2022年温州市摇篮杯高一数学竞赛试题含答案.pdf

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1、 学科网（北京）股份有限公司 2022 年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题 第 1 页 共 4 页 第 7 题图 2022 年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题 2022.9 本卷满分 150 分，考试时间 120 分钟所有答案答在答题纸上才有效.第第卷卷 选择题（共 60 分）一、单项选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分每小题只有 1 个正确答案）1设集合21,Ax xnnN，41,Bx xnnN，则AB（）A41,x xnnN B42,x xnnN C43,x xnnN D 2已知复数13 i22z （其中i为虚数单位），z的共轭复数为z，则下列说法错误的是（）A2zz

2、 B2()zz C31z D3()1z 3C地发生地震时，相距dkm 的,A B两地都能感受到，已知C地位于 A 地的正东方向上，C地位于 B地的东偏南30方向上，且C地距离,A B两地分别为100km 和200km，则d的值是（）A100 52 3 B100 3 C100 7 D100 52 3 4 有三个盒子，每个盒子里有若干大小形状都相同的卡片 第一个盒子中有三张分别标号为1,2,3的卡片；第二个盒子中有五张分别标号为1,2,3,4,5的卡片；第三个盒子中有七张分别标号为1,2,3,4,5,6,7的卡片现从每个盒子中随机抽取一张卡片，设从第i个盒子中取出的卡片的号码为(1,2,3)ix

3、i，则123xxx为奇数的概率是（）A29105 B53105 C57105 D12 5设2202020222021a，22021 20232022b，2202220242023c，则（）Aabc Bacb Ccab Dcba 6已知:0p xy，22:lg(1)lg(1)0 qxxyy，则p是q的（）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 7已知矩形ABCD中，2AB,4ADE,F分别在边AD,BC上,且1AE,3BF如图所示，沿EF将四边形AEFB翻折成11AEFB，在翻折过程中，二面角1BCDE的大小为，则tan的最大值是（）A3 25 B3 35 C3

4、24 D3 34 8已知点P是边长为1的正五边形ABCDE内(含边界)一点，则PAPBPCPDPE的最大值是（）A12cos36 B12sin36 C52cos36 D52sin36 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分 学科网（北京）股份有限公司 2022 年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题 第 2 页 共 4 页 第 15 题图 9某高中有学生 500 人，其中男生 300 人，女生 200 人希望获得全体学生的身高信息(单位:cm)，按照按比例分配的分层随机

5、抽样的原则抽取了容量为 50 的样本经计算得到男生身高样本均值为 170，方差为 17；女生身高样本均值为 160，方差为 30下列说法中正确的是（）A男生的样本量为 30 B每个女生被抽入到样本的概率均为25 C总样本的均值为 166 D总样本的方差为 46.2 10已知定义在R上的函数()f x满足：x R，(2)()fxf x，(2)()fxf x，且当(0,1x时，1()sinf xxx，则下列说法正确的是（）A()f x是奇函数 B()f x是周期函数 C()f x的值域为 1,1 D()f x在区间2021 2023(,)2022 2022内无零点 11设O,A,B是平面上任意三点

6、，定义向量的运算：det,OA OBOA OB，其中OA由向量OA以点O为旋转中心逆时针旋转直角得到(若OA为零向量，规定OA也是零向量)对平面向量,a b c，下列说法正确的是（）Adet(,)det(,)a bb a B对任意R,det(,)det(,)ab ba b C若,a b为不共线向量，满足(,)cxaybx yR，则det,det,a caxb,det,det,c bayb Ddet,det,det,0a b cb c ac a b 12设函数1()xf xxa，则下列说法正确的是（）A若0a，则()f x在0,1上单调递减 B若(0,1)a，()f x无最大值，也无最小值 C若

7、1a，则1()1f xx D若1a，则min1()()f xfa 第第卷卷 非选择题（共 90 分）三、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分请将答案写在横线上）13光线通过某种玻璃，强度损失10%要使光线强度减弱为原来的15，至少要通过 块 这样的玻璃（参考数据：lg20.3010，lg30.4771）14已知虚数z满足azz为实数，2z，则实数a的值是 15如图，在ABC中，2,6,ACABBAC的 内角平分线交BC于点D，过C作CEAD于点E，则2CE BECE的值是 16设,a bR若当|1x 时，恒有2|()|1xab，则ab的取值范围是 学科网（北京）股份有限公司

8、2022 年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题 第 3 页 共 4 页 四、解答题（本题共 6 大题，第 17 题 10 分，其余各题 12 分，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算）17我国古代数学名著九章算术中记载的“刍甍”是底面为矩形，顶部只有一条棱的五面体如图，五面体A B C D E F是一个“刍甍”，四边形A B C D为矩形，EAD与FBC都是正三角形，4AB,2ADEF（1）求证：/EF平面ABCD；（2）求直线CF与平面ABFE所成角的正弦值 18袋中装有除颜色外完全相同的的4个球，其中有3个黑球和1个白球现由甲、乙两人从袋中轮流取球，取后不放回，规定甲先取，乙后取

9、，然后甲可再取，接下来再由乙取，若有人取到白球，则马上终止取球，每次取球时，袋中的每个球被取出的概率相等记事件iA“第i次取到的球是白球”，1,2,3,4i试将下列事件用12,A A,34,A A表示，并求出相应事件的概率（1）取球3次即终止；（2）最后一次取球的是乙 19已知函数44()cossinsin4f xxxaxb，且()6f x为奇函数（1）求()f x的解析式；（2）若方程()0f xm在0,上有四个不同的实数解1234,x xx x,求1234()4xxxxf的值 20已知三角形ABC中，角,A B C所对的边分别为,a b c，且222tantantanabcABC（1）（1

10、）当,14Aa，2时，求c的值；（2）判断ABC的形状 第 17 题图 学科网（北京）股份有限公司 2022 年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题 第 4 页 共 4 页 21近些年来，三维扫描技术得到空前发展，从而催生了数字几何这一新兴学科数字几何是传统几何和计算机科学相结合的产物数字几何中的一个重要概念是曲率，用曲率来刻画几何体的弯曲程度规定：多面体在顶点处的曲率等于2与多面体在该点的所有面角之和的差（多面体的面角是指多面体的面上的多边形的内角的大小，用弧度制表示），多面体在面上非顶点处的曲率均为零由此可知，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和例如：正方体在每个顶点有3个面角，每个面

11、角是2，所以正方体在各顶点的曲率为 2322，故其总曲率为4（1）求四棱锥的总曲率；（2）表面经过连续变形可以变为球面的多面体称为简单多面体关于简单多面体有著名欧拉定理：设简单多面体的顶点数为D，棱数为L，面数为M，则有：2DLM利用此定理试证明：简单多面体的总曲率是常数 22设函数1()e0,)xf xxx，（1）证明：存在唯一的函数:0,)g R，使得()g f xx；（2）求所有的非负实数x使得()()f xg x；（3）(0,1)t，（i）证明：关于x的方程()f xt与()g xt都有唯一实根；（ii）记12xx，分别为方程()f xt，()g xt的实根，证明：2121exx 20

12、22 年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题2022.9本卷满分 150 分，考试时间 120 分钟所有答案答在答题纸上才有效.第第卷卷选择题（共 60 分）一、单项选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分每小题只有 1 个正确答案）1 设集合21,Ax xnnN，41,Bx xnnN，则AB（）A41,x xnnNB42,x xnnNC43,x xnnND【答案】C【解 析】设 集 合43,Cx xnnN，易 见ABC，且BC ，故ABC.2已知复数132iz（其中i为虚数单位），z的共轭复数为z，则下列说法错误的是（）A2zzB2()zzC31z D3()1z【答案】D【解析】

13、2313122zizzz z，同理 2313122zizzz z 3C地发生地震时，相距dkm 的,A B两地都能感受到，已知C地位于 A地的正东方向上，C地位于 B 地的东偏南30方向上，且C地距离,A B两地分别为100km 和200km，则d的值是（）A100 52 3B100 3C100 7D100 52 3【答案】A【解析】221002002 100 200 cos30100 52 3d 4有三个盒子，每个盒子里有若干大小形状都相同的卡片第一个盒子中有三张分别标号为1,2,3的卡片；第二个盒子中有五张分别标号为1,2,3,4,5的卡片；第三个盒子中有七张分别标号为1,2,3,4,5,

14、6,7的卡片 现从每个盒子中随机抽取一张卡片，设从第i个盒子中取出的卡片的号码为(1,2,3)ix i，则123xxx为奇数的概率是（）A29105B53105C57105D12【答案】B解析：简单的分类讨论即可得到答案.2 3 42 2 3 1 3 3 1 2 4533 5 7105P 5设22020 20222021a，22021 20232022b，22022 20242023c，则（）AabcBacbCcabDcba【答案】A【解析】因函数22(1)(1)1()1nnf nnn 在N单调递增，故(2021)(2022)(2023)fff，即abc.6已知:0p xy，22:lg(1)l

15、g(1)0 qxxyy，则p是q的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】C【解析】设2()lg(1)f xxx，则22()()lg(1)(1)lg10fxf xxxxx ()f x为奇函数易知()0,)f x在上单调递增，因此()f x 在R上单调递增22lg(1)lg(1)0 xxyy 即()()0()()f xf yf xfyxy 从而0 xy.7已知矩形ABCD中，2AB,4ADE,F分别在边AD,BC上,且1AE,3BF如图所示，沿EF将四边形AEFB翻折成11AEFB，在翻折过程中，二面角1BCDE的大小为，则tan的最大值是（）A3 25B3

16、35C3 24D3 34【答案】C【解析】如图,过B作BKEF,垂足为H,直 线BK 交 直 线CD 于K,过1B作1BO BK,由翻折知1,BHEF BHEF,于是EF平 面1BHO,得1EFBO,故1BO平面 ABCD.过O作OSCD,连接1BS,则由三垂线定理知1BSCD,于是1BSO就 是 二 面 角1B CD E的 平 面 角,故11tantanB OB SOOS.设OHx,计算得13 2,2BHBHBK15 2524 2,222OKx OSx BO292x,因此212 92tan5 22BOxOSx.令5 22xt,则2222 9221945 23 2tan165 22232845

17、 22xttttx当9 210 x时等号成立.所以tan的最大值为3 24.8已知点P是边长为1的正五边形ABCDE内(含边界)一点，则 PAPBPCPDPE的最大值是（）A12cos36B12sin36C52cos36D52sin36【答案】D【解析】设点 A,B,C,D,E 的坐标依次为111cos0,sin0,cos72,sin72,cos144,sin144,2sin362sin362sin3611cos216,sin216,cos288,sin288.2sin362sin36设点(,)P x y.则44001cos(72),sin(72)5,2sin36 0,05,5,.iiPAPB

18、PCPDPEiix yx yx y 由此易得PAPBPCPDPE 的最大值是52sin36.二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分9某高中有学生 500 人，其中男生 300 人，女生 200 人希望获得全体学生的身高信息(单位:cm)，按照按比例分配的分层随机抽样的原则抽取了容量为 50 的样本经计算得到男生身高样本均值为 170，方差为 17；女生身高样本均值为 160，方差为 30下列说法中正确的是（）A男生的样本量为 30B每个女生被抽入到样本的概率均为25C

19、总样本的均值为 166D总样本的方差为 46.2【答案】ACD【解析】10已知定义在R上的函数()f x满足：x R，(2)()fxf x，(2)()fxf x，且当(0,1x时，1()sinf xxx，则下列说法正确的是（）A()f x是奇函数B()f x是周期函数C()f x的值域为 1,1D()f x在 区 间2021 2023(,)2022 2022内无零点【答案】ABD【解析】x R，()(2()()fxfxf x，即()()fxf x，故()f x是奇函数；x R，(4)(2(2)(2)()()f xfxfxf xf x ，即(4)()f xf x，故()f x是以4为周期的周期函

20、数；当(0,1x时，11|()|sin1f xxxxx，再由()f x的对称性、周期性，可知1不是()f x的最大值；当1(,1x时，11,)x，则()0f x.再由()f x的图象关于直线1x 对称，知()f x在11(,2)内恒正.又2021 202311(,)(,2)2022 2022，故()f x在区间2021 2023(,)2022 2022内无零点.11设O,A,B是平面上任意三点，定义向量的运算：det,OA OBOA OB，其中OA由向量 OA以点O为旋转中心逆时针旋转直角得到(若 OA为零向量，规定OA也是零向量)对平面向量,a b c，下列说法正确的是（）Adet(,)de

21、t(,)a bb aB对任意R,det(,)det(,)ab ba bC 若,a b为 不 共 线 向 量，满 足(,)cxaybx yR，则det,det,a caxb,det,det,c baybDdet,det,det,0 a b cb c ac a b【答案】BD【解 析】设 向 量,a b在 平 面 直 角 坐 标 系 中 的 坐 标 分 别 为1212(,),(,).aa abb b设,a b以各自的起始点为旋转中心逆时针旋转直角后分别得到向量,a b，则21(,)aa a，21(,)bb b .我们有21121 22 1det(,)(,)(,),a ba ba ab baba b

22、 21122 11 2det(,)(,)(,),b ab ab ba aa bab 可得det(,)det(,)a bb a.所以 A 错误.再来看 B 选项.det,det,det,det,.ab bb abbabb ab aa b 所以 B 正确.选项 C 错在x和y的值发生了交换.事实上，将等式xaybc两边同时和向量b作数量积可得xa byb bc b，因为0b b，所以xa bc b.又因为向量,a b不共线，所 以0a b，故det,det(,).det(,)det,c bc bb cxa bb aa b同 理 可 得det(,)det(,).det(,)det(,)c aa cy

23、b aa b 选项 D 中的式子具有形式上轮换对称的美感，其正确性可以证明如下：(1)当向量,a b不共线时，由对选项 C 的分析可得det(,)det(,),det(,)det(,)c ba cabca ba b 即det(,)det(,),det(,)det(,)b cc aabca ba b 等式两边同时乘以det(,)a b，再移项可得det(,)det(,)det(,)0.a b cb c ac a b (2)当向量,a b共线时，由轮换对称性，不妨设存在实数R，使得ab，则det(,)det(,)det(,)det(,)det(,)()det(,)=0+det(b,c)b+det(

24、c,b)b a b cb c ac a bb b cb cbcb b =0+det(b,c)b-det(b,c)b =0.12设函数1()xf xxa，则下列说法正确的是（）A若0a，则()f x在0,1上单调递减B若(0,1)a，()f x无最大值，也无最小值C 若1a，则1()1f xxD 若1a，则min1()()f xfa【答案】ABC【解析】若0a，则120,1xx，且12xx，120 xaxa，12110 xx，则12()()f xf x，故()f x在0,1上单调递减；若(0,1)a，则当2xa且x趋于2a时，()f x趋于；当2xa且x趋于2a时，()f x趋于，故()f x无

25、最大值，也无最小值；若1a，则当0,1)x时，xx，故111111xxxxx，即1()1f xx；第 15 题图若1a，举反例：2a，则11()()24ff，故min1()()2f xf.事实上，当1a 时，min21()()f xfa.第第卷卷非选择题（共 90 分）三、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分请将答案写在横线上）13光线通过某种玻璃，强度损失10%要使光线强度减弱为原来的15，至少要通过块这样的玻璃（参考数据：lg20.3010，lg30.4771）【答案】16【解析】设至少要通过n块这样的玻璃，则1(1 10%)5n，即0.91lg1lg2 15log15.

26、35lg0.92lg3 1n，故要使光线强度减弱为原来的15，至少要通过16块这样的玻璃.14已知虚数z满足azz为实数，2z，则实数a的值是【答案】4【解析】azz为实数，则()(1)0aaaazzzzzzzzz z因为z为虚数，所以0zz，因此24z zaz15 如图，在ABC中，2,6,ACABBAC的内角平分线交BC于点D，过C作CEAD于点E，则2CE BECE 的值是【答案】3【解析】取BC的中点F，则2214CE BEEFBC 过F作FGBC交AD延长线于G，则CDEFDG，由角平分线定理可得，3BDABCDAC22244BCCDEFDECE ，22222214434CE BEE

27、FBCDECECDCE 所以23CE BECE 16设,a bR若当|1x 时，恒有2|()|1xab，则ab的取值范围是【答案】2,0【解 析】设 函 数2()()f xxa，则 当|1x 时，恒 有1()1bf xb.当1a时，()f x在 1,1上递增，则2(1)(1)1fab，且2(1)(1)1fab ，从 而22222aabaa ，则22222aaaa，于 是12a，矛盾；同理，当1a，矛盾；当10a，212baa；当01a，212baa；由此得，ab的取值范围是2,0.当且仅当12a ，1b 时，2ab，当且仅当0ab时，0ab.四、解答题（本题共 6 大题，第 17 题 10 分

28、，其余各题 12 分，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算）17我国古代数学名著九章算术中记载的“刍甍”是底面为矩形，顶部只有一条棱的五面体如图，五面体ABCDEF是一个“刍甍”，四边形ABCD为 矩 形，EAD与FBC都 是 正 三 角 形，4AB,2ADEF第 17 题图(1)求证：/EF平面ABCD；(2)求直线CF与平面ABFE所成角的正弦值17.解 析(1)/,ABCD AB 面,CDF CD面CDEF,/AB面CDEF,又面 ABFE面CDEFEF,/ABEF,又EF面,ABCD AB面ABCD,所以/EF面ABCD(2)如 图,延 长 棱E F 至M N,使 得1MEN

29、F,由题可知 ABNM 与 CDMN 皆为矩形,于是我们得到了直三棱柱ADMBCN,过C作CPBN于P,则CP面ABNM,CF在面ABFE内的射影为,PF CF与平面ABFE所成角为CFP,又223,BNCNBFFNNBC中,BC边 上 的 高 为2 22 62,33CP,故6sin3CPCFPCF.18 袋中装有除颜色外完全相同的的4个球，其中有3个黑球和1个白球 现由甲、乙两人从袋中轮流取球，取后不放回，规定甲先取，乙后取，然后甲可再取，接下来再由乙取，若有人取到白球，则马上终止取球，每次取球时，袋中的每个球被取出的概率相等记事件iA“第i次取到的球是白球”,1,2,3,4i试将下列事件用

30、12,A A,34,A A表示，并求出相应事件的概率(1)取球3次即终止；(2)最后一次取球的是乙解：(1)取球 3 次终止情况为第一次取黑球,第二次取黑球,第三次取白球该事件为3A,所求概率为332114324P(2)最后一次取球的是乙,则意味着取到白球的次数为偶数,则包括24,A A两种情况,即事件“最后一次取球的是乙”为事件24AA,2A事件对应的概率243 11,4 34PA事件对应的概率43 2 1 114 3 2 14 P,因此,最后一次取球的是乙的概率24111442PPP19 已知函数44()cossinsin4f xxxaxb，且()6f x为奇函数(1)求()f x的解析式

31、；(2)若方程()0f xm在0,上有四个不同的实数解1234,x x x x,求1234()4xxxxf的值解：221 cos21 cos2()()()sin422xxf xaxb211(cos2)sin422xaxb11 cos4sin42413sin4cos444xaxbaxxb()6f x为奇函数()f x的图像关于点(,0)6对称30334,212124sincos0343baba3()sin(4)63f xx130,4,333xx方程()0f xm，即方程()f xm 在0,上有四个不同的实数解1234,x x x x则1346m 或3164m，即3164m 或1346m当1346

32、m，即3164m 时则1234444453333xxxx，12343333()sin(4)sin643626xxxxf x 当3164m，即1346m12344434473333xxxx，12343353()sin(4)sin643626xxxxf x20已知三角形ABC中，角,A B C所对的边分别为,a b c，且222tantantanabcABC（1）(1)当,14Aa，2时，求c的值；(2)判断ABC的形状解：由222tantantanabcABC，得coscoscosaAbBcC则sin2sin2sin2ABC（1）31 sin22sin2()2cos24BBB 2(sincos)

33、2(cossin)(cossin)BBBBBB 3sincos044ABBB(1)coscos(1)sinsinABABsincos2sin2cosBBBBtan3B31sin,cos1010BB2sinsin()sincoscossin445CABBB由sinsinacAC，得sin2 10sin5aCcA13sin25ABCSacB（2）sin2sin2sin2ABC2sin()cos()2 sincosABABCCcos()coscos()ABCAB 化简，得(1)coscos(1)sinsinABAB1tantan1AB11tantan0tan0,tan01ABAB tantan1ta

34、ntan()(tantan)01 tantan2ABCABABAB ABC为锐角三角形21近些年来，三维扫描技术得到空前发展，从而催生了数字几何这一新兴学科 数字几何是传统几何和计算机科学相结合的产物 数字几何中的一个重要概念是曲率，用曲率来刻画几何体的弯曲程度规定：多面体在顶点处的曲率等于2与多面体在该点的所有面角之和的差（多面体的面角是指多面体的面上的多边形的内角的大小，用弧度制表示），多面体在面上非顶点处的曲率均为零 由此可知，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和例如：正方体在每个顶点有3个面角，每个面角是2，所以正方体在各顶点的曲率为2322，故其总曲率为4(1)求四棱锥的总曲率

35、；(2)表面经过连续变形可以变为球面的多面体称为简单多面体关于简单多面体有著名欧拉定理：设简单多面体的顶点数为D，棱数为L，面数为M，则有：2DLM利用此定理试证明：简单多面体的总曲率是常数解析：(1)四棱锥有5个顶点,4个三角形面,1个凸四边形面,故其总曲率为25424.（答案正确即可给分）.(2)设多面体有M个面,给组成多面体的多边形编号,分别为1,2,M号.设第i号(1)iM多边形有iL条边.则多面体共有122MLLLL条棱(在给所有多边形的边数求和时,每条棱被计了两次数).由题意,多面体共有12222MLLLDMLM个顶点.i号多边形的内角之和为2iL,故所有多边形的内角之和为12()

36、2,MLLLM故多面体的总曲率为1212122222224MMMDLLLMLLLMLLLM所以满足题目要求的多面体的总曲率为4.22设函数1()e0,)xf xxx，（1）证明：存在唯一的函数:0,)g R，使得()g f xx；（2）求所有的非负实数x使得()()f xg x；（3）(0,1)t，（i）证明：关于x的方程()f xt与()g xt都有唯一实根；（ii）记12xx，分别为方程()f xt，()g xt的实根，证明：2121exx解析：（1）证明：注意到()f x在0,)上单调递增，且值域为0,)，故对任意0,)x，存在唯一的0,)s，使得()f sx，因此定义()g xs，则函

37、数:0,)g R是满足()g f xx的唯一的函数，并且()g x在0,)上单调递增，值域为0,)；（2）先证明：方程()()f xg x与()f xx等价.若00,)x 满 足00()f xx，则000()()g xg f xx，即00()g xx，因此00()()f xg x.反之，若00,)x 满足00()()f xg x，则00()f xx.（否则，假设00()f xx，若00()f xx，则由()g x在0,)上递增，得00()()g f xg x.又00()g f xx，故00()xg x，从 而00()()f xg x，矛盾.同理，若00()f xx，则00()()f xg x，矛盾.）所以()()()f xg xf xx.最后，方程1()e0,1xf xxxxx.所以0,1x 是使得()()f xg x的所有非负实数x；（3）证明：(0,1)t，（i）因为()f x，()g x在0,)上单调递增，且(0)(0)0fg，(1)(1)1fg，所以方程()f xt与()g xt都有唯一实根，且在区间(0,1)内；（ii）由2()g xt，得22()()xf g xf t，即2()xf t，从而111112()1111111112ee()eeeeext xxxtttxxxxtxf tttt.因1,(0,1)t x，故1(0,2)tx，所以2121exx.