【2021步步高大一轮数学（新高考版）】综合模拟卷一.pdf

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1、综合模拟卷一（时间：1 2 0分钟 满分：1 50分）一、单项选择题（本大题共8 小题，每小题5 分，共 40 分）1.（2 02 0沧州调研）集合 M=x|lgx 0,N=x*l,N=*-2 W x W 2 ,所以 MA N=（1,2 .1 2 i2.复数z=在复平面内对应点的坐标是（）A.(2,1)B.(-2,-1)C.(1,2)D.(-1,-2)答 案 B._ 1 2i _i(l 2i)解析*.z=：=7T j2 =-2 i,.二 复 数 z 在复平面内对应点的坐标是（一2,1）.3（2 02 0 唐山段考）命题W I+d 2 0”的否定是（）A.V x e R,|x|+x4 0 B.V

2、 x R,|x|+fw oC.3%oeR|即|十/2 0 D.3e R|x（）|+x o 0答 案 D解 析 命题的否定为：|x o|+x o。）的右焦点到渐近线的距离等于实轴长,则此双曲线的离心率为（）AS B.A/3 C.5 D 当答 案 c解析 由题意可设双曲线C 的右焦点为F（c,0）,渐近线的方程为y=!，可得 d=-=b=2a,cya2+h2=y5a,即离心率6=彳=木.7.（2020 山东模拟）已知三棱锥 SA8C 中，NSAB=NA8c=去 SB=4,S C=2 g,AB=2,B C=6,则三棱锥S-A B C 的体积是（）A.4 B.6 C.4小 D.63答 案 C解析 由S

3、B=4,A B=2,且NS4B芍得 SA=2小；又由 AB=2,B C=6,且 NA8C=m，得 AC=2回.jr因为 S42+A C2=S C 2,从而知N S4C=5，即 SA_L4C,又 ABCAC=A,所以SAJ_平面ABC.又由于 S（MBC=5 X2X6=6,从而 VS-ABC=/SAABCS 4=；X 6X 2方=4小.8.（2020 长沙模拟）已知定义在R 匕的函数小）的图象关于y 轴对称，且当x d 0,+8）时，jx+xf（x）0,若 a=0.76j（0.76）,Z=（logo.76Mlogo.76）,。=6 3 式 6-6）,则 a,b,c 的大小关系是（）A.cab B

4、.acbC.bac D.abc答 案 A解析 因为定义在R 上的函数危）的图象关于y 轴对称，所以y=7（x）是定义在R 上的偶函数，所以y=玳x）是定义在R 上的奇函数，又因为 x G 0,+8）时，0,所以），=敏外在0,+8）上是增函数，所以 =刈3 是定义在R 上的增函数，因为 logo.7600.76l6-6,所以ba 2=1C.Q到双曲线的一条渐近线的距离为1D.P Q B 的面积为1答 案 A C D解析 A中，由双曲线x29=1，可得焦点在x 轴上，a2b2,a0,0,a 是实半轴长，b是虚半轴长，渐近线方程为即 y=x,.A 正确；B 中，f-y2=l,可得左焦点E（一也，0

5、）,右焦点6（淄，0）,.以 为 直 径 的 圆 的 圆 心 是（0,0）,半径为也，；圆的方程为*+）2=2,B不正确；C中，F/f,0）到一条渐近线x-y=0 的距离d=/匚：回，=1,，C正确；AJ12+（-1）2D中，函 即 2=3设 P（x,y）,即 i=（一也 x,y）,1 2=（巾 一x,-y）,防2=（一也一 x）（也一万）+（-y）2=0,；.+户2,又尸在双曲线上，.一V=l（y W 0）,由得，加=孚，.-尸 2=奶 尸 2|例=贤 2gX坐=1,D正确.故选A C D.1 1.如图，正方体A B C D-A i B i G O i 的棱长为a,以下结论正确的是（）A.异

6、面直线4。与 A8所成的角为6 0。B.直线4。与 B C i 垂直C.直线AQ与 平 行D.三棱锥A-AC。的体积为答 案 A B D解 析 如图所示，建立空间直角坐标系.A 中，a),D(0,0,0),A(a,0,0),B(a,a,a)./.A|D=(-a),A2i=(0,a,a),./,y.亦、AiD AB.cos AD,A B)=-DABta2y2a-y2a.,.异面直线A Q 与 A81所成的角为60。.B 中，Ci(0,a,a),B(a,a,0).AD-BC=-a fit a(a,。，a)=a2a20.直线4。与 BC垂直.C 中，01(0,0,a).AD-BD=(a,0,a)-(

7、a,a,a)=a2a2=0,直线A Q 与 B A 垂直，不平行；D 中，三棱锥A-A C D 的体积=VCAAO=1V1 2 1 33X2a -a=6a -综上可知，只有C 不正确.故选ABD.1 2.已知定义在R 上的偶函数人x)满足人x+4)=/(x)+./(2),且在区间 0,2 上是增函数，下列命题中正确的是()A.函数 r)的一个周期为4B.直线x=-4 是函数,/(x)图象的-一条对称轴C.函 数 在 -6,5)上单调递增，在-5,4)上单调递减D.函数人 )在 0,100 内有25个零点答 案 ABD解 析 .偶函数4 X)满足犬x+4)=r)+大2),.令 x=2 得人-2+

8、4)=共-2)+式2),即2)=区2)+/(2),得犬2)=0,则兀v+4)=/(x),即函数,/U)是周期为4的周期函数，故 A正确.了 医)是偶函数，.图象关于y 轴，即图象关于x=0对称，函数的周期是4,，x=-4是函数,/(x)图象的一条对称轴，故 B正确.函数在区间 0,2 上是增函数，.在区间 2,0 上是减函数，则在区间-6,4 上是减函数，故 C错误，.避 2)=0,.式-2)=0,即函数在一个周期 0,4)内只有一个零点，则函数凡r)在 0,1 0 0 内有2 5 个零点，故 D正确,故选A B D.三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共 2 0 分)则 c os 俘+2

9、 a)=解析已知s i n|答案V7兀13,且年j+俘+,=看则 c os 俘+a)=s i n一a)=q,故 co s 停+2 a)=2 co s 2 停+J1 =*1 4.在(/一/)9的展开式中，常数项为,系 数 最 大 的 项 是.(本题第一空3分，第二空2分)答 案7的19”解析的展开式中第无+1项为或+1=(2 ()9(一/)=C(一 )91 8-3 ,常数项为r?=c8(3 =毯，第 Z+1项 的 系 数 为 要 使 系 数 最 大，k显然为偶数，经检验，当 4=2时，系数最大,即系数最大的项是-）21 5.（2 0 2 0.长春质检）已知椭圆与+号=1的右焦点尸是抛物线 尸2

10、度（p0）的焦点，则 过F作倾斜角为60。的直线分别交抛物线于A,B（A在 x轴上方）两点，则 耨=.答 案 3解 析 由椭圆3+9=1,可得右焦点为尸（1,0）,所以=1,解得p=2,设 A（x i,ji）,8（X 2,”）,由抛物线的定义可得.,2P 8P 1 6AB-X i +x2+p-s i n26 0o -3 _ 3，所以项+1 2=号，n2J又由 X X 2=Z=1，可得由=3,X2=y所以A F X r 2 3+1=3.1 6.（2 0 2 0 武汉模拟）三棱锥P-ABC 中，物，底面A B C,%=2吸，底面 A B C中/8 A C=I，边 B C=2,则三棱锥外接球的体积等

11、于答 案 瞥解 析 设 G为 A B C外接圆圆心，。为三棱锥P A B C 外接球球心,则 OG _ L 平面ABC,作O M P A,垂足为M,由正弦定理可知 A B C外接圆直径2 r=2AG=-7=士=2 啦,s i n Z B A C.兀 丫sm4：.AG=y/2.办 _ 1 _ 平面A B C,OG _ L 平面A B C,C.AP/OG,又 AG1.PA,：.OM/AG,四边形O M AG为矩形，：.OG=AM,设 OG=x,O P=O A=R,在 R t A O M P 和 R t A OG/1 中,由 勾 股 定 理 可 得 二=R 2,解得 x=也,l/?=2.三棱锥外接球

12、的体积丫=4*/?3 =等3?元.四、解答题（本大题共6 小题，共 70 分）1 7.（1 0 分）已知AABC 同时满足下列四个条件中的三个:jr2A,；co s 8=一3 a=7；6=3.（1）请指出这三个条件，并说明理由；（2）求AABC 的面积.解（1）Z A B C同时满足.理由如下：若 A B C同时满足.因为co s B=京一3，且 Bd（0,7 1）,所以B 半所以A+B 7t,与三角形内角和为兀矛盾.所以 A B C只能同时满足.因为“泌，所以A B,故48 c 不满足.故 A B C满足（.（2）由余弦定理得，a2=b2+c2-2bccos A,即 72=32+C2-2 X

13、 3 XCX1.解得c=8 或 c=5（舍）.所以 A B C 的面积 S=1&cs i n A=6A/3.1 8.（1 2 分X 2 0 2 0 邢台模拟）在公差为d的等差数列 斯 中,aid=6,a i N,G N,S.ai d.求 为 的通项公式；若 0,。4,0 3 成等比数列，求数列E1 的前”项和解（l）；4 d=6,a W N,d N,且i=6,d=2,d=.当。i=3 时,斯=2 +1；当 的=6 时，an=n+5.(2)V f li,。4,。1 3 成等比数列，=曷，:.%=2n+1,则斯斯+i 1 2+3)故 S 尸骗+*一肃6+9,1 9.(1 2 分)(2 0 2 0

14、山东九校联考)已知四棱柱ABCDAIBIG A 的底面为菱形，A 8=A 4=2,j rZ B A D=y A C H B D=O,A。J _ 平面 A 由。，48=4。.(1)证明：SC 平面AB D；求钝二面角B-A A i-D的余弦值.证 明 连接4 省 交48 于点Q,易知。为A Bi 的中点，：0为AC 的中点，.在 A BC 中，O Q H B C,且 OQ=；8C,；O Q u 平面 AiBD,81 c t t 平面 4 B),；.Bi C平面 AtBD.(2)解：A O J _ 平面 4 BO,：.AOLAO,：AB=AD且。为 8。的中点，：.AOLBD,：AO,B O u

15、平面 A BC。且 AOC B O=。，平面A 8C),如图，建立空间直角坐标系O-.z.易得 A(5,0,0),5(0,1,0),0(0,-1,0),4(0,0,1),二 筋 尸(一 书,0,1),矗=(一小，1,0),设平面A i A B的一个法向量为=(x,y,z),则 An.LAA,?i A B,一6 x+z=0,1 V 3 x+y=0,令 x=l,得 y=z=，,小，同理可得平面A i A。的一个法向量为，”=(1,-y/3,小),/m n 1c o s ”?，)一 丽 一 亍.钝二面角B A A|一。的余弦值为一去2 0.(1 2 分)如图，在平面直角坐标系g中，椭圆，+5=1(。

16、泌 0)的左、右顶点分别为4,B,点3 e)和S，e)都在椭圆上，其中e 为椭圆的离心率.(1)求椭圆的标准方程；(2)若点C 是椭圆上异于左、右顶点的任一点，线段8 c的垂直平分线与直线BC,AC 分别交于点P,Q,求证：油 质 为 定值.仕+笺 一 14 十 /T，(1)解 由 题 意 知 3 2 结合。2=+，,解得 Q=2,b=/,0=1.所以椭圆的标准方程为3+9=1.证明 由题意知4-2,0),8(2,0),0(0,0),设 C(xo,泗)，联立直线A C,PQ的方程，解得心井嗡镯，所以 仍 质=(2,0 (6,yQ-yP)n.2 1.(1 2 分)已知函数y(x)=a r-lnx

17、.(1)求1A x)的极值;(2)若 a=1,g(x)=y(x)+e*,求证：g(x)0.(1)解 了 (x)=一&x 0),当aWO时，f(x)0 时，令/(x)0,得x!；令 f(x)0,得 0 r 0),g(x)=er-l,令/z(x)=g (x),则，(=r+%*0,所以/i(x)在(0,+8)上单调递增.又#)=#-3 0,所以3 卬6(；,1),使得/i(M)=e xo 9 一1=0,即 e j f t)=7+1,所以函数g(x)在(0,刈)上单调递减，在(xo,+8)上单调递增,所以函数g(x)的最小值为g(xo)=exoIn&一 沏=1十1In检一沏，又函数y=:+llnxx在

18、(；，1)上是单调减函数，所以 g(xo)l+I In 1 I=10,故 g(x)0.22.(12分)为回馈顾客，某商场拟通过模拟兑奖的方式对1 000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求：顾客所获的奖励额为60元的概率；顾客所获的奖励额的分布列及均值；商场对奖励总额的预算是60 000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客

19、所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由.解(1)设顾客所获的奖励额为X.依题意，得P(X=60)=詈斗即顾客所获的奖励额为60元的概率为g依题意，得X的所有可能取值为20,60.1Cl 1产(X=60)=z，P(X=20)=W=/,故X的分布列为X2060P1212所以顾客所获的奖励额的均值为E(X)=2 0 x|+6 0 x|=4 0.(2)根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为60元，所以，先寻找均值为60的可能方案.对于面值由10元和50元组成的情况，如果选择(10,10,10,50)的方案,因为60元是面值之和的最大值，所以均值不可能为60元；如果选

20、择(50,50,50,10)的方案，因为6 0 元是面值之和的最小值，所以均值也不可能为6 0 元；因此可能的方案是(1 0,1 0,5 0,5 0),记为方案1.对于面值由2 0 元和4 0 元组成的情况，同理可排除(2 0,2 0,2 0,4 0)和(4 0,4 0,4 0,2 0)的方案,所以可能的方案是(2 0,2 0,4 0,4 0),记为方案2.以下是对两个方案的分析.对于方案1,即方案(1 0,1 0,5 0,5 0),设顾客所获的奖励额为X i,则 X 的分布列为X i2 06 01 0 0P231 2 1X i 的均值为(X,)=2 0 X-+6 0 X-+1 0 0 X g=6 0,X,的方差为 0(X 1)=(2 0-6 0)2X 1+(6 0-6 0)2X|+(1 0 0-6 0)2X对于方案2,即方案(2 0,2 0,4 0,4 0),设顾客所获的奖励额为X 2,则 X 2 的分布列为%24 06 08 0P1216361 2 1X 2 的均值为凤X2)=40X4+60XQ+80X4=60,X 2 的方差为)(X 2)=(4 0-6 0)2X1+(6 0 6 0)2x|+(8 0-6 0)2义=竿.由于两种方案的奖励额的均值都符合要求，但方案2奖励额的方差比方案1 的小，所以应该选择方案2.