2022年全国高考数学乙卷理科真题及参考答案.pdf

《2022年全国高考数学乙卷理科真题及参考答案.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年全国高考数学乙卷理科真题及参考答案.pdf（15页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、2022年全国高考数学乙卷理科真题及参考答案注意事项1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号.回答非选择题时、将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选 择 题：本题共12小题，每小题5 分，共 60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设集合。=1,2,3,4,5,集合 M 满足=1，3，则()A.2G M B.3 e M C.4 M 0.52.若z=l 2 i,且 z+Q1+

2、b=0,其中。，b为实数,则()A.a=l,b=-2 B.a=l,b=2 C.a=l,h=2 D.=1,=23.已知向量a,B满足=1,恸=3,4 2芯=3,则 =()A.2 B.1 C.1 D.24.嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星.为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列区,:0=1+,qb2=+一，&=1 +-匚,以此类推，其中a*e N*卜=1,2).Q H-q 4-a,12a2+a3则()A.b、b5 B.C.h6 b2 O.b4 P2 P l 0 记该棋手连胜两盘的概率为P,则()A.p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无

3、关 B.该棋手在第二盘与甲比赛，最大C.该棋手在第二盘与乙比赛，P最大 D.该棋手在第二盘与丙比赛，P最大，则 4 =()11.双曲线C的两个焦点玛，F2,以C的实轴为直径的圆记为。，过G作。的切线与。交3于M,N两点，且c o s/F|N E=g,则C的离心率为()V5 3 V13 V17A.-B.-C.-D.-2 2 2 212.己知函数f(x),g(x)的定义域为R,且/(x)+g(2 x)=5,g(x)_/(x _ 4)=7.若22y=g(x)的图象关于直线x =2对 称,g=4,则Z/(%)=()*=iA.-2 1B.-22C.-23D.-24二、填 空 题：本题共4小题，每小题5

4、分，共 2 0 分。1 3 .从甲、乙等5 名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙 都 入 选 的 概 率 为 .1 4 .过四点（0,0）,（4,0）,（1,1）,（4,2）中 的 三 点 的 一 个 圆 的 方 程 为 .1 5.记函数/（x）=c o s（5+）（3o,o 0 且a丰1）的极小值点和极大值点.若 王/，则a 的取值范围是.三、解 答 题：共 70 分，解答应写出文字证明、证明过程或演算步骤。第 1 7 2 1 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第2 2、n题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 6 0 分，1 7.（1 2 分）记 A A 3C 的内角A,

5、B,C 的对边分别为a,b,c,已知s i n Cs i n（A-B）=s i n 3 s i n（C-A）.(1)证明：2 a2 =/+c2；(2)若 a=5,c o s A=，求 A 48C 的周长.1 8 .（1 2 分）如图，四面体 A 8C D 中，A D C D,AD C D,Z AD B=/BD C,E 为A C 的中点.（1）证明：平面B E。，平面A C。；（2）设 A B=3O=2,NA C 3=6 0,点尸在8。上，当A 4E C 的面积最小时，求 C R与平面A 3。所成的角的正弦值.19.（12分）某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山.为估计一林区某种树木

6、的总材积量，随机选取了 10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：mJ）和材积量（单位：m3）,得到如下数据：样本号i12345678910总和根部横截面积玉0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6材积量外0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.91 0 1 0 1 0并计算得2为2 =0.038,=1.6158,2为%=0.2474./=1 i=l i=l（1）估计该林区这种树木平均一颗的根部横截面积与平均一颗的材积量；（2）求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0.01）;

7、（3）现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为186 Itf.已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比.利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值.附:七（项-山-）相关系数7=71.896 1.377.20.（12分）已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过A（0,2）,B两点（1）求E的方程；（2）设过点P（l,-2）的直线交E于M,N两点，过M且平行于X轴 的 直 线 与 线 段 交于点T,点“满足M T=7W.证明：直线 N过定点.21.（12 分）已知函数/（x）=ln（l+x）+axeT.（1）当”=1时，求曲线y=/（x

8、）在点（0,/（0）处的切线方程;（2）若/（x）在区间（1,0）,（0,+oo）各恰有一个零点，求a的取值范围.（二）选 考 题：共 1 0 分.请考生在第2 2、2 3 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.【选修4-4：坐标系与参数方程】（10 分）2 2 .在直角坐标系x O y 中，曲线C 的 参 数 方 程 为=1 为参数）.以坐标原点为y=2 s i n Z极点，X轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线/的极坐标方程为p s i n 6+（+?=0.（1）写出/的直角坐标方程；（2）若/与C 有公共点，求m 的取值范围.【选修4-5：不等式选讲】(10 分)3 3 32

9、 3 .已知a,。,C 均为正数，且。5+。5+秒=1,证明:(1)a bc =,仇=，所以选择 D.4 5 5 8 6 13 2 1 8 3 45.B 解析：F为抛物线焦点，.(1,0),.忸月=2又.点A在C上，|A月=忸 典，A（l,2）（。不妨在第一象限），；.恒 目=2./（x）是奇函数，排除 BD；当x =l时，/（l）=（3-3-）c o s l 0,排除 C.故选 A6.B 解析：执行第一次循环，。=。+2。=1+2 =3,。=匕-a =3 1 =2,=+1 =2.b2执行第二次循环，b=7,a=5,=3,2a 0,0 1；2 5执行第三次循环，人=17,a =12,=4,-2

10、=0.0 1,此时输出“=4.a2 14 47.A 解析：对于A：在正方体A BC。4耳。1口，E,尸分别为A B,B C的中点，易知E F J.B D,从而E F上平面,又:EF u平面B D Q ,.平面5 E f，平面B D Dt对 于B：.平面AB D A平 面 由 上 述 过 程 易 知 面 用后尸，面 不 成 立.对于C：由题意知直线AA与直线与E比相交，平面用E E与平面MAC有公共点，C错误.对 于D：连接A C,A Bi,BQ 易知平面AgC 平面4G。，又因为平面村与。与平面用E万有公共点发,故平面AgC与平面用E尸不平行，；.D错误.8.D 解析：设等比数列 a,J首项4

11、,公比4由题意，Q+。2+。3=a2-a5=4 2168%(1+夕 +,2)=168%4(1-/)=4 2即解得：q =9 6,.2.八 _ _5 Q =a1 q=3.9 .C 解析：设该四棱锥底面四边形为四边形A 3 C D,四边形A 8 C D所在的小圆半径为r,设四边形A B C。对角线夹角为a ,则 SABCD=1-A C-BDs i n z y AC BZ）1 -2 r -2 r =2 r2.（当且仅当四边形A B C。为正方形时等号成立）即当四棱锥的顶点。到底面A 8 C O所在小圆距离一定时，底面A B C。面积最大值为2户.,2,n.T/1-.2,V2 -77 f r2+r2+

12、Ih1 4 7 3又厂+/=1,则 VO_A B C D=-2/-h=丁 J厂-厂,2 1 r -=当且仅当r2=2肥 即力=左时等号成立.310.D 解析：设棋手在第二盘与甲比赛连赢两盘的概率为p甲，在第二盘与乙比赛连赢两盘的概率为p乙，在第二盘与丙比赛连赢两盘的概率为p丙，由 题 意,P甲=8 2（1-3）+3（1一2）=P lP 2 +P 1 P 3 -2。/2 P 3P乙=2 乃（1 -3）+3（1-|）=|2+，2 凸-2Plp2P3P丙=，3 8（1 -凸）+%（1 -P l）=8 3+P1 必-2|小 Pi 丙一甲=2（3-|），丙一乙=（凸 一 介）丙最大，选择D.11.C解析

13、：由题意，点N在双曲线右支,记切点为点A,连接。4,则OAL MN,|。1=。又|O 6|=c,则|4用=八 匚？=氏过点尸2作 居8，脑7交 直 线 的7于 点8,连接F2N,则 居N Q 4,又点。为百居中点，则 区 同=2|。耳=2 ，忻=2 b 6|=2 43 4 4由 cos/F|N8=-,得 sinZF|N6=-,tan NF】NF=-,sm”M”I停网区用 3atan NFiNF?2故 忻N|=|片却+忸 凶=2 三，由双曲线定义，忻M TKM =2a，h 3则 2Z?。=2，即一=,/.e=a 212.D 解析：若y=g（x）的图象关于直线x=2对称，则g（2-x）=g（2+x

14、）,/(x)+g(2-x)=5,./(x)+g(2+x)=5,故一 无)=/(,/(x)为偶函数.由 g=4,f(O)+g =5,得 f(O)=l.由 g(x)-/(x-4)=7,得 g(2-x)=/(-x-2)+7,代入 f(尤)+g(2-x)=5 可得/(x)+/(-x-2)=-2,/(尤)关于点(一1,一1)中心对称，/=/(-1)=一1.由/(x)+/(x 2)=2,f(-x)=f(x),得/(x)+/(x+2)=2,/.fx+2)+f(x+4)=-2,故 f(x+4)=/(x),f(x)周期为 4.由/(0)+/=一2,得/=-3,又/(3)=/(-1)=61)=1,22 /(1)=

15、6/(1)+6/(2)+5/(3)+5/(4)=llx(-l)+5 x l+6x(-3)=-24.k=二、填空题3C1 313.解析：设 甲、乙都入选”为事件A,则P(A)=T =3.10c；1014.(x-2)2+(y 3)2=13 或(无 一 2)2+(y Ip=5 或(x g)+fy-1解析：圆过其中三点共有四种情况，求解办法是两条中垂线的交点为圆心，圆心到任一点的距离为半径.15.3 解析：/（T）=/（0）=cos=，且0 氏3 +9 e Z).又 0,故口的最小值为3.16 .0,-j 解析：/(x)=2(a I n a -e x)至少有两个零点 x =X 和 x =彳2，/*(%

16、)=2 a (i n a)2-2 e(1)若al,则/(x)在R上单调递增，此时若f&)=0,则/Q)在(-8,X。)上单调递减，在(如+00)上单调递增，此时若有 和%=%2分别是函数f(x)=2 ax-ex2(a 0且a *1)的极小值点和极大值点，则 马 不符合题意.(2)若0 a 0且aH1)的极小值点和极大值点，且 项 0,即ee e JL-e log -ana -=I n a na I n-na l-ln(ln)2,I na ”(lna)2 (i nt z)2(i n 浦 I n o-可解得。e或0 a ,，由于Ova l,取交集即得0 va a +l +c =1 4.；.A A

17、B C的周长为 1 4.1 8.解：(1):A D =CD,4 AD B=4 BD C,且BD为公共边，:.MD B b C BD：.AB=BC又：为 A C 的中点，且 AO=C D.O _L A C,同理：B E A.A C.又：D E c BE=E,且 DE,BE u 平面BE D,，AC _L 平面BE D又 A Cu平面A C。，.平面B E。，平面A C。(2)连接E F,由(1)知，A C J,平面BE DA C _L E F,Sw e=J A。，E F -当石尸_1 3 时，E F最小,即AA/C的面积最小.:A D B=k C B D,：.A B=C B=2又：Z A C B

18、 =60 ,二是等边三角形,/为A C的中点，A A E=E C=1,B E=6 ,：A D CD,：.D E -A C ,2在 A D E B中,D E2+B E2=B D2,：.B EA.DE.以E为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系E-x y z,则 A(l,0,0),8(0,6,0),(0,0,1),：.A D =(-1,0,1),A B =l，V3,0),.-一-*/、A.D,n=_x+z=0设平面A 8O的一个法向量为=(x,y,z),贝 叶_ _,A B =-%+V3 y =0取了=百，则 1 =6,6,3)又：c(W),r f o,-.-.C F=f i,-1I 4 4J I

19、 4 4J设CE与平面A 3 O所成的角为.s i n 6=c o s ,斤）=孚4百C F与平面A 3。所成的角的正弦值为.i f n1 9.解：（1）样本中1 0棵这种树木的根部横截面积的平均值*=0.06,1 0样本中1 0棵这种树木的材积量的平均值为-y =3 9 =0.3 9,1 0据此可估计该林区这种树木平均一颗的根部横截面积为0.06平均一颗的材积量为0.3 9 m37(0.03 8 -1 0 x 0.06*2 Xl .6 1 58 -1 0 x 0.3 92)V0.0001 8 9 6 0.01 3 7 7则 r 0.9 7（3）设该林区这种树木的总材积量的估计值为Y m3,又

20、已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比，可 得 照=呼，解得丫 =1 2 09加3.0.3 9 Y则该林区这种树木的总材积量估计为1 2 09加3.2 0.解：（1）设椭圆E的方程为加1+盯2=i,过A（0,2）,=L,.椭圆E的 方 程 为 二+汇=1.4 3 4（2）A（0,2）,5（|,1）,.4B:y +2 =gx,即丁=夫 一22 2若过点尸（1,-2）的直线斜率不存在，直线x =l,代 入,+亍=1,-T汨 八 力。2布1 入/1.2 ,f正 2娓可得M 1,-，N 1,-代入A B：y =-x-2可得T J 6+3,-3 13）-3 32（阳-山-力(2)/=110 Z 10

21、 _0-10 x10 _Z%,%-1 0孙0.2 47 4-1 0 x 0.06 x 0.3 9 _ 0.01 3 4 0.01 3 44 =1则 9m+n41-37由 M T =T H 得至ij+5,孚,(2 Z7A则求得HN方程：y=2一 一 x-2,过点(0,-2).i 3 j若过点尸（1,一2）的直线斜率存在，设&xy （A +2）=0,7V（x2,y2）.联立息-了-(攵+2)=0X2 y2 得(3左2+4卜2-F -=13 4 6%(2+。龙 +3总 +4)=0,+X2可得6H2+左)-3 r+43总 +4)3k2+4%+为则必 必=-_8(2+左)-3炉+4 口 ，4(4+4&-

22、2/)旦 反+93/+4 24%3k2+4(*)y=y联立，2y=-x-2I 3可得T（自+3,yH(3y+6-可求得此时H N :y-y2=匚 上（x%），3y +6 一匹-x2将（0,-2）代入整理得2（阳+修）一6（,一必）+不%+%2,一3yly2 -12=0将（*）代入，得24人+12火2 +96+48左一244一48 48k+242 3642 48=0显然成立，综上，可得直线HN过定点（0,-2）.21.解：（1）/（X）的定义域为（-1,+00）当a=l 时，/（x）=ln（l+%）+,/（0）=0,.切点为（0,0）ex1 1 _ Y/（x）=一+一,广（0）=2,.切线斜率为

23、21 +x e.曲线y=/（x）在点（0,/（0）处的切线方程为y=2x.mu+g）=；+e:叱D1 +x e（1 +x）e设 g（x）=e”+（7（l-x2）:T 若 Q 0,当天(一1,0),g(x)=eA+df(l-x2)0,B P /(x)0 /(H在(一1,0)上单调递增，/(x)/(o)=o.故/(%)在(一1,0)上没有零点，不合题意.2 若 一1 0 8(元)在(0,+00)上单调递增，8(工)8(0)=1 +2 0,即/Q)0 /(x)在(0,+8)上单调递增,/(x)/(0)=0,故 一 在(0,+oo)上没有零点，不合题意.3 若a v l当x (0,+8),则g(x)=

24、e-2。工 0,，g(x)在(0,+8)上单调递增，g(0)=1 +Q v 0,g=e 03m e(0,1)，使得 g(m)=0,即 ff(m)=0当X(0,)，fx)0,/(X)单调递增./.XG(0,/?2),/(x)+00时，/(x)-H X)/(X)在(m,+8)上有唯一零点.当 x G(-1,0),g(x)=e r+(1 _/),设 从工)_ =ex-2ax,贝！J hx)=ex-2a 0g(x)在(1,0)上单调递增，g(l)=1+2a 0e：.3ne(-l,0),使得 g()=0当g(x)0,g(x)单调递增，g(x)g(0)=l+a 0e.于 e(1,)，使得 g(=0,即-0

25、 =0当x e(-lj),/(x)单调递增，当x e(30),/(无)单调递减，有x r-1时，而J(0)=0,.当xe(f,0),/(x)0,./(X)在(14)上有唯一零点，。0)上无零点.：.a +2m=0中,可得3(：0$2，+25皿，+2加=0,3(1 -2sin2 r)+2sinZ+2m=0化简为：一Gsin?/+2sin+3+2m=0,要使/与C有公共点，贝!J 2加=6sin21一 2sinI-3有解，令sin/=a,则 令/()=一2-3,(-1 a 1),对称轴为a=开口向上，/(a)a =/(T)=5,/(。皤 广 力 口;一 号6 16 J 619 19 5一 一 2 m 5,加的取值范围是一 一-m 0,庐 0,/0,3 3 3.a +人5+)一 3zJ 1 1 -即(aZ?c)5 1,abc 2ybc,a+c 2yac,a+b 14ah,当且仅当a=c时取等号.3.Q,Q_Q2 b/b3b2c c3c，b+c 2yhc 2y1 abc a+c 2yac2 V abca+b 2jah2 J abc3 3a h c a2 榜 1 卜-+-+b+c a+c a+b 24 abe labc32y1 abc12abc