2022年全国乙卷数学（理科）高考真题原卷及答案.pdf

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1、2022年普通高等学校招生全国统一考试(全国乙卷)数学(理科)注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5 分，共 60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1 .设全集U =1,2,3,4,5 ,集合M满足务M=1,3 ,则()A.2 G M B.3eM C.D.2 .已知z=l2 i,且z+a Z +

2、b =0,其中“，为实数，则()A.a=,b=2 B.a=,h=2 C.a=,h=2 D.a=,b=23 .已知向量4,6满足|=1,|6|=6,|。一2 6|=3,则“2=()A.-2 B.-1 C.1 D.24 .嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列2 ：=1 +,a伪=1 +彳，4 =1 +-，依此类推，其中&eN*供=1,2,).则 H-H-%3()A.b b5 B.b3 Z?8 C.b6 P 2 P|0.记该棋手连胜两盘的概率为P，则()A.p与该棋手和甲、乙、丙的此赛次序无关 B.

3、该棋手在第二盘与甲比赛，p最大C.该棋手在第二盘与乙比赛，p最大 D.该棋手在第二盘与丙比赛，p最大11.双曲线c的两个焦点为片，工，以c的实轴为直径的圆记为。，过6作。的切线与c3交于M,N两点，且COSN N E,=2,则C的离心率为(1 2 5A百A.-2C屈 D岳2 23B.-212.已知函数/(x),g(x)的定义域均为 R,且/(x)+g(2-x)=5,g(x)/(x 4)=7 .若22y =g(x)的图像关于直线x =2对称，g(2)=4,则Z/(%)=()k=lA.-21B.-22C.-23D.-24二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20分.13.从甲、乙 等5名同

4、学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为14 .过四点(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)中 的 三 点 的 一 个 圆 的 方 程 为.15.记函数/()=以)$(5 +0)(0 0,0 0 0且a。1)的极小值点和极大值点.若王 ，则a的取值范围是.三、解答题：共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.(一)必考题：共6 0分.17 .(12 分)记 AB C 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,。,c,已知 s in C s in(A -B)=s in B s i

5、n(C A).(1)证 明:2a 2 =b2+c2；25 A(2)若a =5,co s A=,求 AB C的周长.3118 .(2 分)如图，四面体 A 8 C D中，A D 1 C D,A D =C D,Z A D B =Z B D C,E 为 A C 的中点.(1)证明：平面平面AC Z)；(2)设A 3=3 O=2,N AC B =6()。，点F在上，当 AF C的面积最小时，求CP与平面A3。所成的角的正弦值.19 .(12 分)某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山.为估计一林区某种树木的总材积量,随机选取了 10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积(单位：n?)和材积量(

6、单位：m3),得到如下数据：样本号/1 2345678910总和根部横截面积占0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6材积量,0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.910 10 10并计算得 ZM=0Q 3 8，Zy：=1.6158,Z 玉X =02474.i=l i=l i=l（1）估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；（2）求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0.01）；（3）现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和

7、为18 6m 2.已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比.利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值.（玉一幻（斤一刃 _ _ _ _ _附：相关系数r=产 J.8 9 6 1.3 77.归（毛 一 口 （%9）2V；=1/=120.（12 分）已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过A（0,2）,呜,一1）两点.（1）求E的方程；（2）设过点尸（1,一2）的直线交E于M,N两点，过M且平行于x轴的直线与线段A B交于点7,点“满足=证明：直线H N过定点.21.（12 分）已知函数/（%）=I n （1+x）+ax e-*.（1）当a=l时，求曲线y =/（x）在点（0

8、,/（0）处的切线方程；（2）若“X）在区间（1,0）,（0,”）各恰有一个零点，求a的取值范围.（二）选考题，共 10分.请考生在第22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.选修4-4：坐标系与参数方程（10分）在直角坐标系x O y中，曲线C的参数方程为 x =6c o s 2f 为参数）.以坐标原点为极y=2s i n r点，X轴正半轴为极轴建立极坐标系，已 知 直 线/的 极 坐 标 方 程 为+，=（）.（1）写出/的直角坐标方程;(2)若/与。有公共点，求?的取值范围.2 3.选修4-5：不等式选讲(10分)已 知 小 儿 c 都是正数，且 标+加+合=1

9、,证明:(1)abc ；9b+c Q+C a+h2yfabc2022年普通高等学校招生全国统一考试数学(理科)参考答案注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本 题 共 12小题，每小题5 分，共 60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.A 2.A 3.C.4.D 5.B 6.B 7.A 8.D 9.C 10.D 11

10、.C 12.D二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20分.3.A1014.(x-2)2+(y-3)2=1 3 或(无一2+(y-l=5 或=或x 三、解答题：共 0 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.(-)必考题：共 60分.17.(1)证明：因为s i n C s i n(A3)=s i n B s i n(C A),所以 s i n C s i n A c o s BsinCsinB c o s A =s i n 3 s i n C c o s A s i n B s i n A c

11、 o s C,所肝以I、I QCa2+c2-b2 n/b2+c2-a2.a2+b2-c2-2bc-ab-，2ac 2hc 2ah即-a-2-+-c-2-b-2-/b 2+c 2-a-2)=-c-r-+-b-2-c-2-,所以 2a*=+c?；(2)25解：因为a=5,c o s A =w，由(1)得/+,2=5 0，由余弦定理可得片=z?2+c2-2/?c c os A.则50 丝力c =2 5,3 13 1所 以 力c =，2故 e+c)2=2+c 2+c =50+3 1 =8 1,所以力+c =9,所以AA B C的周长为a+Z?+c=1 4.1 8.(1)因为A)=CD,E为AC的中点，

12、所以A CJ _ D E；在 A B O 和 ACBD 中，因为 A D =CD,ZADB=ZCDB,DB=DB,所以A 6 Z注 C 6 O,所以A 6 =C 6,又因为E为AC的中点，所以A C_ L班:;又因为O E,B E u平面BED，DECBE=E,所以A C,平面3皮)，因为AC u平面AC D,所以平面B E D J _平面A C。.(2)连接EF,由(1)知，A C_ L平面BED，因为E F u平面B E。，所以 AC_LEF,所以=当石尸，3。时，EF最 小,即AFC的面积最小.因为所以CB=AB=2,又因为NAC6=6 0,所以AABC是等边三角形，因为E为AC的中点，

13、所以A=C=1,BE=6,因为AD_LCD,所以。E=1AC=1,2在 中，DE?+6七2 =,所以 BE_LZ）E.以E为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系E-xyz,则 A（l,0,0）,5（0,百0）,（0,0,1）,所 以 而=（一1,0,1）,丽=卜1,6。卜设 平 面 的 一 个 法 向 量 为”=（x,y,z）,In-AD=-x+z=Q _ /、一 l ，取y=百，则 =（3,j3,3）,万AB=-x+6 y =0 又因为 C（1,0,0）1 0,-,-,所以 CP=1,-,设CF与平面43D所成的角的正弦值为所以 sin 6=|cos，所 以 与 平 面A8D所成的角的正弦值

14、为迪.0,当 x e(l,0),g(x)=e+a(l V)0,即/(x)0所以/(A-)在(-1,0)上单调递增,f(x)0所以g(x)在(0,+8)上单调递增所以g(x)g(0)=1 +a.0,即fx)0所以f M在(0,+8)上单调递增,/(x)/(0)=0故f M在(0,+8)上没有零点，不合题意3 若“vT当 x e (0,+oo)，则 g (x)=e v-lax 0,所以 g(x)在(0,+8)上单调递增g(0)=1+a 0所以存在 m e(0,l)，使得 g(。=0,即/(?)=0当 x G(0,in),f(x)0,/(%)单调递增所以当 x e (0,m),/(x)0所以g(x)

15、在(-1,0)单调递增g(-l)+2 a 0e所以存在n G(-1,0),使得g ()=0当 X G(-I,),g (x)0,g(x)单调递增,g(x)g(0)=1 +a 0e所以存在/e(-l,)，使得 g )=0,即 f(t)=0当x e (-l,r),/(x)单调递增，当x e9 0)J(x)单调递减有 x o o而/(0)=0,所以当 X e (7,0),/(x)0所以f(x)在(一1 J)上有唯一零点,0)上无零点即/(x)在(-1,0)上有唯一零点所以“-1,符合题意所以若/(x)在区间(-1,0),(0,+8)各恰有一个零点，求”的取值范围为(二)选考题，共 10分.请考生在第2

16、2、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.(1)因/：p s i n+-1-J+m=0,所以g sin8+T Pcose+m=0，i 6又因为2 6缶。=，夕 05。=1,所以化简为一y+上 元+机=0，2 2整理得/的直角坐标方程：氐+y+2m=0(2)联立/与C的方程，即将x=J5cos2f，y=2sinr代入G x+y+2m=0 中，可得3 8 s2,+2sin7 +2/%=0,所以 3(1 2 sin?r)+2sinr+2m=0,化简为-6sin2 f+2sinf+3+2m=0，要使I与C有公共点，则2 z=6sin，-2sin，-3有解,令sin，=a,贝 ij

17、 aw-1,1,令/(a)=6a?-2。一3,(-IWaWl),对称轴为。=:，开口向上，6所以=/(-1)=6+2 3=5,所以2m5619 5tn的取值范围为-m 0,b 0,c 0,则 Q，0，Z720，c2 0 93 3 3 _所 以 屋+加+c，y/.,.c l，3ii333 ri即(c尸 工,所以。儿(一，当 且 仅 当 层=友=非，即。=力=。=,一时取等号.(2)证明：因为。0,/?(),。0,所以/?+c 2 2ybc，a+c 2ac，a+b 2ab，3所 以a w a =出,b+c 2yhc 2yabc3_b_ _b_ =_b,2，a+c 2yac_lyjahc3C C _

18、a+b 2y/ab 21abe3 3 3 3 3 3a +Z?+c 层+b+_5+8 2+0 5 _ jb+c a+c a+h 2yabc 2abc 2abc 2yabc 2y/abc当且仅当。=b =c,时取等号.数 学（理科）参考答案注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本 题 共 12小题，每小题5 分，共 60分.在每小题给出的四个

19、选项中，只有一项是符合题目要求的.1.A 2.A 3.C.4.D 5.B 6.B 7.A 8.D 9.C 10.D 11.C 12.D二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20分.1 4.(x-2)?+(y-3)2=1 3或(-2)2+(尸1)2=5或7X 三、解答题：共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共 60分.17.(1)证 明:因 为s i n C s i n(A-B)=s i n Bs i n(C-A),所以 s i n C s i n A c o s B-s

20、 i n C s i n B c o s A=s i n Bs i n C c o s As i n 8 s i n A c o s C,所以 2 a 2 =h2+c2;(2)2 5解：因为。=5,c o s A =，3 1由 得 从+c?=50，由余弦定理可得/=2 +0 2 -2/?C C O SA,则 50-%c =2 5,3 13 1所以。c =一，2故 伍+4=+0 2+现=50+3 1 =8 1,所以匕+c =9，所以AAB C的周长为a+Z?+c =1 4.18.(1)因为A D =CD，E为AC的中点，所以A C _ L Z)E；在 AABD和 B D 中，因为 A O =G

21、D,Z A D B =Z C D B,D B=D B ,所以aAB虑 C B D,所以A 3 =C方，又因为 为4。的中点，所以A C _ L B E；又因为O E,B E u平面B ED，DECBE=E,所以AC平面B ED，因为ACu平面ACD,所以平面 班。_ L平面A C O.(2)连接EE，由(1)知，A C,平面B ED，因为E F u平面8 E，所以AC_ L EE,所以S“F C=；ACE/当所时，石户最小，即 A F C的面积最小.因为A BZ注 C 3 O,所以C B=A B =2,又因为N A C B =6 0,所以AAB C是等边三角形，因为E为AC的中点，所以A E

22、=E C =1,B E =6 ,因为 A D _ L C),所以。E =，A C =1,2在 ADEB 中，D E2+B E2=B D1,所以 BEL DE.以E为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系七一个z,则A(1,O,O),8(O,G,O),Q(O,O,1),所 以 屈=(一1,0,1),通=卜1,8,0),设平面4 2的一个法向量为=(x,y,z)，则n-AD=x+z=0n-AB=-x +f3y=0取y=6，则=（3,6,3）,又因为 C（一 1,0,0）,尸 0,-,所以 CF=设C F与平面曲所 成 的 角 的 正 弦 值 为0 0,当 x e(-1,0),g(x)=ev+a(l-

23、x2)0,B p fx)0所以fix)在(-1,0)上单调递增,/(x)0所以 g(x)在(0,+o o)上单调递增所以 g(x)g(0)=1+a.0,即 f(x)0所以/a)在(0,+刃)上单调递增,/(x)/(0)=0故f M在(0,+o o)上没有零点，不合题意3 若。0,所以 g(x)在(0,+8)上单调递增g(0)=1 +0所以存在m G(0,1)，使得g O)=0,即/(利)=0当 x e(0,m),f x)0,/(x)单调递增所以当 x e(0,加)(x)+00,/(X)+OO所以/(x)在(肛+8)上有唯一零点又(0,没有零点，即/(A)在(0,+8)上有唯一零点(2)当 x

24、e(-1,0),g(x)=e +a(1 f)设/z(x)=g (x)=e v-lax(x)=e*-2a 0所以g (x)在(1,0)单调递增g (-1)+2a0e所以存在n e(一 1,0),使得g ()=0当 X G (-1,),g (x)0,g(x)单调递增,g(x)g(0)=1 +a 0e所以存在re(-l,)，使得g =0,即尸 以=0当x G(-1,0,/W单调递增，当x e(r,0),/(x)单调递减有 X f-l(x)f-O0而/(0)=0,所以当 x e0),/(x)0所以/(X)在(-1,0上有唯一零点,0)上无零点即/*)在(-1,0)上有唯一零点所 以 符 合 题 意所以

25、若/(X)在区间(-1,0),(0,转)各 恰有一个零点，求。的取值范围为(-8,-1)(二)选考题，共 10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程22.(1)因 I：/?s i n(e +?)+？=0,所以g 0.s i n 6 +/?-co s 6 +加=0，又因为Q,s i n 6 =y,Q-co s O=x ,所以化简为g y +等8+m=0，整理得/的直角坐标方程：J*x+y +2,=0(2)联立/与C的方程，即将x =6 c o s 2 f，y =2 s i n f代入y+2m=0 中，可得3co s 2，+2 s i

26、 n/+2%=0,所以 3（1 -2 s i n?f）+2 s i n/+2，=0,化简为-6 s i n +2 s i n，+3+2 m =0，要 使/与。有公共点，则2m=6 s i n 2 s i n，一3有解，令s i n/=。，则令/（幻二6/-2。一3,（一修0）,对称轴为。=!，开口向上，6所以/四=/（-1）=6 +2-3=5,，/、12c 1 9/（a）min-/（7）=7_7_3=一 _T，O O O O1 9所以 2 m 561 9 5加的取值范围为-m 0,b 0,c 0,则 q 5 0，力5 0，c2 03 3 3 _所以之疗即(如c)Lg,所以a b c w g,当 且 仅 当/H，即Q =b=c=C 时取等号（2）证明：因为。0,Z?0,c 0,所以 Z?+c2 2 /，a+c 2fac，a-b 2 ab，3所 以 W 二）b+c 2ybc 21abe3 3_h_ _ _h_ _ ,b 2，_c_ _ fab M a b e3 3 3 3 3 3a b-d-b+c a+cC Q2+_ a2+c2a+h ly/ahc 2yabc 2yabc 21abe12yj ahc当且仅当。=b=c时取等号.