 海门市模拟)如图1,抛物线;加+人什。经过点/(-4,0),B(1,0),C(0,3),点P在抛物线卜=2+b x+c上，且在x轴的上方，点尸的横坐标记

44、为人(1)求抛物线的解析式；(2)如图2,过点P作y轴的平行线交直线N C于点”，交x轴于点N,若 平 分/PMO,求，的值；(3)点。在直线/C上，点E在y轴上，且位于点C的上方，那么在抛物线上是否存在点尸，使得以点C,D,E,P为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出该菱形的面积；O3(2)由题意直线4 C的解析式为尸2 3,因为P的横坐标为/,所以M(f,7+3),根3据。A/=0 C=3,可得P+(-/+3)2=9,解方程即可解决问题；4(3)分两种情形当C E为对角线时，四边形C P即 为 菱 形，如图3,则点P和。关于y轴对称；当C E为菱形的边时，四边形C E PD为菱形，如图4,则

45、PD y轴，C D=PD,分别构建方程即可解决问题.设抛物线的解析式为y=a(x+4)(x-1),把(0,3)代入得到”=一本.抛物线的解析式为=,(x+4)(x-1),即y=-/+3.图：A(-4,0),C (0,3),.直线/C 的解析式为y=x+3,3尸 的 横 坐 标 为：.M(/,-r+3),4二 CM平分NP MO,:N C M O=/C M P,:P M/IO C,：.ZC MP=ZMC Of：.Z C M O=Z M C O,：.O M=O C=3,3 7 2(Z+3)2=9,解得/=一匹或 0 (舍弃).:J的值为(3)设 尸(力-1金-%+3),当C E为对角线时，四边形C

46、 PE为菱形，如图3,则点尸和。关于y轴对称,图33 ,9 D(-一记一彳什3),把 )(Z,3)代 入 尸 亲+3 得一&+3=3以+3,4-4,4,4,解得。=0 (舍去)，攵=-2,此时尸。=4,C E=3,此时:菱形的面积=2尸。C E=6；当C E为菱形的边时，四边形C E PO为菱形，如图4,则PO y轴，CD=P D,：,PD=-(*+3)=-一丸而 CD、(+3 -3)2=锌，即 C D=一余,，一宗2-3/=%,解得。=0 (舍去)，/2=：.P D=35讨此时菱形的面积=言乂245245综上所述，菱形的面积是6或 右.点睛：本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上

47、点的坐标特征、二次函数的性质和菱形的性质；会利用待定系数法求函数解析式；会利用相似比计算线段的长；理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式；会运用分类讨论的思想解决数学问题.4.(定安县模拟)如图，直线y=-/3与x轴、y轴分别交于5、C两点，经过点8、。两点的抛物线y=/+fct+c与x轴的另一个交点为4顶点为P.(1)求该抛物线的解析式；(2)当0 x 3时，在抛物线上求一点E,使 C B E的面积有最大值；(3)在 该 抛 物 线 的 对 称 轴上是否存在点使以C、P、M为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请写出所符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由.思路引领：(1)用直线表达式求

48、出点8、C的坐标，将 点8、C的坐标代入y=/+6 x+c,即可求解；(2)S&CBE=如E X O B=X (-x+3 -?+4 x -3)=|(-/+3 x),即可求解；(3)分 C M=C P、C P=P M、三种情况，分别求解即可.解：(l)y=-x+3,令 y=0,则 x=3,令 x=0,则 y=3,故点8、C的坐标为(3,0)、(0,3),将点8、C的坐标代入yn j?+Z w+c并解得：b=-4,故抛物线的表达式为：y=x2-4 x+3；(2)过点E作EH/y轴交B C于点H,设点 E G,4 x+3),则点“(x,-壮 3)S/CBE=H E*O B=x 3 X (-x+3 -

49、/+4工-3)=(-f+3 x),V-|0）个单位长度，得抛物线C2,Ci和C2的交点为点M （如 图1）（1）用含m的式子来表示抛物线C2的解析式和点M的坐标；（2）定义：像Ci和C2两条抛物线，是把其中一条沿水平方向向左（像向右）平移得到另一 条.若两抛物线的顶点产、。以及交点M满足NP M0=9O,则这样的两条抛物线互 为“和谐线”.求抛物线。：-4的和谐线；如图2,抛物线Ci：y=f-4与 x 轴正半轴的交点为Z,与它的和谐线的交点为（点M 在第四象限），连接M 4,过点M 作轴，在 x 轴上存在一点N,使N O M 0+N思路引领：（1）利用平移的性质即可得出结论，再联立方程组求解即

50、可得点M 的坐标；（2）由和谐线的意义得出 P M 0 是等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质即可得出机的值，（3）先 确 定 出 直 线 的 解 析 式，进而求出过原点而垂直于的直线的解析式，利用。=。河求出点。的坐标，即可得出直线。M 的解析式，与 x 轴的交点是点N 即可，同理得出x 轴正半轴上的一个点.解：（1）.抛物线。二小7 沿工轴向右平移机 0个单位长度，得抛物线C2,，抛物线C2 的解析式为y=（x-加）2 _ 4=/-2 m x+尸-4，联立得，工=与，尸 苧 一 4,m m2 M（一，4）；2 4（2）设抛物线。：y=7-4的和谐线抛物线C2 的解析式为y=（X-/M）