第二节-可分离变量的微分方程名师优质课获奖市赛课一等奖课件.ppt

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1、第二节第二节 可分离变量微分方程可分离变量微分方程一、可分离变量微分方程一、可分离变量微分方程二、经典例题二、经典例题第1页一、可分离变量微分方程一、可分离变量微分方程形如形如 方程，称为方程，称为可分离变量可分离变量微微分方程分方程.分离变量，得：分离变量，得：设设 y=(x)是方程是方程解解,则有恒等式：则有恒等式：两边积分两边积分,得得 即：即：设函数设函数 G(y)和和 F(x)是是 g(y)和和 f(x)一个原函数一个原函数,则有则有第2页当当 G(y)与与F(x)可微且可微且 G(y)=g(y)0时时,说明由说明由确定隐确定隐函数函数 y=(x)是是解解.称称为方程为方程隐式通解隐

2、式通解,或或通积分通积分.一样一样,当当F(x)=f(x)0时时,上述过程可逆上述过程可逆,由由确定隐确定隐函数函数 x=(y)也也是是解解.第3页一、可分离变量微分方程一、可分离变量微分方程形如形如 方程，称为方程，称为可分离变量可分离变量微微分方程分方程.求解步骤求解步骤：(变量分离法变量分离法)1、分离变量、分离变量,得得2、两边积分、两边积分,得得3、求出通解、求出通解隐函数确定微分方程解隐函数确定微分方程解微分方程隐式通解微分方程隐式通解第4页例例1 1 求解微分方程求解微分方程解解分离变量分离变量,得得两端积分两端积分,得得二、经典例题二、经典例题解得解得第5页例例2 2 求解微分

3、方程求解微分方程解解分离变量分离变量,得得两端积分两端积分,得得解得解得第6页解解分离变量分离变量,得得两端积分两端积分,得得解得解得第7页解解依据题意依据题意,有有(初始条件初始条件)对方程分离变量对方程分离变量,即即利用初始条件利用初始条件,得得故所求铀改变规律为故所求铀改变规律为然后积分然后积分:第8页解解 依据牛顿第二定律依据牛顿第二定律,得得初始条件为初始条件为对方程分离变量对方程分离变量,然后积分然后积分:得得利用初始条件利用初始条件,得得代入上式后化简代入上式后化简,得特解得特解例例 设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度成正比成正比,并

4、设降落伞离开跳伞塔时并设降落伞离开跳伞塔时(t=0)速度为速度为0,求求降落伞下落速度与时间函数关系降落伞下落速度与时间函数关系.t 足够大时足够大时第9页解解分离变量分离变量,解得解得然后积分然后积分:第10页可分离变量微分方程可分离变量微分方程初值问题初值问题:解也可直接用变上限积分来确定：解也可直接用变上限积分来确定：第11页分离变量法步骤分离变量法步骤:1.分离变量分离变量;2.两端积分两端积分隐式通解隐式通解.三、小结三、小结若是求特解，还需依据初值条件定常数若是求特解，还需依据初值条件定常数.第12页(1)找出事物共性及可贯通于全过程规律列方程找出事物共性及可贯通于全过程规律列方程

5、.惯用方法惯用方法:1)依据几何关系列方程依据几何关系列方程,2)依据物理规律列方程依据物理规律列方程,3)依据微量分析平衡关系列方程依据微量分析平衡关系列方程.(2)利用反应事物个性特殊状态确定初值条件利用反应事物个性特殊状态确定初值条件.(3)求通解求通解,并依据初值条件确定特解并依据初值条件确定特解.3.解解微分方程应用题方法和步骤微分方程应用题方法和步骤第13页思索与练习思索与练习求方程通解求方程通解:提醒提醒:方程变形为方程变形为第14页练练 习习 题题第15页第16页练习题答案练习题答案第17页例例 9 有高为有高为 1 m 半球形容器半球形容器,水从它底部小孔水从它底部小孔流出流出,小孔横截面积为小孔横截面积为 1 cm2(如图如图).开始时容开始时容器内盛满了水器内盛满了水,求水从小孔流出过程中容器里水求水从小孔流出过程中容器里水面高度面高度 h(水面与孔口中心间距离水面与孔口中心间距离)随时间随时间t 改变改变规律规律.解解由力学知识得由力学知识得,水从孔口水从孔口流出流量为流出流量为流量系数流量系数孔口截面面积孔口截面面积重力加速度重力加速度第18页设在微小时间间隔设在微小时间间隔水面高度由水面高度由 h 降至降至 h+dh,比较比较(1)和和(2)得得:第19页即为未知函数微分方程即为未知函数微分方程.可分离变量可分离变量所求规律为所求规律为第20页