江苏省扬州中学2023-2024学年高三上学期10月月考数学含答案.pdf

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1、第 1 页/共 4 页 学科网（北京）股份有限公司高三数学高三数学 10 月考试月考试一、单选题一、单选题 1.sin1050（）A.12B.12C.32D.322.已知集合210 xAx，2230Bx xx，则AB（）A.0,3B.0,1C.3,D.1,3.已知()4f xx，则()fx（）A.4xB.24xC.14xD.124x4.已知函数 sinRf xaxx a，则“1a”是“f x在区间,2上单调递增”的（）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件5.阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置.我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“定

2、楼神器”，如图 1.由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移my和时间 st的函数关系为sin0,yt，如图 2，若该阻尼器在摆动过程中连续三次到达同一位置的时间分别为1t，2t，31230tttt，且122tt，235tt，则在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于 0.5m 的总时间为（）A.1s3B.2s3C.1sD.4s36.已知为锐角，若4cos65，则7sin 212的值为（）江苏省扬州中学2023-2024学年高三上学期10月月考第 2 页/共 4 页学科网（北京）股份有限公司A.210B.7 210C.17 250D.31 2507.已知函数(

3、)cosf xx，函数()g x的图象可以由函数()f x的图象先向右平移6个单位长度，再将所得函数图象保持纵坐标不变，横坐标变为原来的1(0)倍得到，若函数()g x在3(,)22上没有零点，则的取值范围是（）A.4(0,9B.4 8,9 9C.4 8(,9 9D.8(0,98.已知函数()f x及其导函数 fx的定义域均为R，且满足()2(6)f xfx，()2(4)fxfx，(3)1f ，若()(3)5g xfx，则 181kgk（）A.18B.20C.88D.90二、多选题二、多选题 9.下列求解结果正确的是（）A.63324332B.22 lg2lg5lg20lg2lg50lg256

4、C.不等式120 xx的解集为1,D.若sin1cos12，则1cos1sin210.在ABC中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，则下列说法中正确的是（）A.若sinsinAB，则AB B.若tantantan0ABC，则ABC锐角三角形C.若10a，8b，60A，则符合条件的ABC有两个D.对任意ABC，都有coscos0AB11.同学们，你们是否注意到，自然下垂的铁链；空旷的田野上，两根电线杆之间的电线；峡谷的上空，横跨深洞的观光索道的钢索.这些现象中都有相似的曲线形态.事实上，这些曲线在数学上常常被称为悬链线.悬链线的相关理论在工程、航海、光学等方面有广泛的应用.在恰当的坐标

5、系中，这类函数的表达式可以为 eexxf xab（其中a，b是非零常数，无理数e2.71828），对于函数 f x以下结论正确的是（）A.ab是函数 f x为偶函数的充分不必要条件；是 第 3 页/共 4 页 学科网（北京）股份有限公司B.0ab是函数 f x为奇函数充要条件；C.如果0ab，那么 f x为单调函数；D.如果0ab，那么函数 f x存在极值点.12.在ABC中，角 A，B，C对边分别是 a，b，c，已知sinsinsinABC，则下列说法正确的是（）A.2222tan2bcaAa B.212ABCSa C.sinsinsinsinBCCB有最大值 D.245abc 三、填空题三

6、、填空题 13.若函数 2lg1)f xxmx=(的值域为 R，则实数 m 的取值范围是_ 14.定义在R上的奇函数 f x，当0 x 时，()22xxf xa，当0 x 时，f x _ 15.已知lglglg5abcabc，lglglg2bcaabc，则abc的值为_.16.在锐角ABC中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，3b，sinsin2 3AaB，则ABC周长的取值范围为_.四、解答题四、解答题 17.已知0 x，0y，且21xy（1）求xy的最大值；（2）求21xy的最小值 18.已知函数 e1 exxaf x奇函数.（1）求a的值；（2）若存在实数t，使得22220f

7、ttftk成立，求k的取值范围.19.在2sinsin2sincosABCB，sinsinsinacACB ab，1sinsinsin2ABCSc aAbBcC这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中并作答 问题：在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且_（1）求角 C；的的为 第 4 页/共 4 页 学科网（北京）股份有限公司（2）若2c，求2ab取值范围 20.已知函数 2sincos2 sin22f xaxxbx，（Ra，Rb）（1）若1a，0b，证明：函数 12g xf x在区间0,4上有且仅有1个零点；（2）若对于任意的Rx，0f x 恒成立，求ab的最大值和最小值

8、.21.铰链又称合页，是用来连接两个固体并允许两者之间做相对转动的机械装置.铰链由可移动的组件构成，或者由可折叠的材料构成，合页主要安装与门窗上，而铰链更多安装与橱柜上，如图所示，,OA OC就是一个合页的抽象图，AOC可以在0,上变化，其中28OCOAcm，正常把合页安装在家具门上时，AOC的变化范围是,2，根据合页的安装和使用经验可知，要使得安装的家具门开关并不受影响，在以AC为边长的正三角形ABC区域内不能有障碍物.（1）若2AOC使，求OB的长；（2）当AOC为多少时，OBC面积取得最大值？最大值是多少？22.已知函数sin()2cosxf xaxx（1）当1a 时，讨论()f x的单

9、调性；（2）若0 x 都有()0f x，求a的取值范围的 第 1 页/共 21 页 学科网（北京）股份有限公司高三数学高三数学 10 月考试月考试 一、单选题一、单选题 1.sin1050（）A.12 B.12 C.32 D.32【答案】B【解析】【分析】利用诱导公式化简，即可计算得结果.【详解】1sin1050sin 3 36030sin302 .故选：B【点睛】本题考查诱导公式的化简求值，属于基础题.2.已知集合210 xAx，2230Bx xx，则AB（）A.0,3 B.0,1 C.3,D.1,【答案】B【解析】【分析】先将集合A和集合B化简，再利用集合的交集运算可得答案.【详解】210

10、 x，即0212x，由指数函数的单调性可得，0 x，0Ax x，由2230 xx，解得31x，31Bxx，010,1ABxx.故选：B.3.已知()4f xx，则()fx（）A.4x B.24x C.14x D.124x 第 2 页/共 21 页 学科网（北京）股份有限公司【答案】D【解析】【分析】根据已知条件，结合导数的求导法则，即可求解【详解】1244f xxx，则 12114224fxxx 故选：D 4.已知函数 sinRf xaxx a，则“1a”是“f x在区间,2上单调递增”的（）A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析

11、】利用导数求出参数的取值范围，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】当1a 时，sinxxxf，1 cos0fxx，f x在R上单调递增，故充分性成立，当 f x在,2单调递增，cos0 xaxf，即cosax，1a，故必要性不成立，所以“1a”是“f x在区间,2上单调递增”的充分不必要条件.故选：B 5.阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置.我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“定楼神器”，如图 1.由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移my和时间 st的函数关系为sin0,yt，如图 2，若该阻尼器在摆动过程中连续三次

12、到达同一位置的时间分别为1t，2t，31230tttt，且122tt，235tt，则在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于 0.5m 的总时间为（）第 3 页/共 21 页 学科网（北京）股份有限公司A.1s3 B.2s3 C.1s D.4s3【答案】C【解析】【分析】先根据周期求出23，再解不等式2sin0.53t，得到t的范围即得解.【详解】因为122tt，235tt，31ttT，所以3T，又2T，所以23，则2sin3yt，由0.5y 可得2sin0.53t，所以252 2 636ktk，Zk，所以1353334242ktk，Zk，故53133314242kk，所以在一个周期内阻尼器离

13、开平衡位置的位移大于 0.5m 的总时间为 1s.故选：C.6.已知为锐角，若4cos65，则7sin 212的值为（）A.210 B.7 210 C.17 250 D.31 250【答案】D【解析】【分析】根据为锐角，4cos65，得到sin6，再利用二倍角公式得到sin 23，cos 23，然后再由7sin 2sin21234求解.【详解】Q为锐角，24,cos66365，3sin65，24sin 22sincos36625，且27cos 22cos13625 第 4 页/共 21 页 学科网（北京）股份有限公司故7sin 2sin21234，sin 2coscos 2sin3434，24

14、27231 225225250，故选：D 7.已知函数()cosf xx，函数()g x的图象可以由函数()f x的图象先向右平移6个单位长度，再将所得函数图象保持纵坐标不变，横坐标变为原来的1(0)倍得到，若函数()g x在3(,)22上没有零点，则的取值范围是（）A.4(0,9 B.4 8,9 9 C.4 8(,9 9 D.8(0,9【答案】A【解析】【分析】由函数()cosf xx，根据三角函数的图象变换得到 cos6g xx，令 cos06g xx，结合函数零点存在的条件建立不等式求解即可.【详解】函数()cosf xx，向右平移6个单位长度，得cos6yx，再将所得函数图象保持纵坐标

15、不变，横坐标变为原来的1(0)倍得到 cos6g xx，令 cos06g xx，得62xk，所以123xk，若函数()g x在3(,)22上没有零点，则需3222T，第 5 页/共 21 页 学科网（北京）股份有限公司所以22，所以01，若函数()g x在3(,)22上有零点，则123232k，当 k=0 时，得123232，解得4493，当 k=1 时，得153232，解得101093，综上：函数()g x在3(,)22上有零点时，4493或101093，所以函数()g x在3(,)22上没有零点，409.所以的取值范围是4(0,9.故选：A【点睛】本题主要考查三角函数的图象变换及函数零点问

16、题，还考查了转化求解问题的能力，属于难题.8.已知函数()f x及其导函数 fx的定义域均为R，且满足()2(6)f xfx，()2(4)fxfx，(3)1f ，若()(3)5g xfx，则 181kgk（）A.18 B.20 C.88 D.90【答案】B【解析】【分析】根据复合函数导数运算求得正确答案.【详解】由()2(6)f xfx得 266fxfxfx，6fxfx，则 fx关于直线3x 对称.另外()2(4),()(4)2fxfxfxfx，则 fx关于点2,1对称.所以4244226fxfxfxfx 22462628fxfxfxfx ，所以 4fxfx，所以 fx是周期为4的周期函数.第

17、 6 页/共 21 页 学科网（北京）股份有限公司()(3)5g xfx，()(3)g xfx，则(0)(3)1gf，由，令2x，得 222,21ff.所以 121gf ，由，令1x，得(1)(3)2,(1)2(3)3ffff；所以(2)(1)3gf ，由，令4x，得 421ff；令5x，得 513ff.由，令0 x，得(0)(4)2,(0)1fff；令=1x，得(1)(5)2,(1)2(5)1ffff，则(3)(0)1gf ，411gf；5221gff ，6313gff ，以此类推，gx是周期为4的周期函数.所以 1811 3 1 141 320kgk .故选：B【点睛】函数的对称性有多种呈

18、现方式，如f axf ax，则 f x关于直线xa对称；如2faxfx，则 f x关于直线xa对称；如f axf ax，则 f x关于点,0a对称；如2f axf axb，则 f x关于点,a b对称.二、多选题二、多选题 9.下列求解结果正确的是（）A.63324332 B.22 lg2lg5lg20lg2lg50lg256 C.不等式120 xx的解集为1,第 7 页/共 21 页 学科网（北京）股份有限公司D.若sin1cos12，则1cos1sin2【答案】AD【解析】【分析】对于 A 选项：把根式化为分数指数幂，利用幂的运算法则求值可判断 A 选项；对于 B 选项：利用对数的运算法则

19、化简求值可判断 B 选项；对于 C 选项：根据根式的定义域和值域，求不等式的解集可判断 C选项；对于 D 选项：分子和分母同时乘sin,再利用同角三角函数关系化简可判断 D 选项.【详解】对于 A 选项：1111111263636322332432432432322 5151121106636622=33222332332，所以 A 选项正确；对于 B 选项：2222 lg2lg5lg20lg2lg50lg252 lg2lg5lg 2 10lg2lg 5 10lg5 22 lg2lg5 lg2 1lg2 lg5 12lg5 22 lg22lg2lg5lg23lg5 2lg2 lg2lg5lg2

20、lg52lg5 2 lg2lg513，所以 B 选项错误；对于 C 选项：因为20yx且2x ，当2x 时取等号，则120 xx，即210 xx 或2x ，解得：1x或2x ，所以不等式120 xx的解集为21,，所以 C 选项错误；对于 D 选项：若sin1cos12，则cos1且sin0，即221 cos1 cossin1 cos1 cos1sincos1sincos1sincos1sin2 ，所以1cos1sin2，所以 D 选项正确.故选：AD.10.在ABC中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，则下列说法中正确的是（）A.若sinsinAB，则AB B.若tantantan

21、0ABC，则ABC是锐角三角形 第 8 页/共 21 页 学科网（北京）股份有限公司C.若10a，8b，60A，则符合条件的ABC有两个 D.对任意ABC，都有coscos0AB【答案】ABD【解析】【分析】由正弦定理边角转化可判断 A；根据两角和的正切公式结合三角形内角和定理可判断 B；由正弦定理及三角形性质可判断 C；由三角形内角性质及余弦函数单调性可判断 D.【详解】对于 A 选项，由sinsinAB，根据正弦定理得22abrr，（r为ABC外接圆半径），即ab，则AB，故 A 正确；对于 B，tantantantan tan1tantanABCABABAB ，所以tantantanta

22、ntan1ABCAB，所以tantantan1tantantantan0tantantanABCABCACBC，所以tan,tan,tanABC三个数有0个或2个为负数，又因,A B C最多一个钝角，所以tan0,tan0,tan0ABC，即,A B C都是锐角，所以ABC一定为锐角三角形，故 B 正确；对于 C，由正弦定理得sinsinabAB，则38sin2 32sin1105bABa，又ba，则60BA，知满足条件的三角形只有一个，故 C 错误；对于 D，因为AB，所以0AB，又函数cosyx在0,上单调递减，所以coscos cosABB，所以coscos0AB，故 D 正确；故选：A

23、BD 11.同学们，你们是否注意到，自然下垂的铁链；空旷的田野上，两根电线杆之间的电线；峡谷的上空，横跨深洞的观光索道的钢索.这些现象中都有相似的曲线形态.事实上，这些曲线在数学上常常被称为悬链线.悬链线的相关理论在工程、航海、光学等方面有广泛的应用.在恰当的坐标系中，这类函数的表达式可以为 eexxf xab（其中a，b是非零常数，无理数e2.71828），对于函数 f x以下结论正确的是（）第 9 页/共 21 页 学科网（北京）股份有限公司A.ab是函数 f x为偶函数的充分不必要条件；B.0ab是函数 f x为奇函数的充要条件；C.如果0ab，那么 f x为单调函数；D.如果0ab，那

24、么函数 f x存在极值点.【答案】BCD【解析】【分析】根据奇偶函数的定义、充分条件和必要条件的定义即可判断 AB；利用导数，分类讨论函数的单调性，结合极值点的概念即可判断 CD.【详解】对于 A，当ab时，函数()f x定义域为 R 关于原点对称，ee=xxfxabf x，故函数()f x为偶函数；当函数()f x为偶函数时，()()=0f xfx，故0eexxabba，即2e=xabab，又2e0 x，故ab，所以ab是函数 f x为偶函数的充要条件，故 A 错误；对于 B，当0ab时，函数()f x定义域为 R 关于原点对称，=ee()()=0 xxf xfxabab，故函数 f x为奇

25、函数，当函数 f x为奇函数时，=ee()()=0 xxf xfxabab，因为e0 x，e0 x，故0ab.所以0ab是函数 f x为奇函数的充要条件，故 B 正确；对于 C，=eexxafxb，因为0ab，若0,0ab，则 ee0=xxaxbf恒成立，则 f x为单调递增函数，若0,0ab则 ee0=xxaxbf恒成立，则 f x为单调递减函数，故0ab，函数 f x为单调函数，故 C 正确；对于 D，2eee=exxxxababfx，令=0fx得1=ln2bxa，又0ab，第 10 页/共 21 页 学科网（北京）股份有限公司若0,0ab，当1,ln2bxa，0fx，函数 f x为单调递

26、减.当1ln,2bxa，()0fx，函数 f x为单调递增.函数()f x存在唯一的极小值.若0,0ab，当1ln2bxa，()0fx，函数 f x为单调递增.当1ln,2bxa，0fx，函数 f x为单调递减.故函数()f x存在唯一的极大值.所以函数存在极值点，故 D 正确.故答案为：BCD.12.在ABC中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，已知sinsinsinABC，则下列说法正确的是（）A.2222tan2bcaAa B.212ABCSa C.sinsinsinsinBCCB有最大值 D.245abc【答案】BCD【解析】【分析】由条件及正弦定理得，2sinabcA，再由正

27、、余弦定理，三角形的面积公式，三角函数的最值等知识逐一判断选项即可【详解】由sinsinsinABC及正弦定理sinsinsinabcABC得：2sinabcA，对于 A 选项：22222222cos2coscossintan222sinaAbcabcAAAAaaaA，故 A 错误；对于 B 选项：22111sinsin22sin2ABCaSbcAAaA，故 B 正确；对于 C 选项：222sinsin2cossinsinBCbcbcabcACBcbbcbc 第 11 页/共 21 页 学科网（北京）股份有限公司sin2cossin2cos5sin()bcAbcAAAAbc，其中2 55sin

28、,cos55，sinsinsinsinBCCB有最大值5，故 C 正确；对于 D 选项：因为2sinabcA，222bcbc,当且仅当bc时取等号.所以222sincos1022bcaAAbc，两边平方得：22sincos1sin4AAA，又22cos1 sinAA，化简得：sin(5sin4)0AA，且(0,)A，sin(0,1A,解得4sin0,5A，所以24sin5sinbcAabcbcA，即245abc成立，故 D 正确.故选：BCD 三、填空题三、填空题 13.若函数 2lg1)f xxmx=(的值域为 R，则实数 m 的取值范围是_【答案】,22,U【解析】【分析】根据对数函数值域

29、列不等式，从而求得m的取值范围.【详解】依题意，函数 2lg1)f xxmx=(的值域为 R，所以240m，解得,22,m .故答案为：,22,U 14.定义在R上的奇函数 f x，当0 x 时，()22xxf xa，当0 x 时，f x _【答案】22xx【解析】【分析】先根据奇函数性质求 a，然后设0 x，利用奇函数定义和已知条件求解可得.【详解】因为函数 f x为奇函数，所以00(0)220fa，解得1a.的 第 12 页/共 21 页 学科网（北京）股份有限公司设0 x，则0 x，所以()22xxfx，又 f x为奇函数，所以()()22xxf xfx，即当0 x 时，()22xxf

30、x.故答案为：22xx 15.已知lglglg5abcabc，lglglg2bcaabc，则abc的值为_.【答案】10或110【解析】【分析】对已知等式左右同时取对数，结合对数运算法则化简可得2lg1abc，由此可求得结果.【详解】由lglglg5abcabc得：222lglglglglglglglglglg5abcabcabc，由lglglg2bcaabc得：lglglg1lglglglg lglg lglg lglg2lg22bcaabcabbcac，2lg lg2lg lg2lg lglg2abbcac，2222lglglg2lg lg2lg lg2lg lglglglgabcabbc

31、acabc2lglg5lg21abc，lg1abc或lg1abc ，10abc或110abc.故答案为：10或110.16.在锐角ABC中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，3b，sinsin2 3AaB，则ABC周长的取值范围为_.【答案】93 3,93 32【解析】【分析】由正弦定理及已知可得3sin2A，结合锐角三角形得3A、62B，再由正弦边角关系、三角恒等变换得93 3122tan2abcB，即可求范围.【详解】由sinsinabAB，则sinsinaBbA，故sinsin4sin2 3AbAA，第 13 页/共 21 页 学科网（北京）股份有限公司所以3sin2A，又AB

32、C为锐角三角形，则3A，且022032BCB，则62B，而sinsinsinabcABC，则sin3 3sin2sinbAaBB，23sin()sin3sinsinBbCcBB3 3cos32sin2BB，所以22cos93 3 1 cos93 393 31222sin22222sincostan222BBabcBBBB，又1224B，且tantan34tantan()2312341tantan34，所以tan(23,1)2B，则93 3193 3(,93 3)222tan2abcB.故答案为：93 3(,93 3)2.【点睛】关键点睛：本题的关键是利用正弦定理以及三角恒等变换得93 3122

33、tan2abcB，再求出角B的范围，利用正切函数的值域即可得到答案.四、解答题四、解答题 17.已知0 x，0y，且21xy（1）求xy的最大值；（2）求21xy的最小值【答案】（1）18 （2）8【解析】【分析】（1）由基本不等式得到22 2xyxy，从而求出18xy；（2）利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.小问 1 详解】【第 14 页/共 21 页 学科网（北京）股份有限公司因为0 x，0y，由基本不等式得22 2xyxy，即12 2xy，解得18xy，当且仅当11,24xy时，等号成立，故xy的最大值为18；【小问 2 详解】因为0 x，0y，21xy，故21214424428yx

34、yxxyxyxyxyxy，当且仅当4yxxy，即11,24xy时，等号成立，故21xy的最小值为 8.18.已知函数 e1 exxaf x为奇函数.（1）求a的值；（2）若存在实数t，使得22220f ttftk成立，求k的取值范围.【答案】（1）1 （2）1,3【解析】【分析】（1）根据奇函数的性质 00f求解即可.（2）首先利用根据题意得到2222f ttftk，利用单调性定义得到 f x是R上的减函数，再利用单调性求解即可.【小问 1 详解】因 f x定义域为R，又因为 f x为奇函数，所以 00f，即102a，得1a 当1a 时，1 e1 exxf x，所以 1 ee11 ee1xxx

35、xfxf x，所以1a 【小问 2 详解】22220f ttftk可化为2222f ttftk，因为 f x是奇函数，所以 2222f ttftk 为 第 15 页/共 21 页 学科网（北京）股份有限公司又由（1）知 1 e211 e1 exxxf x ，设12,x x R，且12xx，则211212122 ee221 e1 e1 e1 exxxxxxf xf x，因为12xx，所以21ee0 xx，11 e0 x，21 e0 x，所以 120f xf x，即12f xf x故 f x是R上的减函数，所以（*）可化为2222tttk.因为存在实数t，使得2320tt k 成立，所以4 120

36、k，解得13k .所以k的取值范围为1,3 19.在2sinsin2sincosABCB，sinsinsinacACB ab，1sinsinsin2ABCSc aAbBcC这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中并作答 问题：在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且_（1）求角 C；（2）若2c，求2ab的取值范围【答案】（1）3 （2）2,4【解析】【分析】（1）选利用三角形内角和定理与两角和的正弦公式求出3C，选利用正弦定理和余弦定理求出3C，选利用面积公式和余弦定理求出3C （2）利用正弦定理得4 34 3sin,sin33aA bB，再利用两角差的正弦公式以及角的范围

37、计算求得结果【小问 1 详解】若选：2sinsin2sincosABCB，则2sinsin2sincosBCBCB，2sincos2cossinsin2sincosBCBCBCB 2sincossin0BCB 第 16 页/共 21 页 学科网（北京）股份有限公司0,B，sin0B，1cos2C，0,C，3C.若选：sinsinsinacACB ab，由正弦定理得acacb ab，222abcab，2221cos22abcCab，0,C，3C 若选：1sinsinsin2ABCSc aAbBcC，则sinsinsin12s n12iCABbc abCac，由正弦定理得2221122abcc a

38、bc，222abcab，2221cos22abcCab，0,C，3C 【小问 2 详解】由正弦定理得4 3sinsinsin3abcABC，4 34 3sin,sin33aA bB，则8 34 38 34 3sinsinsinsin333323ABAAab，2 3sin2cos4sin6AAA，20,3A，,66 2A，16sin,12A，22,4ab .第 17 页/共 21 页 学科网（北京）股份有限公司20.已知函数 2sincos2 sin22f xaxxbx，（Ra，Rb）（1）若1a，0b，证明：函数 12g xf x在区间0,4上有且仅有1个零点；（2）若对于任意的Rx，0f x

39、 恒成立，求ab的最大值和最小值.【答案】（1）证明见解析 （2）最小值为2，最大值为1【解析】【分析】（1）代入,a b的值，化简 f x，即可求得 g x，根据 g x单调性即可求解；（2）令sincostxx，问题转化为2,2t 时，222120tatb t，要求ab的最值，则需要a和b的系数相等进行求解.【小问 1 详解】证明：当1a，0b 时，2 sincos2f xxx2222sincos222xx2sin24x，则 132sin224g xf xx，30202g，0142g，且 g x是一个不间断的函数，g x在0,4x上存在零点，0,4x，,44 2x，g x在0,4上单调递增

40、，g x在0,4上有且仅有 1 个零点.【小问 2 详解】由（1）知，令sincos2sin4txxx，则2,2t，22sin22sincossincos11xxxxxt，对于任意的xR，0f x 恒成立，222120atb t恒成立.第 18 页/共 21 页 学科网（北京）股份有限公司令 22212tatb t，则2,2t 时，0t恒成立 即222120tatb，令2221tt，解得2t 或22.当2t 时，解得1ab，取1a，0b 成立，则 222220tt恒成立，max1ab，当22t 时，解得2ab，取43a ，23b 成立，则 22444221203332tttt 恒成立.min2

41、ab，综上，ab的最小值为2，ab的最大值为1.【点睛】方法点睛：不等式恒成立问题，从以下几个角度分析：（1）赋值法和换元法的应用；（2）三角函数图像和性质的应用；（3）转化化归思想的应用.21.铰链又称合页，是用来连接两个固体并允许两者之间做相对转动的机械装置.铰链由可移动的组件构成，或者由可折叠的材料构成，合页主要安装与门窗上，而铰链更多安装与橱柜上，如图所示，,OA OC就是一个合页的抽象图，AOC可以在0,上变化，其中28OCOAcm，正常把合页安装在家具门上时，AOC的变化范围是,2，根据合页的安装和使用经验可知，要使得安装的家具门开关并不受影响，在以AC为边长的正三角形ABC区域内

42、不能有障碍物.（1）若2AOC使，求OB的长；（2）当AOC为多少时，OBC面积取得最大值？最大值是多少？.第 19 页/共 21 页 学科网（北京）股份有限公司【答案】（1）4 2 35BOcm （2）56AOC，16 16 3cm3【解析】【分析】（1）根据题意利用三角比可得4 5ACAB，在OAB中，由余弦定理知2222cosBOAOABAO ABOAB即可得解；（2）设AOC，ACO，BCACx，利用正余弦定理换算可得28064cosx，248cos16xx，代入整理可得=BOCS16 316sin3a，利用的范围即可得解.【小问 1 详解】如图所示，因为28cmOCOA，2AOC，易

43、知2282 5sin584OAC，5cos5OAC，4 5ACAB，在OAB中，由余弦定理易知2222cosBOAOABAO ABOAB，且3OABOAC，coscoscoscossinsin333OABOACOACOAC 512 5352 15525210，在OAB中，由余弦定理可得：所以22252 1544 52 4 4 516 52 310BO ，解得4 2 35cmBO；【小问 2 详解】设AOC，ACO，BCACx，第 20 页/共 21 页 学科网（北京）股份有限公司在AOC中，由余弦定理易知，2222cosACAOOCAO OC，即222482 4 8 cosx ，28064co

44、sx，222cos2ACOCAOACOAC OC，即248cos16xx，由正弦定理易知4sinsinx，将代入下列式子中：213sin2 sin2 3 cos8sin6 3238BOCBC COxSxx 38sin6 38064cos8a 8sin16 38 3cos16 316sin3aa，则当56ADC时，BDCS取最大值，最大值为216 16 3 cm.【点睛】思路点睛：第二问中由余弦定理得28064cosx，248cos16xx，由正弦定理得4sinsinx，三式代入面积公式BOCS，考查了学生思维能力及运算能力.22.已知函数sin()2cosxf xaxx（1）当1a 时，讨论(

45、)f x的单调性；（2）若0 x 都有()0f x，求a的取值范围【答案】（1）函数()f x是 R 上的增函数；（2）13a.【解析】【分析】（1）把1a 代入，求出函数()f x的导数，再判断导数值正负作答.（2）求出函数()f x的导数，再分析导函数值的情况，分类探讨即可作答.【小问 1 详解】当1a 时，函数sin()2cosxf xxx的定义域为 R，的 第 21 页/共 21 页 学科网（北京）股份有限公司2222cos(2cos)sin32coscos()10(2cos)(2cos)xxxxxfxxx，所以函数()f x是 R 上的增函数.【小问 2 详解】函数sin()2cos

46、xf xaxx，0 x，求导得22212cos32111()3()(2cos)(2cos)2cos2cos33xfxaaaxxxx，当13a 时，()0fx，即函数()f x在(0,)上单调递增，0 x，()(0)0f xf，因此13a；当103a时，令()sin3,0h xxax x，求导得()cos3h xxa，函数()cos3h xxa在(0,)2上单调递减，(0)1 30,()302haha ，则存在0(0,)2x，使得0()0h x，当00 xx时，()0h x，()h x在0(0,)x上单调递增，当0(0,)xx时，()(0)0h xh，即sin3xax，因此当0(0,)xx时，sinsin2cos3xxaxx，即sin()02cosxf xaxx，不符合题意；当0a 时，1()0222fa，不符合题意，综上得13a，所以a的取值范围是13a.【点睛】思路点睛：涉及函数不等式恒成立问题，可以借助分段讨论函数的导函数，结合函数零点探讨函数值正负，以确定单调性推理作答.