河南省鹤壁市2024届高三上学期第二次模拟考试数学试题含答案.pdf

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1、第 1 页/共 4 页学科网（北京）股份有限公司2024 届高三年级第二次模拟考试届高三年级第二次模拟考试数学试卷数学试卷一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.1.已知集合|,My yxx xR，|,Ny yx xR，则MNA 0,1B.1C.0D.2.已知 aR，复数2111aiii为纯虚数，则 a（）A.3B.3C.2D.23.已知函数()lnf xx，则“()0f x”是“()0f f x”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.已知函数()f x是定义在 R 上的偶函数，且当0 x

2、 时，1()2xf xx，若对于任意实数1 1,)4 2t，都有1(21)()3ftfa恒成立，其中0a，则实数 a 的取值范围是（）A.9(,)2B.1(0,)2C.3(,)2D.(1,2)5.已知函数 1xxf xaka（0a 且1a）是偶函数，则关于 x 的不等式21logkafxa的解集是（）A.2,B.10,2,2C 1,22D.以上答案都不对6.函数 2f xax与 xg xe的图象上存在关于直线yx对称的点，则a的取值范围是（）A.,4eB.,2eC.,eD.2,e 7.在ABC中，2AB，3AC，5cos6A，若O为ABC的外心（即三角形外接圆的圆心），且AOm AB n AC

3、，则2nm（）A.199B.4122C.111D.17118.已知不等式(1)lnxxea xx对任意正数x恒成立，则实数a的最大值是（）.河南省鹤壁市2024届高三上学期第二次模拟考试数学试题第 2 页/共 4 页学科网（北京）股份有限公司A.12B.1C.2D.2e二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分.9.设i为虚数单位，下列关于复数的命题正确

4、的有（）A.1 212z zzzB.若12,z z互为共轭复数，则12zzC.若12zz，则2212zzD.若复数11 izmm 为纯虚数，则1m 10.某单位为了激励员工努力工作，决定提高员工待遇，给员工分两次涨工资，现拟定了三种涨工资方案，甲：第一次涨幅%a，第二次涨幅%b；乙：第一次涨幅%2ab，第二次涨幅%2ab；丙：第一次涨幅%ab，第二次涨幅%ab.其中0ab，小明帮员工李华比较上述三种方案得到如下结论，其中正确的有（）A.方案甲和方案乙工资涨得一样多B.采用方案乙工资涨得比方案丙多C.采用方案乙工资涨得比方案甲多D.采用方案丙工资涨得比方案甲多11.已知函数 f xg x，的定义

5、域为R，()g x为 g x的导函数，且()()100f xg x，()(4)100f xgx，若 g x为偶函数，则下列一定成立的有（）A.210fB.410f（）C.(1)(3)ffD.20230f 12.已知函数 ln sinln cosf xxx，下列说法正确的是（）A.f x定义域为2,2+,Z2kkkB.fxf xC.4fx是偶函数D.f x在区间0,2上有唯一极大值点三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.13.设sin，cos是2420 xaxa的两根，则a的值为_14.在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，

6、点O为ABC外接圆的圆心，若3a，且2 3cos2cCb，AOmABnAC，则mn的最大值为_第 3 页/共 4 页学科网（北京）股份有限公司15.设函数 sin06f xx在区间,2内有零点，无极值点，则的取值范围是_16.在ABC中，记角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，面积为 S，则22Sabc的最大值为_四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.设ABC内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知3c，且1sincos64CC.（1）求角 C大小；（2）若向量1

7、,sinmA与2,sinnB共线，求ABC的周长.18.已知 na是等比数列，nb是等差数列，且11a，13b，227ab，3311ab.（1）求数列 na和 nb的通项公式；（2）设1nnnbca，*nN，求数列 nc的前 n 项和nT.19.已知将函数 2sincos(04)36f xxx图像向左平移3个单位长度后得到函数 g x的图像关于原点中心对称.（1）求函数 f x的解析式；（2）若三角形ABC满足2,12BCfM N是边BC上的两点，且1,2BM BNBAMCANCM CN，求三角形ABC面积的取值范围.20.已知椭圆2222:1(0)xyEabab，离心率为12，直线0mxym

8、恒过E的一个焦点F.（1）求E的标准方程；（2）设O为坐标原点，四边形ABCD的顶点均在E上，,AC BD交于F，且0,2,2AC BDOAOCOM OBODON ，若直线AC的倾斜角的余弦值为55，求直线MN与x轴交点的坐标.21.已知 2xf xaxbex在点 0,0f处的切线方程为60 xy.的的的第 4 页/共 4 页学科网（北京）股份有限公司（1）求实数 a，b 的值；（2）当0 x 时，证明：2ln23f xxx.22.已知函数()2(2)xxf xaeeax，（aR，e是自然对数的底数）（1）讨论()f x的单调性；（2）当0 x 时，()(2)cosf xax，求a的取值范围第

9、 1 页/共 23 页学科网（北京）股份有限公司2024 届高三年级第二次模拟考试届高三年级第二次模拟考试数学试卷数学试卷一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.1.已知集合|,My yxx xR，|,Ny yx xR，则MNA.0,1B.1C.0D.【答案】C【解析】【分析】利用函数的值域求法求出集合0My y、0Ny y，再利用集合的交运算即可求解.【详解】由0,02,0 xyxxx x，所以,0My yxx xRy y，由,0Ny yx xRy y，所以 0MN.故选：C【点睛】本题考查了集合的交运算、函数的值域，属于基础题.2.

10、已知 aR，复数2111aiii为纯虚数，则 a（）A.3B.3C.2D.2【答案】A【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为 0 且虚部不为 0 列式求解.【详解】212113111111122aiiaiiaaiiiiiii为纯虚数，3010aa，解得 a=3故选：A.【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，属于基础题3.已知函数()lnf xx，则“()0f x”是“()0f f x”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B第 2 页/共 23 页学科网（北京）股份有限公司【解析】【分析】分别解对

11、应的不等式，再根据充分条件与必要条件的概念，即可得出结果.【详解】因为函数()lnf xx，所以由()0f x 得(1,)x；由()0f f x得ln(ln)0 x，所以ln1x，所以(,)xe因为(,)(1,)e ，所以“()0f x”是“()0f f x”的必要不充分条件.故选：B【点睛】本题主要考查判断命题的必要不充分条件，涉及对数不等式的解法，属于基础题型.4.已知函数()f x是定义在 R 上的偶函数，且当0 x 时，1()2xf xx，若对于任意实数1 1,)4 2t，都有1(21)()3ftfa恒成立，其中0a，则实数 a 的取值范围是（）A.9(,)2B.1(0,)2C.3(,

12、)2D.(1,2)【答案】A【解析】【分析】利用分离常数化简解析式，结合函数解析式可判断函数 f x在0,上是增函数；结合偶函数性质将不等式化为简，再利用单调性可得1213ta，0a，再由t的范围，求得21t 的最大值，即可得a的范围.【详解】当0 x 时，13122xf xxx，所以 f x在0,上为单调递增函数，而1213ftfa，又 f x是定义在 R 上的偶函数，所以由偶函数性质可得1213ftfa，则1213ta，0a，因为对任意实数1 1,4 2t，所以321,02t ，所以21t 的最大值为32，既有1332a，解得92a，第 3 页/共 23 页学科网（北京）股份有限公司即 a

13、 的取值范围为9(,)2，故选：A.【点睛】本题考查了函数奇偶性与单调性的综合运用，由函数单调性解不等式，绝对值函数的最值求法，属于中档题.5.已知函数 1xxf xaka（0a 且1a）是偶函数，则关于 x 的不等式21logkafxa的解集是（）A.2,B.10,2,2C.1,22D.以上答案都不对【答案】B【解析】【分析】根据 f x是偶函数求得2k，利用函数的单调性和奇偶性不等式等价于2log1x，解不等式即可.【详解】f x是偶函数 fxf x，即11xxxxakaaka化简得20 xxkaa2k，xxf xaa（0a，1a）lnxxfxa aa,1,01aa时都能得到 ln0 xx

14、fxa aa，所以 xxf xaa在0,上是增函数 xxf xaa（0a，1a）为偶函数且在0,上是增函数，21logkafxa，2log1fxf，即2log1x，即2log1x 或2log1x 第 4 页/共 23 页学科网（北京）股份有限公司解得2x 或102x.即10,2,2x.故选：B.【点睛】本题主要考查函数的单调性和奇偶性的应用，属于中档题.6.函数 2f xax与 xg xe的图象上存在关于直线yx对称的点，则a的取值范围是（）A.,4eB.,2eC.,eD.2,e【答案】C【解析】【分析】由题可知，曲线 2f xax与lnyx有公共点，即方程2lnaxx有解，可得2ln xax

15、有解，令 2ln xh xx，则 21 ln xh xx，对x分类讨论，得出1xe时，h x取得极大值1hee，也即为最大值，进而得出结论.【详解】解：由题可知，曲线 2f xax与lnyx有公共点，即方程2lnaxx有解，即2ln xax有解，令 2ln xh xx，则 21 ln xh xx，则当10 xe时，0h x；当1xe时，0h x，故1xe时，h x取得极大值1hee，也即为最大值，当x趋近于0时，h x趋近于，所以ae满足条件故选：C.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数性质的基本方法，考查化归与转化等数学思想，考查抽象概括、运算求解等数学能力，属于难题7.在ABC中，2AB，

16、3AC，5cos6A，若O为ABC的外心（即三角形外接圆的圆心），且AOm AB n AC，则2nm（）A.199B.4122C.111D.1711【答案】D第 5 页/共 23 页学科网（北京）股份有限公司【解析】【分析】先设D，E分别为AB，AC的中点，连接OD，OE，根据向量数量积运算以及题意，得到21202mOD ABABnAC AB ，21202nOE ACACmAB AC ，求解，即可得出结果.【详解】设D，E分别为AB，AC的中点，连接OD，OE，则ODAB，OEAC，因为ODADAO，AOm AB n AC，所以11 222mODABmABnACABnAC ，同理可得：122n

17、OEAEAOACmAB ；因为21202mOD ABABnAC AB ，所以1 24502mn；因为21202nOE ACACmAB AC ，所以129502nm；联立，解得：922811mn ，因此17211nm.故选：D.【点睛】本题主要考查平面向量的数量积，以及平面向量基本定理的应用，属于常考题型.8.已知不等式(1)lnxxea xx对任意正数x恒成立，则实数a的最大值是（）A.12B.1C.2D.2e【答案】B【解析】【分析】把不等式(1)lnxxea xx化为ln1xxexax，设 ln,01xxexf xxx，求得的导数第 6 页/共 23 页学科网（北京）股份有限公司 221(

18、1)1ln1xxxexxfxx，设 21(1)1lnxg xxxexx，利用导数求得函数的单调性和最小值，即可求解.【详解】不等式(1)lnxxea xx可化为(1)lnxa xxex，因为0 x，所以ln1xxexax，设 ln,01xxexf xxx，则 221(1)1ln1xxxexxfxx，设 21(1)1lnxg xxxexx，其中0 x，则 21(1)(2)0 xgxxxex恒成立，则 g x在(0,)上单调递增，由 2211(1)1ln(1)1lnxxxg xxxexxexexxx ，令0()0g x，得001xex，所以 f x在0(0,)x单调递减，0(,)x 单调递增，所以

19、 00000min00ln1()111xx exxf xf xxx，对任意正数x恒成立，即 min1af x.故选：B【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得全部选对的得 5 分，部

20、分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分.9.设i为虚数单位，下列关于复数的命题正确的有（）A.1 212z zzzB.若12,z z互为共轭复数，则12zzC.若12zz，则2212zzD.若复数11 izmm 为纯虚数，则1m .第 7 页/共 23 页学科网（北京）股份有限公司【答案】ABD【解析】【分析】根据复数的乘法运算，复数的模值运算，纯虚数的定义即可判断.【详解】解：由题意得：对于选项 A：令12i,izab zcd则12iiizzabcdacbdadbc22acbdadbc22222222a cb da db c22222222222212zzab

21、cda cb da db c所以1 212z zzz，故 A 正确；对于选项 B：令12i,izab zab，222212,zabzab，所以12zz，故 B 正确；对于选项 C：令12i,izab zab，2212zzab，根据复数的乘法运算可知：22221i2izababab，22222i2izababab，2212zz，所以 C 错误；对于选项 D：若复数11 izmm 为纯虚数，则10m，即1m ，故 D 正确.故选：ABD10.某单位为了激励员工努力工作，决定提高员工待遇，给员工分两次涨工资，现拟定了三种涨工资方案，甲：第一次涨幅%a，第二次涨幅%b；乙：第一次涨幅%2ab，第二次涨

22、幅%2ab；丙：第一次涨幅%ab，第二次涨幅%ab.其中0ab，小明帮员工李华比较上述三种方案得到如下结论，其中正确的有（）A.方案甲和方案乙工资涨得一样多B.采用方案乙工资涨得比方案丙多C.采用方案乙工资涨得比方案甲多D.采用方案丙工资涨得比方案甲多【答案】BC【解析】【分析】不防设原工资为 1，分别计算三种方案两次涨幅后的价格，利用均值不等式比较即可求解.【详解】方案甲：两次涨幅后的价格为：(1%)(1%)1%0.01%ababab；第 8 页/共 23 页学科网（北京）股份有限公司方案乙：两次涨幅后的价格为：2(1%)(1%)1%0.01()%222abababab；方案丙：两次涨幅后的

23、价格为：(1%)(1%)12%0.01%abababab；因为0ab，由均值不等式2abab，当且仅当ab时等号成立，故2()2abab，因为ab，所以2()2abab，2abab，所以方案采用方案乙工资涨得比方案甲多，采用方案甲工资涨得比方案丙多，故选：BC.11.已知函数 f xg x，的定义域为R，()g x为 g x的导函数，且()()100f xg x，()(4)100f xgx，若 g x为偶函数，则下列一定成立的有（）A.210fB.410f（）C.(1)(3)ffD.20230f【答案】ABC【解析】【分析】由()g x是偶函数得出()g x是奇函数，由已知两条件推出()g x

24、是以 4 为周期的函数，进而可得()fx为周期为 4 的偶函数，然后赋值法逐项分析即得【详解】因为()g x是偶函数，则()()gxg x，两边求导得()()gxg x，所以()g x是奇函数，故(0)0g，由 100gxf x，1004gf xx，得()10()(4)f xg xgx，即()(4)gxgx，所以()g x是周期函数，且周期为 4，(0)(4)0gg，(2)(24)(2)(2)gggg，所以(2)0g，对选项 A：由 100gxf x，令2x 得，22100gf，所以 210f，故 A 正确；对选项 B：由 1004gf xx，令4x 得，04100gf，故 410f，所以 B

25、 正确；对选项 C：由 100gxf x，可得44100 xxgf，又 1004gf xx，所以()(4)20f xfx，第 9 页/共 23 页学科网（北京）股份有限公司又()g x是奇函数，10100fxfxgxgx，所以()()20f xfx，又()(4)20f xfx，所以()(4)fxfx，即()(4)f xfx，所以()(4)fxfx，()()0fxfx，()()fxfx，所以函数()fx为周期为 4 的偶函数，所以 133fff，故 C 正确；对选项 D：202334 5053fff，由题得不出(3)0f，所以20230f 不一定成立，故 D 错误.故选：ABC.【点睛】关键点点

26、睛：本题的关键是利用条件得出函数()g x的奇偶性及周期性，进而得到函数()fx的性质，然后利用赋值法求解.12.已知函数 ln sinln cosf xxx，下列说法正确的是（）A.f x定义域为2,2+,Z2kkkB.fxf xC.4fx是偶函数D.f x在区间0,2上有唯一极大值点【答案】ACD【解析】【分析】根据函数解析式结合三角函数性质求得定义域，判断 A；由于函数的定义域不关于原点对称，故可判断 B；根据函数奇偶性的定义可判断 C；求出函数的导数，根据其结构特点，构造函数，再次求导，判断导数正负，进而判断函数单调性，进而判断极大值点，即可判断 D.【详解】A.f x的定义域为sin

27、0cos0 xx，解得 f x的定义域为2,2,Z,A2kkk正确B.由于 f x的定义域不关于原点对称，故函数不可能是偶函数，B 错误；C.设 ln sinln cos444g xfxxx，第 10 页/共 23 页学科网（北京）股份有限公司则定义域2,2,44Zkkk，ln sinln cos44gxxx ln cosln sin44xxg x，即4fx是偶函数，C正确D.22cosln cossinln sinsincosln sinln coscossinsin cosxxxxxxfxxxxxxx2222cosln cossinln sin,0,2sin cos2xxxxxxx，令 l

28、n1ln 1,0,1,1 ln1 ln 1g tt ttttg ttt，令()1 ln1 ln 1h ttt ，由 111 211th ttttt，当10,2t时，0h t，即当10,2t时，g t单调递增，当1,12t时，0h tg t 在1,12t单调递减，且122ln202g，22221111(1)20e2lnleneeg，222211111(1)20eeee2lnlng,结合0,0tt时，g t；1,1tt时，g t，故存在12110,122tt使得 0g t，即有 g t在10,t单调递减，在12,t t单调递增，在2,1t单调递减，注意到102g，且1t时，0,0g tt时，0g

29、t，从而对于2costx，当,4 2x 时 0,0g tfx，为第 11 页/共 23 页学科网（北京）股份有限公司()fx在区间,4 2单调递减，当0,4x时 0g t，()0fx，()fx在区间0,4单调递增，4x为 f x在区间0,2上的唯一极大值点，故 D 正确，故选：ACD【点睛】难点点睛：利用导数解决 f x在区间0,2上有唯一极大值点的问题时，求出函数的导数，由于导数形式比较复杂，故而难点就在于要根据导数的结构形式构造函数，进而再次求导结合零点存在定理判断导数正负，从而判断函数的单调性，解决极大值点问题.三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，

30、共分，共 20 分分.13.设sin，cos是2420 xaxa的两根，则a的值为_【答案】15【解析】【分析】根据判别式和韦达定理列式，利用同角公式可求出结果.【详解】依题意可得24160sincos2sincos4aaaa ，由24160aa得0a 或4a；由sincos2a 和sincos4a得21244aa，即2240aa，解得15a 或15a ，因为0154，所以15a 应舍去，所以15a .故答案为：1514.在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点O为ABC外接圆的圆心，若3a，且2 3cos2cCb，AOmABnAC，则mn的最大值为_第 12 页/共 23 页学科

31、网（北京）股份有限公司【答案】23【解析】【分析】通过2 3cos2cCb，可求得3A，进一步通过正弦定理和余弦定理求得半径和BOC的大小；通过将向量AB和AC进行拆解，将AO与,OB OC联系起来，通过平方运算，得到关于,m n的等量关系，最终利用基本不等式得到mn的最大值【详解】由2 3cos2cCb可得：2222 322 3abccbb即222bcabc 1cos2A 3A由正弦定理可得圆O半径为：112sinaA，即1AOOBOC根据余弦定理可知：2221 1 31cos222OBOCaBOCOB OC 23BOC又AOm AB n ACm OB OAn OC OAmOB nOCmn

32、AO1 mn AOmOB nOC22222212cosmnAOm OBn OCmn OB OCBOC2221mnmnmn整理可得：3221mnmn又22mnmn得：23214mnmn 解得：23mn或2mn当2mn时，点O在ABC外部，且BOCA，所以,B O C A四点共圆，不满足题意，舍去第 13 页/共 23 页学科网（北京）股份有限公司23mn（当且仅当13mn时取等号）本题正确结果：23【点睛】本题将解三角形、平面向量、基本不等式等几个部分相结合，对学生各部分知识的综合运用能力要求较高难点在于将AOm AB n AC中的AB和AC通过向量的线性运算，表示为夹角和模长全都已知的向量OB

33、和OC的关系，这也是解决平面向量线性关系中常用的处理问题的方法：将未知向量向已知向量进行转化15.设函数 sin06f xx在区间,2内有零点，无极值点，则的取值范围是_【答案】1 14 5,6 33 3U【解析】【分析】依题意首先求出的大致范围，再根据在区间,2内有零点，无极值点，得到不等式组22662kkkk，kZ，即可求出的取值范围.【详解】解：sin06f xx依题意得22T T2T02,2x，2666x因为函数 sin06f xx在区间,2内有零点，无极值点，第 14 页/共 23 页学科网（北京）股份有限公司22662kkkk，kZ，解得2122331263kkkk，kZ，当0k

34、时，1163满足条件，当1k 时，4533满足条件，当2k 时，显然不满足条件，综上可得1 14 5,6 33 3U故答案为：1 14 5,6 33 3U【点睛】本题考查三角函数的性质，综合性强，难度比较大，属于难题.16.在ABC中，记角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，面积为 S，则22Sabc的最大值为_【答案】312【解析】【分析】利用面积公式和余弦定理，结合均值不等式以及线性规划即可求得最大值.【详解】2221sin1sin222cos2222cosbcASAbcabcbcbcAbcAcb1sin4cos2AA（当且仅当bc时取等号）.令sin,cosAyAx，故21242S

35、yabcx，因为221xy，且0y，故可得点(,)x y表示的平面区域是半圆弧上的点，如下图所示：第 15 页/共 23 页学科网（北京）股份有限公司目标函数2yzx上，表示圆弧上一点到点(2,0)A点的斜率，由数形结合可知，当且仅当目标函数过点13,22H，即60A 时，取得最小值33，故可得3,023yzx，又21242Syabcx，故可得213324312Sabc，当且仅当60,Abc，即三角形等边三角形时，取得最大值.故答案为：312.【点睛】本题主要考查利用正余弦定理求范围问题，涉及线性规划以及均值不等式，属综合困难题.四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70

36、 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.设ABC的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知3c，且1sincos64CC.（1）求角 C 的大小；（2）若向量1,sinmA与2,sinnB共线，求ABC的周长.【答案】（1）3C，（2）33 3.【解析】【分析】（1）将1sincos64CC变形到sin 216C，即可求出角 C；（2）由向量1,sinmA与2,sinnB共线可得20ba，然后结合余弦定理解出a、b即可.【详解】（1）因为1sincos64CC，所以311sincoscos224CCC为第 16 页/共 23 页学科网

37、（北京）股份有限公司所以3111sin2cos24444CC，所以sin 216C所以22,62CkkZ，所以,3CkkZ因为C是ABC的内角，所以3C（2）因为向量1,sinmA与2,sinnB共线所以sin2sin0BA，即20ba由余弦定理可得2222coscababC，即22219442aaa解得3,2 3ab所以ABC的周长为33 3【点睛】本题考查的是三角恒等变换和正余弦定理的应用，考查了学生的计算能力，属于基础题.18.已知 na是等比数列，nb是等差数列，且11a，13b，227ab，3311ab.（1）求数列 na和 nb的通项公式；（2）设1nnnbca，*nN，求数列 n

38、c的前 n 项和nT.【答案】（1）12nna,21nbn（2）3111102122nnnTnn【解析】【分析】（1）根据等差数列与等比数列的通项公式,代入即可求得等差数列的公差和等比数列的公比,进而求得数列 na和 nb的通项公式;（2）代入数列 na和 nb的通项公式可得 nc的通项公式.根据错位相减法及分组求和法,即可求得数列 nc的前 n 项和nT.【详解】（1）设等比数列 na的公比为q,等差数列 nb的公差为d.11a,13b,227ab,3311ab.由等差数列与等比数列通项公式可得2373211qdqd 第 17 页/共 23 页学科网（北京）股份有限公司解得22qd或04qd

39、(舍)所以12nna,32121nbnn（2）1nnnbca,代入12nna,21nbn可得121121nncn则12321nnnnTcccccc012321111111357232121222222nnnnTnnnn 123211111111135723212122222222nnnnTnnnn 两式相减可得12321111111113222222122222222nnnnTnn 1232111111111322122222222nnnnTnn1111221113221122212nnnTnn即211115212222nnnTnn所以3111102122nnnTnn【点睛】本题考查了等差数列

40、与等比数列通项公式的应用,等比数列求和公式的应用,错位相减法求数列的前 n 项和,分组求和法求数列的和,属于中档题.19.已知将函数 2sincos(04)36f xxx的图像向左平移3个单位长度后得到函数 g x的图像关于原点中心对称.（1）求函数 f x的解析式；第 18 页/共 23 页学科网（北京）股份有限公司（2）若三角形ABC满足2,12BCfM N是边BC上的两点，且1,2BM BNBAMCANCM CN，求三角形ABC面积的取值范围.【答案】（1）3sin 23f xx （2）0,18 2【解析】【分析】(1)根据题意将函数化简，利用正弦函数的平移变化得到 3sin33g xx

41、，结合图象关于原点中心对称即可求出函数解析式；(2)结合（1）可得6BC，结合题意，建立平面直角坐标系得到点A 的轨迹方程为22(9)72xy，再根据几何关系即可求解.【小问 1 详解】（1）由已知化简得 3 33cossin3sin223f xxxx，3sin33g xx，由 00g得,31,33kkkZ，又 04,2,3sin 23f xx，【小问 2 详解】易得2612BCf，由sinsinABMACMSBMABBAMSCMACCAMsinsinABNACNSBNABBANSCNACCAN又BAMCANBANCAM将式并结合12BM BNCM CN可得：2212ABAC第 19 页/共

42、23 页学科网（北京）股份有限公司以BC所在直线为x轴，以BC中垂线为y轴建立直角坐标系，则3,0,3,0CB，设,A x y，则由2212ABAC可得：点A 的轨迹方程为221890 xyx，即22(9)72xy，当6 2Ay时，ABCS取到最大值18 2，根据几何关系易知三角形ABC面积的取值范围为0,18 2，20.已知椭圆2222:1(0)xyEabab，离心率为12，直线0mxym恒过E的一个焦点F.（1）求E的标准方程；（2）设O为坐标原点，四边形ABCD的顶点均在E上，,AC BD交于F，且0,2,2AC BDOAOCOM OBODON ，若直线AC的倾斜角的余弦值为55，求直线

43、MN与x轴交点的坐标.【答案】（1）22143xy（2）4,07【解析】【分析】（1）将0mxym转化成直线点斜式方程形式，求出所过的恒点，进而知道椭圆的焦点，再根据椭圆的离心率公式进行求解即可.（2）根据向量等式，可以确定,M N分别是,AC BD的中点.设1122,A x yC xy，求出直线AC的方程，与椭圆方程联立，消元，利用一元二次方程根与系数关系，求出M的坐标，同理求出N点坐标，求出直线MN的方程，最后求出直线MN与x轴交点的坐标.【详解】（1）设椭圆的半焦距为c，0mxym可化为(1)0m xy，所以直线0mxym恒过点(1,0)，所以点(1,0)F，可得1c.因为离心率为12，

44、所以12ca，解得2a，由222bac得3b，所以E的标准方程为22143xy.（2）因为0AC BD ，所以ACBD.由2,2OAOCOM OBODON 得,M N分别是,AC BD的第 20 页/共 23 页学科网（北京）股份有限公司中点.设1122,A x yC xy.由直线AC的倾斜角的余弦值为55，得直线AC的斜率为 2，所以1:2(1),:(1)2ACBDlyxlyx，联立222(1),1,43yxxy消去y，得2193240 xx.显然，0，且123219xx，1212121221212419yyxxxx，所以1212166,219219xxyy，可得166,1919M，同理可得

45、1 3,4 8N，所以76MVk，所以371:864MNlyx.令0y，得47x，所以直线MN与x轴交点的坐标为4,07.【点睛】本题考查了求椭圆的标准方程，考查了根据直线与椭圆的位置关系求出点的坐标，考查了数学运算能力.21.已知 2xf xaxbex在点 0,0f处的切线方程为60 xy.（1）求实数 a，b 的值；（2）当0 x 时，证明：2ln23f xxx.【答案】（1）a=2，b=0；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由题可得 00f，06f，列方程即可求解a，b；（2）令 2ln23xxg xf x，则 1212(0)xgxxexx，令 12(0)xh xexx，判断存在唯

46、一01 1,4 3x，使得00h x，即0012xex，从而得到2000()222ln1ming xxxx；再令 21 1222ln1,4 3xxxxx，证明 0 x即得证 2ln23f xxx.【详解】（1）21xxfxa exaxbe+，因为 f（x）在点 0,0f处的切线方程为 y=6x，所以 00f，06f，即30326bab，解得 a=2，b=0；第 21 页/共 23 页学科网（北京）股份有限公司（2）由（1）得 22xf xx ex，设 222ln23xxxgx exx，即 22222ln3xg xxexxx，则 224221214221212(0)xxxxxgxxexxexex

47、xxx设 12(0)xh xexx，则 h（x）在（0，+）单调递增，且113411201043hehe，所以存在唯一01 1,4 3x，使得000120 xh xex，即0012xex，当00 xx时，0h x，0gx，g（x）单调递减；当0 xx时，0h x，0gx，g（x）单调递增；02200000000001()2222ln322222ln3xming xg xx exxxxxxxx2000222ln1xxx，设 21 1222ln1,4 3xxxxx，则 2121242xxxxxx，当1 1,4 3x时，0 x，x单调递减，所以 1132ln3039x，所以2000()222ln10

48、ming xxxx，即 0g x，所以当0 x 时，2ln23f xxx【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，利用导数证明不等式，综合考查了函数的单调性，最值等问题，考查了学生的逻辑推理与运算求解能力.22.已知函数()2(2)xxf xaeeax，（aR，e是自然对数的底数）（1）讨论()f x的单调性；（2）当0 x 时，()(2)cosf xax，求a的取值范围.第 22 页/共 23 页学科网（北京）股份有限公司【答案】（1）分类讨论，详见解析；（2）2,).【解析】【分析】（1）求得()fx，然后对a分成0a 和0a 两种情况进行分类讨论，由此求得 f x的单调区间.（2）首先令2x

49、，代入()(2)cosf xax，求得a的一个取值范围.构造函数()()(2)cosg xf xax，利用 g x的导函数()g x研究 g x的最小值，由此求得a的取值范围.【详解】（1）2(2)2()2(2)xxxxxaeaefxaeeae21xxxaeee，当0a 时，()0fx，函数()f x在R上递减；当0a 时，由()0fx，解得2lnxa，故函数()f x在2(,ln)a上单调递减，由()0fx，解得2lnxa，故函数()f x在2(ln,)a上单调递增综上所述，当0a 时，f x在R上递减；当0a 时，f x在2(,ln)a上递减，在2(ln,)a上递增.（2）当2x时，22(

50、)2(2)02 cos222faeeaa，即222()02eae，故0a，令()()(2)cosg xf xax2(2)c(2s)oxxaeeaxxa，则22()(2)(2)sinxxaeg xaaxe，若2a，则当0,x时，()0g x，函数()g x在0,上单调递增，当(,)x时，第 23 页/共 23 页学科网（北京）股份有限公司()2(2)(2)xxg xaeeaa2244404aeea，当0,)x时，()g x单调递增，则()(0)0g xg，符合题意；若02a，则(0)2(2)0ga，()2(2)(2)24xxxxg xaeeaaaee，由240 xxaee得2420axlna，故