杭州四校2023年高二上学期10月联考数学试题含答案.pdf

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1、高二年级数学试题卷第页共 4 页12023 学年第一学期高二年级 10 月四校联考数学学科 试题卷考生须知：1.本卷满分 150 分，考试时间 120 分钟；2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场、座位号及准考证号（填涂）；3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1.直线013 yx的斜率与y轴上的截距分别为（）A1,3B1,3C1,3 D1,3 2.如果一个复数的实部与虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若复数2i iza为“等部复数”，则实数 a 的值为（）A.1

2、B.1C.2D.23.平面,互相平行的一个充分条件是（）A,都垂直于同一平面B某一直线与,所成角相等C,都平行于同一直线D,都垂直于同一直线4.已知直三棱柱111CBAABC，121,90AAACABBAC，那么异面直线CB1与BA1所成角的余弦值为（）A1030B21C515D10105.设非零向量a和b的夹角为，定义运算：sin|baba.已知)2,1(),1,1(ba，则|ba（）A2B7C3D106.点),(yxP在圆122 yx上运动，则|434|yx的取值范围（）A 1,0B9,0C8,1 D9,1 7.在ABC中，)1,0(),0,1(BA，点C在直线xy 上运动，则ABC内切圆

3、的半径的最大值是（）A223B62C12 D221#QQABZQIEogCIQBAAAQhCAwGACAMQkAGCAIoOwBAAsAAAQAFABAA=#杭州四校2023年高二上学期10月联考数学试题高二年级数学试题卷第页共 4 页28.在三棱锥BCDA中，2,150,32CDBDCBDADAB，二面角 的大小为 60，则该三棱锥外接球半径是（）A33B29C31D33二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.9.已知实数0,cba，那么（）A22ba Bbaee C

4、bcac Dacbc10.已知圆台的上底半径为1，下底半径为3，球O与圆台的两个底面和侧面都相切，则（）A圆台的母线长为4B圆台的高为4C圆台的表面积为26D球O的表面积为1211.分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A“第一枚正面朝上”，事件B“第二枚正面朝上”，事件C“两枚硬币朝上的面相同”，事件D“两枚硬币朝上的面不同”，则（）A事件A和B互斥B事件C和D互斥C事件A和B相互独立D事件C和D相互独立12.过抛物线4142xy上一点P作圆1)1(:22 yxC的两条切线，切点为FE,，则（）A使PFPE 的点P共有2个B|EF既有最大值又有最小值C使四边形PECF面积最小的点P有且只有一个D

5、直线EF过定点三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13.在空间直角坐标系中，若),1,1(),3,1,1(xba，且ba，则|ba.14.设0，若函数xxfcos在0,2上有且仅有 2 个零点，则的取值范围是.15.直线xyl:与圆021:222rryxC交BA,两点，若D为圆C上一点，且ABD为等边三角形，则r的值为.16.若关于x的方程02bxax在2,1 上有实数根，则22ba 的最小值是.四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.#QQABZQIEogCIQBAAAQhCAwGACAMQkAGCAIoOwBAAsAAAQ

6、AFABAA=#高二年级数学试题卷第页共 4 页317.（10 分）如图，已知PA 平面ABCD，底面ABCD为正方形，2PAAB，M，N分别为AB，PC的中点.（）求证：MN平面PCD；（）求平面PMC与平面ABCD所成锐二面角的余弦值.18.（12 分）在ABC中，,a b c分别是角,A B C的对边，且23coscoscos24ABAB.（）求角C；（）若2c，求AB边上高的最大值.19.（12 分）已知)(xg为过点)9,2(的指数函数，)(1)()(xgxgmxf为定义域为R的奇函数（）求函数)(xf的解析式；（）若对任意的5,0t，不等式0)522()2(22ttfkttf恒成立

7、，求实数k的取值范围.20.（12 分）文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者.某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取 100 份作为样本，将样本的成绩（满分 100分，成绩均为不低于 40 分的整数）分成六段：40,50，50,60，90,100得到如图所示的频率分布直方图.（）求频率分布直方图中a的值；（）求样本成绩的第 75 百分位数；（）已知落在50,60的平均成绩是 56，方差是 7，落在60,70的平均成绩为 65，方差是 4，求两组成绩的总平均数z和总方差2

8、s.#QQABZQIEogCIQBAAAQhCAwGACAMQkAGCAIoOwBAAsAAAQAFABAA=#高二年级数学试题卷第页共 4 页421.（12 分）设抛物线32 xy与两坐标轴的交点分别记为GNM,，曲线C是经过这三点的圆.（）求圆C的方程.（）过0,1P作直线l与圆C相交于BA,两点，（）用坐标法证明：PBPA 是定值.（）设2,0 Q，求22QBQA 的最大值.22.（12 分）如 图，四 棱 锥ABCDP中，底 面ABCD为 直 角 梯 形，90,/ACBBADCDAB，BCPACDACAB,633，在锐角三角形PAC中，4PC.（）点E满足PDPE，试确定的值，使得直线

9、/PB平面ACE，并说明理由.（）当PA的长为何值时，直线AD与平面PBC所成的角的正弦值为32.#QQABZQIEogCIQBAAAQhCAwGACAMQkAGCAIoOwBAAsAAAQAFABAA=#高二年级数学试题卷答案 第 页 共 5 页 1 高二数学参考答案高二数学参考答案 一、选择题 BCDA CBDC 二、多选题 9.BC 10.ACD 11.BC 12.AC 三、填空题 13.7 14.)5,3 15.2 16.174 17.答案：17.解：（1）取 PD 的中点 E,连接 AE,NE,又 N 为 PC 的中点，M 为 AB 的中点,EN=12CD 又,AM=12EN 所以四

10、边形 AMNE 为平行四边形，所以 2 分 平面 PACD 又 CDAD CD平面 PAD CDAE 又 PA=AD,E 为 PD 的中点，AEPD AE平面 PCD MN平面 PCD 5 分（2）以 A 为原点，分别以 AB,AD,AP 为 x 轴，y 轴,z 轴建立空间坐标系 则 P(0，0，2)，C(2，2，0)，M(1,0，0)平面 PCM 的法向量1=(2,1,1)平面 ABCD 的法向量2=(0,0,1)8 分 COS 1,2 161=66 平面 MPC 与平面 PAD 所成锐二面角的余弦值为66 10 分 /ENCD1/,2AMCD AMCD=/AMEN/MNAEPA ABCD#

11、QQABZQIEogCIQBAAAQhCAwGACAMQkAGCAIoOwBAAsAAAQAFABAA=#高二年级数学试题卷答案 第 页 共 5 页 2 18.18.#QQABZQIEogCIQBAAAQhCAwGACAMQkAGCAIoOwBAAsAAAQAFABAA=#高二年级数学试题卷答案 第 页 共 5 页 3 19.20（1）利用每组小矩形的面积之和为 1 可得，0.005 0.010 0.0200.025 0.010101a，解得0.030a=2 分（2）成绩落在)40,80内的频率为()0.0050.0100.0200.030100.65+=，落在)40,90内的频率为()0.0

12、05 0.0100.0200.0300.025100.9+=，设第 75 百分位数为m，由()0.65800.0250.75m+=，得84m=，故第 75 百分位数为 84；.4 分（式子列出 2 分，答案 2 分）（3）由图可知，成绩在)50,60的市民人数为100 0.1 10=，成绩在)60,70的市民人数为1000.220=，故623065205610z=+=；.2 分 由样本方差计算总体方差公式可得总方差为()()23420710301s62656256222=+=.4分（公式写对2分，答案2分）#QQABZQIEogCIQBAAAQhCAwGACAMQkAGCAIoOwBAAsAA

13、AQAFABAA=#高二年级数学试题卷答案 第 页 共 5 页 4 TDPCABEH21.22.(1)PE=34PD 时，PB/平面ACE，证明如下：连接 BD，BD 与 AC 交于 O 点，因为ODOB=DEEP=13，所以 PB/OE，OE 面 ACE，PB/平面ACE.(2)直线AD与平面PBC所成的角的正弦为23，取AF=13AB 则AD/CF，所以直线CF与平面PBC所成的角记作，则 Sin=23 易证AC BC，结合PA BC，得BC 面 PAC，所以面PBC 面 PAC 作 AH 交线 BC于点 H，则 AH 面 PBC，设 AH=3t，则点 F 到面 PBC 的距离为 2t S

14、in=2tCF=2t22=23，所以 t=232，所以 AH=22，cosACH=33,在锐角三角形PAC中，PA=PC2+AC2 2PC AC cosACP=23#QQABZQIEogCIQBAAAQhCAwGACAMQkAGCAIoOwBAAsAAAQAFABAA=#高二年级数学试题卷答案 第 页 共 5 页 5 z(-2-2 2 23 3,2 23 3,0),0)(0,p,q)(0,p,q)(0,2(0,2 3 3,0),0)(2(2 6 6,0,0),0,0)CPDABEyx法二：如图所示，ATH即为所求 法三：如图建系 DA=(263,433,0)，面PBC的法向量为(0,q,p)，直线AD与平面PBC所成的角记作，则 Sin=433q22p2+q2=23，得q2=2p2，PC=4，q2+p2=16 解得p=433，q=463，所以 PA=23#QQABZQIEogCIQBAAAQhCAwGACAMQkAGCAIoOwBAAsAAAQAFABAA=#