2021-2022学年江苏省常州市武进高级中学高二（上）检测数学试卷（附答案详解）.pdf

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1、2021-2022学年江苏省常州市武进高级中学高二（上）检测数学试卷一、单选题(本大题共8 小题，共 40.()分)1.满足M =%,a2,a3,a4,且M C l%,a2,a3 =%,a2 的集合M 的 个 数 是()A.1 B.2 C.3 D.42.函数/(x)=l o g 3x +x-3 的零点所在的区间是()A.(0,2)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)3.命 题“I r W R,(a-2)/+2 9 -2)无一42 0”是假命题，则实数a的取值范围是()A.(00,2 B.(2,24 .已知l o g 8 9=a,l o g25 =b,则Z g 3=(A R -b-l 2(

2、h-i)5 .已知函数丫=/。+1)定义域是-2,3,A.0,5 B.-1,4 6 .已知|砧=1,=2,1与就夹角为或那么|4 五一弓|等于()A.2 B.6 C.2V 3 D.127 .函数/(%)=35 讥；8 5 1+优。5 2久工6/?)的最大值等于()A.5 B.；C.|D.28 .设正实数X,y,Z 满 足-3x y +4 y 2 一 z=0,则当子取得最大值时，+最 大 值 是()QA.0 B.1 C.7 D.34C.(-2,2)D.(8,2)r3a n 3(a-l)2(6+1)U-2b则y =/。一 1)的定义域是()C.r-3.21 D.f-2.31二、多 选 题（本大题共

3、4 小题，共 20.0分）9.下面命题正确的是（）A.“a 1”是*1”的充分不必要条件B.命 题“若久 1,则/1”的否定是“存在X 2且y 2”是+y 2 4”的必要而不充分条件D.设a,b&R,则“a*0”是“ab H 0 的必要不充分条件10.已知不等式3V s in 2co s +V 6 co s2-m 1,则y =2x +止 1的最小值为4痘+1C.若正数、y满足+2y =3x y,则2%+y的最小值为3D.设、y为实数，若9/+y 2+=1,则3x +y的最大值为qi12.设y =/(%)是定义在R上的偶函数，满足/(%+1)=-/(%),且在-1,0上是增函数,给出下列关于函数

4、y =f(x)的判断正确的是()A.y =/(%)是周期为2的函数B.y =/(%)的图象关于直线=1对称C.y =/(%)在 0,1上是增函数D.展)=0.三、单空题(本大题共5小题，共32.0分)13.已知全集U =x|x取不大于20的质数,4、B是U的两个子集，且An(Cu B)=3,5 ,(C(M)n B=7,19,(Q4)n (QB)=2,17 ,则集合4 =,B=.14 .已知3csx-snx _ i 贝 人 也?3sinxcosx 2COS2X=_.3cosx+sinx 5i 415 .已知x,y为正数，且 示+1=1,则x+y的 最 小 值 为.16 .下列说法中正确的是：.函

5、数y =x 4的定义域是|X力0);方程/+(a-3)x +a=0的有一个正实根，一个负实根，则a 0,且a 于 1)恒过定点(3,-2)；若3+3=2 a,则3 3-，的值为2.第 2 页，共 18页17.已知函数f(x)=翳 是 定 义 在(一 1,1)上的奇函数，且/(=|(1)确定函数/(x)的解析式.(2)用定义证明/Q)在(一1,1)上是增函数.(3)解不等式f(t-l)+/(t)0.四、解答题(本大题共5 小题，共 58.0分)18.己知集合A=xm-1%m2 4-1),B=xx2 0,3 0,画 )的图象经过点P(-/-l),图象上与点P最近的一个最高点是Q(l).O(1)求函

6、数f(x)的最小正周期和其图象对称中心的坐标；(2)先将函数f(x)的图象向左平移卷个单位长度，得到函数g(x)的图象，求函数y=g(x)在x e 0,号 上的单调递增区间.2 1 .习近平总书记指出：“绿水青山就是金山银山”.某市一乡镇响应号召，因地制宜地将该镇打造成“生态水果特色小镇”.调研过程中发现：某珍稀水果树的单株产量卬(f 5(x2+2),0 x 2单位：的)与肥料费用1 0 双单位：元)满足如下关系：1 4/(%)=_ v ，I I O (乙 0 的解集是(一8,-2)1)(-3+8),求实数a,b 的值；(2)若a =-2,b=0,函数F(x)=/(x)kx,x G 0,2,不

7、等式|F(x)|0；函数是连续函数，/(2)=log32 +2-3 0,.1.f (2)/(3)0,根据函数的零点的判定定理，故选：C.求出函数的定义域，判断连续性，求得/(2)(3)0 是假命题，第6页，共18页则命题“VG R.(a-2)x2+2(a-2)x-4 0”是真命题,故a-2=0,或 小-2)2+16(a-2)此时 X=2y,:.z=x2 3xy+4y2=(2y)2 3 x 2y x y+4y2=2y2,第8页，共18页二：+;一 ：=jj _ a=_ g _ 1)2 +1 l时，：1,充分性成立，：1时.，有al,必要性不成立，是充分不必要条件，所以A 正确；对于B,命 题“任

8、意x 1,则/1”的否定是“存在久4,充分性成立，/+y224时，不能得出x 22且y 2 2,必要性不成立，是充分不必要条件，所以C错误；对于。，设a,b e/?,arO时，不能得出ab#O,充分性不成立；“a b 羊0”时，得出arO,必要性成立，是必要不充分条件，所以。正确.故选：ABD.分别判断充分性与必要性，即可得出选项4 C。是否正确；根据全称量词命题的否定是存在量词命题，判断选项B 是否正确.本题考查了命题真假的判断问题，也考查了充分条件与必要条件的判断问题，是基础题.1 0 .【答案】CD【解析】解：因为3 V s i n 工 c o s 工+V c o s?土一在4 4 4

9、23V2.X,V6.%、近 3V2.X.V6 X.产 几、=s i n -H(1 +c o s-)-=s i n -H c o s -=V 6 s i n(-+一)，2 22、2/22 222 k2 6y又因为 e 所以|+._?,J所以述 S i n(|+$E -W,g ,由题意可知m 3 V 2 s i n-c o s-4-遍 c o s?2 渔恒成立，4 4 4 2只需T H A/3，故选：CD.利用正余弦的倍角公式以及辅助角公式化简关系式3 2 s in；c os：+V 6 c os2?-当，然后根据 的范围求出关系式的范围，再由题意即可求解.本题考查了三角函数的恒等变换，涉及到恒成立

10、问题，考查了学生的运算求解能力，属于基础题.11.【答案】BCD【解析】解：对于a 选项，当x。时，、=子1时，%-1 0,则y =2 x+/-1 =2(x-1)+1 2 2 J 2(x-1)-+1 =4/+1.当且仅当x=&+l时，等号成立，故 8选项正确，对于C 选项，若正数、y 满足x+2 y =3%y,则3 =等三+/2%+=式 2%+/+=久 5 +乡 川(5 +2 后 择)=3,当且仅当x=y=l时，等号成立，故 C选项正确，对于D 选项，1 =9 x2 4-y2+xy =(9 x2 4-6xy 4-y2)5xy=(3x+y)2|3 x-y (3 x+y)2-W =V(3 x+y)

11、2,所以(3 x+y)2w,可 得 一 竽 3 +丫 +1)=f(x),所以/(%)=-/(%+1),而f(%)=-/(X -1)，所以/(%-1)=+1),即f(x)=/(%+2),所以可得函数的周期T =2,所以A正第10页，共18页确，因为/(%)=/()，所以/(X)=f(x+2)，所以对称轴x=?手 上=1,即关于x=l对称，所以8 正确；由函数f(x)为偶函数关于y轴对称，又 在 上 是 增 函 数，所以在 0,1 上单调递减，故 C 不正确；因为f(X+i)=-/(X),令 =-:可得/(=一/(一可得 f G)=-/(，所以=0,所以D 正确，故选：ABD.由y=f(x)是定义

12、在R上的偶函数，满足f(x+l)=/(x),且在 一 1,0 上是增函数，可得f(x)=/(%+2),求出周期,因为/(%)=f(x),所以f(x)=f(x +2),可得久=1是对称轴及在 0,1 上单调递减，因为/(x+1)=-f,令x=1可得/(=/(一可得 居)=-7 分 所以爬)=0,故选出答案.本题考查函数的奇偶性及单调性和周期性的综合，属于中档题.13.【答案】3,5,11,13(7,11,13,19【解析】解：.全集U=x|x取不大于20的质数=2,3,5,7,11,13,17,19),A n(CyB)=3,5,(C M Cl B=7,19，(C/)n(QB)=2,17,由韦恩图

13、可知A=3,5,11,13,B=7,11,13,19).故答案为：3,5,11,13)；7,11,13,19).画出韦恩图，即可直接求出集合4和B.本题考查利用集合的运算表示韦恩图中的集合、考查利用交集、补集的定义求集合的交集、补集.1 4.答案 1 -【解析】解：因为3cosx-sinx3cosx+sinx3-tanx _ 13+tanx 5解得 te r n%=2,所以 s iM%3sinxcosx 2cos2x=sn2x-3sinxcosx-2cos2x _ tan2x-3tanx-2 _ 22-3x2-2sin2x+cos2x tan2x+l 22+l4-S0故答案为:4-5利用同角三

14、角函数基本关系式化简已知等式可得ta nx的值，进而利用同角三角函数基本关系式化简所求即可求解.本题主要考查了同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题.1 5.【答案】7【解析】解：因为 +(=1,则x+y =2 +x+y -2 =(2 +x)+y(+；)-2 =3+M+2 3 +4 =7.故答案为：7由已知可得，x+y =2 +x+y-2 =(2 +x)+y(史+：)-2,展开后利用基本不等式可求.本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，属于基础题.1 6.【答案】【解析】解：函数y =的定义域是 x|x 0 ，故错误；方 程+(Q -3)%+Q =0的有一个正实根%1，

15、一个负实根%2，则=Q V 0，故正确；函数y =f(x)=恒3在 定 义 域 上 满 足f(-x)=-f(x)恒成立，为奇函数，故正确；函数y =l oga(2 x-5)-2,(a 0,且a 片 1)令2 x-5 =1,即x=3,则y =-2,故函数图象恒过定点(3,2),故正确；若3 +3-=2&，(3 +3-*)2 =3 2工 +3-2工 +2 =8,则3 2方 +3菖 =6,(3Z-第12页，共18页3-)2 =32X+3-2x-2 =4,则3 工-3 r 的值为2.故错误；故正确的说法有：，故答案为：根据帚函数的图象和性质，可判断；根据韦达定理，可判断；根据奇函数的定义,可判断；根据

16、对数函数的图象和性质，可判断；利用平方法，计算3 丫-3-丫的值,可判断.本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了函数的图象和性质，难度中档.1 7.【答案】(1)解：函数/(=舞 是 定 义 在(一1,1)上的奇函数，则/(0)=0,即有b =0,且肥)则去=4 解得，a =l,N ，1+34则函数/(X)的解析式：/(%)=急(-1 工 1)；(2)证明：设任取m,n,使得一l mnl,则fS1)-f(n)=浸 一 彘？=?吧1 由于一则 n i n 0,m n 0,(l+mz)(l+nz)(l+?n2)(l+n2)0,则有f(m)-/(n)0,即f (m)f (n)则/(%)在(一1,1

17、)上是增函数；(3)解：由于奇函数%)在(一1,1)上是增函数，则不等式f (t-1)+/(t)0 即为f(t-1)-/(t)=/(-t),(-1 t-1 1 f0 t 2即有,解得(t-1 -t t -则有0t：,即t的取值范围为(0,手.【解析】【分析】(1)由奇函数得/(0)=0,求得b,再由已知，得到方程，解出a,即可得到解析式；(2)运用单调性的定义，注意作差、变形和定符号、下结论几个步骤；(3)运用奇偶性和单调性，得 到 不 等 式-1)+/(t)。即为f(t-1)-/(t)=得到不等式组，解出即可.本题考查函数的解析式的求法和单调性的证明和运用，奇偶性及解不等式组，考查运算能力，

18、属于中档题.【解答】(1)解：函数/(x)=鬻 是 定 义 在(1,1)上的奇函数，则/(0)=0,即有b=0,且居)=|，则 玉=|，解得，a=L4则函数f(%)的解析式：/(X)=7 (-1 X 1)；(2)证明：设任取m,n,使得一lV z n V 九V 1,则/(加)一/(九)=一=2 n女；由于一 lV m V 九 V I,则 zn nV O,mn 0,(1+m2)(l+n2)0,则有/(m)f(n)0,即/(m)f(n)则/(X)在(-1,1)上是增函数；(3)解：由于奇函数/(X)在 上 是 增 函 数，则 不 等 式-1)+/(t)0即为/(t-1)-/(C)=(-1 t-1

19、1 CO t 2BPW-1 t 1,解得(t-1 -t t -则有。t p即t 的取值范围为(0,.18.【答案】解：(1)当m=2时，4=x|l x 5,B=xx2 4=x|-2 x 2,a U B=%|-2%V 5,A C B=xl x 2；(2)“X e 4”是“X e B”成立的充分不必要条件，当4=0时，即m-1 3+1时，此时m无解，4。0,(X W z2解得一 16故实数m 的取值范围为zn|-1 W巾 S 1.【解析】本题考查交集及其运算，并集及其运算，必要条件、充分条件与充要条件的判断，属于基础题.第 14页，共 18页(1)根据交集和并集的定义即可求出；(2)由x e 4

20、是X6B成立的充分不必要条件，可 得 进 而 得 出 实 数 m的取值范围.1 9.【答案】解:设 t=3 L X e 0,2 ,则1 W 1 1 3 2,即1 W t W 9,即t的最大值为9,最小值为1;(2)设t=3 L x G 0,2 ,则 1 t 9,函数/(x)转化为y=户 -2 t+4 =(t-1)2 +3,1 t 0,3 0,画 =故/=2 s 讥(2%+勺 1.o Z o o故它的最小正周期为=兀，令2X+?=/O T,k e z,求得x =3-j k&z,2 o 2 12可得函数/(x)的对称中心为(早一/一1),k&z.(2)将函数f (%)的图象向左平移盘个单位长度，得

21、到函数g(x)=2sin(2x+；)-1 的图象,令2 上 兀 2-2 x +g W 2/O T+/，k Z,求得/o t x krt+k&Z,可得函数的增区间为 而 一居，而+与k&Z.结合X e O.y,可得函数在X e 0,中 上的单调递增区间为0,勺，塔，拳.【解析】(1)由顶点坐标求出4由周期求出3,由五点作图求出w，可得函数的解析式，从而函数久)的最小正周期和其图象对称中心的坐标.(2)由题意，利用函数y=4s讥(3X+9)的图象变换规律，正弦函数的单调性，得出结论.本题主要考查由函数y=Asin(3x+0)的部分图象求函数的解析式，由顶点坐标求出4,由周期求出3,由五点作图求出处

22、 还考查了函数y=4sin(3x+9)的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，属于中档题.21.【答案】解：(1)由题意可得，当0 x 2时，f(x)=10 x 5(x2+2)-20 x 10 x=5 0/30%+100,当2 x W 5时，f M =10 x-3 0 x =-30 x,/1+x 1+x(50 x2 30 x 4-100,0 x 2故/(%)的函数解析式为f (%)=(竺上_ an?.(o U X f/X 31 1+x(2)由可得,当0 W x S 2时，/(x)=50 x2-3Ox+100=50(%-)2+詈，/(乃在0扁 上 单 调 递 减，在 舄,2上单调递增,且f(0)=

23、100 /(2)=240,故/=/(2)=240,当2 x W 5时，/(%)=匿-30 x=510-30 工 +(1+%)510-30 X 2 xJ工(1 +x)=2 7 0,当且仅当祟=1+x,即x=3时等号成立，f Mm ax=/(3)=270,240 270,二 当x=3时，/(x)的最大值为270,故当投入的肥料费用为30元时，该单株水果树获得的利润最大，最大利润是270元.【解析】(1)根据题意，当0 4%4 2时，/(x)=10 x 5(/+2)_ 2Ox-10%=50 x2-30 x+1 0 0,当2 0 的解集是(一8,-2)U (一？+8),所以一2,一2 为方程/+a x

24、 +b =O 的两个根，a =-2-所以由根与系数的关系可得|一“一一 一 1，解得a=j,b=l.(b =(-2)x(一 2(2)若a =-2,b=0,则/(x)=x2 2%,F(x)=f(x)f c x =%2 (2 +|F(x)|1,即一1 x2 (2 4-k)x 1,又由x 0,2 ,当x =0 时，符合题意；当0%4 2 时，原不等式等价于-：-2vkx+：-2,必有(工 一 -2)max f c 2 lx-2 =0,当且仅当=1 时等号成立，即h(%)m i n =X X0,必有一：k 0所以/(2)=4+2 a +b 01-0所以/(l)o4+2 a +f(1)1 a 0 4 V

25、 a V 22 4(/(1)1 t z)0由f(l)a 3 1,由 4(/(1)a 1)0 得4/(1)(a +2)2 4,得/(l)1,综上所述，一1 V /(l)1.所以/(l)的取值范围是(一 1,1).【解析】(1)把问题转化为一元二次方程的问题，利用方程的根建立二次一次方程组，求得a 和b 的值；(2)根据题意，求出F(x)的解析式，分析可得|F(x)|1 等价于一 1 /一(2 +k 比 1,分析久=0 与0 0f(2)=4 +2 a +b01/a/)，把A=a2-4b0条件中的b 用”1)和a 表示，从而解得/(I)的取值范围.本题主要考查函数恒成立问题，二次函数的图象与性质，一元二次不等式及其应用，考查方程思想与转化思想的应用，属于中档题.第18页，共18页