2-直线的投影-OK(2)(天选打工人).ppt

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1、aa a b b b2.3 2.3 直线的投影直线的投影 两点确定一条直两点确定一条直线，将两，将两点的点的同名投影同名投影用直用直线连接，就接，就得到直得到直线的同名投影。的同名投影。直直线对一个投影面的投影特性一个投影面的投影特性一、直线的投影特性一、直线的投影特性 B BA Aab直直线垂直于投影面垂直于投影面 投影重合投影重合为一点一点 积 聚聚 性性直直线平行于投影面平行于投影面 投影反映投影反映线段段实长 ab=ABAB直直线倾斜于投影面斜于投影面 投影比空投影比空间线段短段短 ab=ABAB.cos A AB Bab A AM MB Babm大漠孤烟直大漠孤烟直 直直线在三个投影

2、面中的投影特性在三个投影面中的投影特性投影面平行线投影面平行线 平行于某一投影面而平行于某一投影面而 与其余两投影面与其余两投影面倾斜斜投影面垂直线投影面垂直线正平正平线线（平行于面）（平行于面）侧平平线（平行于面）（平行于面）水平水平线（平行于面）（平行于面）正垂正垂线（垂直于面）（垂直于面）侧垂垂线（垂直于面）（垂直于面）铅垂垂线（垂直于面）（垂直于面）一般一般位置位置直线直线与三个投影面都与三个投影面都倾斜的直斜的直线统称特殊称特殊位置位置直直线垂直于某一投影面垂直于某一投影面 其投影特性取决于直其投影特性取决于直线与三个投影面与三个投影面间的相的相对位置。位置。OXZYabababAB

3、Xabab baOZYHYW 同样，对于水平线和侧平线也可得到类似的特性同样，对于水平线和侧平线也可得到类似的特性。直线的正面投影直线的正面投影ab反映直线反映直线 AB 的实长的实长,并且反并且反映直线映直线 AB 对对H、W面的倾角面的倾角、。直线的水平投影直线的水平投影ab和侧面投影和侧面投影 ab 分别平行于分别平行于OX 轴和轴和OZ 轴。轴。g投影特性：投影特性：(1)投影面平行线投影面平行线正平线正平线(1)投影面平行线投影面平行线X XZ ZbaaabbO OY YY Y水平线水平线实长实长 在其平行的那个投影在其平行的那个投影 面上的投影反映实长，面上的投影反映实长，并反映直

4、线与另两投并反映直线与另两投 影面倾角的实大。影面倾角的实大。另两个投影面上的投另两个投影面上的投 影平行于相应的投影影平行于相应的投影 轴，其到相应投影轴轴，其到相应投影轴 距离反映直线与它所距离反映直线与它所 平行的投影面之间的平行的投影面之间的 距离。距离。投影特性：投影特性：V VH HabAaaBbbW WYXZOXZa b bbaOYHYWaaa b a bb侧平线侧平线AB判断下列直线是什么位置的直线？判断下列直线是什么位置的直线？侧平线侧平线正平线正平线与与H面的夹角面的夹角:与与V面的角面的角:与与W面的夹角面的夹角:实长实长 实长实长 b a aba b b aa b ba

5、 直线与投影面夹角的表示法：直线与投影面夹角的表示法：OXZY水平投影水平投影abOX,侧面投影侧面投影abOZ。投影特性投影特性:直线直线AB的正面投影的正面投影ab积聚成一点积聚成一点;同样，对于铅垂线、侧垂线也可得到类似的特性。同样，对于铅垂线、侧垂线也可得到类似的特性。AB（a）babbazX（a）b baOYHYWab(2)(2)投影面垂直线投影面垂直线-正垂线正垂线YXZb a(b)a abZb Xa ba(b)OYHYWaAB铅垂线铅垂线YXZABbaababZXabbaOYHYWab侧垂线侧垂线 反映线段实长，且垂直反映线段实长，且垂直于相应的投影轴。于相应的投影轴。(2)(2

6、)投影面垂直线投影面垂直线铅垂线铅垂线正垂线正垂线侧垂线侧垂线 另外两个投影另外两个投影，在其垂直的投影面上，在其垂直的投影面上，投影有积聚性投影有积聚性。投影特性投影特性:a b a(b)a b c(d)cdd c e f efe(f)(3)(3)一般位置直线一般位置直线Z Z Y YaO OX XabbaY Yb 三个投影都倾斜于投影轴，其与投影轴的夹角三个投影都倾斜于投影轴，其与投影轴的夹角并不反映空间线段与三个投影面夹角的大小。三个并不反映空间线段与三个投影面夹角的大小。三个投影的长度均比空间线段短，即都不反映空间线段投影的长度均比空间线段短，即都不反映空间线段的实长。的实长。投影特性

7、投影特性H HaaAb V VBbW Wa b c a c X X a b c Y Y Y Y b O O a Z Z b c A H H a c a V V b B a b c C b W W 二、二、直线与点的相对位置直线与点的相对位置 若点在直若点在直线上上,则点的投影必在直点的投影必在直线的的同名投影同名投影上。上。点的投影将点的投影将线段的同名投影分割成与空段的同名投影分割成与空间线段相同段相同 的比例。即：的比例。即：AC:CB=ac:cb=a c:c b=a c:c b 定比定理定比定理 若点在直线上若点在直线上,则点的则点的投影必在直线的同名投投影必在直线的同名投影上。并将线段

8、的同名影上。并将线段的同名投影分割成与空间相同投影分割成与空间相同的比例。即：的比例。即：若点的投影有一个不在直线的同名投影上，若点的投影有一个不在直线的同名投影上，则则该点必不在此直线上。该点必不在此直线上。点在直线上的判别方法点在直线上的判别方法：AC/CB=ac/cb=a c /c b ABCVHbcc b a a定比定理定比定理Dd(d )例例1 1：判断点：判断点C是否在是否在线段段AB上。上。c a b c a b a b c a b c 在在 不在不在 a b c a a b c b c 不在不在 应用定比定理用定比定理另一判断法另一判断法?例例2 2：已知点：已知点K在在线段段

9、AB上，求点上，求点K正面投影。正面投影。解法一：解法一：（应用第三投影）用第三投影）解法二：解法二：（应用定比定理）用定比定理）a a b b k a b k k a a b b k k 三、两直线的相对位置三、两直线的相对位置 空空间两直两直线的相的相对位置分位置分为：平行平行、相交相交、交叉（异面）交叉（异面）。两直线平行两直线平行 空空间两直两直线平行，平行，则其各其各同名投影同名投影必必相互平行，反之亦然。相互平行，反之亦然。b c d H HA d a C c V V a D b B a c d b c d a b O O X X 对于对于一般位置直一般位置直线线，只要有两个同名，

10、只要有两个同名投影互相平行，空间投影互相平行，空间两直线就平行。两直线就平行。AB/CD例：判断图中两条直线是否平行。例：判断图中两条直线是否平行。a b c d a b c d c a b d b d c a cbadd b a c 对于对于特殊位置直特殊位置直线线，只有两个同名投，只有两个同名投影互相平行，空间直影互相平行，空间直线不一定平行。线不一定平行。AB与与CD不平行。不平行。求出侧面投影求出侧面投影如何判断？如何判断？求出侧面投影后可知：求出侧面投影后可知：两直线相交两直线相交 若空若空间两直两直线相交，相交，则其同名投影必其同名投影必相交，且交点的投影必符合空相交，且交点的投影

11、必符合空间一点的投一点的投影特性影特性。交点是两直交点是两直线的共有点的共有点a c V V X X b H H D a c d k C A k K d b O O B c a b d b a c d k k c d k kd例例1 1：过C点点作水平作水平线CD与与AB相交。相交。先作正面投影先作正面投影a b b a c 例例2 2：判断直：判断直线AB、CD的相的相对位置。位置。c a b d a b cd相交相交吗？不相交！不相交！为什么？什么？交点不符交点不符合空合空间一个点一个点的投影特性。的投影特性。判断方法？判断方法？应用定比定理用定比定理 利用利用侧面投影面投影 两直线交叉两

12、直线交叉不相交！不相交！交点不符合一个点的投影交点不符合一个点的投影规律！律！c a c a b d d b O O X Xac c A a C V V bH H d d D B b 两直两直线相交相交吗？为什么？什么？ac c A a C V V b H H d d D B b c a c a b d d b O O X X1(2)2 1 投影特性投影特性：同名投影可能相交，但同名投影可能相交，但 “交点交点”不符合空不符合空间 一个点的投影一个点的投影规律律。“交点交点”是两直是两直线上的一上的一 对重影点的投影重影点的投影，用其可帮助判断两直用其可帮助判断两直线的空的空间位置。位置。4

13、3(4)3 4 3 3(4)1 2 1(2)五、直角投影定理五、直角投影定理直角的投影特性：直角的投影特性：空间两直线成直角（相交或交叉），若空间两直线成直角（相交或交叉），若直角有一边直角有一边平行于某投影面平行于某投影面，则它在，则它在该投影面上的投影仍为直角该投影面上的投影仍为直角。设设 直角边直角边BC/H面面因因 BCAB,同时同时BCBb所以所以 BCABba平面平面直线在直线在H面上的面上的投影互相垂直投影互相垂直即即 abc 为直角为直角因此因此 bcab故故 bc ABba平面平面又因又因 BCbcABCabcH证明：证明：b a c abc交叉垂直的两直线的投影交叉垂直的两

14、直线的投影条件：条件：互相垂直互相垂直的两直线的两直线(相交或交叉相交或交叉)其中其中有一条直线平行于某一投影面有一条直线平行于某一投影面则：则：两直线在该投影面上投影仍互相垂直两直线在该投影面上投影仍互相垂直直角投影定理直角投影定理逆定理：逆定理：相交或交叉的两条直线相交或交叉的两条直线在同一投影面上的在同一投影面上的 投影成直角投影成直角 且且有一条直线平行于该投影面有一条直线平行于该投影面则：则：这两条直线在空间上必互相垂直这两条直线在空间上必互相垂直d abca b c d例例4：过C点作直点作直线与与AB垂直相交。垂直相交。AB为正平线为正平线,正面投影反映直正面投影反映直角。角。f例例5 过点点E 作作线段段AB、CD 的公垂的公垂线EF。fOcbaabXcddee例例6：过直线：过直线CD外一点外一点A，作正平线，作正平线AB 与与CD相交。相交。aa c dcdbbc1b1XOXa(b)a b cdc d HABCDEFa b ecdfff ee 例例7 求直线求直线AB和和CD间的最短距离。间的最短距离。