函数中的同构问题--2024高考数学压轴大题秒杀（解析版）.pdf

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1、函数中的同构问题函数中的同构问题一、一、考情分析近年来同构函数频频出现在模拟试卷导数解答题中，高考真题中也出现过同构函数的身影，同构法是将不同的式子通过变形，转化为形式结构相同或者相近的式子，通过整体思想或换元等将问题转化的方法，这体现了转化思想此方法常用于求解具有对数、指数等混合式子结构的等式、不等式问题中，或利用函数单调性定义确定函数单调性，利用此方法求解某些导数压轴题往往能起到秒杀效果.二、二、解题秘籍(一)同构函数揭秘(一)同构函数揭秘同构式是指除了变量不同，其余地方均相同的表达式，导数中同构函数问题大多属于指对跨阶问题，比如ex+x与x+lnx属于“跨阶函数”，而ex+lnx属于“跳

2、阶函数”，对于指对跳阶的函数问题，直接求解，一般是通过隐零点代换来简化，并且有很大局限性，有些题若采用指对跨阶函数进行同构，可将跳阶函数问题转化为跨阶函数问题，从而使计算降阶，通常构造的同构函数有以下几类：f x=xex,f x=xlnx,f x=x+ex,f x=x+lnx，f x=ex-x+a,f x=lnx-x+a等，在一些求参数的取值范围、零点个数、不等式证明、双变量问题中，利用复合函数单调性，复合函数零点个数等问题中常通过构造同构函数求解.利用同构函数解题要注意一些常见的凑形技巧，如；x=elnx,x=lnex,xex=ex+lnx,exx=ex-lnx等.1 1(2024届陕西省西

3、安市部分学校高三上学期考试)(2024届陕西省西安市部分学校高三上学期考试)已知函数 f x=lnx-ax-1x.(1)当a=2，求 f x的极值；(2)若 f x-e-ax恒成立，求a的取值范围.1函数中的同构问题-2024高考数学压轴大题秒杀（解析版）2 2(20242024届重庆市南开中学高三上学期第一次质量检测届重庆市南开中学高三上学期第一次质量检测)已知函数 f x=x2+lnx+ax在x=1处的切线l和直线x+y=0垂直.(1)求实数a的值；(2)若对任意的x1,x2 0,2，x1x2，都有f(x1)-f(x2)-x21+x22ex1-ex2m成立(其中e为自然对数的底数)，求实数

4、m的取值范围.(二二)xex型同构型同构3 3(20232023届吉林省长春外国语学校高三上学期考试届吉林省长春外国语学校高三上学期考试)已知函数 f x=ex-ax(e是自然对数的底数).(1)当a=1时，求 f(x)的极值点；(2)讨论函数 f(x)的单调性；(3)若g x=exx-1-alnx+f x有两个零点，求实数a的取值范围.2(三三)x+alnx型同构型同构4 4(20232023届福建省宁德市博雅培文学校高三高考前最后一卷届福建省宁德市博雅培文学校高三高考前最后一卷)已知函数 f x=lnxx+m mR(1)讨论函数 f x的零点的个数(2)当m=0时，若对任意x0，恒有a e

5、ax+12 f xx2+1，求实数a的取值范围(四四)ex+ax+b型同构型同构5 5(20242024届福建省漳州市高三上学期第一次教学质量检测届福建省漳州市高三上学期第一次教学质量检测)已知函数 f(x)=aex+x+1.(1)讨论 f(x)的单调性；(2)当x1时，f(x)lnx-1a+x，求实数a的取值范围.3(五五)lnx+ax+b型同构型同构6 6已知 f x=ex+1-2x，g x=a+x+lnxx，aR(1)当x 1,+时，求函数g x的极值；(2)当a=0时，求证：f xg x三、三、典例展示1 1(20242024届江苏省徐州市邳州市新世纪学校高三上学期月考届江苏省徐州市邳

6、州市新世纪学校高三上学期月考)已知函数 f x=x2+1lnx-x2-ax(1)若a=1，求 fx的最小值；(2)若方程 f x=axe2ax-x2有解，求实数a的取值范围42 2(20242024届安徽省六校教育研究会高三上学期素质测试届安徽省六校教育研究会高三上学期素质测试)已知函数 f x=aex-x(e是自然对数的底数).(1)讨论函数 f x的单调性；(2)若g x=aexx-1-lnx+f x有两个零点，求实数a的取值范围.3 3(20242024届重庆市渝北中学高三上学期月考届重庆市渝北中学高三上学期月考)已知函数 f x=14x2+aln x-1，g x=f x+1ex-14x

7、2+x(1)当a=-1时，求函数 f x的极值；(2)若任意x1、x2 1,+且x1x2，都有g x1-g x2x1-x21成立，求实数a的取值范围54 4已知 f x=x2ex-a x+2lnx(1)当a=e时，求 f x的单调性；(2)讨论 f x的零点个数5 5已知函数 f x=ex-alnx,aR.(1)当a=0时，若曲线y=f x与直线y=kx相切于点P，求点P的坐标；(2)当a=e时，证明：f xe；(3)若对任意x 0,+，不等式 f xalna恒成立，请直接写出a的取值范围.66 6已知函数 f x=x-alnx,aR(1)请讨论函数 f x的单调性(2)当x1e,+时，若ex

8、xln lnx+x+1+1恒成立，求实数的取值范围四、四、跟踪检测1(20232023届广东省深圳市光明区高三二模届广东省深圳市光明区高三二模)已知函数 f x=ae2x-1x的图象在 1,f 1处的切线经过点 2,2e2.(1)求a的值及函数 f x的单调区间；(2)设g x=ax2-1lnx，若关于x的不等式xg xe2x-1在区间 1,+上恒成立，求正实数的取值范围.72(20232023届海南省海口市龙华区海南华侨中学高三一模届海南省海口市龙华区海南华侨中学高三一模)已知函数 f x=lnxx-1+1.(1)讨论函数 f x的单调性；(2)已知0，若存在x 1,+，不等式xex+1ex

9、-1x-1lnx成立，求实数的最大值.3(20242024届山东省部分学校高三上学期联考届山东省部分学校高三上学期联考)已知函数 f x=aln x+1-ax.(1)当a0时，讨论 f x的单调性；(2)当x-1时，f xax-ex+1+ax+1恒成立，求实数a的取值范围.84已知函数 f x=ex，g x=sinx.(1)求g x=sinx在x=0处的切线方程；(2)求证：g xgx+10，f(x)xe2x恒成立，求实数a的取值范围108已知函数 f x=ax2-1lnx，其图象在x=e处的切线过点 2e,2e2(1)求a的值；(2)讨论 f x的单调性；(3)若0，关于x的不等式xf xe

10、2x-1在区间1,+)上恒成立，求的取值范围9已知函数 f(x)=ex-ax-a，g(x)=alnx-ax2+a-ex(a0)，其中e是自然对数的底数.(1)当a=e时，()求 f(x)在点(1,f(1)处的切线方程；()求 f(x)的最小值；(2)讨论函数g(x)的零点个数；(3)若存在x(0,+)，使得 f(x)g(x)成立，求a的取值范围1110已知函数 f x=exx+alnx-b(x0),g x=lnx+x(1)若曲线y=f x在x=1处的切线方程为y=2x+e-3，求a,b；(2)在(1)的条件下，若 f m=g n，比较m与n的大小并证明11已知函数 f(x)=lnx+ax(a0

11、)(1)讨论 f(x)的零点个数；(2)证明：f exx f-xa1212已知函数 f x=ex-ax(1)讨论 f(x)的单调性(2)若a=0，证明：对任意的x1，都有 f xx4-3x3lnx+x313函数中的同构问题函数中的同构问题一、一、考情分析近年来同构函数频频出现在模拟试卷导数解答题中，高考真题中也出现过同构函数的身影，同构法是将不同的式子通过变形，转化为形式结构相同或者相近的式子，通过整体思想或换元等将问题转化的方法，这体现了转化思想此方法常用于求解具有对数、指数等混合式子结构的等式、不等式问题中，或利用函数单调性定义确定函数单调性，利用此方法求解某些导数压轴题往往能起到秒杀效果

12、.二、二、解题秘籍(一一)同构函数揭秘同构函数揭秘同构式是指除了变量不同，其余地方均相同的表达式，导数中同构函数问题大多属于指对跨阶问题，比如ex+x与x+lnx属于“跨阶函数”，而ex+lnx属于“跳阶函数”，对于指对跳阶的函数问题，直接求解，一般是通过隐零点代换来简化，并且有很大局限性，有些题若采用指对跨阶函数进行同构，可将跳阶函数问题转化为跨阶函数问题，从而使计算降阶，通常构造的同构函数有以下几类：f x=xex,f x=xlnx,f x=x+ex,f x=x+lnx，f x=ex-x+a,f x=lnx-x+a等，在一些求参数的取值范围、零点个数、不等式证明、双变量问题中，利用复合函数

13、单调性，复合函数零点个数等问题中常通过构造同构函数求解.利用同构函数解题要注意一些常见的凑形技巧，如；x=elnx,x=lnex,xex=ex+lnx,exx=ex-lnx等.1 1(20242024届陕西省西安市部分学校高三上学期考试届陕西省西安市部分学校高三上学期考试)已知函数 f x=lnx-ax-1x.(1)当a=2，求 f x的极值；(2)若 f x-e-ax恒成立，求a的取值范围.【解析】(1)当a=2时 f x=lnx-2x-1x，x 0,+，则 fx=1x-2+1x2=-2x2+x+1x2=-x-12x+1x2，所以在 0,1上 fx0，f x单调递增，在 1,+上 fx0，h

14、 x单调递增，在 e,+上hxm成立(其中e为自然对数的底数)，求实数m的取值范围.【解析】(1)由函数 f x=x2+lnx+ax，可得 f(x)=2x+1x+a，可得 f1=a+3因为函数在x=1处的切线l和直线x+y=0垂直，所以 f1=1，即a+3=1，解得a=-2.(2)解：不妨设0 x1x22，则ex1-ex2m成立，可得 f(x1)-f(x2)-x21+x22m ex1-ex2，即 f(x1)-x21-mex1 f(x2)-x22-mex2，设g x=f x-x2-mex，则g(x1)g(x2)，故g x在 0,2单调递增，从而有g(x)=1x-2-mex0，即me-x1x-2在

15、 0,2上恒成立，设h(x)=e-x1x-2，则mh xmin，因为h(x)=-e-x1x-2+e-x-1x2=e-x2x2-x-1x2(00，即2x2-x-1=2x+1x-10，解得1x2，令hx0，即2x2-x-1=2x+1x-10，解得0 x1，所以h x在 0,1单调递减，在 1,2单调递增，又因为h(1)=-1e，故h x在 0,2上最小值h(x)min=-1e，所以m-1e，实数m的取值范围是-,-1e.(二二)xex型同构型同构3 3(20232023届吉林省长春外国语学校高三上学期考试届吉林省长春外国语学校高三上学期考试)已知函数 f x=ex-ax(e是自然对数的底数).(1

16、)当a=1时，求 f(x)的极值点；(2)讨论函数 f(x)的单调性；(3)若g x=exx-1-alnx+f x有两个零点，求实数a的取值范围.【解析】(1)当a=1时，f x=ex-x,则 fx=ex-1.当x-,0时，fx0，此时函数 f(x)递增，所以 f(x)极小值点为x=0，无极大值点.2(2)求导 fx=ex-a当a0时，fx0，f(x)在R上递增当a0时，当x-,lna时，fx0，此时函数 f(x)在(lna,+)上递增.(3)等价于g x=xex-a lnx+x=xex-aln xexx0有两个零点，令t=xex,x0，则t=x+1ex0在x0时恒成立，所以t=xex在x0时

17、单调递增，故t0，所以g x=xex-aln xex有两个零点，等价于h t=t-alnt有两个零点.因为h(t)=1-at=t-at，当a0时，h(t)0，h(t)在t0上单调递增，不可能有两个零点，不符合题意舍去，当a0时，令h(t)0，得ta，h(t)单调递增，令h(t)0，得0t0，得0a0恒成立，没有零点；若h a=0，得a=e，此时h t有一个零点.若h ae，因为h 1=10，h e=e-a0，所以h(t)在 1,e，e,e100a上各存在一个零点，符合题意，综上，a的取值范围为(e,+).(三三)x+alnx型同构型同构4 4(20232023届福建省宁德市博雅培文学校高三高考

18、前最后一卷届福建省宁德市博雅培文学校高三高考前最后一卷)已知函数 f x=lnxx+m mR(1)讨论函数 f x的零点的个数(2)当m=0时，若对任意x0，恒有a eax+12 f xx2+1，求实数a的取值范围【解析】(1)令 f x=lnxx+m=0,则lnxx=-m，记g x=lnxx，则gx=1-lnxx2，当xe时，gx0，此时g x在 e,+单调递减，当0 x0，此时g x在 0,e单调递增，故当x=e时，g x取极大值也是最大值g e=1e，又g 1=0，而当10，故当0 x1时，g x0，当10，作出g x的图象如下：3因此当-m1e时，即m-1e，g x=-m无交点，此时

19、f x无零点，当-m=1e或-m0时，即m=-1e或m0，g x=-m有一个交点，此时 f x有一个零点，当0-m1e时，即-1em0，g x=-m有两个交点，此时 f x有2个零点，综上可知：当m-1e时，f x无零点，当m=-1e或m0f x有一个零点，当-1em0，恒有a eax+12 f xx2+1等价于：对任意x0，恒有ax eax+1lnx2x2+1，令F x=x+1lnx，则不等式等价于F eaxF x2，由于Fx=lnx+x+1x，令m x=lnx+x+1x,mx=1x-1x2=x-1x2，当0 x1,mx1,mx0,m x单调递增，所以Fx=m xm 1=20，故F x在 0

20、,+单调递增，由F eaxF x2得eaxx2对任意x0恒成立，两边取对数得ax2lnxa2lnxx对任意x0恒成立，故a2g xmax，所以a21ea2e故a的范围为a2e(四四)ex+ax+b型同构型同构5 5(20242024届福建省漳州市高三上学期第一次教学质量检测届福建省漳州市高三上学期第一次教学质量检测)已知函数 f(x)=aex+x+1.(1)讨论 f(x)的单调性；(2)当x1时，f(x)lnx-1a+x，求实数a的取值范围.【解析】(1)依题意，得 f(x)=aex+1.当a0时，f(x)0，所以 f(x)在(-,+)单调递增.4当a0，可得x-ln(-a)；令 f(x)-l

21、n(-a)，所以 f(x)在(-,-ln(-a)单调递增，在(-ln(-a),+)单调递减.综上所述，当a0时，f(x)在(-,+)单调递增；当a1时，f(x)lnx-1a+x，所以aex+x+1lnx-1a+x，即elnaex+x+1ln(x-1)-lna+x，即ex+lna+lna+xln(x-1)+x-1，即ex+lna+x+lnaeln(x-1)+ln(x-1).令h(x)=ex+x，则有h(x+lna)h(ln(x-1)对x(1,+)恒成立.因为h(x)=ex+10，所以h(x)在(-,+)单调递增，故只需x+lnaln(x-1)，即lnaln(x-1)-x对x(1,+)恒成立.令F

22、(x)=ln(x-1)-x，则F(x)=1x-1-1=2-xx-1，令F(x)=0，得x=2.当x(1,2)时，F(x)0，当x(2,+)时，F(x)-2，所以a1e2.(五五)lnx+ax+b型同构型同构6 6已知 f x=ex+1-2x，g x=a+x+lnxx，aR(1)当x 1,+时，求函数g x的极值；(2)当a=0时，求证：f xg x【解析】(1)gx=1-a-lnxx2，当a1时，gx0，即g x在 1,+上单调递减，故函数g x不存在极值；当a1时，令gx=0，得x=e1-a，x1,e1-ae1-ae1-a,+gx+0-g x增函数极大值减函数故g x极大值=g e1-a=a

23、+e1-a+1-ae1-a=1+e1-ae1-a=ea-1+1，无极小值.综上，当a1时，函数g x不存在极值；5当a0，要证：f xg x，即证：ex+1x+2+lnxx，即证：xex+1lnx+x+2，即证：elnx+x+1 lnx+x+1+1令t=lnx+x+1，故只须证：ett+1设h x=ex-x-1，则hx=ex-1，当x0时，hx0，当x0时，hx0，故h x在 0,+上单调递增，在-,0上单调递减，即h xmin=h 0=0，所以hx0，从而有exx+1故ett+1，即 f xg x三、三、典例展示1 1(20242024届江苏省徐州市邳州市新世纪学校高三上学期月考届江苏省徐州

24、市邳州市新世纪学校高三上学期月考)已知函数 f x=x2+1lnx-x2-ax(1)若a=1，求 fx的最小值；(2)若方程 f x=axe2ax-x2有解，求实数a的取值范围【解析】(1)当a=1时，f x=x2+1lnx-x2-x，fx=2xlnx-x+1x-1，设g x=fx，则gx=1+2lnx-1x2，gx在 0,+上单调递增，且g1=0，所以x 0,1时，gx0，fx单调递增，所以 fxmin=f1=-1；(2)f x=axe2ax-x2即2 x2+1lnx=2ax e2ax+1，即 x2+1lnx2=e2ax+1lne2ax，设h x=x+1lnx x0，则h x2=h e2ax

25、，hx=lnx+1+1x，设m x=lnx+1+1xx0，则mx=x-1x2，所以x 0,1时，mx0，m x单调递增，所以m xm 1=20，即hx0，h x在 0,+上单调递增，所以方程 f x=axe2ax-x2有解即x2=e2ax在 0,+上有解，2ax=2lnx有解，即a=lnxx有解，6设n x=lnxxx0，则nx=1-lnxx2，x 0,e时，nx0，n x单调递增，x e,+时，nx0，n x单调递减，所以n xn e=1e，当x0时，n x-，所以a1e，即实数a的取值范围是-,1e2 2(20242024届安徽省六校教育研究会高三上学期素质测试届安徽省六校教育研究会高三上

26、学期素质测试)已知函数 f x=aex-x(e是自然对数的底数).(1)讨论函数 f x的单调性；(2)若g x=aexx-1-lnx+f x有两个零点，求实数a的取值范围.【解析】(1)因为 f x=aex-x，所以 fx=aex-1，当a0时，fx0时，令 fx0得x-lna；令 fx0得x0时，f x在-,-lna上单调递减，在-lna,+上单调递增.(2)由题意g x=aexx-1-lnx+f x=axex-lnx-x=axex-ln xexx0有两个零点，令t=xex，x0，则t=1+xex0在 0,+上恒成立，所以t=xex在 0,+上单调递增，故t0，所以g x=axex-ln

27、xex有两个零点等价于T t=at-lnt有两个零点，等价于a=lntt有两个不同的实数解，等价于y=a与h(t)=lntt有两个交点，则h(t)=1-lntt2，h(t)0得0te，h(t)e，所以h(t)=lntt在 0,e上单调递增，在 e,+上单调递减，又h(e)=lnee=1e，h(1)=0，当t趋向于0且为正时，h(t)趋向于负无穷大，当t趋向于正无穷大时，h(t)趋向于0，如图：由图可知，要使y=a与h(t)=lntt有两个交点，则0a1e，所以实数a的取值范围为0a1成立，求实数a的取值范围【解析】(1)当a=-1时，f x=14x2-ln x-1，其中x 1,+，则 fx=1

28、2x-1x-1=x2-x-22 x-1，令 fx=0，解得x=-1或x=2，又因为x1，所以x=2，列表如下：x1,222,+fx-0+f x单调递减极小值单调递增因此 f x有极小值 f 2=1，无极大值.(2)解：因为g x=f x+1ex-14x2+x，f x=14x2+aln x-1，所以g x=aln x-1+1ex+x，其中x 1,+，对x1、x2 1,+且x1x2，不妨设x1x2，则x1-x20，得到g x1-g x2x1-x2，化为g x1-x1g x2-x2，设h x=g x-x且函数h x的定义域为 1,+，所以h x=aln x-1+1ex在 1,+为增函数，即有hx=a

29、x-1-1ex0对x1恒成立，即ax-1ex对任意的x1恒成立，设 x=x-1ex，其中x 1,+，则x=2-xex，令x0，解得1x2，令x2，所以 x在 1,2上单调递增，在 2,+上单调递减，所以 x最大值 2=1e2，因此实数a的取值范围是a1e24 4已知 f x=x2ex-a x+2lnx(1)当a=e时，求 f x的单调性；(2)讨论 f x的零点个数【解析】(1)解：因为a=e，x0，f x=x2ex-e x+2lnx所以 fx=x2+2xex-e 1+2x=x x+2ex-e x+2x=x+2xex-ex，f1=0令g x=xex-ex，gx=x+1ex+ex20，所以g x

30、在 0,+单增，且g 1=0，8当x 0,1时g x=xex-ex0，所以当x 0,1时 fx0，所以 f x在 0,1单调递减，在 1,+单调递增(2)解：因为 f x=elnx2ex-a x+2lnx=ex+2lnx-a x+2lnx=0令t=x+2lnx，易知t=x+2lnx在 0,+上单调递增，且tR，故 f x的零点转化为 f x=ex+2lnx-a x+2lnx=et-at=0即et=at，tR，设g t=et-at，则gt=et-a，当a=0时，g t=et无零点；当a0，故g t为R上的增函数，而g 0=10，g1a=e1a-10时，若t-,lna，则gt0；故g tmin=g

31、 lna=a 1-lna，若a=e，则g tmin=0，故g t在R上有且只有一个零点；若0a0，故g t在R上无零点；若ae，则g tmin1，而g 0=10，g 2lna=a2-2alna=a a-2lna，设h a=a-2lna，ae，则ha=a-2a0，故h a在 e,+上为增函数，故h ah e=e-20即g 2lna0，故此时g t在R上有且只有两个不同的零点；综上：当0ae时，0个零点；当a=e或ae时，2个零点；5 5已知函数 f x=ex-alnx,aR.(1)当a=0时，若曲线y=f x与直线y=kx相切于点P，求点P的坐标；(2)当a=e时，证明：f xe；(3)若对任意

32、x 0,+，不等式 f xalna恒成立，请直接写出a的取值范围.【解析】(1)当a=0时，f x=ex,fx=ex.设P x0,ex0，则切线斜率k=ex0.由切点性质，得k=ex0ex0=kx0，解得x0=1.所以点P的坐标 1,e.(2)当a=e时，f x=ex-elnx，其中x0，则 fx=ex-ex，令g x=ex-ex，其中x0，则gx=ex+ex20，故函数 fx在 0,+上单调递增，且 f1=0，9当x变化时，x,fx,f x变化情况如下表：x0,111,+fx-0+f x单调递减极小值单调递增由上表可知，f(x)min=f 1=e.所以 f xe.(3)显然a0，在 0,+上

33、 f x=ex-alnxalna恒成立，即ex-lna-lnxlna恒成立即ex-lna-lnalnx恒成立，所以ex-lna+x-lnax+lnx=elnx+lnx恒成立，构造函数g x=ex+x,x 0,+，易知g x在 0,+上是增函数，所以x-lnalnx恒成立，即lna0)，当x 0,1时，hx0，所以h x在 1,+上单调递增，所以h(x)min=h 1=1，所以lna1，解得0a0)当a0时，f(x)0，f(x)在(0,+)上递增当a0时，在(0,a)上 f(x)0，f(x)单调递增(2)原式等价于xex=elnx+x(ln(lnx+x+1)+1)设t=lnx+x，x1e,+由(

34、1)当a=-1时，f(x)=lnx+x为增函数，t1e-1,+，等式等价于et(ln(t+1)+1)，t1e-1,+恒成立，t=1e-1时，e1e-10成立，t1e-1,+时，etln(t+1)+1，设g(t)=etln(t+1)+1，t1e-1,+，10g(t)=et(ln(t+1)+1)-et1t+1(ln(t+1)+1)2=etln(t+1)+1-1t+1(ln(t+1)+1)2，设h(t)=ln(t+1)+1-1t+1，h(t)=1t+1+1(t+1)20所以h(t)在1e-1,+上为增函数，又因为h(0)=0，所以在1e-1,0上，h(t)0，g(t)0，g(t)0，g(t)为增函数

35、，g(t)min=g(0)=1，1四、四、跟踪检测1(20232023届广东省深圳市光明区高三二模届广东省深圳市光明区高三二模)已知函数 f x=ae2x-1x的图象在 1,f 1处的切线经过点 2,2e2.(1)求a的值及函数 f x的单调区间；(2)设g x=ax2-1lnx，若关于x的不等式xg xe2x-1在区间 1,+上恒成立，求正实数的取值范围.【解析】(1)函数 f x=ae2x-1x的定义域是 xx0，fx=2axe2x-ae2x-1x2,f1=ae2+1,.所以 f x在点 1,ae2-1处的切线方程为y-ae2-1=ae2+1x-1，切线经过点 2,2e2，则a=1.fx=

36、2x-1e2x+1x2，设 x=2x-1e2x+1,x=4xe2x，x=0是 x的极小值点，且 0=0，因此 fx0在 xx0恒成立，所以函数 f x=e2x-1x的单调增区间为-,0,0,+，无单调减区间.(2)0,a=1,xax2-1lnxe2x-1在区间 1,+上恒成立，即x2-1lnxe2x-1x，令t=lnx(t0)，则e2t-1te2x-1x，即 f t f x.由(1)，只需要tx，也就是lnxx在区间 1,+上恒成立.设h x=lnxx,hx=1-lnxx2,he=0，.1x0;xe,h(x)0，若存在x 1,+，不等式xex+1ex-1x-1lnx成立，求实数的最大值.【解析

37、】(1)函数 f x的定义域为 0,1 1,+，所以 fx=1-1x-lnxx-12，令g x=1-1x-lnx，则gx=1-xx2，函数g x在 0,1上单调递增，在 1,+上单调递减.又g 1=0，当x 0,1 1,+时，g x0，fx0，x1，ex-10，lnexex-1lnxx-1，lnexex-1+1lnxx-1+1，f ex f x.ex 1,+，由(1)知，函数 f x在 1,+上单调递减，只需exx在 1,+上能成立，两边同时取自然对数，得xlnx，即lnxx在 1,+上能成立.令 x=lnxxx1，则x=1-lnxx2，当x 1,e时，x0，函数 x在 1,e上单调递增，当x

38、 e,+时，x0，0-1时，f xax-ex+1+ax+1恒成立，求实数a的取值范围.【解析】(1)f x=aln x+1-ax定义域为-1,+，fx=ax+1-a=-axx+1，当a0时，令 fx0，得-1x0，此时 f x单调递增，令 fx0，此时 f x单调递减；当a0，得x0，此时 f x单调递增，12令 fx0，得-1x0时，f x在-1,0单调递增，在 0,+单调递减；当a-1时，f x=aln x+1-axax-ex+1+ax+1=a-ex+1x+1恒成立，即aln x+1-a x+1-ex+1x+1对x-1恒成立，即ax+1-ln x+1-1恒成立，则atet，即aett对t1

39、恒成立，令h t=ettt1，ht=tet-ett2=t-1ett20对t1恒成立，则h t在 1,+单调递增，所以h th 1=e，所以ae，即实数a的取值范围为-,e.4已知函数 f x=ex，g x=sinx.(1)求g x=sinx在x=0处的切线方程；(2)求证：g xgx+1x f x-lnx.(3)当x 0,时，g x-2 f x-1mln x+1，求实数m的取值范围.【解析】(1)因为g x=sinx，则gx=cosx，g0=cos0=1，g 0=0，所以，g x=sinx在x=0处的切线方程为y=x.(2)要证明g xgx+1x f x-lnx，即证：sinxcosx+1-x

40、ex+lnx0，即证：sin2x2+1-xex+lnx0，(*)设F x=sin2x-2x，则Fx=2cos2x-2=2 cos2x-10，所以，F x在 0,+内单调递减，故F x0时，sin2x0时，Hx=ex-10，故函数H x在 0,+上单调递增，当x0时，Hx=ex-10，h x在 0,上单调递增，h xh 0=0，符合题意；若m0，所以hx在 0,单调递增，且h0=1+m，(i)若-1m0，hxh00，h x在 0,上单调递增，h xh 0=0，符合题意；(ii)若m-1，h00时，01x+12ex+m-1，取x=ln1-m20，则hln1-m22eln1-m2+m-1=0，则存在

41、x0 0,ln1-m2，使得当x 0,x0时，hx0，h x单调递减，此时h xh 0=0，不合题意；综上，m-1.5已知函数h x=xex-mx,g x=lnx+x+1.(1)当m=1时，求函数h x的单调区间：(2)若h xg x在x 0,+恒成立，求实数m的取值范围.【解析】(1)当m=1时h x=xex-x,hx=x+1ex-1设 x=hx=x+1ex-1，则x=x+2ex0 x-2x=x+2ex0 x-2 x即hx在-,-2递减，在-2,+递增，当x-,-2,hx=x+1ex-10，当x-2,0,hxh0=0而当x 0,+,hxh0=0所以当x-,0,hx0,x 0,+p x在 0,

42、+递增，而 p1e=e1e-2-10，x11e,1，使p x1=0，即x21ex1+lnx1=0*14当x 0,x1时，fx0,f x在 x1,+递增 f(x)min=f x1=ex1-lnx1x1-1x1因为x21ex1+lnx1=0*可变形为x1ex1=-1x1lnx1=1x1ln1x1=eln1x1ln1x1*又y=xex,y=x+1ex0,y=xex在 0,+递增，由(*)可得x1=ln1x1=-lnx1,ex1=1x1 f(x)min=f x1=ex1-lnx1x1-1x1=1x1+1-1x1=1m+11m0故m取值范围为-,06已知函数 f(x)=xex-ax-alnx.(1)若a

43、=e，求 f x的单调区间；(2)是否存在实数a，使 f x1对x 0,+恒成立，若存在，求出a的值或取值范围；若不存在，请说明理由.【解析】(1)因为 f x=xex-ax-alnx，所以 fx=x+1ex-a-axx0，即 fx=x+1xxex-a.当a=e时，fx=x+1xxex-e，令g x=xex-e，则gx=x+1ex0，所以g x在 0,+单调递增，因为g 1=0，所以，当0 x1时，g x0，fx1时，g x0，fx0，所以 f x的单调递减区间是 0,1，单调递增区间是 1,+.(2)设h x=x+lnx，x 0,+，易知h x在 0,+单调递增.又当x 0,1时，x+lnx

44、1+lnx，所以y=x+lnx x 0,1的值域为-,1；当x 1,+时，y=x+lnx x 1,+的值域为 1,+.所以h x=x+lnx的值域为R R.故对于R R上任意一个值y0，都有唯一的一个正数x0，使得y0=x0+lnx0.因为xex-ax-alnx-10，即ex+lnx-a x+lnx-10.设F t=et-at-1，tR R，所以要使ex+lnx-a x+lnx-10，只需F tmin0.当a0时，因为F-1=1e+a-10，即 f-10时，当t-,lna时，Ft=et-a0，F t在 lna,+单调递增.所以F tmin=F lna=a-alna-1.15设m a=a-aln

45、a-1，a 0,+，则ma=-lna，当a 0,1时，ma0，m a在 0,1单调递增；当a 1,+时，ma0，f(x)xe2x恒成立，求实数a的取值范围【解析】(1)f(x)=1x+a，x0，当a0时，f(x)0恒成立，所以 f(x)在(0,+)上单调递增又 f e-a-1=ae-a-1-a-1+1=a e-a-1-10，f(1)=a+10，所以此时 f(x)在(0,+)上仅有一个零点，符合题意；当a0，解得0 x-1a；令 f(x)-1a，所以 f(x)在 0,-1a上单调递增，所以 f(x)在-1a,+上单调递减要使 f(x)在(0,+)上仅有一个零点，则必有 f-1a=0，解得a=-1

46、综上，当a0或a=-1时，f(x)在(0,+)上仅有一个零点(2)因为 f(x)=ax+lnx+1，所以对任意的x0，f(x)xe2x恒成立，等价于ae2x-lnx+1x在(0,+)上恒成立令m(x)=e2x-lnx+1x(x0)，则只需am(x)min即可，则m(x)=2x2e2x+lnxx2，再令g(x)=2x2e2x+lnx(x0)，则g(x)=4 x2+xe2x+1x0，所以g(x)在(0,+)上单调递增因为g14=e8-2ln20，所以g(x)有唯一的零点x0，且14x01，所以当0 xx0时，m(x)x0时，m(x)0，所以m(x)在 0,x0上单调递减，在 x0,+上单调递增因为

47、2x20e2x0+lnx0=0，所以2x0+ln 2x0=ln-lnx0+-lnx0，设S(x)=x+lnx(x0)，则S(x)=1+1x0，所以函数S(x)在(0,+)上单调递增因为S 2x0=S-lnx0，所以2x0=-lnx0，即e2x0=1x016所以m(x)m x0=e2x0-lnx0+1x0=1x0-lnx0 x0-1x0=2，则有a2所以实数a的取值范围为(-,28已知函数 f x=ax2-1lnx，其图象在x=e处的切线过点 2e,2e2(1)求a的值；(2)讨论 f x的单调性；(3)若0，关于x的不等式xf xe2x-1在区间1,+)上恒成立，求的取值范围【解析】(1)因为

48、函数 f x=ax2-1lnx，所以 f e=ae2-1，fx=2axlnx-ax2-11xlnx2，则 fe=ae+1e，所以函在x=e处的切线方程为y-ae2-1=ae+1ex-e，又因为切线过点 2e,2e2，所以2e2-ae2-1=ae+1e2e-e，即2ae2=2e2，解得a=1；(2)由(1)知；f x=x2-1lnx，则 fx=2x2lnx-x2+1x lnx2，令g x=2x2lnx-x2+1，则gx=4xlnx，当0 x1时，gx1时，gx0，所以g xg 1=0即当0 x0，当x1时，fx0，所以 f x在 0,1上递增，在 1,+上递增；(3)因为x的不等式xf xe2x

49、-1在区间1,+)上恒成立，所以e2x-1xx2-1lnx在区间1,+)上恒成立，即 f ex f x在区间1,+)上恒成立，因为 f x在 1,+上递增，所以exx在区间1,+)上恒成立，即lnxx在区间1,+)上恒成立，令h x=lnxx，则hx=1-lnxx2，当0 x0，当xe时，hx0，17所以当x=e时，h x取得最大值h e=1e，所以1e.9已知函数 f(x)=ex-ax-a，g(x)=alnx-ax2+a-ex(a0)，其中e是自然对数的底数.(1)当a=e时，()求 f(x)在点(1,f(1)处的切线方程；()求 f(x)的最小值；(2)讨论函数g(x)的零点个数；(3)若

50、存在x(0,+)，使得 f(x)g(x)成立，求a的取值范围【解析】(1)当a=e时，f(x)=ex-ex-e，f(x)=ex-e.()f(1)=-e，f(1)=0，切线方程为y=-e.()f(x)=ex-e，令 f(x)=0，得x=1，当x1时，f(x)1时，f(x)0，函数 f(x)单调递增，f(x)min=f(1)=-e.(2)g(x)=alnx-ax2+a-ex(a0)，令g(x)=alnx-ax2+a-ex=0得，alnx-ax2+a-e=0，当a=0时，g(x)=-ex0，g(x)无零点，当a0时，令h(x)=alnx-ax2+a-e，则h(x)=ax-2ax=a 1-2x2x，令