常见重要不等式省名师优质课赛课获奖课件市赛课百校联赛优质课一等奖课件.ppt

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1、常见的几个重要不等式常见的几个重要不等式1/21一、不等式基本性质常见几个主要不等式六、小结五、一些有用不等式四、柯西不等式证实与应用三、白努力不等式证实与应用二、平均数不等式证实与应用3/21不等式基本性质设u=，v=(),21nxxxgL(),21nxxxfL是两个取值为实数函数.若u-v是正数，就说u大于v,记成uv，也说v小于u,记成v”,“”，或连结两个这么函数所组成式子叫作不等式.形如：(),21nxxxfL(),21nxxxgL(),21nxxxfL(),21nxxxgLabba222+xxx01211223b,bc,则ac 2.在ab,ab,则a+c b+c 4.不等式不等号两

2、边移项时符号反号 5.若ab,cd,则a+c b+d 6.若a b,c b-d 不等式基本性质7.若ab,则当c0时,acbc;当c0时,acbc当c=0时,ac=bc5/21ax则-ax0,若则xa或x11.若ab0,整数 n1,则nnba 10.若ab0,整数 n1,则 9.若ab0,0c b/d 8.若ab0,cd0,则 acbd不等式基本性质6/21完全平方公式引出不等式:由任何数平方大于0，则有：结论：任意两个数平方和大于两个数 积两倍平均数不等式证实与应用7/21定义：几何平均数调和平均数算术平均数平均数不等式证实与应用则若8/21因为令假定定理1在n=k(k1)时成立，当n=k+

3、1时证实：时成立.中等号当且仅当定理1平均数不等式证实与应用其，则若,知当=2时，由()0221-aa时等号成立。其中等号当且仅当21aa=(1)要证0)()(-=yxkyyxxkkk()111+-+=+xykxkykkk)()()(111-+-+-=-yxyyxyyxyxkkkkkL)(11-+-=-+kyxyyxxyxkkkkL()11121121+-+aaaakaaaakkkkkkkLL()11121121+-+=+aaaakaaaakkkkkLL至此，证实了定理1对任何整数n1都成立.所以,(1)成立当时，显然（1）取等号.反过来,当不全相等时，若中 中最少有两个不等，按归纳假定，（2

4、）不取若则,而（3）不取等号.等号；9/21时成立.等号当且仅当定理1 由定理1还能够得出几个推论：（即：个正整数调和平均数小于它们+21nnxxxL其中等号当且仅当121=nxxxL时成立推论2当且仅当21=nxxxL时成立想一想：定理1这两个推论应该怎么证实？平均数不等式证实与应用其中,则若推论1,1,2,1,021=nixxxnixLL则若,2,1,0=inixL则,其中等号若几何平均数）10/21定理1及其推论在证实不等式和求最值等方例1.已知 Nn,求证证实：即得证平均数不等式证实与应用面有广泛应用 Nn,由定理1有：对任意1111+=nnn1111+=nn11)+111(1*111

5、1+=+nnnnnnnn_11/21例2.求周长为定值一类四边形面积最如图,则ba设四边形面积为S，两个内对角为a，babcd平均数不等式证实与应用大值.解：2max2=pS4424=-+-+-+-pdpcpbpap)(21+=dcbap)()()(-=dpcpbpap222222222)(21)(41-+-+dcbadcbaS2222222222)cos(224+-+=-+abcddcbadcbaSbasinsin2+=cdabSba(1)2222coscos)(21-=-+cdabdcbaba(2)，得：）（）（2221+-=-=-=-dpcpbpap=+pba所以，,且时，12/21定理

6、2其中等号成立充要条件为x=0证实：其中等号恰在1+x=1,即x=0时成立白努力不等式证实与应用xxnma+=+=11nmnxm-+1*)()1(nmNnmnma=),(于是xxnmnma+=+-1*11）（）（2）当a1时，xxaa+11）（1）当 0a-1,则aann=limaxxrr+=+1*1a()axx+11a()nxaxnan=+,2,1,11L若a是小于1正无理数,取aaan,21LL由刚才证实结果,有()()()axxaxxnnann+=+=+11lim1lim1a于是x 0当x=0时,显然上式取等号.现在证实:当时,r 10ar 1a取有理数r,使.这里就有ra()()xrx

7、xrr+=+111aa于是即1）得证其中每一个都是小于1正有理数,并使13/21白努力不等式证实与应用定理2其中等号成立充要条件为x=02）当a1时，xxaa+11）（1）当 0a-1,则证实：依据,1101）,得由a01+ax11*11)1(+=+aaaaxxx于是1)1(+aaxx.显然时,等号成立条件是或当0a11112-=+-aaanxnxnx当aaxn1*11)1(+=+aaaaxxnnnxxna1)1(-+-axnxn10-+-aaxx又因为a111)1(1)1(+-=+=+-aaanxxnxxnn从而有14/21证实：依定理21），有于是由上面两个不等式，即得证白努力不等式证实与

8、应用()()llllaaa111+-+()()llllaaa111+llaa11111-+llaa11111+1,-1l0,求证()()lllllllaaaaa11111111+-+由15/21定理3.证实一：两边同时平方，即得柯西不等式柯西不等式证实与应用于是21121211=niiniiniiiniiibababa令21122112=niiiiniiiibbyaax121221=niiniiniiibaba并取得n个不等式，一起相加，,3,2,1=niL中()2221+iiiiyxyx在已知不等式2112121=niiniiniiibaba有证实二：设实变量x二次函数即=nkknkknkk

9、kbaba121221于是=-nkknkknkkkbaba121221044=+-=nkknkkknkkbbaxax1211222()=-=nkkkbxa21f(x)对任意实数x，总有 0f(x)系数是正数,又16/21例4.证实三角形不等式：证实：按定理3有两式相加得柯西不等式证实与应用即()212112122112+=niiniiniiibaba()()21211212211212+=niiniiniiiniiibababa()()2112121+=niiniiiniiiibbabba1()()212121+=niiniiiniiiiabaaba()()()1112+=+=niiiinii

10、iiniiibbaababa()212112122112+=niiniiniiibaba17/21例5.设三角形三边为a，b，c，面积为S.证实：柯西不等式证实与应用()cbacba2222222+()()cabcabcbacba22222+=+由海伦公式cpbpappS),)()(2-=求证：Scba34222+3 pcpbpapp)()(3-由定理1,有()cbap2+=其中SSpcba3433*34342222=+Sp332于是,由定理318/21一些有用不等式nnnnnbbbnaaanbababa21212211*+LLLniiniiniiiyxyx121212)(+=明可夫斯基不等式

11、:设iiniyx),2,1(,=L则knikiknikiknikiiyxyx111111)(+=推广:nnbbbaaa2121,LL锲贝晓夫不等式:当时zyxcbaczbyax3*33+变型:例5所证不等式为魏琴伯克不等式19/21小 结时成立.中等号当且仅当定理1其，则若定理3.121221=niiniiniiibaba定理2其中等号成立充要条件为x=02）当a1时，xxaa+11）（1）当 0a-1,则+21nnxxxL其中等号当且仅当121=nxxxL时成立推论2当且仅当21=nxxxL时成立推论1,1,2,1,021=nixxxnixLL则若,2,1,0=inixL则,其中等号若20/2121/21