2021-2022学年江苏省苏州市昆山市震川高级中学高二（下）期中数学试卷.pdf

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1、2021-2022学年江苏省苏州市昆山市震川高级中学高二（下）期中数学试卷试题数：2 2,总分：1501.（单选题，5分）已知盘产二。仁4,则*的取值为（）A.7B.8C.9D.102.（单选题，5分）已知函数f（x）=ln x+2 x M x,则函数f（x）的图象在x=2处的切线方程为（）A.9x-y-21n2-18=0B.9x+2y-21n2+18=0C.9x+2y-21n218=0D.9x-2y+21n2-18=03.（单选题，5分）某公司为了增加某商品的销售利润，调查了该商品投入的广告费用X（万元）与销售利润Y（万元）的统计数据如表，由表中数据，得线性回归直线1：y=bx+a,则下列结

2、论正确（）A.直线1过 点（2,5）广告费用X（万元）2356销售利润y（万元）57911B.直线1过 点（4,8）C.a0D,变量y和x呈负相关4.（单选题，5分）现有8个人排成一排照相，其中甲、乙、丙3人不能相邻的排法有（）A.维 庵种B.（力，就 朗）种C.Aj 种D.（A l-A t）种5.（单选题，5分）函数f（x）=（x2-x）ex的图象大致是（）6.（单选题，5 分）现有4 人去参加甲、乙两个游戏，约定：每人掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是3 的倍数的人去参加甲游戏，掷出的点数不是3 的倍数的人去参加乙游戏.用X,Y 分别表示这4 人中去参加甲、乙游戏的人数，记 J=|X-Y|

3、,则 P 解=2）=（）7.（单选题，5 分）若函数/（%）=x+在区间G，2）上有两个零点，则常数a 的取值范 围（）1 1A.VQ F）22 2B.l a-+ln22C.la2-ln2D.-a le8.（单选题，5 分）为排查新型冠状病毒肺炎患者，需要进行核酸检测.现有两种检测方式：（1）逐份检测；（2）混合检测：将其中k 份核酸分别取样混合在一起检测，若检测结果为阴性，则这k 份核酸全为阴性，因而这k 份核酸只要检一次就够了，如果检测结果为阳性，为了明确这k 份核酸样本究竟哪几份为阳性，就需要对这k 份核酸再逐份检测，此时，这 k份核酸的检测次数总共为k+1次.假设在接受检测的核酸样本中

4、，每份样本的检测结果是阴性还是阳性都是独立的，并且每份样本是阳性的概率都为p(0 p 3.841)=0.0 5,若根据2 x 2 列联表得到B 的观测值为4.1,则有95%的把握认为两个分类变量有关C.已知由一组样本数据(X”yD(i=l,2,n)得到的回归直线方程为9=4x+20,且；匕 =10，则这组样本数据中一定有(10,60)D.若随机变量X N(H，4),则不论u 取何值，P(n-4 X f(x)sin x,则()A./g)V2/g)B.2/g)V6/g)C.1/g)2 c o s l-/(l)12.(多选题，5 分)甲口袋中有3 个红球，2 个白球和5 个黑球，乙口袋中有3 个红球

5、，3个白球和4 个黑球，先从甲口袋中随机取出一球放入乙口袋，分别以Ai，A2和A3表示由甲口袋取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙口袋中随机取出一球，以B表示由乙口袋取出的球是红球的事件，则下列结论中错误的是（）A.A i，A?,A 3 是两两互斥的事件2B.P（BA2-）=-C.事件A 1 与事件B相互独立D.P（B）=|1 3 .（填空题，5 分）为了监控某种食品的生产包装过程，检验员每天从生产线上随机抽取k（k G N 9 包食品，并测量其质量（单位：g）.根据长期的生产经验，这条生产线正常状态下每包食品质量服从正态分布N （n，J）.假设生产状态正常，记？表示每天抽取的k 包食品中

6、其质量在（n-3 a,p+3 o）之外的包数，若 S 的数学期望E 0.0 2,则 k 的最小值为附：若随机变量X 服从正态分布N （n，0 2）,则 P（n-3 o X n 一 ,当 虻(-8,m 时，f(x)的取值范围为x C（-8,1-1 ,则实数m 的取值范围是1 7 .（问答题，1 0 分）已知（城+/）2 n的展开式的二项式系数和比（3.1）n的展开式的二项式系数和大9 9 2.求（2%-的展开式中，（1）二项式系数最大的项；（2）系数最小的项.1 8 .（问答题，1 2 分）如图，一个正方形花圃被分成5 份.（1）若给这5 个部分种植花，要求相邻两部分种植不同颜色的花，已知现有红

7、、黄、蓝、绿4种颜色不同的花，求有多少种不同的种植方法？（2）若将这5 个部分放入7个不同的盆栽，要求每个部分都有盆栽，问有多少种不同的放法?19.(问答题，12分)已知函数f(x)=(x+1).ex.(1)求函数f(x)的极值：(2)若 f(x)ax2,对任意的x 0 恒成立，求 a 的取值范围.20.(问答题，12分)某化工厂为预测产品的回收率y,需要研究它和原料有效成分含量x 之间的相关关系，现收集了 4 组对照数据.(1)请根据相关系数r 的大小判断回收率y 与x 之间是否存在高度线性相关关系；(精确到小数点后两位)(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程

8、夕=6 x+6,并预X2468y36710测当x=10时回收率y 的值.参考数据：口,力 立 重,=碑驾萼，a=y-b x.J 票 13-目 2.优式的_ Y,i=1Xi-nx|r|10.8 0 时，若方程 h (x)=m (m e R)有两个不相等的实根x x2,证明：h (警)0.2021-2022学年江苏省苏州市昆山市震川高级中学高二(下)期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：2 2,总分：1 5 01.(单选题，5分)已知C*2 =c4,则*的取值为()A.7B.8C.9D.1 0【正确答案】：D【解析】：根据已知条件，结合组合数公式，即可求解.【解答】：解：T C 菰2 =。54,x

9、+2+x-4=1 8 或 x+2=x-4,解得 x=1 0 或无解，故x的取值为1 0.故选：D.【点评】：本题主要考查组合数公式，属于基础题.2.(单选题，5 分)已知函数f (x)=l n x+2x 2-4x,则函数f (x)的图象在x=2 处的切线方程为()A.9x-y-21 n 2-1 8=0B.9x+2y-21 n 2+1 8=0C.9x+2y-21 n 2-1 8=0D.9x-2y+21 n 2-1 8=0【正确答案】：D【解析】：对函数f (x)求导，由导数的几何意义可得所求切线的斜率，再根据f (2)=l n 2及点斜式方程即可得解.【解答】：解：f M=+4x -4,则(2)

10、=+8-4 =1，函数f (x)的图象在x=2 处的切线的斜率为1又 f（2）=ln2+2x22-8=ln2,;由直线的点斜式方程可得y-仇2=久 -2）,即9x-2y+21n2-18=0.故选：D.【点评】：本题主要考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，考查运算求解能力，属于基础题.3.（单选题，5分）某公司为了增加某商品的销售利润，调查了该商品投入的广告费用X（万元）与销售利润丫（万元）的统计数据如表，由表中数据，得线性回归直线Z：y=bx+a,则下列结论正确（）A.直线1过 点（2,5）B.直线1过 点（4,8）广告费用X（万元）2356销售利润y（万元）57911C.a 0,即可判断；

11、对于D：由5=1.40判断正相关.【解答】：解：由表中数据计算元=1 2+3+5+6）=4,9=（5+7+9+11）=8,所以线性回归直线经过样本中心点（4,8）,所以B正确；又 27=1（阳-土）（7i y）=（2）X（3）+（1）x（1）+1 x 1 4-2 x 3 =14,匕（阳一 x）2=（一2/+（-1）2+12+22=1 0,所以（=0,e x 0,则有f (x)0,函数图像在x轴上方，排除C,同理：在区间(0,1)上，有 f (x)0,函数图像在x 轴上方，排除A,f (x)=(x2+x-l)ex,令 F (x)=0,即 x 2+x-l=0,解可得*=三 遗 或 三 遗，在区间(

12、-0 0,三 芝)上，f (x)0,函数f (x)为增函数，在 区 间(三 包，三 匹)上，f (x)0,函数f (x)为增函数，排除D,故选：B.【点评】：本题考查函数图象的分析，涉及函数单调性、特殊值的分析，属于基础题.6.(单选题，5 分)现有4 人去参加甲、乙两个游戏，约定：每人掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是3的倍数的人去参加甲游戏，掷出的点数不是3的倍数的人去参加乙游戏.用X,Y分别表示这4人中去参加甲、乙游戏的人数，记 =|X-Y|,则 P (彳=2)=()【正确答案】：A【解析】：根据己知条件，结合二项分布的概率公式，即可求解.【解答】：解：这 4人中，每人去参加甲游戏的概率

13、为去参加乙游戏的概率为|,设 这4人中恰有i 人去参加甲游戏”为事件A (i=0,1,2,3),则P(4)=以 窗(|广，P g)=P(%)+P 0)=C“J(|y+盘(丁(|)】=黑故选：A.【点评】：本题主要考查二项分布的概率公式，属于基础题.7.(单选题，5分)若函数/a)=1 n x+：a 在区间G，2)上有两个零点，则常数a 的取值范 围()A.-a +ln22 2B.K a -+l n 22C.l a 2-l n 2iD.-a g(2),作出函数g(x)的草图及直线y=a 的图由图象可知，满足题意的实数a 的取值范围为(1,j +/n 2).故选：B.【点评】：本题考查函数零点与方

14、程根的关系，考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值,考查数形结合思想，属于中档题.8.(单选题，5分)为排查新型冠状病毒肺炎患者，需要进行核酸检测.现有两种检测方式：(1)逐份检测；(2)混合检测：将其中k份核酸分别取样混合在一起检测，若检测结果为阴性，则这k份核酸全为阴性，因而这k份核酸只要检一次就够了，如果检测结果为阳性，为了明确这k份核酸样本究竟哪几份为阳性，就需要对这k份核酸再逐份检测，此时，这 k份核酸的检测次数总共为k+1 次.假设在接受检测的核酸样本中，每份样本的检测结果是阴性还是阳性都是独立的，并且每份样本是阳性的概率都为p (0 p l),若 k=5,运用概率统计的知识判断

15、下面哪个p值能使得混合检测方式优于逐份检测方式.(参考数据：l o gs0.7 2 4-0.2)()A.0.7B.0.2C.0.4D.0.5【正确答案】：B【解析】：分别求出两种检测的期望值，再结合对数函数的公式比较二者的大小，即可求解.【解答】：解：设混合检测方式，样本需要检测的总次数Y可能取值为1,6,P(Y=l)=(1-p)5,p (Y=6)=1-(1-p)5,所以 E (Y)=l x (1-p)s+6 x l-(1-p)5 =6-5 x (1-p)5,设逐份检测，样本需要检测的总次数X,则 E (X)=5,若混合检测方式优于逐份检测方式，需 E (Y)E (X),即 6-5 x (1-

16、p)s r即 1-p 5-0-2,l o g 5 0.7 2 4-0.2,1 -p 5Z o0-7 2 4=0,7 2 4 ,0 p 3.841)=0.0知 若根据2X2列联表得到K2的观测值为4.1,则有95%的把握认为两个分类变量有关C.已知由一组样本数据(x“yD(i=l,2,，n)得到的回归直线方程为夕=4x+20,且；2 仁1=10，则这组样本数据中一定有(10,60)D.若随机变量X N(山 4),则不论“取何值，P(n-4X n+6)为定值【正确答案】：ABD【解析】：A.在回归分析中，利用相关指数R2的大小，即可判断出正误；B.根据P(e 3 3.841)=0.05,根据2 x

17、 2 列联表得到 的观测值为4.1,即可判断出结论;C.根据回归直线方程为夕=4 x+2 0,由5=1 0,得到夕=60是一个估计值，即可判断出结论；D.若随机变量X N(山 4),x=黑为对称轴，P(n-4 X +6)与 p 取值无关，即可判断出结论.【解答】：解：A.在回归分析中，相关指数R2越大，说明回归效果越好，正确；B.由P(K2Z3.841)=0.05,根据2 x 2 列联表得到K?的观测值为4.1,则有95%的把握认为两个分类变量有关，正确；C.根据回归直线方程为夕=4 久+2 0,由元=1 0,得到夕=60是一个估计值，因此这组样本数据中不一定有(10,6 0),因此不正确；D

18、.若随机变量X N(p,4),x=n为对称轴，则不论u 取何值，P(p-4 X f(x)sin x,则()A./g)V 2/g)B.2/g)V 6/g)C.1/g)2 c o s l-/(l)【正确答案】：ABD【解析】：由已知不等式考虑构造函数g(x)=f(x)cosx,并对其求导，结合导数分析出函数单调性，利用单调性检验各选项即可判断.【解答】：解：令 g(x)=f(x)cosx,因为 x (0,时，。(x)cosxf(x)sinx,贝 ij g(x)=f(x)cosx-f(x)sinx0,所以g(x)在(0,1)上单调递增，所以g g(9，即“)曲(9，所以f(三)V 2f(7)，A 正

19、确；3 4因为g(g(，即 日 花)当 黑)，化简得2f(-)V6f(-),B 正确；4 6因为g(2)g(1)，即(?)coslf(1),6 2 6所以工 f(-)g(1),gp|f()f(1)cosl.所以 f(g)2f(1)cosl,D 正确.故选：A B D.【点评】：本题主要考查了导数与单调性关系的应用，属于中档题.1 2.(多选题，5分)甲口袋中有3个红球，2个白球和5个黑球，乙口袋中有3个红球，3个白球和4个黑球，先从甲口袋中随机取出一球放入乙口袋，分别以A i，A 2 和A 3 表示由甲口袋取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙口袋中随机取出一球，以B表示由乙口袋取出的球是红

20、球的事件，则下列结论中错误的是()A.Ai，Az，A3是两两互斥的事件-2C.事件A1与事件B相互独立D.P(B)=|【正确答案】：C D【解析】：根据已知条件，结合互斥事件的概念和条件概率公式，即可求解.【解答】：解：由题意得可知A1，A?,A3是两两互斥的事件，故A 正确；2 2 1 1VP(A l)=b，P(A2)=|,P(A3)=：,.p(B|A2)=需=苧=1，故 B 正确；P(B)=P(BAi)+P(BA2)+P(BA3)=X+-X 4-ix=,11 10 5 11 2 11 10P(B|Ai)彳 P(B),事件A,与事件B不独立，故 C、D错误；故选：C D.【点评】：本题考查了

21、独立事件、互斥事件及对立事件的判断与概率的计算，属于基础题.1 3.(填空题，5分)为了监控某种食品的生产包装过程，检验员每天从生产线上随机抽取k(k G N O 包食品，并测量其质量(单位：g).根据长期的生产经验，这条生产线正常状态下每包食品质量服从正态分布N(口，J).假设生产状态正常，记孑表示每天抽取的k包食品中其质量在(U-3。，n+3 a)之外的包数，若 E 的数学期望E (，)0.0 2,则 k的最小值为附：若随机变量X服从正态分布N(n，制)，则 p (R-3 a X n+3 o)a 0.9973.【正确答案】：1 8【解析】：由特殊区间的概率得(止3。，n+3o)之外的概率P

22、=0.0027,根据fB(k,0.0027)及二项分布的期望公式求k 的最小值.【解答】：解：质量在(p-3o,|i+3o)之外的概率为1-P(-3oX0,02,则k 黑？笈7.4,又keN*,故最小k=8.故答案为：8.【点评】：本题考查了二项分布的期望公式，属于基础题.14.(填空题，5 分)已知函数f(x)=ex+ae”在 0,1 上不单调，则实数a 的取值范围为【正确答案】：1 (1,e2)【解析】：由题意可得，(%)=/一*=0 在 0,1 上有变号零点，分离参数后，结合函数的单调性即可求解.【解答】：解：由题意可得，/(%)=/-2=0 在 0,1 上有变号零点，故 a=e2x在

23、0,1 上有变号零点，因为 y=e?x 在 0,1 上单调，e2xG l,e2,故 l(|-p)c 7 11 7=(2p-)2xp+(2p-)2x-+(-+2p)2x(-p)3 3 3 3 3,.o 20,2 5、,z.o 8,4、1,z.o.4,1、z 2、=(4p2-p+)xp+(4p2-p+-)x-+(4p24-p+-)x(-p)3 y O O O 3 z O2 0 25,4 9 8,4,8 o,8,2.4.1=4p3.-,p2+p+-p2-p+-p2+-P+4p3-p2-p,9,8,2=-4p2+-p+-,8由二次函数的性质知，当P=-TI=；时，2x(-4)3D(0 有最大值；故答案

24、为：；|.【点评】：本题考查了离散型随机变量的数学期望与方差及函数最值问题，属于中档题.X 6X X2 2.X(X V 1)_ _ z、八一，当 x(-00,m时，f(x)的2 x-3(x l)取值范围为xe(-00,1-1 ,则实数m 的取值范围是e【正确答案】：1-1,2-/【解析】：当x S l时，求得f(x)的导数和单调性、极值，画出f(x)的图象，求得2x-3=1 的x 的值，结合图象和条件可得m 的范围.e【解答】：解:当xW l时,f(x)=xex x2 2x的导数为 F(x)=(x+1)(ex-2),当 14xMn2 时,f(x)ln2 或 xV l 时，f(x)0,f(x)递

25、增，x=-l处 f(x)取得极大值l-ix=ln 2 处取得极小值-山 22,e作出y=f(x)的图象，当 XC(-co,m时，f(x)的取值范围为 XC(-co,1-i,由2x 3=l-，可 得x=2e可得2e故答案为：-1,2-；.2e【点评】：本题考查分段函数的图象和性质，注意运用导数判断单调性和极值，考查数形结合思想方法和运算能力，属于中档题.1 7.（问答题，10分）已知（证+%2）2n的展开式的二项式 系 数 和 比（3X-1）n的展开式的二项式系数和大9 9 2.求 卜%2n的展开式中,（1）二项式系数最大的项;（2）系数最小的项.【正确答案】：【解析】：（1）首先利用展开式的应

26、用求出n的值，进一步求出二项式系数的最大项；（2）利用系数的绝对值的最大项求出结果.【解答】：解：（1）已知（版+/）2r l的展开式的二项式系数和为22%（3x-l）n的展开式的二项式系数和为2n,故：22n-2n=9 9 2,解得 2n=32,故 n=5.（2x-1）1 0的二项式系数的最大项为味）（2x）5（-05=-8064.设系数的绝对值最大的项为第r+1项;所以.21 0-rCr-l,2l l-r.21 0-r C1 2 9 T 解得故 r=3.3故系数最小的项为岛（2x）7=一15360/.【点评】：本题考查的知识要点：二项展开式的应用，组合数的应用，主要考查学生的运算能力和数学

27、思维能力，属于中档题.1 8.（问答题，1 2分）如图，一个正方形花圃被分成5份.（1）若给这5个部分种植花，要求相邻两部分种植不同颜色的花，已知现有红、黄、蓝、绿4种颜色不同的花，求有多少种不同的种植方法？（2）若将这5个部分放入7个不同的盆栽，要求每个部分都有盆栽，问有多少种不同的放法?CDE【正确答案】：【解析】：（1）先对A部分种植，再对B部分种植，对C部分种植按与B相同及与B不同两种情况进行分类；（2）先将7个盆栽分成5组，有2种分法，分好后再全排列即可.【解答】：解：（1）先对A部分种植，有4种不同的种植方法；再对B部分种植，有3种不同的种植方法；对C部分种植进行分类：若 与B相同

28、，D有2种不同的种植方法，E有2种不同的种植方法，共有4x3x1x2x2=48（种）；若 与B不同，C有2种不同的种植方法，D有1种不同的种植方法，E有2种不同的种植方法,共有 4x3x2x1x2=48（种）；综上所述，共有9 6种种植方法；（2）将7个盆栽分成5组，有2种分法：若分成2-2-1-1-1 的5组，有 等 种 分 法；若分成3-1-1-1-1 的 5组，有 0 种分法；将分好的5组全排列，对应5个部分，则一共有(等+湍=1 6 8 0 0 种分法.【点评】：本题考查两个计数原理及排列组合的综合运用，考查逻辑推理能力及运算求解能力,属于基础题.1 9.(问答题，1 2分)已知函数f

29、(x)=(x+1)ex.(1)求函数f(x)的极值；(2)若 f(x)a x 2,对任意的x 0 恒成立，求 a的取值范围.【正确答案】：【解析】：(1)求出函数的导函数，即可得到函数的单调区间，从而求出函数的极值；(2)依题意可得(x+1)-e a x 2,对任意的x 0 恒成立，参变分离可得a W经 当，对任意的x 0 恒成立，令g(x)=三，x e (0,+o o),利用导数说明函数的单调性，即可求出g (x)m i n，即可得解.【解答】：解：(1)因为f (x)=(x+1)-e x 定义域为R,所以f (x)=(x+2)e x,当 x -2 时 F (x)0,当 x -2 时 F (

30、x)a x 2,对任意的x 0 恒成立，即(x+1)-ex a x2,对任意的x 0 恒成立,所以a W 普 丝，对任意的x 0 恒成立，令 g(x)=,x e (0,+0 0),则 g(x)=,所以当 时，g (x)0,当 0 x(夜 时 g (x)0.8 0.8 ,粗匕3 y产 讯 泌-加V 5。所 以X与y高度线性相关.（2）根 据 最 小 二 乘 法 方=*母 二 等=1.1,3=1,Li=lxt-nx 20所以回归方程为9=1.1%+1,当 x=10 时，9=1.1x10+1=12.【点评】：本题主要考查了线性回归方程的求解，需要学生熟练掌握最小二乘法公式，属于基础题.2 1.（问答

31、题，12分）为了解昆山震川高级中学中学高二年级学生身视力情况，对高二年级（1）班-（8）班进行了抽测，采取如下方式抽样：每班随机各抽10名学生进行视力监测.经统计，每 班 1 0 名学生中视力监测成绩达到优秀的人数散点图如表：（x 轴表示对应的班号,y 轴表示对应的优秀人数）班号12345678人数86947598（1）若用散点图预测高二年级学生视力情况，从高二年级学生中任意抽测1 人，求该生视力监测成绩达到优秀的概率；（2）若从以上统计的高二（2）班的10名学生中按分层抽样抽出5 人，再从5 人中任取2人，设X 表示2 人中视力监测成绩达到优秀的人数，求X 的分布列及其数学期望；（3）假设每

32、个班学生视力优秀的概率与该班随机抽到的10名学生的视力优秀率相等.现在从每班中分别随机抽取1 名同学，用“8=1”表示第k 班抽到的这名同学视力优秀，&=0”表示第 k 班抽到的这名同学视力不是优秀（k=l,2,，8）.写出方差D（日），D（灯），D（彳 3）,D（&）的大小关系.【正确答案】：【解析】：（1）根据散点图可求得抽取的80人中，视力监测成绩达到优秀的人数，由古典概型概率公式可得结果；（2）首先可确定X 所有可能的取值，根据超几何分布概率公式可求得每个取值对应的概率，由此可得分布列；根据数学期望计算公式可求得期望；（3）由两点分布方差计算公式可求得D（国），D（灯），D（&）,D（

33、&）的值，由此可得大小关系.【解答】：解：（1）抽取的80人中，视力监测成绩达至U 优秀有8+6+9+4+7+5+9+8=56人，.从高二年级学生中任意抽测1 人，该生视力监测成绩达到优秀的概率p=期=；80 10(2)由散点图可知：高 二(2)班的1 0 名学生中，视力监测成绩达到优秀的人数为6 人，按分层抽样，所抽5 人，有 3 人视力监测成绩达到优秀，2 人视力监测成绩没有达到优秀，记从5 人任抽2 人，设 X 表示2 人中视力监测成绩达到优秀的人数，则 X 中能值为0,1,2,.X所有可能的取值为0,1,2,.P(X=0)=q=工，P(X=1)=琴=?,P(X=2)=4=巨，7 Cf

34、10 k，第 5 1 7 Cl 10则X 的分布列为X12P1W353WE(X)O x-F ix F 2 X=；10 5 io s由散点图知：P&=l)=g,P g =0)=卷=g,.)=g x 2=,。&=1)=卷=|，P2=0)=1.-.D2)=|X1=A,P&3=1)=V，P&3=0)=春,二。&3)=磊,P(4=1)=悌=|，P&=。)=4=|，D&)=9 XI=袅 .D (&)=D (5)D(E i)D (&).【点评】：本题考查了离散型随机变量的分布列与期望，属于中档题.2 2.(问答题，12 分)设函数 f(x)=-a2lnx+x2-ax(aG R).(1)试讨论函数f(x)的单

35、调性；(2)设 隼(x)=2x+(a2-a)In x,记 h(x)=f(x)+0 时，若方程 h(x)=m(m eR)有两个不相等的实根xi,X 2,证明：h(中)0.【正确答案】：【解析】：(1)求导后转化为含参的函数，讨论单调性的实质就是解含参的不等式，借助分子函数的图象，完成讨论.(2)先利用函数h，(x)将常数0 函数化，再利用h，(x)的单调性去掉函数符号法则h，然后利用已知条件将a 替换，这样待证明结论就只含有xi，x2,将其简化后，作差构造函数证明即可.这个题目的思路够繁杂的.【解答】：解：(1)定义域为(0,+0 0),2x2-a x-a2(x-a)(x+)zf(Xz)=-2x

36、-a=-=-.-;x X X令 F (x)=0,则得到导函数的两个零点，x=a 或x =与，由于分母为正，故我们只关注分子函数g(x)=2(x a)(x +f),其为二次函数，借助其图象,以两个零点的大小关系为分类标准得到如下:当Q 时，即a 0 时，当x (0,a)时，f (x)0,f (x)单调递增；当 a =|时，即a=0 时，g(x)0 恒成立，即F (x)0 恒成立，故 f(x)在(0,+o o)上单调递增；当QV /时，即a0 时，当入(0,)时，F(X)0,f (x)单调递增；综上所述，当a0 时，f (x)的单减区间为(0,a),单增区间为(a,+o o)；当a=0 时，f (

37、x)只有单增区间(0,+8)；当a 0),所以(%)=2%+2 _ a _ 巴=2/+(2-a)x-a =(2x-a)(x+l)x X X又a 0,由上式可知，(1)=0.故欲证结论等价转化为(岩)0=)，又 (x)=2+爰 0 ,故函数h (x)单调递增，故只需证明：牛5，设x i，X 2是方程h (x)=m的两个不等实根，不妨设为0 x i 方后一号在川鲁-,2 2x1-x2+lnxr-lnx2)即 x1+x2xl-X22X1-2X2x1-x2+Znx1-Znx2，由于 x X 2+l n x i-l n x 2V 0,转化为(%i +X2)(xl -%2+仇%1 工2)好%2+2%i 2

38、X2，即 lnxr lnx2 :2m-2,即加包V ，s s+1 t =c（O,1）,则上述式子转化为mt 雷（t e（O,1）设 R（t）=/n-M，则 R （t）=当且仅当t=l 时等号成立，故 R （t）在（0,1）上单调递增，故有R （t）R （1）=0,t e（0,1）故 2：+；（t 6（0,I）得证，从而（空）0得证.【点评】：（1）第一问单调性的判断中，只要用好分子函数（二次含参函数）的图象，一般都能顺利求解；（2）第二问的解答分为这样几个层次，第一利用函数h，（x）,将常数0 函数化为但），这样就能利用h，（x）的单调性脱掉符号h，（其中函数h，（x）的单调性可以利用二阶导为正得到）；第二个层次，利用方程的两个不同实根，得到参数a,并代换，这样待证结论就只有两个未知数X i，X 2；第三个层次是将待证结论做适当的变形后，将两个变量集中为一个一个变量 3 最后作差构造函数证明.