2024届新高考数学一轮复习配套练习专题7.6 数学归纳法 (新教材新高考)(练)含答案.docx
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1、2024届新高考数学一轮复习配套练习专题7.6 数学归纳法练基础1(2021全国高三专题练习(理)用数学归纳法证明等式时,从到等式左边需增添的项是( )ABCD2(2020全国高三专题练习)已知n为正偶数,用数学归纳法证明1-+=2时,若已假设n=k(k2,k为偶数)时命题成立,则还需要用归纳假设证( )An=k+1时等式成立Bn=k+2时等式成立Cn=2k+2时等式成立Dn=2(k+2)时等式成立3(2020全国高三专题练习(理)用数学归纳法证明不等式“1n(nN*,n2)”时,由nk(k2)时不等式成立,推证nk1时,左边应增加的项数是( )A2k1B2k1C2kD2k14(2021全国高
2、三专题练习(理)用数学归纳法证明不等式时,可将其转化为证明( )ABCD5(2019浙江高二月考)利用数学归纳法证明“” 的过程中,由假设“”成立,推导“”也成立时,左边应增加的项数是( )ABCD6(2020上海徐汇区高三一模)用数学归纳法证明能被整除时,从到添加的项数共有_项(填多少项即可)7.(2019湖北高考模拟(理)已知正项数列满足,前项和满足,则数列的通项公式为_8.(2019届江苏省扬州市仪征中学摸底)已知正项数列an中,a1=1,an+1=1+an1+annN*用数学归纳法证明:anan+1nN*.9.(2021全国高三专题练习)数列满足.(1)计算,并猜想的通项公式;(2)用
3、数学归纳法证明(1)中的猜想.10(2021全国高三专题练习(理)已知数列an满足:,点在直线上(1)求的值,并猜想数列an的通项公式;(2)用数学归纳法证明(1)中你的猜想练提升TIDHNEG1(2021全国)已知数列满足,则当时,下列判断一定正确的是( )ABCD2(2021浙江高三专题练习)已知数列,满足,则( )ABCD3(2020浙江省桐庐中学)数列满足,则以下说法正确的个数( ); ;对任意正数,都存在正整数使得成立;.A1B2C3D44(2021全国高三其他模拟(理)已知数列满足:,前项和为(参考数据:,则下列选项错误的是( ).A是单调递增数列,是单调递减数列BCD5(2021
4、上海市建平中学高三开学考试)有限集的全部元素的积称为该数集的“积数”,例如的“积数”为2,的“积数”为6,的“积数”为,则数集的所有非空子集的“积数”的和为_.6(2021浙江高三期末)已知数列满足,前项和为,若,且对任意的,均有,则_;_.7(2020江苏南通高三其他)数列的前n项和为,记,数列满足,且数列的前n项和为(1)请写出,满足的关系式,并加以证明;(2)若数列通项公式为,证明:8.(2020届浙江省“山水联盟”高三下学期开学)已知等比数列的公比,且,是,的等差中项,数列满足:数列的前项和为(1)求数列、的通项公式;(2)数列满足:,证明9(2020届浙江省嘉兴市3月模拟)设数列的前
5、项和为,已知,成等差数列,且,(1)求数列的通项公式; (2)记,证明:,10.已知点Pn(an,bn)满足an+1=an.bn+1,bn+1=bn1-4an2(nN*),且点P1的坐标为(-1,1).(1)求过点P1,P2的直线的方程;(2)试用数学归纳法证明:对于nN*,点Pn都在(1)中的直线l上.练真题TIDHNEG1(2020全国高考真题(理)设数列an满足a1=3,(1)计算a2,a3,猜想an的通项公式并加以证明;(2)求数列2nan的前n项和Sn2.(2017浙江)已知数列满足:,证明:当时();();()3(湖北省高考真题) 已知数列的各项均为正数,e为自然对数的底数()求函
6、数的单调区间,并比较与e的大小;()计算,由此推测计算的公式,并给出证明;()令,数列,的前项和分别记为, 证明:4.(2021全国高三专题练习)设数列an满足a1=3,(1)计算a2,a3,猜想an的通项公式并加以证明;(2)求数列2nan的前n项和Sn5.(江苏省高考真题)已知函数,设为的导数,()求的值;(2)证明:对任意的,等式成立6.(2021上海普陀区高三其他模拟)如图,曲线与直线相交于,作交轴于,作交曲线于,以此类推.(1)写出点和的坐标;(2)猜想的坐标,并用数学归纳法加以证明.专题7.6 数学归纳法练基础1(2021全国高三专题练习(理)用数学归纳法证明等式时,从到等式左边需
7、增添的项是( )ABCD【答案】C【解析】分别写出和时,等式左边的表达式,比较2个式子,可得出答案.【详解】当时,左边,共个连续自然数相加,当时,左边,所以从到,等式左边需增添的项是.故选:C.2(2020全国高三专题练习)已知n为正偶数,用数学归纳法证明1-+=2时,若已假设n=k(k2,k为偶数)时命题成立,则还需要用归纳假设证( )An=k+1时等式成立Bn=k+2时等式成立Cn=2k+2时等式成立Dn=2(k+2)时等式成立【答案】B【解析】直接利用数学归纳法的证明方法,判断选项即可【详解】解:由数学归纳法的证明步骤可知,假设为偶数)时命题为真,则还需要用归纳假设再证下一个偶数,即时等
8、式成立,不是,因为是偶数,是奇数,故选:3(2020全国高三专题练习(理)用数学归纳法证明不等式“1n(nN*,n2)”时,由nk(k2)时不等式成立,推证nk1时,左边应增加的项数是( )A2k1B2k1C2kD2k1【答案】C【解析】根据数学归纳法、不等式特点知有左侧,有左侧,即可判断增加的项数.【详解】时,左边=,而nk1时,左边,增加了,共(2k11)(2k1)2k项,故选:C.4(2021全国高三专题练习(理)用数学归纳法证明不等式时,可将其转化为证明( )ABCD【答案】B【解析】各选项左侧一样,要转化证明不等式只需右端的部分小于,利用排除法即可.【详解】根据放缩法证明不等式,首先
9、排除A,C;D选项当时,左端值为,右端为,不等式不成立,故只要证明B成立,原不等式即成立.故选:B.5(2019浙江高二月考)利用数学归纳法证明“” 的过程中,由假设“”成立,推导“”也成立时,左边应增加的项数是( )ABCD【答案】C【解析】利用数学归纳法证明“”的过程中,假设“”成立;当时,左边为故增加的项数为项.故答案为:C.6(2020上海徐汇区高三一模)用数学归纳法证明能被整除时,从到添加的项数共有_项(填多少项即可)【答案】5【解析】分别写出和时的对应的结果,再比较差异,得到答案.【详解】当时,原式为:,当时,原式为,比较后可知多了,共5项.故答案为:57.(2019湖北高考模拟(
10、理)已知正项数列满足,前项和满足,则数列的通项公式为_【答案】【解析】当时,;当时,;当时,;当时,猜想得,故,下面用数学归纳法证明:,满足,假设时,结论成立,即,可得,则,也满足,结合可知,故答案为8.(2019届江苏省扬州市仪征中学摸底)已知正项数列an中,a1=1,an+1=1+an1+annN*用数学归纳法证明:anan+1nN*.【答案】见解析.【解析】当n=1时,a2=1+a11+a1=32,a1a2,所以,n=1时,不等式成立;假设n=k(kN*)时,ak0,所以,n=k+1时,不等式成立综上所述,不等式an右式,不等式成立假设时,不等式成立,即当时,因为在上单调递增,由,得,即
11、,可得,不等式也成立由得证当,.9(2020届浙江省嘉兴市3月模拟)设数列的前项和为,已知,成等差数列,且,(1)求数列的通项公式; (2)记,证明:,【答案】(1);(2)证明见解析.【解析】(1)因为,成等差数列,即,当时,两式相减得,所以是公比为2的等比数列,即,即,由,得,所以的通项公式(2)方法一(放缩法):因为,所以,当时, 所以,当时,取到“”号,综上所述, 方法二(数学归纳法):因为,所以, 当时,左边,右边,原不等式成立; 假设当时,原不等式成立,即,那么,当时,左边 ,即时也成立,由此可知,原不等式对于任意的均成立10.已知点Pn(an,bn)满足an+1=an.bn+1,
12、bn+1=bn1-4an2(nN*),且点P1的坐标为(-1,1).(1)求过点P1,P2的直线的方程;(2)试用数学归纳法证明:对于nN*,点Pn都在(1)中的直线l上.【答案】(1)2x+y-1=0.(2)见解析.【解析】(1)由P1的坐标为(1,1)知:a1=1,b1=1.b2=b11-4a12=13,a2=a1b2=13.点P2的坐标为13,13.直线l的方程为2x+y-1=0.(2)要证明原问题成立只需证明点Pn都满足2x+y=1即可.当n=1时,2a1+b1=21+(1)=1,成立.假设n=k(kN*,k1)时,2ak+bk=1成立,即bk=1-2ak成立,则2ak+1+bk+1=
13、2akbk+1+bk+1=bk1-4ak22ak+1 =bk1-2ak=1-2ak1-2ak=1,当n=k+1时,命题也成立.由知,对nN,都有2an+bn=1,即点Pn在直线l上.练真题TIDHNEG1(2020全国高考真题(理)设数列an满足a1=3,(1)计算a2,a3,猜想an的通项公式并加以证明;(2)求数列2nan的前n项和Sn【答案】(1),证明见解析;(2).【解析】(1)由题意可得,由数列的前三项可猜想数列是以为首项,2为公差的等差数列,即,证明如下:当时,成立;假设时,成立.那么时,也成立.则对任意的,都有成立;(2)由(1)可知,由得:,即.2.(2017浙江)已知数列满
14、足:,证明:当时();();()【答案】见解析【解析】()用数学归纳法证明:当时,假设时,那么时,若,则,矛盾,故因此所以因此()由得记函数函数在上单调递增,所以=0,因此 故()因为所以得由得所以 故综上, 3(湖北省高考真题) 已知数列的各项均为正数,e为自然对数的底数()求函数的单调区间,并比较与e的大小;()计算,由此推测计算的公式,并给出证明;()令,数列,的前项和分别记为, 证明:【答案】() ();()见解析.【解析】()的定义域为,当,即时,单调递增;当,即时,单调递减故的单调递增区间为,单调递减区间为当时,即令,得,即 ();由此推测: 下面用数学归纳法证明(1)当时,左边右
15、边,成立(2)假设当时,成立,即当时,由归纳假设可得所以当时,也成立根据(1)(2),可知对一切正整数n都成立()由的定义,算术-几何平均不等式,的定义及得,即4.(2021全国高三专题练习)设数列an满足a1=3,(1)计算a2,a3,猜想an的通项公式并加以证明;(2)求数列2nan的前n项和Sn【答案】(1),证明见解析;(2).【解析】(1)利用递推公式得出,猜想得出的通项公式,利用数学归纳法证明即可;(2)由错位相减法求解即可.【详解】(1)由题意可得,由数列的前三项可猜想数列是以为首项,2为公差的等差数列,即,证明如下:当时,成立;假设时,成立.那么时,也成立.则对任意的,都有成立
16、;(2)由(1)可知,由得:,即.5.(江苏省高考真题)已知函数,设为的导数,()求的值;(2)证明:对任意的,等式成立【答案】()()证明:见解析.【解析】()由已知,得于是所以故()证明:由已知,得等式两边分别对x求导,得,即,类似可得,.下面用数学归纳法证明等式对所有的都成立.(i)当n=1时,由上可知等式成立.(ii)假设当n=k时等式成立, 即.因为,所以.所以当n=k+1时,等式也成立.综合(i),(ii)可知等式对所有的都成立.令,可得().所以()6.(2021上海普陀区高三其他模拟)如图,曲线与直线相交于,作交轴于,作交曲线于,以此类推.(1)写出点和的坐标;(2)猜想的坐标
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