2022年河南省洛阳市艺术中学高三数学理月考试卷含解析.pdf

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1、2022年河南省洛阳市艺术中学高三数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共1（）小题，每小题5分，共5（）分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知两座灯塔A、B 与 C 的距离都是a,灯 塔 A在 C 的北偏东20,灯 塔 B 在 C 的南偏东 40。，则灯塔A与灯塔B 的距离为（）A.a B.a C.a D.2a参考答案：B略_a/iX-=I2.设点F i、F2是双曲线 3 的两个焦点，点P是双曲线上一点，若3|正耳卜4|%|则4行遥的面积等于（）A、3而 B、5J3 c、4石 D、2而参考答案：A3.下列叙述中，正确的个数是（）命题P：上R，/-2 三0，的否定形式为

2、力：“11,x-2（2/MN 是3 3 的充分不必要条件；命题“若3r-40,则x=4 的 逆 否 命 题 为 若 则/-弥-“。.A.l B.2 C.3 D.4参考答案：C略4.已知/（x）=（x_a）（x_B）（ab）的图像如图所示，则函数g（x）=a*+6 的图像是（）参考答案:A略5.某展室有9 个展台，现有3 件展品需要展出，要求每件展品独自占用1 个展台，3 件展品所选用的展台既不在两端又不相邻，且 3 件展品所选用的展台之间间隔不超过2 个展台，则不同的展出方法种数为（）A.60 B.54 C.48 D.42参考答案:D6.已知函数取+】）是奇函数，a T）是偶函数，且 烦=2禺

3、我母=（)A.-2B.0D.3参考答案：AC.27.从 双 曲 线 于 一 的 左 焦 点 产 引 圆=3 的切线交双曲线右支于点?，7为切点，“为线段”的中点，O为坐标原点，则I A Q I T M 1 等 于（）A.百 B.5c s-出 D.君+、月参考答案：C8.已知三棱锥S-&C 外接球的表面积为32,C=9 ,三棱锥S-/C 的三视图如图所示，则其侧视图的面积的最大值为（）参考答案:A9.已知全集是实数集 R,M=X W R X l+j2 ,N=1,2,3,4,则（CRM）CN 等于（）A.4 B.3,4 C.2,3,4 D.1,2,3,4）参考答案：B略10.执行如图所示的程序框图

4、，则输出S=（）/.出S /A.26 B.57C.120 D.247参考答案：B程序在运行过程中各变量的值如下表示:否修环*s.3 11 4 26 4时，变量S的值，模拟程序的运行，用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到输出结果.二、填空题:本大题共7小题,每小题4 分，共 28分(n 1ae,x tan|a+|=一1 1.已知 1 2 ，I*7,则E a crea_参考答案：5【分析】利用两角和的正切公式，可以求出5 a,根据同角三角函数的关系，结合可以求出由icucosa,最后求出血ia+8sa的值.【详解】解:1 i tana 1r.l-tm a 73t a =解得 4,TA

5、),.,由1 2 a cosa=1 sittAtin d=-cosa,解得 5*53 4 1jan a cosa=一5 5 5.1故答案为：5【点睛】本题考查了同角三角函数的关系，考查了数学运算能力.x N l(x-1y+1W012.已知匕x-2 S 0,则十丁的最小值为参考答案：5略1 3 .如图，直线PO J 平面M,垂足为0,直线PA是平面M的一条斜线，斜足为A，其中NAP0=a,过点P的动直线PB交平面M于点B,NAPB=p,则下列说法正确的是 若 由,产=9 0 ,则动点B的轨迹是一个圆；若a w 0*，=9 0#,则动点B的轨迹是一条直线；若a w 0*.w 91且a+户=9 0

6、,则动点B的轨迹是抛物线；a w 0*.w 9(/且 a+产 9 0 ，则动点B的轨迹是椭圆；a w (X.w 9 0tf且 a+乃v 9 0 ，则动点B的轨迹是双曲线；1 4 .函数f (x)的定义域为(-8,-1)U (1,+8),且 f (x+1)为奇函数，当 x l时，f (x)=2 x2-1 2 x+1 6,则函数y=f (x)-2的所有零点之和是.参考答案：5【考点】函数零点的判定定理；函数奇偶性的性质.【专题】计算题；函数的性质及应用.【分析】f (x+1)为奇函数可得函数f (x)的图象关于(1,0)对称，从而可求xVl 时的函数解析式，进而解方程f (x)=2 可得.【解答】

7、解：(x+1)为奇函数，函数图象关于(0,0)对称，即函数f (x)的图象关于(1,0)对称,当 x l 时，f (x)=2 xJ-1 2 x+1 6,当 x l 时，f (x)=-2 x2-4 x令 2 x?-1 2 x+1 6=2,B P x2-6 x+7=0,可得 XI+X2=6,令-2 x?-4 x=2,即/+2 x+l=0,可得 X 3=-1二横坐标之和为XI+XZ+X3=6-1=5故答案为：5.【点评】本题主要考查了函数的平移、奇函数的对称性，利用对称性求函数在对称区间上的解析式.考查性质的灵活应用.1 5.曲线尸=在点处的切线方 程 为.参考答案：11由已知得：求导x eg,当x

8、=l 时，k=o,所以切线方程：S,ba.+1 -1 6.已 知 数 列%前项和(1+3”其 中 6是与无关的常数，且 0 Vkma S L b mK T 9 N T S b 0,使 得g (x。)g(X)-g(x2)=X1 -X2 成立，试比较X o与X i的大小.参考答案：【考点】：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程.【专题】：导数的综合应用.【分析】：(I )求出函数的导函数f (x)=a x2+2 (a+1)x+2-a e”,通 过f (2),求出函数y=f (x)的图象在点M (2,f (2)处的切线方程，通过切线过坐标原点，求出a即可.(II)通 过f

9、 (x)在-1,1 上为单调递增函数，只要f (x)2 0,构 造(x)=a x2+2(a+1)x+2 -a通过当a=0时;推出函数f (x)在-1,1 上为单调递增函数.当 a 0 时，r (x)=ax+2(a+1)x+2 -a,利用二次函数的性质，(x)；=r (-1)=-2 a 2 0=a W 0推出矛盾.当a 0,使得 X1 x2 ，然后构造函数，利用新函数的导数，判断函数的单调性，然后推出X 0 X i即可.(本小题满分1 4分)解：(I )f (x)=(a x2+2 x -a)e ；.f (x)=a x2+2 (a+1)x+2 -a ex则 f (2)=(7 a+6)e2,f (2

10、)=(3 a+4)e2二函数 y=f (x)的图象在点 M (2,f (2)处的切线为：y-f (2)=(7 a+6)e2(x-2).切线过坐标原点,0 -f (2)=(7 a+6)e2(0-2),即(3 a+4)e=2 (7 a+6)e2,1 1-(3 分)(I l )f (x)=a x2+2 (a+1)x+2 -a ex要 使f (x)在-1,1 上为单调递增函数，只要a x?+2 (a+1)x+2 -a O令(x)=a x2+2 (a+1)x+2 -a当 a=0 时，r (x)=2 x+2,在-1,1 内 r (x)(-1)=0,/.f (x)2 0函数f(x)在-1,1 上为单调递增函

11、数(4分)当a 0时，(x)=a x，2 (a+1)x+2 -a是开口向上的二次函数，X (1+)=(-1)=-2 a()n a W 0而此时a 0,产生矛盾此种情况不符合题意 (6分)当a 0(2a+40(-1)0=j-2 a 0又 a 0,二-2 W a 0综合得实数a的取值范围为-2,0 (8分)g (x)二&(In x)=x l n x ,(III)2,g (x)=l n x+l.,.、g(x 0,使得 xl x2成立，g (x J-g (x9)x In x -X o l n x nl n xn+l=-=-lnx0+l=Lr-所以 x 1 x2 ，即 x 1 x2 ,从而x In x

12、o因 而 6 （t）在 区 间（0,1）上单调递增,e (t)ve(i)=o,X i .X i.X i X i.Xi/0 1 。()=l n +1 0 -1 0V 0 X 1 X i （1 4 分）【点评】：本题考查函数的导数的综合应用，切线方程的求法，构造法的应用，导数的几何意义，考查函数的单调性的应用，转化思想的应用.1 9.将一铁块高温融化后制成一张厚度忽略不计、面积为1 0 0 d n?的矩形薄铁皮（如图），并沿虚 线L,k裁剪成A,B,C三个 矩 形（B,C全等），用来制成一个柱体.现有两种方案:方案：以4为母线，将A作为圆柱的侧面展开图，并从B,C中各裁剪出一个圆形作为圆柱的两个底

13、面；方案：以4为侧棱，将A作为正四棱柱的侧面展开图，并从B,C中各裁剪出一个正方形（各边分别与4或4垂直）作为正四棱柱的两个底面.（1）设B,C都是正方形，且其内切圆恰为按方案制成的圆柱的底面，求底面半径；（2）设4的长为*dm,则当X为多少时，能使按方案制成的正四棱柱的体积最大?B0参考答案:(1)设所得圆柱的半径为，dm,4分解得 2(b+i).(2)设所得正四棱柱的底面边长为。dm,6分。*均即则9分方法一：所得正四棱柱的体积V 01K 4芋 0 x2麻11M*)-记函数 ,0vx42拆,写,*2加一则在(%2呵 上 单 调 递 增，在 3,所以当时，J(O=20丽.+B)上单调递减,d

14、m5.所以当揭，a =厢 时，匕一豫丽.1 4 分方法二:从而a晒.1 1 分y(/便】=加 4池 弧所得正四棱柱的体积 I。1所以当 屈，x =即 时，匕=2 t k 短dm3.1 4 分答：(1)圆柱的底面半径为2(*+I)dm；(2)当x为左同时，能使按方案制成的正四棱柱的体积最大.1 6 分【评分说明】直 接 由得，=2.丽时正四棱柱的体积最大，给 2分；方法一中的求解过程要体现V 42,师，凡写成V =/(ab0)的上顶点为(0,2),且离心率为2.(I )求椭圆C的方程；(I I)证明：过圆x +y J r?上一点Q(x o,y o)的切线方程为x ox+y oy u r；(I I

15、 I)过椭圆C上一点P 向圆x?+y 2=l 引两条切线，切点分别为A,B,当直线A B 分别与x轴、y 轴交于M,N两点时，求【MN|的最小值.参考答案：考点：椭圆的简单性质.专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程.分析：（I ）由题意可得b=2,再由离心率公式可得a=4,b=2,即可得到椭圆方程；（I I）讨论切线的斜率存在和不存在，由直线的点斜式方程即可得到切线方程；（I I I）设点P 坐 标 为（X”yP）,求得过A,B的切线方程，可得切点弦A B 方程，再由两点的距离公式和基本不等式即可得到最小值.c M解答：解：（I）由题意可得b=2,e=嚏 攵，又。2=1-以即有 a=4,

16、b=2,则椭圆C方程为1 6+4=1；（I I ）证明：当切线的斜率k存在时，设切线方程为y-y 产k （x-x o）,XQ又因为k=-y0.x0故切线方程为 y -y o=-y0 （x -x o）,即有 x ox+y（y=r2.当 k不存在时，切点坐标为（土r,0）,对应切线方程为x=r,符 合 x u x+y oy u r。，综上，切线方程为x ox+yoy=rz；（I I I）设点 P 坐 标 为（X”yK）,P A,P B 是圆 x +y l 的切线，切点 A （x（,y l ,B （x2,y 2），过点A的圆的切线为x i x+y =l,过点B的圆的切线为x2x+y2y=l.由两切线

17、都过 P 点,X i X r+y i y p=l,x2X p+y2y p=l.则切点弦A B 的方程为xPx+yPy=l,由题知X p y p W O,1 1即有 M (Xp,0),N (0,yp)，1 _2 2|MN|2=XP+yp:12 2(XP+yP)2 2xp yp92211XP yp 2 1 2_=T6+4+T6?yP+4?XP?6+4+22 21 XP n64 v 2 2 AyP Xp=16,16 8当且仅当x/=W,y/=5时取等号,3 3则|MN|24 I MN的最小值为N.点评：本题考查椭圆的方程和性质，考查直线和圆相切的条件，以及直线方程的运用，同时考查基本不等式的运用：求

18、最值，属于中档题.p 2 =121.如图，已 知 椭 圆a（a b 0）的长轴4 4,长为4,过椭圆的右焦点尸作3斜率为女（*#0）的直线交椭圆于以c 两点，直线衣4,4 的 斜 率 之 积 为 4.（1）求椭圆P的方程；（2）已知直线1：*=4,直线4 5,4 c 分别与7 相交于M、N 两点，设 E 为线段M N 的中点，求证：*1 N*参考答案：+?=1(1)4 3；(2)证明见解析.【分析】（1）由长轴长为4可得a,3设出点B,C的坐标，利 用 斜 率 之 积 为4,可得 3a 4,即可得到加,可得椭圆方程;（2）设直线8C的方程为:y=k（x-1）与椭圆方程联立，得到根与系数的关系，

19、直线=%伞 的 方 程 为：y32 G+2）与x=4联立，可得点M,N的坐标，可得线段MN的中点E.利用根与系数的关系及其斜率计算公式可得片，只 要 证 明 匕=-1即可.【详解】（1）设（马，义），。（巧因点b在椭圆上，所 以 彳+浮故*一 引 又4（一。），4（4 0）,所以F 9-”7，即7-彳，又a=2,所以“百乙炉=1故椭圆,的 方 程 为 彳T-设直线“的方程为：MXT）,上 住 川，/巧6）,*=1联立方程组1/=无（/一），消去尸并整理得，（3+步-轮口4必-12=。则 巧+=诉，“一时jr=（x+2）如=6K直线4 A的方程为 玉+2,令x-4得 玉+2,同理,弓+2；j;（

20、i网 岛喻上个箫居代入化简得”1,即点工）又 典L）,3J k-=_ 4.*=-所以3,所以跖【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、斜率计算公式、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题.2 2.在直角坐标系x O y中，曲线C的方程为（x-1）、（y-1）2=2,直 线1的倾斜角为4 5 且经过点P （-1,0）（I ）以0为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线C的极坐标方程（H）设直线1与曲线C交于两点A,B,求P A|2+|P B的值.参考答案：考点：简单曲线的极坐标方程.专题：坐标系和参数方程.分析：（I ）直接把直角坐标方程转化

21、成极坐标方程.（I I）利用直线和圆的关系建立一元二次方程，利用根和系数的关系求出结果./x=P co s 9解答：解：将 尸P s i n 代 入（x-1）?+（y-1）2=2,化简得，p =2 V s i n （6 +）曲线C的极坐标方程为“4（I I）因为直线1的倾斜角为4 5 且经过点P （-1,0）,尸 返 t所以直线i 的参数方程为y 2，代 入（x-i）(y-1)三2,整理得:吟t-2)2+(豫t-12=2化简得，t 2-3&t+3=0,所以 ti+t2=3正，t l?t-3,故 P A|2+|：P B|2=tj+t22=(t+t 2)2-2 t r 2=12.点评：本题考查的知识要点：参数方程与直角坐标方程的转化，及直角坐标方程与极坐标方程的转化，一元二次方程根和系数的关系，及相关的运算问题.